Theorem pthiswlk 30083

Description: A path is a walk (in an undirected graph). (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pthiswlk	⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem pthiswlk

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthistrl 30081	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		trliswlk 30054	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  Walkscwlks 29955  Trailsctrls 30047  Pathscpths 30068

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-wlks 29958  df-trls 30049  df-pths 30072

This theorem is used by:  spthiswlk  30084  pthdadjvtx  30086  2pthnloop  30089  upgr2pthnlp  30090  pthonpth  30106  cycliswlk  30156  cyclnumvtx  30158  wspthsnonn0vne  30275  upgr3v3e3cycl  30540  upgr4cycl4dv4e  30545  pthhashvtx  35628  spthcycl  35629  loop1cycl  35637  upgrimpthslem2  48701  upgrimpths  48702  cycl3grtrilem  48739  cycl3grtri  48740