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Theorem upgr3v3e3cycl 27353
Description: If there is a cycle of length 3 in a pseudograph, there are three distinct vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
upgr3v3e3cycl.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
upgr3v3e3cycl.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgr3v3e3cycl ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 3) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎)))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐺(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem upgr3v3e3cycl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclprop 26917 . . 3 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2 pthiswlk 26851 . . . . 5 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 upgr3v3e3cycl.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (Edg‘𝐺)
43upgrwlkvtxedg 26769 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸)
5 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) = 3 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘3))
65eqeq2d 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) = 3 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)))
76anbi2d 616 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) = 3 → ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3))))
8 oveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐹) = 3 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^3))
9 fzo0to3tp 12778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^3) = {0, 1, 2}
108, 9syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) = 3 → (0..^(♯‘𝐹)) = {0, 1, 2})
1110raleqdv 3333 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) = 3 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
12 c0ex 10319 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
13 1ex 10321 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
14 2ex 11376 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ V
15 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
16 fv0p1e1 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
1715, 16preq12d 4467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
1817eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸))
19 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
20 oveq1 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
21 1p1e2 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 + 1) = 2
2220, 21syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
2322fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
2419, 23preq12d 4467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 1 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
2524eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 1 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸))
26 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
27 oveq1 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = (2 + 1))
28 2p1e3 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 + 1) = 3
2927, 28syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = 3)
3029fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 2 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘3))
3126, 30preq12d 4467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 2 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘2), (𝑃‘3)})
3231eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 2 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸))
3312, 13, 14, 18, 25, 32raltp 4432 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸))
3411, 33syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) = 3 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸)))
357, 34anbi12d 618 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = 3 → (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸))))
36 upgr3v3e3cycl.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3736wlkp 26740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
38 oveq2 6882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝐹) = 3 → (0...(♯‘𝐹)) = (0...3))
3938feq2d 6242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝐹) = 3 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃:(0...3)⟶𝑉))
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃:(0...3)⟶𝑉𝑃:(0...3)⟶𝑉)
41 3nn0 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 ∈ ℕ0
42 0elfz 12660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
4341, 42mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃:(0...3)⟶𝑉 → 0 ∈ (0...3))
4440, 43ffvelrnd 6582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃:(0...3)⟶𝑉 → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
45 1nn0 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℕ0
46 1lt3 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 < 3
47 fvffz0 12681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 3) ∧ 𝑃:(0...3)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
4847ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 3) → (𝑃:(0...3)⟶𝑉 → (𝑃‘1) ∈ 𝑉))
4941, 45, 46, 48mp3an 1578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃:(0...3)⟶𝑉 → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
50 2nn0 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℕ0
51 2lt3 11471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 < 3
52 fvffz0 12681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 3) ∧ 𝑃:(0...3)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
5352ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 3) → (𝑃:(0...3)⟶𝑉 → (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
5441, 50, 51, 53mp3an 1578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃:(0...3)⟶𝑉 → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
5544, 49, 543jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃:(0...3)⟶𝑉 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
5639, 55syl6bi 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝐹) = 3 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((♯‘𝐹) = 3 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
582, 37, 573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 3 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
5958adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) → ((♯‘𝐹) = 3 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
6059adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸)) → ((♯‘𝐹) = 3 → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉)))
6160impcom 396 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐹) = 3 ∧ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸))) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉))
62 preq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘3) = (𝑃‘0) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘0)})
6362eqcoms 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃‘0) = (𝑃‘3) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘0)})
6463adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) → {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘0)})
6564eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) → ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
66653anbi3d 1559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
6766biimpa 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸)) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
6867adantl 469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐹) = 3 ∧ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸))) → ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
69 simpll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ (♯‘𝐹) = 3) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
70 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝐹) = 3 → (1 < (♯‘𝐹) ↔ 1 < 3))
7146, 70mpbiri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝐹) = 3 → 1 < (♯‘𝐹))
7271adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ (♯‘𝐹) = 3) → 1 < (♯‘𝐹))
73 3nn 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℕ
74 lbfzo0 12732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ ℕ)
7573, 74mpbir 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ (0..^3)
7675, 8syl5eleqr 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝐹) = 3 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
7776adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ (♯‘𝐹) = 3) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
78 pthdadjvtx 26854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)))
79 1e0p1 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 = (0 + 1)
8079fveq2i 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃‘1) = (𝑃‘(0 + 1))
8180neeq2i 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)))
8278, 81sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
8369, 72, 77, 82syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ (♯‘𝐹) = 3) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
84 elfzo0 12733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ∈ (0..^3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 1 < 3))
8545, 73, 46, 84mpbir3an 1434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ (0..^3)
8685, 8syl5eleqr 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝐹) = 3 → 1 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
8786adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ (♯‘𝐹) = 3) → 1 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
88 pthdadjvtx 26854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘(1 + 1)))
89 df-2 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 = (1 + 1)
9089fveq2i 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃‘2) = (𝑃‘(1 + 1))
9190neeq2i 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘(1 + 1)))
9288, 91sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
9369, 72, 87, 92syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ (♯‘𝐹) = 3) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
94 elfzo0 12733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ (0..^3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ ∧ 2 < 3))
9550, 73, 51, 94mpbir3an 1434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ (0..^3)
9695, 8syl5eleqr 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝐹) = 3 → 2 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
9796adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ (♯‘𝐹) = 3) → 2 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
98 pthdadjvtx 26854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 2 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘(2 + 1)))
9969, 72, 97, 98syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ (♯‘𝐹) = 3) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘(2 + 1)))
100 neeq2 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃‘0) = (𝑃‘3) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
101 df-3 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 = (2 + 1)
102101fveq2i 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃‘3) = (𝑃‘(2 + 1))
103102neeq2i 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘(2 + 1)))
104100, 103syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘0) = (𝑃‘3) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘(2 + 1))))
105104adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘(2 + 1))))
106105adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ (♯‘𝐹) = 3) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘(2 + 1))))
10799, 106mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ (♯‘𝐹) = 3) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0))
10883, 93, 1073jca 1151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ (♯‘𝐹) = 3) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0)))
109108ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) → ((♯‘𝐹) = 3 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0))))
110109adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸)) → ((♯‘𝐹) = 3 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0))))
111110impcom 396 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐹) = 3 ∧ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸))) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0)))
112 preq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑃‘0) → {𝑎, 𝑏} = {(𝑃‘0), 𝑏})
113112eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑃‘0) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸))
114 preq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑃‘0) → {𝑐, 𝑎} = {𝑐, (𝑃‘0)})
115114eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑃‘0) → ({𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸 ↔ {𝑐, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
116113, 1153anbi13d 1555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑃‘0) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
117 neeq1 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑃‘0) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑃‘0) ≠ 𝑏))
118 neeq2 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑃‘0) → (𝑐𝑎𝑐 ≠ (𝑃‘0)))
119117, 1183anbi13d 1555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑃‘0) → ((𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎) ↔ ((𝑃‘0) ≠ 𝑏𝑏𝑐𝑐 ≠ (𝑃‘0))))
120116, 119anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑃‘0) → ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎)) ↔ (({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑃‘0) ≠ 𝑏𝑏𝑐𝑐 ≠ (𝑃‘0)))))
121 preq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (𝑃‘1) → {(𝑃‘0), 𝑏} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
122121eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑃‘1) → ({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸))
123 preq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (𝑃‘1) → {𝑏, 𝑐} = {(𝑃‘1), 𝑐})
124123eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑃‘1) → ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸))
125122, 1243anbi12d 1554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑃‘1) → (({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
126 neeq2 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑃‘1) → ((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
127 neeq1 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑃‘1) → (𝑏𝑐 ↔ (𝑃‘1) ≠ 𝑐))
128126, 1273anbi12d 1554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑃‘1) → (((𝑃‘0) ≠ 𝑏𝑏𝑐𝑐 ≠ (𝑃‘0)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑐𝑐 ≠ (𝑃‘0))))
129125, 128anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑃‘1) → ((({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑃‘0) ≠ 𝑏𝑏𝑐𝑐 ≠ (𝑃‘0))) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑐𝑐 ≠ (𝑃‘0)))))
130 preq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (𝑃‘2) → {(𝑃‘1), 𝑐} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
131130eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝑃‘2) → ({(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸))
132 preq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (𝑃‘2) → {𝑐, (𝑃‘0)} = {(𝑃‘2), (𝑃‘0)})
133132eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝑃‘2) → ({𝑐, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
134131, 1333anbi23d 1556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝑃‘2) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
135 neeq2 3041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝑃‘2) → ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
136 neeq1 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝑃‘2) → (𝑐 ≠ (𝑃‘0) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0)))
137135, 1363anbi23d 1556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (𝑃‘2) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑐𝑐 ≠ (𝑃‘0)) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0))))
138134, 137anbi12d 618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (𝑃‘2) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑐𝑐 ≠ (𝑃‘0))) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0)))))
139120, 129, 138rspc3ev 3519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘2) ∈ 𝑉) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0)))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎)))
14061, 68, 111, 139syl12anc 856 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐹) = 3 ∧ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎)))
141140ex 399 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = 3 → (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘3)) ∧ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎))))
14235, 141sylbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) = 3 → (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎))))
143142expd 402 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) = 3 → ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎)))))
144143com13 88 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 → ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) = 3 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎)))))
1454, 144syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) = 3 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎)))))
146145expcom 400 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) = 3 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎))))))
147146com23 86 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ((♯‘𝐹) = 3 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎))))))
148147expd 402 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐺 ∈ UPGraph → ((♯‘𝐹) = 3 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎)))))))
1492, 148mpcom 38 . . . 4 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐺 ∈ UPGraph → ((♯‘𝐹) = 3 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎))))))
150149imp 395 . . 3 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ((♯‘𝐹) = 3 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎)))))
1511, 150syl 17 . 2 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → ((♯‘𝐹) = 3 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎)))))
1521513imp21 1134 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 3) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑎)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  {cpr 4372  {ctp 4374   class class class wbr 4844  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  0cc0 10221  1c1 10222   + caddc 10224   < clt 10359  cn 11305  2c2 11356  3c3 11357  0cn0 11559  ...cfz 12549  ..^cfzo 12689  chash 13337  Vtxcvtx 26088  Edgcedg 26153  UPGraphcupgr 26189  Walkscwlks 26720  Pathscpths 26836  Cyclesccycls 26909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-ifp 1079  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-xnn0 11630  df-z 11644  df-uz 11905  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-hash 13338  df-word 13510  df-edg 26154  df-uhgr 26167  df-upgr 26191  df-wlks 26723  df-trls 26817  df-pths 26840  df-cycls 26911
This theorem is referenced by:  umgr3v3e3cycl  27357
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