MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr3v3e3cycl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem upgr3v3e3cycl 29700
Description: If there is a cycle of length 3 in a pseudograph, there are three distinct vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
upgr3v3e3cycl.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
upgr3v3e3cycl.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
upgr3v3e3cycl ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))
Distinct variable groups:   𝐸,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐺(π‘Ž,𝑏,𝑐)
Proof of Theorem upgr3v3e3cycl
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclprop 29317 . . 3 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
2 pthiswlk 29251 . . . . 5 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
3 upgr3v3e3cycl.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
43upgrwlkvtxedg 29169 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸)
5 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (π‘ƒβ€˜3))
65eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)))
76anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) ↔ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3))))
8 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^3))
9 fzo0to3tp 13722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^3) = {0, 1, 2}
108, 9eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = {0, 1, 2})
1110raleqdv 3323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1, 2} {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸))
12 c0ex 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
13 1ex 11214 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
14 2ex 12293 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ V
15 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜0))
16 fv0p1e1 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜1))
1715, 16preq12d 4744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 0 β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)})
1817eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 0 β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸))
19 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜1))
20 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘˜ + 1) = (1 + 1))
21 1p1e2 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 + 1) = 2
2220, 21eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘˜ + 1) = 2)
2322fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜2))
2419, 23preq12d 4744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 1 β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)})
2524eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 1 β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸))
26 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜2))
27 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘˜ + 1) = (2 + 1))
28 2p1e3 12358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 + 1) = 3
2927, 28eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘˜ + 1) = 3)
3029fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜3))
3126, 30preq12d 4744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 2 β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)})
3231eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 2 β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))
3312, 13, 14, 18, 25, 32raltp 4708 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1, 2} {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))
3411, 33bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸)))
357, 34anbi12d 629 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸) ↔ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))))
36 upgr3v3e3cycl.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3736wlkp 29140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰)
38 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) = (0...3))
3938feq2d 6702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ↔ 𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰))
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ 𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰)
41 3nn0 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 ∈ β„•0
42 0elfz 13602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (3 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...3))
4341, 42mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ 0 ∈ (0...3))
4440, 43ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉)
45 1nn0 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ β„•0
46 1lt3 12389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 < 3
47 fvffz0 13623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((3 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ 1 < 3) ∧ 𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉)
4847ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ 1 < 3) β†’ (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉))
4941, 45, 46, 48mp3an 1459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉)
50 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„•0
51 2lt3 12388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 < 3
52 fvffz0 13623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((3 ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0 ∧ 2 < 3) ∧ 𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)
5352ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0 ∧ 2 < 3) β†’ (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉))
5441, 50, 51, 53mp3an 1459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)
5544, 49, 543jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉))
5639, 55syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)))
582, 37, 573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)))
5958adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)))
6059adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)))
6160impcom 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜πΉ) = 3 ∧ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉))
62 preq2 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘ƒβ€˜3) = (π‘ƒβ€˜0) β†’ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)})
6362eqcoms 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3) β†’ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)})
6463adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) β†’ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)})
6564eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) β†’ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
66653anbi3d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) β†’ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
6766biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸)) β†’ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
6867adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜πΉ) = 3 ∧ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))) β†’ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
69 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
70 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) ↔ 1 < 3))
7146, 70mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ 1 < (β™―β€˜πΉ))
7271adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ 1 < (β™―β€˜πΉ))
73 3nn 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ β„•
74 lbfzo0 13676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ β„•)
7573, 74mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ (0..^3)
7675, 8eleqtrrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
7776adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
78 pthdadjvtx 29254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
79 1e0p1 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 = (0 + 1)
8079fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘ƒβ€˜1) = (π‘ƒβ€˜(0 + 1))
8180neeq2i 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
8278, 81sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))
8369, 72, 77, 82syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))
84 elfzo0 13677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ∈ (0..^3) ↔ (1 ∈ β„•0 ∧ 3 ∈ β„• ∧ 1 < 3))
8545, 73, 46, 84mpbir3an 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ (0..^3)
8685, 8eleqtrrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
8786adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
88 pthdadjvtx 29254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜(1 + 1)))
89 df-2 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 = (1 + 1)
9089fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘ƒβ€˜2) = (π‘ƒβ€˜(1 + 1))
9190neeq2i 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ↔ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜(1 + 1)))
9288, 91sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))
9369, 72, 87, 92syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))
94 elfzo0 13677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ (0..^3) ↔ (2 ∈ β„•0 ∧ 3 ∈ β„• ∧ 2 < 3))
9550, 73, 51, 94mpbir3an 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ (0..^3)
9695, 8eleqtrrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ 2 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
9796adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ 2 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
98 pthdadjvtx 29254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 2 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1)))
9969, 72, 97, 98syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1)))
100 neeq2 3002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3) β†’ ((π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3)))
101 df-3 12280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 = (2 + 1)
102101fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘ƒβ€˜3) = (π‘ƒβ€˜(2 + 1))
103102neeq2i 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1)))
104100, 103bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3) β†’ ((π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1))))
105104adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) β†’ ((π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1))))
106105adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ ((π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1))))
10799, 106mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0))
10883, 93, 1073jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0)))
109108ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0))))
110109adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0))))
111110impcom 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜πΉ) = 3 ∧ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0)))
112 preq1 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ {π‘Ž, 𝑏} = {(π‘ƒβ€˜0), 𝑏})
113112eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸))
114 preq2 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ {𝑐, π‘Ž} = {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)})
115114eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ({𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸 ↔ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
116113, 1153anbi13d 1436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
117 neeq1 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (π‘Ž β‰  𝑏 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏))
118 neeq2 3002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (𝑐 β‰  π‘Ž ↔ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0)))
119117, 1183anbi13d 1436 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0))))
120116, 119anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0)))))
121 preq2 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ {(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)})
122121eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸))
123 preq1 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ {𝑏, 𝑐} = {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐})
124123eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸))
125122, 1243anbi12d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ (({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
126 neeq2 3002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
127 neeq1 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ (𝑏 β‰  𝑐 ↔ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐))
128126, 1273anbi12d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0)) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0))))
129125, 128anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0))) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0)))))
130 preq2 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)})
131130eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ({(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸))
132 preq1 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)})
133132eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ({𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
134131, 1333anbi23d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
135 neeq2 3002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ↔ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)))
136 neeq1 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ (𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0)))
137135, 1363anbi23d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0)) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0))))
138134, 137anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0))) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0)))))
139120, 129, 138rspc3ev 3627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0)))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))
14061, 68, 111, 139syl12anc 833 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜πΉ) = 3 ∧ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))
141140ex 411 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž))))
14235, 141sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž))))
143142expd 414 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))))
144143com13 88 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))))
1454, 144syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))))
146145expcom 412 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž))))))
147146com23 86 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž))))))
148147expd 414 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))))))
1492, 148mpcom 38 . . . 4 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž))))))
150149imp 405 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))))
1511, 150syl 17 . 2 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))))
1521513imp21 1112 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {cpr 4629  {ctp 4631   class class class wbr 5147  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  β„•cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  β„•0cn0 12476  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  β™―chash 14294  Vtxcvtx 28523  Edgcedg 28574  UPGraphcupgr 28607  Walkscwlks 29120  Pathscpths 29236  Cyclesccycls 29309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-hash 14295  df-word 14469  df-edg 28575  df-uhgr 28585  df-upgr 28609  df-wlks 29123  df-trls 29216  df-pths 29240  df-cycls 29311
This theorem is referenced by:  umgr3v3e3cycl  29704
  Copyright terms: Public domain W3C validator