MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr3v3e3cycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr3v3e3cycl 29127
Description: If there is a cycle of length 3 in a pseudograph, there are three distinct vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
upgr3v3e3cycl.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
upgr3v3e3cycl.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
upgr3v3e3cycl ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))
Distinct variable groups:   𝐸,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑐   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘Ž,𝑏,𝑐)   𝐺(π‘Ž,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem upgr3v3e3cycl
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclprop 28744 . . 3 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
2 pthiswlk 28678 . . . . 5 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
3 upgr3v3e3cycl.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
43upgrwlkvtxedg 28596 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸)
5 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (π‘ƒβ€˜3))
65eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)))
76anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) ↔ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3))))
8 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^3))
9 fzo0to3tp 13659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^3) = {0, 1, 2}
108, 9eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = {0, 1, 2})
1110raleqdv 3314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1, 2} {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸))
12 c0ex 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
13 1ex 11152 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
14 2ex 12231 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ V
15 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜0))
16 fv0p1e1 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜1))
1715, 16preq12d 4703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 0 β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)})
1817eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 0 β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸))
19 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜1))
20 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘˜ + 1) = (1 + 1))
21 1p1e2 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 + 1) = 2
2220, 21eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘˜ + 1) = 2)
2322fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜2))
2419, 23preq12d 4703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 1 β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)})
2524eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 1 β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸))
26 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜2))
27 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘˜ + 1) = (2 + 1))
28 2p1e3 12296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 + 1) = 3
2927, 28eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘˜ + 1) = 3)
3029fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜3))
3126, 30preq12d 4703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 2 β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)})
3231eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 2 β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))
3312, 13, 14, 18, 25, 32raltp 4667 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1, 2} {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))
3411, 33bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸)))
357, 34anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸) ↔ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))))
36 upgr3v3e3cycl.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
3736wlkp 28567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰)
38 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) = (0...3))
3938feq2d 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ↔ 𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰))
40 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ 𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰)
41 3nn0 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 ∈ β„•0
42 0elfz 13539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (3 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...3))
4341, 42mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ 0 ∈ (0...3))
4440, 43ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉)
45 1nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ β„•0
46 1lt3 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 < 3
47 fvffz0 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((3 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ 1 < 3) ∧ 𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉)
4847ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ 1 < 3) β†’ (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉))
4941, 45, 46, 48mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉)
50 2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ β„•0
51 2lt3 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 < 3
52 fvffz0 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((3 ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0 ∧ 2 < 3) ∧ 𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)
5352ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0 ∧ 2 < 3) β†’ (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉))
5441, 50, 51, 53mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)
5544, 49, 543jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃:(0...3)βŸΆπ‘‰ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉))
5639, 55syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)))
582, 37, 573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)))
5958adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)))
6059adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)))
6160impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜πΉ) = 3 ∧ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉))
62 preq2 4696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘ƒβ€˜3) = (π‘ƒβ€˜0) β†’ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)})
6362eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3) β†’ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)})
6463adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) β†’ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)})
6564eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) β†’ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
66653anbi3d 1443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) β†’ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
6766biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸)) β†’ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
6867adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜πΉ) = 3 ∧ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))) β†’ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
69 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
70 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) ↔ 1 < 3))
7146, 70mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ 1 < (β™―β€˜πΉ))
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ 1 < (β™―β€˜πΉ))
73 3nn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ β„•
74 lbfzo0 13613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0 ∈ (0..^3) ↔ 3 ∈ β„•)
7573, 74mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ (0..^3)
7675, 8eleqtrrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
7776adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
78 pthdadjvtx 28681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
79 1e0p1 12661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 = (0 + 1)
8079fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘ƒβ€˜1) = (π‘ƒβ€˜(0 + 1))
8180neeq2i 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
8278, 81sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))
8369, 72, 77, 82syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))
84 elfzo0 13614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1 ∈ (0..^3) ↔ (1 ∈ β„•0 ∧ 3 ∈ β„• ∧ 1 < 3))
8545, 73, 46, 84mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ (0..^3)
8685, 8eleqtrrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
8786adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
88 pthdadjvtx 28681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜(1 + 1)))
89 df-2 12217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 = (1 + 1)
9089fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘ƒβ€˜2) = (π‘ƒβ€˜(1 + 1))
9190neeq2i 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ↔ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜(1 + 1)))
9288, 91sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))
9369, 72, 87, 92syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))
94 elfzo0 13614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ (0..^3) ↔ (2 ∈ β„•0 ∧ 3 ∈ β„• ∧ 2 < 3))
9550, 73, 51, 94mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ (0..^3)
9695, 8eleqtrrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ 2 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
9796adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ 2 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
98 pthdadjvtx 28681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 2 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1)))
9969, 72, 97, 98syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1)))
100 neeq2 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3) β†’ ((π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3)))
101 df-3 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 = (2 + 1)
102101fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘ƒβ€˜3) = (π‘ƒβ€˜(2 + 1))
103102neeq2i 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1)))
104100, 103bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3) β†’ ((π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1))))
105104adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) β†’ ((π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1))))
106105adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ ((π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1))))
10799, 106mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0))
10883, 93, 1073jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0)))
109108ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0))))
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0))))
111110impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜πΉ) = 3 ∧ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0)))
112 preq1 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ {π‘Ž, 𝑏} = {(π‘ƒβ€˜0), 𝑏})
113112eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸))
114 preq2 4696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ {𝑐, π‘Ž} = {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)})
115114eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ({𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸 ↔ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
116113, 1153anbi13d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
117 neeq1 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (π‘Ž β‰  𝑏 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏))
118 neeq2 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (𝑐 β‰  π‘Ž ↔ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0)))
119117, 1183anbi13d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0))))
120116, 119anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0)))))
121 preq2 4696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ {(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)})
122121eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸))
123 preq1 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ {𝑏, 𝑐} = {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐})
124123eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸))
125122, 1243anbi12d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ (({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
126 neeq2 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
127 neeq1 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ (𝑏 β‰  𝑐 ↔ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐))
128126, 1273anbi12d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0)) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0))))
129125, 128anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0))) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0)))))
130 preq2 4696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)})
131130eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ({(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸))
132 preq1 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)})
133132eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ({𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
134131, 1333anbi23d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
135 neeq2 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ↔ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)))
136 neeq1 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ (𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0)))
137135, 1363anbi23d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0)) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0))))
138134, 137anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  (π‘ƒβ€˜0))) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0)))))
139120, 129, 138rspc3ev 3595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0)))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))
14061, 68, 111, 139syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜πΉ) = 3 ∧ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))
141140ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž))))
14235, 141sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž))))
143142expd 417 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))))
144143com13 88 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))))
1454, 144syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))))
146145expcom 415 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž))))))
147146com23 86 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž))))))
148147expd 417 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))))))
1492, 148mpcom 38 . . . 4 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž))))))
150149imp 408 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))))
1511, 150syl 17 . 2 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 3 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))))
1521513imp21 1115 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 3) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ 𝐸) ∧ (π‘Ž β‰  𝑏 ∧ 𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {cpr 4589  {ctp 4591   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   < clt 11190  β„•cn 12154  2c2 12209  3c3 12210  β„•0cn0 12414  ...cfz 13425  ..^cfzo 13568  β™―chash 14231  Vtxcvtx 27950  Edgcedg 28001  UPGraphcupgr 28034  Walkscwlks 28547  Pathscpths 28663  Cyclesccycls 28736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-hash 14232  df-word 14404  df-edg 28002  df-uhgr 28012  df-upgr 28036  df-wlks 28550  df-trls 28643  df-pths 28667  df-cycls 28738
This theorem is referenced by:  umgr3v3e3cycl  29131
  Copyright terms: Public domain W3C validator