Theorem 2pthnloop 29698

Description: A path of length at least 2 does not contain a loop. In contrast, a path of length 1 can contain/be a loop, see lppthon 30117. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pthnloop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2pthnloop	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2pthnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthiswlk 29692	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkv 29577	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4		ispth 29688	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
5		istrl 29661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
6		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		2pthnloop.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8	6, 7	iswlkg 29578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
9	8	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹)))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹)))
11		pthdadjvtx 29695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
12	11	ad5ant245 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
13	12	neneqd 2936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
14		ifpfal 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
16		fvexd 6902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘𝑖) ∈ V)
17		fvexd 6902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V)
18		neqne 2939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
19		fvexd 6902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V)
20		prsshashgt1 14432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃‘𝑖) ∈ V ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V ∧ (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl31anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
23	15, 22	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
24	13, 23	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
25	24	ralimdva 3154	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
26	25	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) → (1 < (♯‘𝐹) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
27	26	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
28	27	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
29	28	com24 95	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
30	29	3impia 1117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
31	30	exp4c 432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (Fun ◡𝐹 → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
33	10, 32	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
34	33	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
35	34	com14 96	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
36	35	3imp 1110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
37	36	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
38	4, 37	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
39	38	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
40	3, 39	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
41	40	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
42	41	imp 406	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1062   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  Vcvv 3464   ∩ cin 3932   ⊆ wss 3933  ∅c0 4315  {csn 4608  {cpr 4610   class class class wbr 5125  ^◡ccnv 5666  dom cdm 5667   ↾ cres 5669   “ cima 5670  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278   ≤ cle 11279  2c2 12304  ...cfz 13530  ..^cfzo 13677  ♯chash 14352  Word cword 14535  Vtxcvtx 28960  iEdgciedg 28961  Walkscwlks 29561  Trailsctrls 29655  Pathscpths 29677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-oadd 8493  df-er 8728  df-map 8851  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-n0 12511  df-xnn0 12584  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-hash 14353  df-word 14536  df-wlks 29564  df-trls 29657  df-pths 29681

This theorem is referenced by:  upgr2pthnlp  29699