Theorem 2pthnloop 30058

Description: A path of length at least 2 does not contain a loop. In contrast, a path of length 1 can contain/be a loop, see lppthon 30480. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pthnloop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2pthnloop	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2pthnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthiswlk 30052	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkv 29940	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4		ispth 30048	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
5		istrl 30022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
6		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		2pthnloop.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8	6, 7	iswlkg 29941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
9	8	anbi1d 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹)))
10	5, 9	bitrid 286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹)))
11		pthdadjvtx 30055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
12	11	ad5ant245 1384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
13	12	neneqd 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
14		ifpfal 1092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
15	14	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
16		fvexd 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘𝑖) ∈ V)
17		fvexd 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V)
18		neqne 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
19		fvexd 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V)
20		prsshashgt1 14449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃‘𝑖) ∈ V ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V ∧ (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl31anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
22	21	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
23	15, 22	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
24	13, 23	mpdan 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
25	24	ralimdva 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
26	25	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) → (1 < (♯‘𝐹) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
27	26	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
28	27	exp31 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
29	28	com24 96	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
30	29	3impia 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
31	30	exp4c 437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (Fun ◡𝐹 → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
32	31	imp 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
33	10, 32	biimtrdi 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
34	33	com24 96	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
35	34	com14 97	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
36	35	3imp 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
37	36	com12 33	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
38	4, 37	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
39	38	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
40	3, 39	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
41	40	pm2.43i 53	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
42	41	imp 411	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  if-wif 1078   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590  {cpr 4592   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663   ↾ cres 5665   “ cima 5666  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   < clt 11244   ≤ cle 11245  2c2 12296  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552  Vtxcvtx 29324  iEdgciedg 29325  Walkscwlks 29924  Trailsctrls 30016  Pathscpths 30037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-wlks 29927  df-trls 30018  df-pths 30041

This theorem is referenced by:  upgr2pthnlp  30059