Theorem 2pthnloop 28000

Description: A path of length at least 2 does not contain a loop. In contrast, a path of length 1 can contain/be a loop, see lppthon 28416. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pthnloop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2pthnloop	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2pthnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthiswlk 27996	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkv 27882	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4		ispth 27992	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
5		istrl 27966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
6		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		2pthnloop.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8	6, 7	iswlkg 27883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
9	8	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹)))
10	5, 9	syl5bb 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹)))
11		pthdadjvtx 27999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
12	11	ad5ant245 1359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
13	12	neneqd 2947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
14		ifpfal 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
16		fvexd 6771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘𝑖) ∈ V)
17		fvexd 6771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V)
18		neqne 2950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
19		fvexd 6771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V)
20		prsshashgt1 14053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃‘𝑖) ∈ V ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V ∧ (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl31anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
23	15, 22	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
24	13, 23	mpdan 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
25	24	ralimdva 3102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
26	25	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) → (1 < (♯‘𝐹) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
27	26	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
28	27	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
29	28	com24 95	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
30	29	3impia 1115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
31	30	exp4c 432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (Fun ◡𝐹 → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
33	10, 32	syl6bi 252	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
34	33	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
35	34	com14 96	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
36	35	3imp 1109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
37	36	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
38	4, 37	syl5bi 241	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
39	38	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
40	3, 39	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
41	40	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
42	41	imp 406	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  if-wif 1059   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  {cpr 4560   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580   ↾ cres 5582   “ cima 5583  Fun wfun 6412  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940   ≤ cle 10941  2c2 11958  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  Walkscwlks 27866  Trailsctrls 27960  Pathscpths 27981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-wlks 27869  df-trls 27962  df-pths 27985

This theorem is referenced by:  upgr2pthnlp  28001