Theorem 2pthnloop 29799

Description: A path of length at least 2 does not contain a loop. In contrast, a path of length 1 can contain/be a loop, see lppthon 30221. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pthnloop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2pthnloop	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2pthnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthiswlk 29793	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkv 29681	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4		ispth 29789	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
5		istrl 29763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
6		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		2pthnloop.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8	6, 7	iswlkg 29682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
9	8	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹)))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹)))
11		pthdadjvtx 29796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
12	11	ad5ant245 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
13	12	neneqd 2937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
14		ifpfal 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
16		fvexd 6855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘𝑖) ∈ V)
17		fvexd 6855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V)
18		neqne 2940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
19		fvexd 6855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V)
20		prsshashgt1 14372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃‘𝑖) ∈ V ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V ∧ (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
23	15, 22	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
24	13, 23	mpdan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
25	24	ralimdva 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
26	25	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) → (1 < (♯‘𝐹) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
27	26	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
28	27	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
29	28	com24 95	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
30	29	3impia 1118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
31	30	exp4c 432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (Fun ◡𝐹 → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
33	10, 32	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
34	33	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
35	34	com14 96	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
36	35	3imp 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
37	36	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
38	4, 37	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
39	38	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
40	3, 39	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
41	40	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
42	41	imp 406	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1063   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567  {cpr 4569   class class class wbr 5085  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   ↾ cres 5633   “ cima 5634  Fun wfun 6492  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180  2c2 12236  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  Vtxcvtx 29065  iEdgciedg 29066  Walkscwlks 29665  Trailsctrls 29757  Pathscpths 29778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-wlks 29668  df-trls 29759  df-pths 29782

This theorem is referenced by:  upgr2pthnlp  29800