Theorem 2pthnloop 29814

Description: A path of length at least 2 does not contain a loop. In contrast, a path of length 1 can contain/be a loop, see lppthon 30236. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pthnloop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2pthnloop	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem 2pthnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthiswlk 29808	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkv 29696	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
4		ispth 29804	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
5		istrl 29778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹))
6		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
7		2pthnloop.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8	6, 7	iswlkg 29697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
9	8	anbi1d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝐹) ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹)))
10	5, 9	bitrid 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹)))
11		pthdadjvtx 29811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
12	11	ad5ant245 1364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
13	12	neneqd 2938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)))
14		ifpfal 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ↔ {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
16		fvexd 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘𝑖) ∈ V)
17		fvexd 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V)
18		neqne 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1)))
19		fvexd 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V)
20		prsshashgt1 14363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑃‘𝑖) ∈ V ∧ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ V ∧ (𝑃‘𝑖) ≠ (𝑃‘(𝑖 + 1))) ∧ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
21	16, 17, 18, 19, 20	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → ({(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
23	15, 22	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ ¬ (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
24	13, 23	mpdan 688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
25	24	ralimdva 3150	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
26	25	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) → (1 < (♯‘𝐹) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
27	26	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ ((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
28	27	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
29	28	com24 95	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
30	29	3impia 1118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (((Fun ◡𝐹 ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹)))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
31	30	exp4c 432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (Fun ◡𝐹 → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
32	31	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) ∧ Fun ◡𝐹) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))))
33	10, 32	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
34	33	com24 95	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
35	34	com14 96	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) → (((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅ → (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))))
36	35	3imp 1111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
37	36	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
38	4, 37	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
39	38	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))))
40	3, 39	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
41	40	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))))
42	41	imp 406	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  if-wif 1063   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624   ↾ cres 5626   “ cima 5627  Fun wfun 6486  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  2c2 12227  ...cfz 13452  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Word cword 14466  Vtxcvtx 29079  iEdgciedg 29080  Walkscwlks 29680  Trailsctrls 29772  Pathscpths 29793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-wlks 29683  df-trls 29774  df-pths 29797

This theorem is referenced by:  upgr2pthnlp  29815