MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr2pthnlp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr2pthnlp 28729
Description: A path of length at least 2 in a pseudograph does not contain a loop. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthnloop.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
upgr2pthnlp ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem upgr2pthnlp
StepHypRef Expression
1 2pthnloop.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
212pthnloop 28728 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))
323adant1 1131 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))
4 pthiswlk 28724 . . . . . . 7 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
51wlkf 28611 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6 simp2 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
7 wrdsymbcl 14424 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ dom 𝐼)
81upgrle2 28105 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (πΉβ€˜π‘–) ∈ dom 𝐼) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2)
96, 7, 83imp3i2an 1346 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2)
10 fvex 6859 . . . . . . . . . . . . 13 (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ V
11 hashxnn0 14248 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ V β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ β„•0*)
12 xnn0xr 12498 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ β„•0* β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ ℝ*)
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ ℝ*
14 2re 12235 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
1514rexri 11221 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
1613, 15pm3.2i 472 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
17 xrletri3 13082 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) β†’ ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2 ↔ ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2 ↔ ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))))
1918biimprd 248 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–)))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))
209, 19mpand 694 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))
21203exp 1120 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))))
224, 5, 213syl 18 . . . . . 6 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))))
2322impcom 409 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2)))
24233adant3 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2)))
2524imp 408 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))
2625ralimdva 3161 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))
273, 26mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   class class class wbr 5109  dom cdm 5637  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  2c2 12216  β„•0*cxnn0 12493  ..^cfzo 13576  β™―chash 14239  Word cword 14411  iEdgciedg 27997  UPGraphcupgr 28080  Walkscwlks 28593  Pathscpths 28709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-hash 14240  df-word 14412  df-uhgr 28058  df-upgr 28082  df-wlks 28596  df-trls 28689  df-pths 28713
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator