MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr2pthnlp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr2pthnlp 29498
Description: A path of length at least 2 in a pseudograph does not contain a loop. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthnloop.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
upgr2pthnlp ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem upgr2pthnlp
StepHypRef Expression
1 2pthnloop.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
212pthnloop 29497 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))
323adant1 1127 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))
4 pthiswlk 29493 . . . . . . 7 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
51wlkf 29380 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
7 wrdsymbcl 14483 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ dom 𝐼)
81upgrle2 28873 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (πΉβ€˜π‘–) ∈ dom 𝐼) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2)
96, 7, 83imp3i2an 1342 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2)
10 fvex 6898 . . . . . . . . . . . . 13 (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ V
11 hashxnn0 14304 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ V β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ β„•0*)
12 xnn0xr 12553 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ β„•0* β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ ℝ*)
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ ℝ*
14 2re 12290 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
1514rexri 11276 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
1613, 15pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
17 xrletri3 13139 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) β†’ ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2 ↔ ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2 ↔ ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))))
1918biimprd 247 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–)))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))
209, 19mpand 692 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))
21203exp 1116 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))))
224, 5, 213syl 18 . . . . . 6 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))))
2322impcom 407 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2)))
24233adant3 1129 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2)))
2524imp 406 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))
2625ralimdva 3161 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))
273, 26mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  2c2 12271  β„•0*cxnn0 12548  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Word cword 14470  iEdgciedg 28765  UPGraphcupgr 28848  Walkscwlks 29362  Pathscpths 29478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-uhgr 28826  df-upgr 28850  df-wlks 29365  df-trls 29458  df-pths 29482
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator