Theorem upgr2pthnlp 29768

Description: A path of length at least 2 in a pseudograph does not contain a loop. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pthnloop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgr2pthnlp	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem upgr2pthnlp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthnloop.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	2pthnloop 29767	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
3	2	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
4		pthiswlk 29763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5	1	wlkf 29650	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐺 ∈ UPGraph)
7		wrdsymbcl 14575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐼)
8	1	upgrle2 29140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐼) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2)
9	6, 7, 8	3imp3i2an 1345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2)
10		fvex 6933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V
11		hashxnn0 14388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℕ0*)
12		xnn0xr 12630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℕ0* → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ*)
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ*
14		2re 12367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	rexri 11348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
16	13, 15	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
17		xrletri3 13216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2 ↔ ((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2 ↔ ((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
19	18	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))
20	9, 19	mpand 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))
21	20	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))))
22	4, 5, 21	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))))
23	22	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2)))
24	23	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2)))
25	24	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))
26	25	ralimdva 3173	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))
27	3, 26	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  2c2 12348  ℕ₀^*cxnn0 12625  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  Word cword 14562  iEdgciedg 29032  UPGraphcupgr 29115  Walkscwlks 29632  Pathscpths 29748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-word 14563  df-uhgr 29093  df-upgr 29117  df-wlks 29635  df-trls 29728  df-pths 29752

This theorem is referenced by: (None)