MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr2pthnlp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr2pthnlp 29669
Description: A path of length at least 2 in a pseudograph does not contain a loop. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthnloop.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgr2pthnlp ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem upgr2pthnlp
StepHypRef Expression
1 2pthnloop.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
212pthnloop 29668 . . 3 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))
323adant1 1127 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))
4 pthiswlk 29664 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
51wlkf 29551 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐺 ∈ UPGraph)
7 wrdsymbcl 14535 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐼)
81upgrle2 29041 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐹𝑖) ∈ dom 𝐼) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2)
96, 7, 83imp3i2an 1342 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2)
10 fvex 6914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V
11 hashxnn0 14356 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼‘(𝐹𝑖)) ∈ V → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℕ0*)
12 xnn0xr 12601 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℕ0* → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ*)
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ*
14 2re 12338 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
1514rexri 11322 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
1613, 15pm3.2i 469 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
17 xrletri3 13187 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2 ↔ ((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2 ↔ ((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))))))
1918biimprd 247 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖)))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
209, 19mpand 693 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
21203exp 1116 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))))
224, 5, 213syl 18 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))))
2322impcom 406 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)))
24233adant3 1129 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)))
2524imp 405 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
2625ralimdva 3157 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2))
273, 26mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(♯‘(𝐼‘(𝐹𝑖))) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  Vcvv 3462   class class class wbr 5153  dom cdm 5682  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159  *cxr 11297   < clt 11298  cle 11299  2c2 12319  0*cxnn0 12596  ..^cfzo 13681  chash 14347  Word cword 14522  iEdgciedg 28933  UPGraphcupgr 29016  Walkscwlks 29533  Pathscpths 29649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-uhgr 28994  df-upgr 29018  df-wlks 29536  df-trls 29629  df-pths 29653
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator