MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr2pthnlp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr2pthnlp 29588
Description: A path of length at least 2 in a pseudograph does not contain a loop. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2pthnloop.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
upgr2pthnlp ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem upgr2pthnlp
StepHypRef Expression
1 2pthnloop.i . . . 4 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
212pthnloop 29587 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))
323adant1 1127 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))
4 pthiswlk 29583 . . . . . . 7 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
51wlkf 29470 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
7 wrdsymbcl 14507 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (πΉβ€˜π‘–) ∈ dom 𝐼)
81upgrle2 28960 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (πΉβ€˜π‘–) ∈ dom 𝐼) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2)
96, 7, 83imp3i2an 1342 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2)
10 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ V
11 hashxnn0 14328 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–)) ∈ V β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ β„•0*)
12 xnn0xr 12577 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ β„•0* β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ ℝ*)
1310, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ ℝ*
14 2re 12314 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
1514rexri 11300 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ*
1613, 15pm3.2i 469 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
17 xrletri3 13163 . . . . . . . . . . 11 (((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) β†’ ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2 ↔ ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))))
1816, 17mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2 ↔ ((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))))))
1918biimprd 247 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (((β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) ≀ 2 ∧ 2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–)))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))
209, 19mpand 693 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))
21203exp 1116 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))))
224, 5, 213syl 18 . . . . . 6 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))))
2322impcom 406 . . . . 5 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2)))
24233adant3 1129 . . . 4 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2)))
2524imp 405 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))
2625ralimdva 3157 . 2 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))2 ≀ (β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2))
273, 26mpd 15 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))(β™―β€˜(πΌβ€˜(πΉβ€˜π‘–))) = 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   class class class wbr 5143  dom cdm 5672  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  1c1 11137  β„*cxr 11275   < clt 11276   ≀ cle 11277  2c2 12295  β„•0*cxnn0 12572  ..^cfzo 13657  β™―chash 14319  Word cword 14494  iEdgciedg 28852  UPGraphcupgr 28935  Walkscwlks 29452  Pathscpths 29568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-uhgr 28913  df-upgr 28937  df-wlks 29455  df-trls 29548  df-pths 29572
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator