Theorem upgr2pthnlp 29695

Description: A path of length at least 2 in a pseudograph does not contain a loop. (Contributed by AV, 6-Feb-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pthnloop.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgr2pthnlp	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝑖,𝐺   𝑖,𝐼   𝑃,𝑖

Proof of Theorem upgr2pthnlp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthnloop.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2	1	2pthnloop 29694	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
3	2	3adant1 1130	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
4		pthiswlk 29688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
5	1	wlkf 29578	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
6		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝐺 ∈ UPGraph)
7		wrdsymbcl 14452	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐼)
8	1	upgrle2 29068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ dom 𝐼) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2)
9	6, 7, 8	3imp3i2an 1346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2)
10		fvex 6839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V
11		hashxnn0 14264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼‘(𝐹‘𝑖)) ∈ V → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℕ0*)
12		xnn0xr 12480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℕ0* → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ*)
13	10, 11, 12	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ*
14		2re 12220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	rexri 11192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ*
16	13, 15	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*)
17		xrletri3 13074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2 ↔ ((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2 ↔ ((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))))))
19	18	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (((♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖)))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))
20	9, 19	mpand 695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))
21	20	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))))
22	4, 5, 21	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))))
23	22	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2)))
24	23	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2)))
25	24	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))
26	25	ralimdva 3141	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))2 ≤ (♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2))
27	3, 26	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(♯‘(𝐼‘(𝐹‘𝑖))) = 2)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3438   class class class wbr 5095  dom cdm 5623  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  2c2 12201  ℕ₀^*cxnn0 12475  ..^cfzo 13575  ♯chash 14255  Word cword 14438  iEdgciedg 28960  UPGraphcupgr 29043  Walkscwlks 29560  Pathscpths 29673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14256  df-word 14439  df-uhgr 29021  df-upgr 29045  df-wlks 29563  df-trls 29654  df-pths 29677

This theorem is referenced by: (None)