Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pthhashvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthhashvtx 32598
 Description: A graph containing a path has at least as many vertices as there are edges in the path. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
pthhashvtx.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
pthhashvtx (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))

Proof of Theorem pthhashvtx
StepHypRef Expression
1 hashfz0 13836 . . . 4 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) = (((♯‘𝐹) − 1) + 1))
2 pthiswlk 27608 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 wlkcl 27497 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5 nn0cn 11937 . . . . 5 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
6 npcan1 11096 . . . . 5 ((♯‘𝐹) ∈ ℂ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
74, 5, 63syl 18 . . . 4 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
81, 7sylan9eqr 2816 . . 3 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) = (♯‘𝐹))
9 pthhashvtx.1 . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
109wlkp 27498 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
112, 10syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
1211ffnd 6500 . . . . 5 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
13 fzfi 13382 . . . . 5 (0...((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin
14 resfnfinfin 8830 . . . . 5 ((𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)) ∧ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin)
1512, 13, 14sylancl 590 . . . 4 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin)
16 simpr 489 . . . . 5 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
17 fzssp1 12992 . . . . . . . 8 (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1))
187oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
1917, 18sseqtrid 3945 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
2011, 19fssresd 6531 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
2120adantr 485 . . . . 5 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
22 fz1ssfz0 13045 . . . . . . . . 9 (1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1))
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
2420, 23fssresd 6531 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
25 ispth 27604 . . . . . . . . 9 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
2625simp2bi 1144 . . . . . . . 8 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
27 nn0z 12037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
28 fzoval 13081 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
304, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
3130reseq2d 5824 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
32 resabs1 5854 . . . . . . . . . . . 12 ((1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
3322, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
3431, 33eqtr4di 2812 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
3534cnveqd 5716 . . . . . . . . 9 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
3635funeqd 6358 . . . . . . . 8 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ Fun ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))))
3726, 36mpbid 235 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
38 df-f1 6341 . . . . . . 7 (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1𝑉 ↔ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉 ∧ Fun ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))))
3924, 37, 38sylanbrc 587 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1𝑉)
4039adantr 485 . . . . 5 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1𝑉)
41 snsspr1 4705 . . . . . . . 8 {0} ⊆ {0, (♯‘𝐹)}
42 imass2 5938 . . . . . . . 8 ({0} ⊆ {0, (♯‘𝐹)} → (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})
44 0elfz 13046 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
4544snssd 4700 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → {0} ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
46 resima2 5859 . . . . . . . 8 ({0} ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) = (𝑃 “ {0}))
47 sseq1 3918 . . . . . . . 8 (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) = (𝑃 “ {0}) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ↔ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})))
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . 7 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ↔ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})))
4943, 48mpbiri 261 . . . . . 6 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}))
50 resima2 5859 . . . . . . . . . 10 ((1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
5122, 50ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
5230imaeq2d 5902 . . . . . . . . 9 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
5351, 52eqtr4id 2813 . . . . . . . 8 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
5453ineq2d 4118 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
5525simp3bi 1145 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
5654, 55eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
57 ssdisj 4357 . . . . . 6 ((((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
5849, 56, 57syl2anr 600 . . . . 5 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
5916, 21, 40, 58f1resfz0f1d 32582 . . . 4 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1𝑉)
609fvexi 6673 . . . . 5 𝑉 ∈ V
61 hashf1dmcdm 32577 . . . . 5 (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1𝑉) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
6260, 61mp3an2 1447 . . . 4 (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin ∧ (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1𝑉) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
6315, 59, 62syl2an2r 685 . . 3 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
648, 63eqbrtrrd 5057 . 2 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
65 0nn0m1nnn0 32572 . . . . 5 ((♯‘𝐹) = 0 ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0))
6665biimpri 231 . . . 4 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) = 0)
674, 66sylan 584 . . 3 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) = 0)
68 hashge0 13791 . . . 4 (𝑉 ∈ V → 0 ≤ (♯‘𝑉))
6960, 68ax-mp 5 . . 3 0 ≤ (♯‘𝑉)
7067, 69eqbrtrdi 5072 . 2 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
7164, 70pm2.61dan 813 1 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  {csn 4523  {cpr 4525   class class class wbr 5033  ◡ccnv 5524   ↾ cres 5527   “ cima 5528  Fun wfun 6330   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  –1-1→wf1 6333  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Fincfn 8528  ℂcc 10566  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571   ≤ cle 10707   − cmin 10901  ℕ0cn0 11927  ℤcz 12013  ...cfz 12932  ..^cfzo 13075  ♯chash 13733  Vtxcvtx 26881  Walkscwlks 27478  Trailsctrls 27572  Pathscpths 27593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-dju 9356  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-n0 11928  df-xnn0 12000  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-hash 13734  df-word 13907  df-wlks 27481  df-trls 27574  df-pths 27597 This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  32602  acycgr1v  32620
 Copyright terms: Public domain W3C validator