Theorem pthhashvtx 32598

Description: A graph containing a path has at least as many vertices as there are edges in the path. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
pthhashvtx.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pthhashvtx	⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))

Proof of Theorem pthhashvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfz0 13836	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) = (((♯‘𝐹) − 1) + 1))
2		pthiswlk 27608	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		wlkcl 27497	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5		nn0cn 11937	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
6		npcan1 11096	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℂ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
8	1, 7	sylan9eqr 2816	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) = (♯‘𝐹))
9		pthhashvtx.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	9	wlkp 27498	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
11	2, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
12	11	ffnd 6500	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
13		fzfi 13382	. . . . 5 ⊢ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin
14		resfnfinfin 8830	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)) ∧ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin)
15	12, 13, 14	sylancl 590	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin)
16		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
17		fzssp1 12992	. . . . . . . 8 ⊢ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1))
18	7	oveq2d 7167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
19	17, 18	sseqtrid 3945	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
20	11, 19	fssresd 6531	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
21	20	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
22		fz1ssfz0 13045	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1))
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
24	20, 23	fssresd 6531	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
25		ispth 27604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
26	25	simp2bi 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
27		nn0z 12037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
28		fzoval 13081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
30	4, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
31	30	reseq2d 5824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
32		resabs1 5854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
33	22, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
34	31, 33	eqtr4di 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
35	34	cnveqd 5716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ◡((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
36	35	funeqd 6358	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ Fun ◡((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))))
37	26, 36	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
38		df-f1 6341	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉 ↔ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉 ∧ Fun ◡((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))))
39	24, 37, 38	sylanbrc 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉)
40	39	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉)
41		snsspr1 4705	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ⊆ {0, (♯‘𝐹)}
42		imass2 5938	. . . . . . . 8 ⊢ ({0} ⊆ {0, (♯‘𝐹)} → (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})
44		0elfz 13046	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
45	44	snssd 4700	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → {0} ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
46		resima2 5859	. . . . . . . 8 ⊢ ({0} ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) = (𝑃 “ {0}))
47		sseq1 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) = (𝑃 “ {0}) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ↔ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})))
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ↔ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})))
49	43, 48	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}))
50		resima2 5859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
51	22, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
52	30	imaeq2d 5902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
53	51, 52	eqtr4id 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
54	53	ineq2d 4118	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
55	25	simp3bi 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
56	54, 55	eqtrd 2794	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
57		ssdisj 4357	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
58	49, 56, 57	syl2anr 600	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
59	16, 21, 40, 58	f1resfz0f1d 32582	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉)
60	9	fvexi 6673	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
61		hashf1dmcdm 32577	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
62	60, 61	mp3an2 1447	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin ∧ (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
63	15, 59, 62	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
64	8, 63	eqbrtrrd 5057	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
65		0nn0m1nnn0 32572	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0))
66	65	biimpri 231	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) = 0)
67	4, 66	sylan 584	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) = 0)
68		hashge0 13791	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → 0 ≤ (♯‘𝑉))
69	60, 68	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ≤ (♯‘𝑉)
70	67, 69	eqbrtrdi 5072	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
71	64, 70	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  ∅c0 4226  {csn 4523  {cpr 4525   class class class wbr 5033  ^◡ccnv 5524   ↾ cres 5527   “ cima 5528  Fun wfun 6330   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  –1-1→wf1 6333  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Fincfn 8528  ℂcc 10566  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571   ≤ cle 10707   − cmin 10901  ℕ₀cn0 11927  ℤcz 12013  ...cfz 12932  ..^cfzo 13075  ♯chash 13733  Vtxcvtx 26881  Walkscwlks 27478  Trailsctrls 27572  Pathscpths 27593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-dju 9356  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-n0 11928  df-xnn0 12000  df-z 12014  df-uz 12276  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-hash 13734  df-word 13907  df-wlks 27481  df-trls 27574  df-pths 27597

This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  32602  acycgr1v  32620