Theorem pthhashvtx 33089

Description: A graph containing a path has at least as many vertices as there are edges in the path. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
pthhashvtx.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pthhashvtx	⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))

Proof of Theorem pthhashvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfz0 14147	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) = (((♯‘𝐹) − 1) + 1))
2		pthiswlk 28095	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		wlkcl 27982	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5		nn0cn 12243	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
6		npcan1 11400	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℂ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
8	1, 7	sylan9eqr 2800	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) = (♯‘𝐹))
9		pthhashvtx.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	9	wlkp 27983	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
11	2, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
12	11	ffnd 6601	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
13		fzfi 13692	. . . . 5 ⊢ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin
14		resfnfinfin 9099	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)) ∧ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin)
15	12, 13, 14	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin)
16		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
17		fzssp1 13299	. . . . . . . 8 ⊢ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1))
18	7	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
19	17, 18	sseqtrid 3973	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
20	11, 19	fssresd 6641	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
21	20	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
22		fz1ssfz0 13352	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1))
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
24	20, 23	fssresd 6641	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
25		ispth 28091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
26	25	simp2bi 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
27		nn0z 12343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
28		fzoval 13388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
30	4, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
31	30	reseq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
32		resabs1 5921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
33	22, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
34	31, 33	eqtr4di 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
35	34	cnveqd 5784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ◡((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
36	35	funeqd 6456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ Fun ◡((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))))
37	26, 36	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
38		df-f1 6438	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉 ↔ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉 ∧ Fun ◡((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))))
39	24, 37, 38	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉)
40	39	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉)
41		snsspr1 4747	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ⊆ {0, (♯‘𝐹)}
42		imass2 6010	. . . . . . . 8 ⊢ ({0} ⊆ {0, (♯‘𝐹)} → (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})
44		0elfz 13353	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
45	44	snssd 4742	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → {0} ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
46		resima2 5926	. . . . . . . 8 ⊢ ({0} ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) = (𝑃 “ {0}))
47		sseq1 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) = (𝑃 “ {0}) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ↔ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})))
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ↔ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})))
49	43, 48	mpbiri 257	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}))
50		resima2 5926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
51	22, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
52	30	imaeq2d 5969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
53	51, 52	eqtr4id 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
54	53	ineq2d 4146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
55	25	simp3bi 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
56	54, 55	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
57		ssdisj 4393	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
58	49, 56, 57	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
59	16, 21, 40, 58	f1resfz0f1d 33072	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉)
60	9	fvexi 6788	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
61		hashf1dmcdm 33076	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
62	60, 61	mp3an2 1448	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin ∧ (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
63	15, 59, 62	syl2an2r 682	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
64	8, 63	eqbrtrrd 5098	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
65		0nn0m1nnn0 33071	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0))
66	65	biimpri 227	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) = 0)
67	4, 66	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) = 0)
68		hashge0 14102	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → 0 ≤ (♯‘𝑉))
69	60, 68	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ≤ (♯‘𝑉)
70	67, 69	eqbrtrdi 5113	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
71	64, 70	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  {cpr 4563   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591   “ cima 5592  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  –1-1→wf1 6430  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Vtxcvtx 27366  Walkscwlks 27963  Trailsctrls 28058  Pathscpths 28080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-wlks 27966  df-trls 28060  df-pths 28084

This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  33093  acycgr1v  33111