Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pthhashvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthhashvtx 35111
Description: A graph containing a path has at least as many vertices as there are edges in the path. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
pthhashvtx.1 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
pthhashvtx (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))

Proof of Theorem pthhashvtx
StepHypRef Expression
1 hashfz0 14467 . . . 4 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) = (((♯‘𝐹) − 1) + 1))
2 pthiswlk 29759 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 wlkcl 29647 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5 nn0cn 12533 . . . . 5 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
6 npcan1 11685 . . . . 5 ((♯‘𝐹) ∈ ℂ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
74, 5, 63syl 18 . . . 4 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
81, 7sylan9eqr 2796 . . 3 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) = (♯‘𝐹))
9 pthhashvtx.1 . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
109wlkp 29648 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
112, 10syl 17 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
1211ffnd 6737 . . . . 5 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
13 fzfi 14009 . . . . 5 (0...((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin
14 resfnfinfin 9374 . . . . 5 ((𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)) ∧ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin)
1512, 13, 14sylancl 586 . . . 4 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin)
16 simpr 484 . . . . 5 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
17 fzssp1 13603 . . . . . . . 8 (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1))
187oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
1917, 18sseqtrid 4047 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
2011, 19fssresd 6775 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
22 fz1ssfz0 13659 . . . . . . . . 9 (1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1))
2322a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
2420, 23fssresd 6775 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
25 ispth 29755 . . . . . . . . 9 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
2625simp2bi 1145 . . . . . . . 8 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
27 nn0z 12635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
28 fzoval 13696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
304, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
3130reseq2d 5999 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
32 resabs1 6026 . . . . . . . . . . . 12 ((1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
3322, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
3431, 33eqtr4di 2792 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
3534cnveqd 5888 . . . . . . . . 9 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
3635funeqd 6589 . . . . . . . 8 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ Fun ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))))
3726, 36mpbid 232 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
38 df-f1 6567 . . . . . . 7 (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1𝑉 ↔ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉 ∧ Fun ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))))
3924, 37, 38sylanbrc 583 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1𝑉)
4039adantr 480 . . . . 5 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1𝑉)
41 snsspr1 4818 . . . . . . . 8 {0} ⊆ {0, (♯‘𝐹)}
42 imass2 6122 . . . . . . . 8 ({0} ⊆ {0, (♯‘𝐹)} → (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})
44 0elfz 13660 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
4544snssd 4813 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → {0} ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
46 resima2 6035 . . . . . . . 8 ({0} ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) = (𝑃 “ {0}))
47 sseq1 4020 . . . . . . . 8 (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) = (𝑃 “ {0}) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ↔ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})))
4845, 46, 473syl 18 . . . . . . 7 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ↔ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})))
4943, 48mpbiri 258 . . . . . 6 (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}))
50 resima2 6035 . . . . . . . . . 10 ((1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
5122, 50ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
5230imaeq2d 6079 . . . . . . . . 9 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
5351, 52eqtr4id 2793 . . . . . . . 8 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
5453ineq2d 4227 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
5525simp3bi 1146 . . . . . . 7 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
5654, 55eqtrd 2774 . . . . . 6 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
57 ssdisj 4465 . . . . . 6 ((((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
5849, 56, 57syl2anr 597 . . . . 5 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
5916, 21, 40, 58f1resfz0f1d 35097 . . . 4 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1𝑉)
609fvexi 6920 . . . . 5 𝑉 ∈ V
61 hashf1dmcdm 14479 . . . . 5 (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1𝑉) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
6260, 61mp3an2 1448 . . . 4 (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin ∧ (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1𝑉) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
6315, 59, 62syl2an2r 685 . . 3 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
648, 63eqbrtrrd 5171 . 2 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
65 0nn0m1nnn0 35096 . . . . 5 ((♯‘𝐹) = 0 ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0))
6665biimpri 228 . . . 4 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) = 0)
674, 66sylan 580 . . 3 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) = 0)
68 hashge0 14422 . . . 4 (𝑉 ∈ V → 0 ≤ (♯‘𝑉))
6960, 68ax-mp 5 . . 3 0 ≤ (♯‘𝑉)
7067, 69eqbrtrdi 5186 . 2 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
7164, 70pm2.61dan 813 1 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  c0 4338  {csn 4630  {cpr 4632   class class class wbr 5147  ccnv 5687  cres 5690  cima 5691  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  wf 6558  1-1wf1 6559  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  cle 11293  cmin 11489  0cn0 12523  cz 12610  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  chash 14365  Vtxcvtx 29027  Walkscwlks 29628  Trailsctrls 29722  Pathscpths 29744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-wlks 29631  df-trls 29724  df-pths 29748
This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  35115  acycgr1v  35133
  Copyright terms: Public domain W3C validator