Theorem pthhashvtx 35150

Description: A graph containing a path has at least as many vertices as there are edges in the path. (Contributed by BTernaryTau, 5-Oct-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
pthhashvtx.1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
pthhashvtx	⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))

Proof of Theorem pthhashvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashfz0 14450	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) = (((♯‘𝐹) − 1) + 1))
2		pthiswlk 29707	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		wlkcl 29595	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5		nn0cn 12511	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
6		npcan1 11662	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℂ → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) − 1) + 1) = (♯‘𝐹))
8	1, 7	sylan9eqr 2792	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) = (♯‘𝐹))
9		pthhashvtx.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10	9	wlkp 29596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
11	2, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
12	11	ffnd 6707	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)))
13		fzfi 13990	. . . . 5 ⊢ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin
14		resfnfinfin 9349	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 Fn (0...(♯‘𝐹)) ∧ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin)
15	12, 13, 14	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
17		fzssp1 13584	. . . . . . . 8 ⊢ (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1))
18	7	oveq2d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (0...(((♯‘𝐹) − 1) + 1)) = (0...(♯‘𝐹)))
19	17, 18	sseqtrid 4001	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (0...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...(♯‘𝐹)))
20	11, 19	fssresd 6745	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
22		fz1ssfz0 13640	. . . . . . . . 9 ⊢ (1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1))
23	22	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
24	20, 23	fssresd 6745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉)
25		ispth 29703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
26	25	simp2bi 1146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
27		nn0z 12613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
28		fzoval 13677	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
30	4, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1..^(♯‘𝐹)) = (1...((♯‘𝐹) − 1)))
31	30	reseq2d 5966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
32		resabs1 5993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
33	22, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
34	31, 33	eqtr4di 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
35	34	cnveqd 5855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) = ◡((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
36	35	funeqd 6558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ↔ Fun ◡((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))))
37	26, 36	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → Fun ◡((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
38		df-f1 6536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉 ↔ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))⟶𝑉 ∧ Fun ◡((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1)))))
39	24, 37, 38	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉)
40	39	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ↾ (1...((♯‘𝐹) − 1))):(1...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉)
41		snsspr1 4790	. . . . . . . 8 ⊢ {0} ⊆ {0, (♯‘𝐹)}
42		imass2 6089	. . . . . . . 8 ⊢ ({0} ⊆ {0, (♯‘𝐹)} → (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})
44		0elfz 13641	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
45	44	snssd 4785	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → {0} ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)))
46		resima2 6003	. . . . . . . 8 ⊢ ({0} ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) = (𝑃 “ {0}))
47		sseq1 3984	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) = (𝑃 “ {0}) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ↔ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})))
48	45, 46, 47	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ↔ (𝑃 “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)})))
49	43, 48	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}))
50		resima2 6003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0...((♯‘𝐹) − 1)) → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
51	22, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))
52	30	imaeq2d 6047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))) = (𝑃 “ (1...((♯‘𝐹) − 1))))
53	51, 52	eqtr4id 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1))) = (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹))))
54	53	ineq2d 4195	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
55	25	simp3bi 1147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
56	54, 55	eqtrd 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
57		ssdisj 4435	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ⊆ (𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
58	49, 56, 57	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ {0}) ∩ ((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) “ (1...((♯‘𝐹) − 1)))) = ∅)
59	16, 21, 40, 58	f1resfz0f1d 35136	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉)
60	9	fvexi 6890	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
61		hashf1dmcdm 14462	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ V ∧ (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
62	60, 61	mp3an2 1451	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))) ∈ Fin ∧ (𝑃 ↾ (0...((♯‘𝐹) − 1))):(0...((♯‘𝐹) − 1))–1-1→𝑉) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
63	15, 59, 62	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘(0...((♯‘𝐹) − 1))) ≤ (♯‘𝑉))
64	8, 63	eqbrtrrd 5143	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
65		0nn0m1nnn0 35135	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 ↔ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0))
66	65	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) = 0)
67	4, 66	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) = 0)
68		hashge0 14405	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → 0 ≤ (♯‘𝑉))
69	60, 68	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 ≤ (♯‘𝑉)
70	67, 69	eqbrtrdi 5158	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0) → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))
71	64, 70	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ≤ (♯‘𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601  {cpr 4603   class class class wbr 5119  ^◡ccnv 5653   ↾ cres 5656   “ cima 5657  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ...cfz 13524  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Vtxcvtx 28975  Walkscwlks 29576  Trailsctrls 29670  Pathscpths 29692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-wlks 29579  df-trls 29672  df-pths 29696

This theorem is referenced by:  usgrcyclgt2v  35153  acycgr1v  35171