Theorem pthdadjvtx 30192

Description: The adjacent vertices of a path of length at least 2 are distinct. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pthdadjvtx	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))

Proof of Theorem pthdadjvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0l 13812	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
2		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
3		pthiswlk 30189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		wlkcl 30075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5		1zzd 12649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ∈ ℤ)
6		nn0z 12639	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
7	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
8		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 < (♯‘𝐹))
9		fzolb 13721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 < (♯‘𝐹)))
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
11		0elfz 13679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
13		ax-1ne0 11193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
15	10, 12, 14	3jca 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
16	15	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
17	3, 4, 16	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
18	17	impcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
19		pthdivtx 30191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
20	2, 18, 19	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
21	20	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
22	21	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
23		fveq2 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘0))
24		fv0p1e1 12386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘1))
25	23, 24	neeq12d 3016	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = 0 → ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
27	22, 26	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
28	27	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 0 → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
29		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
30		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
31		fzo0ss1 13745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
32	31	sseli 3927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
33		fzofzp1 13820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
35		elfzoelz 13714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℂ)
37		1cnd 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 1 ∈ ℂ)
38	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
39	36, 37, 38	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
40		addn0nid 11658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → (𝐼 + 1) ≠ 𝐼)
41	40	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
42	39, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
43	30, 34, 42	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
44	43	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
45		pthdivtx 30191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
46	29, 44, 45	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
47	46	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
48	28, 47	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
49	1, 48	syl 18	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
50	49	3imp31 1129	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ...cfz 13561  ..^cfzo 13709  ♯chash 14394  Walkscwlks 30056  Pathscpths 30174

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-wlks 30059  df-trls 30154  df-pths 30178

This theorem is used by:  2pthnloop  30196  upgr3v3e3cycl  30660  upgr4cycl4dv4e  30665