MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdadjvtx Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pthdadjvtx 29025
Description: The adjacent vertices of a path of length at least 2 are distinct. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdadjvtx ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
Proof of Theorem pthdadjvtx
StepHypRef Expression
1 elfzo0l 13724 . . 3 (𝐼 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))))
2 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
3 pthiswlk 29022 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
4 wlkcl 28910 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
5 1zzd 12595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 1 ∈ β„€)
6 nn0z 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
76adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
8 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 1 < (β™―β€˜πΉ))
9 fzolb 13640 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ (1 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€ ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)))
105, 7, 8, 9syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)))
11 0elfz 13600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
13 ax-1ne0 11181 . . . . . . . . . . . . . 14 1 β‰  0
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 1 β‰  0)
1510, 12, 143jca 1128 . . . . . . . . . . . 12 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 1 β‰  0))
1615ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 1 β‰  0)))
173, 4, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 1 β‰  0)))
1817impcom 408 . . . . . . . . 9 ((1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 1 β‰  0))
19 pthdivtx 29024 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 1 β‰  0)) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜0))
202, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜0))
2120necomd 2996 . . . . . . 7 ((1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))
22213adant1 1130 . . . . . 6 ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))
23 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝐼 = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) = (π‘ƒβ€˜0))
24 fv0p1e1 12337 . . . . . . . 8 (𝐼 = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜1))
2523, 24neeq12d 3002 . . . . . . 7 (𝐼 = 0 β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
26253ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ((π‘ƒβ€˜πΌ) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
2722, 26mpbird 256 . . . . 5 ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
28273exp 1119 . . . 4 (𝐼 = 0 β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
29 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
30 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)))
31 fzo0ss1 13664 . . . . . . . . . 10 (1..^(β™―β€˜πΉ)) βŠ† (0..^(β™―β€˜πΉ))
3231sseli 3978 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝐼 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
33 fzofzp1 13731 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
35 elfzoelz 13634 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
3635zcnd 12669 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝐼 ∈ β„‚)
37 1cnd 11211 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 1 ∈ β„‚)
3813a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 1 β‰  0)
3936, 37, 383jca 1128 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐼 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0))
40 addn0nid 11636 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0) β†’ (𝐼 + 1) β‰  𝐼)
4140necomd 2996 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ 1 β‰  0) β†’ 𝐼 β‰  (𝐼 + 1))
4239, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝐼 β‰  (𝐼 + 1))
4330, 34, 423jca 1128 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 𝐼 β‰  (𝐼 + 1)))
44433ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 𝐼 β‰  (𝐼 + 1)))
45 pthdivtx 29024 . . . . . 6 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 𝐼 β‰  (𝐼 + 1))) β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
4629, 44, 45syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
47463exp 1119 . . . 4 (𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
4828, 47jaoi 855 . . 3 ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
491, 48syl 17 . 2 (𝐼 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))))
50493imp31 1112 1 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜πΌ) β‰  (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11250  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  ...cfz 13486  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  Walkscwlks 28891  Pathscpths 29007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-wlks 28894  df-trls 28987  df-pths 29011
This theorem is referenced by:  2pthnloop  29026  upgr3v3e3cycl  29471  upgr4cycl4dv4e  29476
  Copyright terms: Public domain W3C validator