MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pthdadjvtx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pthdadjvtx 27425
Description: The adjacent vertices of a path of length at least 2 are distinct. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
pthdadjvtx ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))

Proof of Theorem pthdadjvtx
StepHypRef Expression
1 elfzo0l 13117 . . 3 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
2 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
3 pthiswlk 27422 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4 wlkcl 27311 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5 1zzd 12002 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ∈ ℤ)
6 nn0z 11994 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
76adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
8 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 < (♯‘𝐹))
9 fzolb 13034 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 < (♯‘𝐹)))
105, 7, 8, 9syl3anbrc 1337 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
11 0elfz 12994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
13 ax-1ne0 10595 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ≠ 0
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
1510, 12, 143jca 1122 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
1615ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
173, 4, 163syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
1817impcom 408 . . . . . . . . 9 ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
19 pthdivtx 27424 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
202, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
2120necomd 3076 . . . . . . 7 ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
22213adant1 1124 . . . . . 6 ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
23 fveq2 6667 . . . . . . . 8 (𝐼 = 0 → (𝑃𝐼) = (𝑃‘0))
24 fv0p1e1 11749 . . . . . . . 8 (𝐼 = 0 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘1))
2523, 24neeq12d 3082 . . . . . . 7 (𝐼 = 0 → ((𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
26253ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → ((𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
2722, 26mpbird 258 . . . . 5 ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
28273exp 1113 . . . 4 (𝐼 = 0 → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
29 simp3 1132 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
30 id 22 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
31 fzo0ss1 13057 . . . . . . . . . 10 (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
3231sseli 3967 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
33 fzofzp1 13124 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
35 elfzoelz 13028 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℤ)
3635zcnd 12077 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℂ)
37 1cnd 10625 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 1 ∈ ℂ)
3813a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
3936, 37, 383jca 1122 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
40 addn0nid 11049 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → (𝐼 + 1) ≠ 𝐼)
4140necomd 3076 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
4239, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
4330, 34, 423jca 1122 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
44433ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
45 pthdivtx 27424 . . . . . 6 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
4629, 44, 45syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
47463exp 1113 . . . 4 (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
4828, 47jaoi 853 . . 3 ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
491, 48syl 17 . 2 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
50493imp31 1106 1 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  0cn0 11886  cz 11970  ...cfz 12882  ..^cfzo 13023  chash 13680  Walkscwlks 27292  Pathscpths 27407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-ifp 1057  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-wlks 27295  df-trls 27388  df-pths 27411
This theorem is referenced by:  2pthnloop  27426  upgr3v3e3cycl  27873  upgr4cycl4dv4e  27878
  Copyright terms: Public domain W3C validator