Theorem pthdadjvtx 30370

Description: The adjacent vertices of a path of length at least 2 are distinct. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pthdadjvtx	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))

Proof of Theorem pthdadjvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0l 13931	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
2		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
3		pthiswlk 30367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		wlkcl 30253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5		1zzd 12767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ∈ ℤ)
6		nn0z 12757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
7	6	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
8		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 < (♯‘𝐹))
9		fzolb 13840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 < (♯‘𝐹)))
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
11		0elfz 13798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12	11	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
13		ax-1ne0 11308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
15	10, 12, 14	3jca 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
16	15	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
17	3, 4, 16	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
18	17	impcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
19		pthdivtx 30369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
20	2, 18, 19	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
21	20	necomd 3014	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
22	21	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
23		fveq2 6916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘0))
24		fv0p1e1 12504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘1))
25	23, 24	neeq12d 3020	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = 0 → ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
27	22, 26	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
28	27	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 0 → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
29		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
30		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
31		fzo0ss1 13864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
32	31	sseli 3909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
33		fzofzp1 13939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
35		elfzoelz 13833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℂ)
37		1cnd 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 1 ∈ ℂ)
38	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
39	36, 37, 38	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
40		addn0nid 11775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → (𝐼 + 1) ≠ 𝐼)
41	40	necomd 3014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
42	39, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
43	30, 34, 42	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
44	43	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
45		pthdivtx 30369	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
46	29, 44, 45	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
47	46	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
48	28, 47	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
49	1, 48	syl 18	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
50	49	3imp31 1129	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515  Walkscwlks 30234  Pathscpths 30352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-wlks 30237  df-trls 30332  df-pths 30356

This theorem is used by:  2pthnloop  30374  upgr3v3e3cycl  30838  upgr4cycl4dv4e  30843