Theorem pthdadjvtx 30058

Description: The adjacent vertices of a path of length at least 2 are distinct. (Contributed by AV, 5-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pthdadjvtx	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))

Proof of Theorem pthdadjvtx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0l 13787	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
2		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
3		pthiswlk 30055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		wlkcl 29946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5		1zzd 12626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ∈ ℤ)
6		nn0z 12616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
7	6	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
8		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 < (♯‘𝐹))
9		fzolb 13696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ ∧ 1 < (♯‘𝐹)))
10	5, 7, 8, 9	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
11		0elfz 13654	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12	11	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
13		ax-1ne0 11170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ≠ 0
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
15	10, 12, 14	3jca 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 < (♯‘𝐹)) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
16	15	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (1 < (♯‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
17	3, 4, 16	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (1 < (♯‘𝐹) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)))
18	17	impcom 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0))
19		pthdivtx 30057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 0)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
20	2, 18, 19	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘0))
21	20	necomd 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
22	21	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
23		fveq2 6883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝑃‘𝐼) = (𝑃‘0))
24		fv0p1e1 12363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = 0 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘1))
25	23, 24	neeq12d 3019	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = 0 → ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
27	22, 26	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = 0 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
28	27	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝐼 = 0 → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
29		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
30		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
31		fzo0ss1 13720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
32	31	sseli 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
33		fzofzp1 13795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
35		elfzoelz 13689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ∈ ℂ)
37		1cnd 11203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 1 ∈ ℂ)
38	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 1 ≠ 0)
39	36, 37, 38	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0))
40		addn0nid 11635	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → (𝐼 + 1) ≠ 𝐼)
41	40	necomd 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
42	39, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))
43	30, 34, 42	3jca 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
44	43	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1)))
45		pthdivtx 30057	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 𝐼 ≠ (𝐼 + 1))) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
46	29, 44, 45	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))
47	46	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
48	28, 47	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝐼 = 0 ∨ 𝐼 ∈ (1..^(♯‘𝐹))) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
49	1, 48	syl 18	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (1 < (♯‘𝐹) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))))
50	49	3imp31 1129	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘𝐼) ≠ (𝑃‘(𝐼 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   < clt 11244  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Walkscwlks 29927  Pathscpths 30040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-wlks 29930  df-trls 30021  df-pths 30044

This theorem is referenced by:  2pthnloop  30061  upgr3v3e3cycl  30512  upgr4cycl4dv4e  30517