MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspthsnonn0vne Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wspthsnonn0vne 29160
Description: If the set of simple paths of length at least 1 between two vertices is not empty, the two vertices must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
wspthsnonn0vne ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)π‘Œ) β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
Proof of Theorem wspthsnonn0vne
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4345 . . 3 ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)π‘Œ) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)π‘Œ))
2 eqid 2732 . . . . . 6 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
32wspthnonp 29102 . . . . 5 (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)π‘Œ) β†’ ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Œ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝)))
4 wwlknon 29100 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)π‘Œ) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘Œ))
5 iswwlksn 29081 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = (𝑁 + 1))))
6 spthonisspth 28996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ 𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝)
7 spthispth 28972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(SPathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑓(Pathsβ€˜πΊ)𝑝)
8 pthiswlk 28973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(Pathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ 𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝)
9 wlklenvm1 28868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(Walksβ€˜πΊ)𝑝 β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 1))
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(Pathsβ€˜πΊ)𝑝 β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 1))
116, 7, 103syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 1))
12 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘) = (𝑁 + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 1) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
1312eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜π‘) = (𝑁 + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 1) ↔ (β™―β€˜π‘“) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
14 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))
15 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
16 pncan1 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ β„‚ β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
1817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
1914, 18eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) β†’ (β™―β€˜π‘“) = 𝑁)
20 nnne0 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 β‰  0)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) β†’ 𝑁 β‰  0)
2219, 21eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) β†’ (β™―β€˜π‘“) β‰  0)
23 spthonepeq 28998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ (β™―β€˜π‘“) = 0))
2423necon3bid 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ ↔ (β™―β€˜π‘“) β‰  0))
2522, 24syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (β™―β€˜π‘“) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) β†’ (𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))
2625expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜π‘“) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
2726com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β™―β€˜π‘“) = ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) β†’ (𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
2813, 27syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((β™―β€˜π‘) = (𝑁 + 1) β†’ ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 1) β†’ (𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))))
2928com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ ((β™―β€˜π‘“) = ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 1) β†’ ((β™―β€˜π‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))))
3011, 29mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ ((β™―β€˜π‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
3130exlimiv 1933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ ((β™―β€˜π‘) = (𝑁 + 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
3231com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜π‘) = (𝑁 + 1) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (WWalksβ€˜πΊ) ∧ (β™―β€˜π‘) = (𝑁 + 1)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
345, 33syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))))
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) β†’ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))))
3635adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Œ ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))))
3736com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) β†’ (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Œ ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))))
38373ad2ant1 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘Œ) β†’ (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Œ ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))))
3938com12 32 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Œ ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (π‘β€˜0) = 𝑋 ∧ (π‘β€˜π‘) = π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))))
404, 39biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Œ ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)π‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))))
4140impd 411 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Œ ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ ((𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)))
42413impia 1117 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ π‘Œ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)π‘Œ) ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓(𝑋(SPathsOnβ€˜πΊ)π‘Œ)𝑝)) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))
433, 42syl 17 . . . 4 (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)π‘Œ) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))
4443exlimiv 1933 . . 3 (βˆƒπ‘ 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)π‘Œ) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))
451, 44sylbi 216 . 2 ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)π‘Œ) β‰  βˆ… β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))
4645impcom 408 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)π‘Œ) β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  β™―chash 14286  Vtxcvtx 28245  Walkscwlks 28842  Pathscpths 28958  SPathscspths 28959  SPathsOncspthson 28961  WWalkscwwlks 29068   WWalksN cwwlksn 29069   WWalksNOn cwwlksnon 29070   WSPathsNOn cwwspthsnon 29072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-wlks 28845  df-wlkson 28846  df-trls 28938  df-trlson 28939  df-pths 28962  df-spths 28963  df-spthson 28965  df-wwlks 29073  df-wwlksn 29074  df-wwlksnon 29075  df-wspthsnon 29077
This theorem is referenced by:  wspniunwspnon  29166  usgr2wspthons3  29207
  Copyright terms: Public domain W3C validator