Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | n0 4349 |
. . 3
⊢ ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌)) |
2 | | eqid 2726 |
. . . . . 6
⊢
(Vtx‘𝐺) =
(Vtx‘𝐺) |
3 | 2 | wspthnonp 29793 |
. . . . 5
⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝))) |
4 | | wwlknon 29791 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘𝑁) = 𝑌)) |
5 | | iswwlksn 29772 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑝 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = (𝑁 + 1)))) |
6 | | spthonisspth 29687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑝) |
7 | | spthispth 29663 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝) |
8 | | pthiswlk 29664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝) |
9 | | wlklenvm1 29559 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1)) |
10 | 6, 7, 8, 9 | 4syl 19 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1)) |
11 | | oveq1 7431 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((♯‘𝑝) =
(𝑁 + 1) →
((♯‘𝑝) −
1) = ((𝑁 + 1) −
1)) |
12 | 11 | eqeq2d 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((♯‘𝑝) =
(𝑁 + 1) →
((♯‘𝑓) =
((♯‘𝑝) −
1) ↔ (♯‘𝑓)
= ((𝑁 + 1) −
1))) |
13 | | simpr 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧
(♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) →
(♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) −
1)) |
14 | | nncn 12272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℂ) |
15 | | pncan1 11688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁) |
16 | 14, 15 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁) |
17 | 16 | adantr 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧
(♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁) |
18 | 13, 17 | eqtrd 2766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧
(♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) →
(♯‘𝑓) = 𝑁) |
19 | | nnne0 12298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0) |
20 | 19 | adantr 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧
(♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → 𝑁 ≠ 0) |
21 | 18, 20 | eqnetrd 2998 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧
(♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) →
(♯‘𝑓) ≠
0) |
22 | | spthonepeq 29689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (♯‘𝑓) = 0)) |
23 | 22 | necon3bid 2975 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ (♯‘𝑓) ≠ 0)) |
24 | 21, 23 | syl5ibrcom 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧
(♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → 𝑋 ≠ 𝑌)) |
25 | 24 | expcom 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((♯‘𝑓) =
((𝑁 + 1) − 1) →
(𝑁 ∈ ℕ →
(𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → 𝑋 ≠ 𝑌))) |
26 | 25 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((♯‘𝑓) =
((𝑁 + 1) − 1) →
(𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))) |
27 | 12, 26 | biimtrdi 252 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((♯‘𝑝) =
(𝑁 + 1) →
((♯‘𝑓) =
((♯‘𝑝) −
1) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))) |
28 | 27 | com13 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))) |
29 | 10, 28 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))) |
30 | 29 | exlimiv 1926 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))) |
31 | 30 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((♯‘𝑝) =
(𝑁 + 1) →
(∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))) |
32 | 31 | adantl 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑝 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = (𝑁 + 1)) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))) |
33 | 5, 32 | biimtrdi 252 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))) |
34 | 33 | adantr 479 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐺 ∈ V) →
(𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))) |
35 | 34 | adantr 479 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐺 ∈ V) ∧
(𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))) |
36 | 35 | com12 32 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))) |
37 | 36 | 3ad2ant1 1130 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘𝑁) = 𝑌) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))) |
38 | 37 | com12 32 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐺 ∈ V) ∧
(𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘𝑁) = 𝑌) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))) |
39 | 4, 38 | biimtrid 241 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐺 ∈ V) ∧
(𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))) |
40 | 39 | impd 409 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐺 ∈ V) ∧
(𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))) |
41 | 40 | 3impia 1114 |
. . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0
∧ 𝐺 ∈ V) ∧
(𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)) |
42 | 3, 41 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)) |
43 | 42 | exlimiv 1926 |
. . 3
⊢
(∃𝑝 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)) |
44 | 1, 43 | sylbi 216 |
. 2
⊢ ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅ → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)) |
45 | 44 | impcom 406 |
1
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅) → 𝑋 ≠ 𝑌) |