Theorem wspthsnonn0vne 28282

Description: If the set of simple paths of length at least 1 between two vertices is not empty, the two vertices must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wspthsnonn0vne	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅) → 𝑋 ≠ 𝑌)

Proof of Theorem wspthsnonn0vne

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4280	. . 3 ⊢ ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌))
2		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wspthnonp 28224	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝)))
4		wwlknon 28222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘𝑁) = 𝑌))
5		iswwlksn 28203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑝 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = (𝑁 + 1))))
6		spthonisspth 28118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑝)
7		spthispth 28094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)
8		pthiswlk 28095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
9		wlklenvm1 27989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1))
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1))
11	6, 7, 10	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1))
12		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑝) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
13	12	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) ↔ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)))
14		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1))
15		nncn 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16		pncan1 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
19	14, 18	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (♯‘𝑓) = 𝑁)
20		nnne0 12007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → 𝑁 ≠ 0)
22	19, 21	eqnetrd 3011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
23		spthonepeq 28120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
24	23	necon3bid 2988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ (♯‘𝑓) ≠ 0))
25	22, 24	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → 𝑋 ≠ 𝑌))
26	25	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → 𝑋 ≠ 𝑌)))
27	26	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
28	13, 27	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
29	28	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
30	11, 29	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
31	30	exlimiv 1933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
32	31	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = (𝑁 + 1)) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
34	5, 33	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
37	36	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
38	37	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘𝑁) = 𝑌) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
39	38	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘𝑁) = 𝑌) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
40	4, 39	syl5bi 241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
41	40	impd 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
42	41	3impia 1116	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))
43	3, 42	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))
44	43	exlimiv 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑝 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))
45	1, 44	sylbi 216	. 2 ⊢ ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅ → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))
46	45	impcom 408	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅) → 𝑋 ≠ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3432  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ♯chash 14044  Vtxcvtx 27366  Walkscwlks 27963  Pathscpths 28080  SPathscspths 28081  SPathsOncspthson 28083  WWalkscwwlks 28190   WWalksN cwwlksn 28191   WWalksNOn cwwlksnon 28192   WSPathsNOn cwwspthsnon 28194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-wlks 27966  df-wlkson 27967  df-trls 28060  df-trlson 28061  df-pths 28084  df-spths 28085  df-spthson 28087  df-wwlks 28195  df-wwlksn 28196  df-wwlksnon 28197  df-wspthsnon 28199

This theorem is referenced by:  wspniunwspnon  28288  usgr2wspthons3  28329