Theorem wspthsnonn0vne 29847

Description: If the set of simple paths of length at least 1 between two vertices is not empty, the two vertices must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wspthsnonn0vne	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅) → 𝑋 ≠ 𝑌)

Proof of Theorem wspthsnonn0vne

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4316	. . 3 ⊢ ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌))
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wspthnonp 29789	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝)))
4		wwlknon 29787	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘𝑁) = 𝑌))
5		iswwlksn 29768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑝 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = (𝑁 + 1))))
6		spthonisspth 29680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑝)
7		spthispth 29654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)
8		pthiswlk 29655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
9		wlklenvm1 29550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1))
10	6, 7, 8, 9	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1))
11		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑝) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
12	11	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) ↔ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)))
13		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1))
14		nncn 12194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		pncan1 11602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	13, 17	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (♯‘𝑓) = 𝑁)
19		nnne0 12220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → 𝑁 ≠ 0)
21	18, 20	eqnetrd 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22		spthonepeq 29682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
23	22	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ (♯‘𝑓) ≠ 0))
24	21, 23	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → 𝑋 ≠ 𝑌))
25	24	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → 𝑋 ≠ 𝑌)))
26	25	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
27	12, 26	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
28	27	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
29	10, 28	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
30	29	exlimiv 1930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
31	30	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = (𝑁 + 1)) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
33	5, 32	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
36	35	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
37	36	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘𝑁) = 𝑌) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
38	37	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘𝑁) = 𝑌) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
39	4, 38	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
40	39	impd 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
41	40	3impia 1117	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))
42	3, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))
43	42	exlimiv 1930	. . 3 ⊢ (∃𝑝 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))
44	1, 43	sylbi 217	. 2 ⊢ ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅ → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))
45	44	impcom 407	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅) → 𝑋 ≠ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3447  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11405  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28923  Walkscwlks 29524  Pathscpths 29640  SPathscspths 29641  SPathsOncspthson 29643  WWalkscwwlks 29755   WWalksN cwwlksn 29756   WWalksNOn cwwlksnon 29757   WSPathsNOn cwwspthsnon 29759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-wlks 29527  df-wlkson 29528  df-trls 29620  df-trlson 29621  df-pths 29644  df-spths 29645  df-spthson 29647  df-wwlks 29760  df-wwlksn 29761  df-wwlksnon 29762  df-wspthsnon 29764

This theorem is referenced by:  wspniunwspnon  29853  usgr2wspthons3  29894