MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wspthsnonn0vne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspthsnonn0vne 27246
Description: If the set of simple paths of length at least 1 between two vertices is not empty, the two vertices must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
wspthsnonn0vne ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅) → 𝑋𝑌)

Proof of Theorem wspthsnonn0vne
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4160 . . 3 ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌))
2 eqid 2825 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
32wspthnonp 27158 . . . . 5 (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝)))
4 wwlknon 27156 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝𝑁) = 𝑌))
5 iswwlksn 27137 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑝 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = (𝑁 + 1))))
6 spthonisspth 27052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝𝑓(SPaths‘𝐺)𝑝)
7 spthispth 27028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑝𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)
8 pthiswlk 27029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
9 wlklenvm1 26919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1))
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1))
116, 7, 103syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1))
12 oveq1 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑝) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1312eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) ↔ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)))
14 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1))
15 nncn 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
16 pncan1 10778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1817adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1914, 18eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (♯‘𝑓) = 𝑁)
20 nnne0 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2120adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → 𝑁 ≠ 0)
2219, 21eqnetrd 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
23 spthonepeq 27054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
2423necon3bid 3043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑋𝑌 ↔ (♯‘𝑓) ≠ 0))
2522, 24syl5ibrcom 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝𝑋𝑌))
2625expcom 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝𝑋𝑌)))
2726com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌)))
2813, 27syl6bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
2928com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
3011, 29mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌)))
3130exlimiv 2029 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌)))
3231com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌)))
3332adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = (𝑁 + 1)) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌)))
345, 33syl6bi 245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
3534adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
3635adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
3736com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
38373ad2ant1 1167 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝𝑁) = 𝑌) → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
3938com12 32 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝𝑁) = 𝑌) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
404, 39syl5bi 234 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
4140impd 400 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌)))
42413impia 1149 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))
433, 42syl 17 . . . 4 (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))
4443exlimiv 2029 . . 3 (∃𝑝 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))
451, 44sylbi 209 . 2 ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅ → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))
4645impcom 398 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅) → 𝑋𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wex 1878  wcel 2164  wne 2999  Vcvv 3414  c0 4144   class class class wbr 4873  cfv 6123  (class class class)co 6905  cc 10250  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255  cmin 10585  cn 11350  0cn0 11618  chash 13410  Vtxcvtx 26294  Walkscwlks 26894  Pathscpths 27014  SPathscspths 27015  SPathsOncspthson 27017  WWalkscwwlks 27124   WWalksN cwwlksn 27125   WWalksNOn cwwlksnon 27126   WSPathsNOn cwwspthsnon 27128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-ifp 1090  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-wlks 26897  df-wlkson 26898  df-trls 26993  df-trlson 26994  df-pths 27018  df-spths 27019  df-spthson 27021  df-wwlks 27129  df-wwlksn 27130  df-wwlksnon 27131  df-wspthsnon 27133
This theorem is referenced by:  wspniunwspnon  27252  usgr2wspthons3  27293
  Copyright terms: Public domain W3C validator