Theorem wspthsnonn0vne 30536

Description: If the set of simple paths of length at least 1 between two vertices is not empty, the two vertices must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wspthsnonn0vne	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅) → 𝑋 ≠ 𝑌)

Proof of Theorem wspthsnonn0vne

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4303	. . 3 ⊢ ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌))
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wspthnonp 30478	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝)))
4		wwlknon 30476	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘𝑁) = 𝑌))
5		iswwlksn 30457	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑝 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = (𝑁 + 1))))
6		spthonisspth 30366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑝)
7		spthispth 30339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Paths‘𝐺)𝑝)
8		pthiswlk 30340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓(Paths‘𝐺)𝑝 → 𝑓(Walks‘𝐺)𝑝)
9		wlklenvm1 30232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1))
10	6, 7, 8, 9	4syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1))
11		oveq1 7450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑝) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
12	11	eqeq2d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) ↔ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)))
13		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1))
14		nncn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
15		pncan1 11767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
17	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	13, 17	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (♯‘𝑓) = 𝑁)
19		nnne0 12399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → 𝑁 ≠ 0)
21	18, 20	eqnetrd 3026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (♯‘𝑓) ≠ 0)
22		spthonepeq 30368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (♯‘𝑓) = 0))
23	22	necon3bid 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ (♯‘𝑓) ≠ 0))
24	21, 23	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → 𝑋 ≠ 𝑌))
25	24	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → 𝑋 ≠ 𝑌)))
26	25	com23 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
27	12, 26	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
28	27	com13 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑝) − 1) → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
29	10, 28	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
30	29	exlimiv 1965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
31	30	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑝 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑝) = (𝑁 + 1)) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
33	5, 32	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
35	34	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
36	35	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
37	36	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘𝑁) = 𝑌) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
38	37	com12 33	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘𝑁) = 𝑌) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
39	4, 38	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))))
40	39	impd 416	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌)))
41	40	3impia 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))
42	3, 41	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))
43	42	exlimiv 1965	. . 3 ⊢ (∃𝑝 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))
44	1, 43	sylbi 220	. 2 ⊢ ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅ → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 𝑌))
45	44	impcom 413	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅) → 𝑋 ≠ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   − cmin 11568  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ♯chash 14501  Vtxcvtx 29604  Walkscwlks 30207  Pathscpths 30325  SPathscspths 30326  SPathsOncspthson 30328  WWalkscwwlks 30444   WWalksN cwwlksn 30445   WWalksNOn cwwlksnon 30446   WSPathsNOn cwwspthsnon 30448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-wlks 30210  df-wlkson 30211  df-trls 30305  df-trlson 30306  df-pths 30329  df-spths 30330  df-spthson 30332  df-wwlks 30449  df-wwlksn 30450  df-wwlksnon 30451  df-wspthsnon 30453

This theorem is used by:  wspniunwspnon  30542  usgr2wspthons3  30586