Theorem spthcycl 32608

Description: A walk is a trivial path if and only if it is both a simple path and a cycle. (Contributed by BTernaryTau, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
spthcycl	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem spthcycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthistrl 27614	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		pthiswlk 27616	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		eqid 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkp 27506	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5	4	ffund 6503	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → Fun 𝑃)
6		wlklenvp1 27508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
7	6	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8		wlkv 27502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9	8	simp2d 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
10		hasheq0 13775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
11	10	biimpar 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝐹) = 0)
12	9, 11	sylan 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝐹) = 0)
13		oveq1 7158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((♯‘𝐹) + 1) = (0 + 1))
14		0p1e1 11797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
15	13, 14	eqtrdi 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((♯‘𝐹) + 1) = 1)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → ((♯‘𝐹) + 1) = 1)
17	7, 16	eqtrd 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝑃) = 1)
18	8	simp3d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
19		hashen1 13782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ≈ 1o))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ≈ 1o))
21	20	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝑃 ≈ 1o)
22	17, 21	syldan 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝑃 ≈ 1o)
23		funen1cnv 32586	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 1o) → Fun ◡𝑃)
24	5, 22, 23	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → Fun ◡𝑃)
25	2, 24	sylan 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → Fun ◡𝑃)
26		isspth 27613	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
27	26	biimpri 231	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
28	1, 25, 27	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
29		fveq2 6659	. . . . . . 7 ⊢ (0 = (♯‘𝐹) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
30	29	eqcoms 2767	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
31	12, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
32	2, 31	sylan 584	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
33		iscycl 27680	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
34	33	biimpri 231	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
35	32, 34	syldan 595	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
36	28, 35	jca 516	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
37		spthispth 27615	. . . 4 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
38	37	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
39		notnot 144	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
40		cyclnspth 27689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
41	40	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
42	41	con3dimp 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → ¬ 𝐹 ≠ ∅)
43		nne 2956	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐹 ≠ ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
44	42, 43	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
45	39, 44	sylan2 596	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
46	45	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
47	38, 46	jca 516	. 2 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅))
48	36, 47	impbii 212	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  Vcvv 3410  ∅c0 4226   class class class wbr 5033  ^◡ccnv 5524  Fun wfun 6330  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  1_oc1o 8106   ≈ cen 8525  0cc0 10576  1c1 10577   + caddc 10579  ...cfz 12940  ♯chash 13741  Vtxcvtx 26889  Walkscwlks 27486  Trailsctrls 27580  Pathscpths 27601  SPathscspths 27602  Cyclesccycls 27674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-hash 13742  df-word 13915  df-wlks 27489  df-trls 27582  df-pths 27605  df-spths 27606  df-cycls 27676

This theorem is referenced by:  pthacycspth  32636