Theorem spthcycl 30374

Description: A walk is a trivial path if and only if it is both a simple path and a cycle. (Contributed by BTernaryTau, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
spthcycl	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem spthcycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthistrl 30290	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		pthiswlk 30292	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkp 30179	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5	4	ffund 6706	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → Fun 𝑃)
6		wlklenvp1 30181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
7	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8		wlkv 30175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9	8	simp2d 1161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
10		hasheq0 14487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
11	10	biimpar 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝐹) = 0)
12	9, 11	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝐹) = 0)
13		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((♯‘𝐹) + 1) = (0 + 1))
14		0p1e1 12444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
15	13, 14	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((♯‘𝐹) + 1) = 1)
16	12, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → ((♯‘𝐹) + 1) = 1)
17	7, 16	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝑃) = 1)
18	8	simp3d 1162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
19		hashen1 14494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ≈ 1o))
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ≈ 1o))
21	20	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝑃 ≈ 1o)
22	17, 21	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝑃 ≈ 1o)
23		funen1cnv 9040	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 1o) → Fun ◡𝑃)
24	5, 22, 23	syl2an2r 698	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → Fun ◡𝑃)
25	2, 24	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → Fun ◡𝑃)
26		isspth 30289	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
27	26	biimpri 231	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
28	1, 25, 27	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
29		fveq2 6877	. . . . . . 7 ⊢ (0 = (♯‘𝐹) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
30	29	eqcoms 2769	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
31	12, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
32	2, 31	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
33		iscycl 30360	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
34	33	biimpri 231	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
35	32, 34	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
36	28, 35	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
37		spthispth 30291	. . . 4 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
38	37	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
39		notnot 143	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
40		cyclnspth 30371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
41	40	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
42	41	con3dimp 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → ¬ 𝐹 ≠ ∅)
43		nne 2960	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐹 ≠ ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
44	42, 43	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
45	39, 44	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
46	45	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
47	38, 46	jca 521	. 2 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅))
48	36, 47	impbii 212	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5650  Fun wfun 6525  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  1_oc1o 8453   ≈ cen 8954  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184  ...cfz 13620  ♯chash 14454  Vtxcvtx 29556  Walkscwlks 30159  Trailsctrls 30255  Pathscpths 30277  SPathscspths 30278  Cyclesccycls 30354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-hash 14455  df-word 14639  df-wlks 30162  df-trls 30257  df-pths 30281  df-spths 30282  df-cycls 30356

This theorem is used by:  pthacycspth  35891