Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  spthcycl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem spthcycl 34780
Description: A walk is a trivial path if and only if it is both a simple path and a cycle. (Contributed by BTernaryTau, 8-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
spthcycl ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) ↔ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃))
Proof of Theorem spthcycl
StepHypRef Expression
1 pthistrl 29567 . . . 4 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
2 pthiswlk 29569 . . . . 5 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
3 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
43wlkp 29458 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
54ffund 6731 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ Fun 𝑃)
6 wlklenvp1 29460 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
76adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
8 wlkv 29454 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
98simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ V)
10 hasheq0 14364 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ V β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = βˆ…))
1110biimpar 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) = 0)
129, 11sylan 578 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) = 0)
13 oveq1 7433 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) = 0 β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = (0 + 1))
14 0p1e1 12374 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
1513, 14eqtrdi 2784 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜πΉ) = 0 β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = 1)
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = 1)
177, 16eqtrd 2768 . . . . . . 7 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1)
188simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃 ∈ V)
19 hashen1 14371 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ V β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) = 1 ↔ 𝑃 β‰ˆ 1o))
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) = 1 ↔ 𝑃 β‰ˆ 1o))
2120biimpa 475 . . . . . . 7 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1) β†’ 𝑃 β‰ˆ 1o)
2217, 21syldan 589 . . . . . 6 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝑃 β‰ˆ 1o)
23 funen1cnv 34752 . . . . . 6 ((Fun 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 1o) β†’ Fun ◑𝑃)
245, 22, 23syl2an2r 683 . . . . 5 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ Fun ◑𝑃)
252, 24sylan 578 . . . 4 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ Fun ◑𝑃)
26 isspth 29566 . . . . 5 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
2726biimpri 227 . . . 4 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
281, 25, 27syl2an2r 683 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
29 fveq2 6902 . . . . . . 7 (0 = (β™―β€˜πΉ) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
3029eqcoms 2736 . . . . . 6 ((β™―β€˜πΉ) = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
3112, 30syl 17 . . . . 5 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
322, 31sylan 578 . . . 4 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
33 iscycl 29633 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
3433biimpri 227 . . . 4 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃)
3532, 34syldan 589 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃)
3628, 35jca 510 . 2 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃))
37 spthispth 29568 . . . 4 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
3837adantr 479 . . 3 ((𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
39 notnot 142 . . . . 5 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ Β¬ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
40 cyclnspth 29642 . . . . . . . 8 (𝐹 β‰  βˆ… β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃))
4140com12 32 . . . . . . 7 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹 β‰  βˆ… β†’ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃))
4241con3dimp 407 . . . . . 6 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Β¬ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ Β¬ 𝐹 β‰  βˆ…)
43 nne 2941 . . . . . 6 (Β¬ 𝐹 β‰  βˆ… ↔ 𝐹 = βˆ…)
4442, 43sylib 217 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Β¬ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹 = βˆ…)
4539, 44sylan2 591 . . . 4 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹 = βˆ…)
4645ancoms 457 . . 3 ((𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹 = βˆ…)
4738, 46jca 510 . 2 ((𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…))
4836, 47impbii 208 1 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) ↔ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  Vcvv 3473  βˆ…c0 4326   class class class wbr 5152  β—‘ccnv 5681  Fun wfun 6547  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1oc1o 8488   β‰ˆ cen 8969  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151  ...cfz 13526  β™―chash 14331  Vtxcvtx 28837  Walkscwlks 29438  Trailsctrls 29532  Pathscpths 29554  SPathscspths 29555  Cyclesccycls 29627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-hash 14332  df-word 14507  df-wlks 29441  df-trls 29534  df-pths 29558  df-spths 29559  df-cycls 29629
This theorem is referenced by:  pthacycspth  34808
  Copyright terms: Public domain W3C validator