Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  spthcycl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem spthcycl 34108
Description: A walk is a trivial path if and only if it is both a simple path and a cycle. (Contributed by BTernaryTau, 8-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
spthcycl ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) ↔ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃))
Proof of Theorem spthcycl
StepHypRef Expression
1 pthistrl 28971 . . . 4 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
2 pthiswlk 28973 . . . . 5 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
3 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
43wlkp 28862 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
54ffund 6718 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ Fun 𝑃)
6 wlklenvp1 28864 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
8 wlkv 28858 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
98simp2d 1143 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ V)
10 hasheq0 14319 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ V β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = βˆ…))
1110biimpar 478 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) = 0)
129, 11sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) = 0)
13 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) = 0 β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = (0 + 1))
14 0p1e1 12330 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
1513, 14eqtrdi 2788 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜πΉ) = 0 β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = 1)
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = 1)
177, 16eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1)
188simp3d 1144 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃 ∈ V)
19 hashen1 14326 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ V β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) = 1 ↔ 𝑃 β‰ˆ 1o))
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) = 1 ↔ 𝑃 β‰ˆ 1o))
2120biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1) β†’ 𝑃 β‰ˆ 1o)
2217, 21syldan 591 . . . . . 6 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝑃 β‰ˆ 1o)
23 funen1cnv 34079 . . . . . 6 ((Fun 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 1o) β†’ Fun ◑𝑃)
245, 22, 23syl2an2r 683 . . . . 5 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ Fun ◑𝑃)
252, 24sylan 580 . . . 4 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ Fun ◑𝑃)
26 isspth 28970 . . . . 5 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
2726biimpri 227 . . . 4 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
281, 25, 27syl2an2r 683 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
29 fveq2 6888 . . . . . . 7 (0 = (β™―β€˜πΉ) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
3029eqcoms 2740 . . . . . 6 ((β™―β€˜πΉ) = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
3112, 30syl 17 . . . . 5 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
322, 31sylan 580 . . . 4 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
33 iscycl 29037 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
3433biimpri 227 . . . 4 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃)
3532, 34syldan 591 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃)
3628, 35jca 512 . 2 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃))
37 spthispth 28972 . . . 4 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
3837adantr 481 . . 3 ((𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
39 notnot 142 . . . . 5 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ Β¬ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
40 cyclnspth 29046 . . . . . . . 8 (𝐹 β‰  βˆ… β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃))
4140com12 32 . . . . . . 7 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹 β‰  βˆ… β†’ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃))
4241con3dimp 409 . . . . . 6 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Β¬ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ Β¬ 𝐹 β‰  βˆ…)
43 nne 2944 . . . . . 6 (Β¬ 𝐹 β‰  βˆ… ↔ 𝐹 = βˆ…)
4442, 43sylib 217 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Β¬ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹 = βˆ…)
4539, 44sylan2 593 . . . 4 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹 = βˆ…)
4645ancoms 459 . . 3 ((𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹 = βˆ…)
4738, 46jca 512 . 2 ((𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…))
4836, 47impbii 208 1 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) ↔ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  Fun wfun 6534  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  1oc1o 8455   β‰ˆ cen 8932  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ...cfz 13480  β™―chash 14286  Vtxcvtx 28245  Walkscwlks 28842  Trailsctrls 28936  Pathscpths 28958  SPathscspths 28959  Cyclesccycls 29031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-wlks 28845  df-trls 28938  df-pths 28962  df-spths 28963  df-cycls 29033
This theorem is referenced by:  pthacycspth  34136
  Copyright terms: Public domain W3C validator