Theorem spthcycl 35443

Description: A walk is a trivial path if and only if it is both a simple path and a cycle. (Contributed by BTernaryTau, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
spthcycl	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem spthcycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthistrl 29869	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		pthiswlk 29871	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkp 29763	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5	4	ffund 6692	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → Fun 𝑃)
6		wlklenvp1 29765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
7	6	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8		wlkv 29759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9	8	simp2d 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
10		hasheq0 14373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
11	10	biimpar 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝐹) = 0)
12	9, 11	sylan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝐹) = 0)
13		oveq1 7399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((♯‘𝐹) + 1) = (0 + 1))
14		0p1e1 12335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
15	13, 14	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((♯‘𝐹) + 1) = 1)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → ((♯‘𝐹) + 1) = 1)
17	7, 16	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝑃) = 1)
18	8	simp3d 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
19		hashen1 14380	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ≈ 1o))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ≈ 1o))
21	20	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝑃 ≈ 1o)
22	17, 21	syldan 600	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝑃 ≈ 1o)
23		funen1cnv 35346	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 1o) → Fun ◡𝑃)
24	5, 22, 23	syl2an2r 695	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → Fun ◡𝑃)
25	2, 24	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → Fun ◡𝑃)
26		isspth 29868	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
27	26	biimpri 230	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
28	1, 25, 27	syl2an2r 695	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
29		fveq2 6863	. . . . . . 7 ⊢ (0 = (♯‘𝐹) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
30	29	eqcoms 2769	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
31	12, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
32	2, 31	sylan 589	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
33		iscycl 29937	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
34	33	biimpri 230	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
35	32, 34	syldan 600	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
36	28, 35	jca 519	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
37		spthispth 29870	. . . 4 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
38	37	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
39		notnot 142	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
40		cyclnspth 29947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
41	40	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
42	41	con3dimp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → ¬ 𝐹 ≠ ∅)
43		nne 2960	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐹 ≠ ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
44	42, 43	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
45	39, 44	sylan2 602	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
46	45	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
47	38, 46	jca 519	. 2 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅))
48	36, 47	impbii 211	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453  ∅c0 4285   class class class wbr 5099  ^◡ccnv 5644  Fun wfun 6511  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1_oc1o 8425   ≈ cen 8920  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073  ...cfz 13509  ♯chash 14340  Vtxcvtx 29143  Walkscwlks 29743  Trailsctrls 29835  Pathscpths 29856  SPathscspths 29857  Cyclesccycls 29931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1074  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-wlks 29746  df-trls 29837  df-pths 29860  df-spths 29861  df-cycls 29933

This theorem is referenced by:  pthacycspth  35471