Users' Mathboxes Mathbox for BTernaryTau < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  spthcycl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem spthcycl 34648
Description: A walk is a trivial path if and only if it is both a simple path and a cycle. (Contributed by BTernaryTau, 8-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
spthcycl ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) ↔ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃))
Proof of Theorem spthcycl
StepHypRef Expression
1 pthistrl 29491 . . . 4 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
2 pthiswlk 29493 . . . . 5 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
3 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
43wlkp 29382 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
54ffund 6715 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ Fun 𝑃)
6 wlklenvp1 29384 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = ((β™―β€˜πΉ) + 1))
8 wlkv 29378 . . . . . . . . . . 11 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
98simp2d 1140 . . . . . . . . . 10 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ V)
10 hasheq0 14328 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ V β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 0 ↔ 𝐹 = βˆ…))
1110biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) = 0)
129, 11sylan 579 . . . . . . . . 9 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (β™―β€˜πΉ) = 0)
13 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) = 0 β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = (0 + 1))
14 0p1e1 12338 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
1513, 14eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜πΉ) = 0 β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = 1)
1612, 15syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 1) = 1)
177, 16eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1)
188simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃 ∈ V)
19 hashen1 14335 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ V β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) = 1 ↔ 𝑃 β‰ˆ 1o))
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜π‘ƒ) = 1 ↔ 𝑃 β‰ˆ 1o))
2120biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜π‘ƒ) = 1) β†’ 𝑃 β‰ˆ 1o)
2217, 21syldan 590 . . . . . 6 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝑃 β‰ˆ 1o)
23 funen1cnv 34620 . . . . . 6 ((Fun 𝑃 ∧ 𝑃 β‰ˆ 1o) β†’ Fun ◑𝑃)
245, 22, 23syl2an2r 682 . . . . 5 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ Fun ◑𝑃)
252, 24sylan 579 . . . 4 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ Fun ◑𝑃)
26 isspth 29490 . . . . 5 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
2726biimpri 227 . . . 4 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
281, 25, 27syl2an2r 682 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
29 fveq2 6885 . . . . . . 7 (0 = (β™―β€˜πΉ) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
3029eqcoms 2734 . . . . . 6 ((β™―β€˜πΉ) = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
3112, 30syl 17 . . . . 5 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
322, 31sylan 579 . . . 4 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)))
33 iscycl 29557 . . . . 5 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
3433biimpri 227 . . . 4 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃)
3532, 34syldan 590 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃)
3628, 35jca 511 . 2 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) β†’ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃))
37 spthispth 29492 . . . 4 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
3837adantr 480 . . 3 ((𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
39 notnot 142 . . . . 5 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ Β¬ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃)
40 cyclnspth 29566 . . . . . . . 8 (𝐹 β‰  βˆ… β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃))
4140com12 32 . . . . . . 7 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹 β‰  βˆ… β†’ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃))
4241con3dimp 408 . . . . . 6 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Β¬ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ Β¬ 𝐹 β‰  βˆ…)
43 nne 2938 . . . . . 6 (Β¬ 𝐹 β‰  βˆ… ↔ 𝐹 = βˆ…)
4442, 43sylib 217 . . . . 5 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Β¬ Β¬ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹 = βˆ…)
4539, 44sylan2 592 . . . 4 ((𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹 = βˆ…)
4645ancoms 458 . . 3 ((𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝐹 = βˆ…)
4738, 46jca 511 . 2 ((𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…))
4836, 47impbii 208 1 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹 = βˆ…) ↔ (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668  Fun wfun 6531  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1oc1o 8460   β‰ˆ cen 8938  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  ...cfz 13490  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28764  Walkscwlks 29362  Trailsctrls 29456  Pathscpths 29478  SPathscspths 29479  Cyclesccycls 29551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-wlks 29365  df-trls 29458  df-pths 29482  df-spths 29483  df-cycls 29553
This theorem is referenced by:  pthacycspth  34676
  Copyright terms: Public domain W3C validator