Theorem spthcycl 32991

Description: A walk is a trivial path if and only if it is both a simple path and a cycle. (Contributed by BTernaryTau, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
spthcycl	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem spthcycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthistrl 27994	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		pthiswlk 27996	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkp 27886	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5	4	ffund 6588	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → Fun 𝑃)
6		wlklenvp1 27888	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8		wlkv 27882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9	8	simp2d 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
10		hasheq0 14006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
11	10	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝐹) = 0)
12	9, 11	sylan 579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝐹) = 0)
13		oveq1 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((♯‘𝐹) + 1) = (0 + 1))
14		0p1e1 12025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
15	13, 14	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((♯‘𝐹) + 1) = 1)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → ((♯‘𝐹) + 1) = 1)
17	7, 16	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝑃) = 1)
18	8	simp3d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
19		hashen1 14013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ≈ 1o))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ≈ 1o))
21	20	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝑃 ≈ 1o)
22	17, 21	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝑃 ≈ 1o)
23		funen1cnv 32960	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 1o) → Fun ◡𝑃)
24	5, 22, 23	syl2an2r 681	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → Fun ◡𝑃)
25	2, 24	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → Fun ◡𝑃)
26		isspth 27993	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
27	26	biimpri 227	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
28	1, 25, 27	syl2an2r 681	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
29		fveq2 6756	. . . . . . 7 ⊢ (0 = (♯‘𝐹) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
30	29	eqcoms 2746	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
31	12, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
32	2, 31	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
33		iscycl 28060	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
34	33	biimpri 227	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
35	32, 34	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
36	28, 35	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
37		spthispth 27995	. . . 4 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
39		notnot 142	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
40		cyclnspth 28069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
41	40	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
42	41	con3dimp 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → ¬ 𝐹 ≠ ∅)
43		nne 2946	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐹 ≠ ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
44	42, 43	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
45	39, 44	sylan2 592	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
46	45	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
47	38, 46	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅))
48	36, 47	impbii 208	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  Fun wfun 6412  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1_oc1o 8260   ≈ cen 8688  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  ...cfz 13168  ♯chash 13972  Vtxcvtx 27269  Walkscwlks 27866  Trailsctrls 27960  Pathscpths 27981  SPathscspths 27982  Cyclesccycls 28054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-wlks 27869  df-trls 27962  df-pths 27985  df-spths 27986  df-cycls 28056

This theorem is referenced by:  pthacycspth  33019