Theorem spthcycl 35093

Description: A walk is a trivial path if and only if it is both a simple path and a cycle. (Contributed by BTernaryTau, 8-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
spthcycl	⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem spthcycl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pthistrl 29671	. . . 4 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		pthiswlk 29673	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkp 29562	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
5	4	ffund 6720	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → Fun 𝑃)
6		wlklenvp1 29564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
8		wlkv 29558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
9	8	simp2d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
10		hasheq0 14384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
11	10	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝐹) = 0)
12	9, 11	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝐹) = 0)
13		oveq1 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((♯‘𝐹) + 1) = (0 + 1))
14		0p1e1 12370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
15	13, 14	eqtrdi 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → ((♯‘𝐹) + 1) = 1)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → ((♯‘𝐹) + 1) = 1)
17	7, 16	eqtrd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (♯‘𝑃) = 1)
18	8	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
19		hashen1 14391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ≈ 1o))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ≈ 1o))
21	20	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝑃) = 1) → 𝑃 ≈ 1o)
22	17, 21	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝑃 ≈ 1o)
23		funen1cnv 35061	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 1o) → Fun ◡𝑃)
24	5, 22, 23	syl2an2r 685	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → Fun ◡𝑃)
25	2, 24	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → Fun ◡𝑃)
26		isspth 29670	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
27	26	biimpri 228	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
28	1, 25, 27	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
29		fveq2 6886	. . . . . . 7 ⊢ (0 = (♯‘𝐹) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
30	29	eqcoms 2742	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) = 0 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
31	12, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
32	2, 31	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
33		iscycl 29739	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
34	33	biimpri 228	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
35	32, 34	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)
36	28, 35	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))
37		spthispth 29672	. . . 4 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
39		notnot 142	. . . . 5 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃)
40		cyclnspth 29749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
41	40	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
42	41	con3dimp 408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → ¬ 𝐹 ≠ ∅)
43		nne 2935	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐹 ≠ ∅ ↔ 𝐹 = ∅)
44	42, 43	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ ¬ ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
45	39, 44	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
46	45	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → 𝐹 = ∅)
47	38, 46	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅))
48	36, 47	impbii 209	1 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 = ∅) ↔ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  Vcvv 3463  ∅c0 4313   class class class wbr 5123  ^◡ccnv 5664  Fun wfun 6535  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  1_oc1o 8481   ≈ cen 8964  0cc0 11137  1c1 11138   + caddc 11140  ...cfz 13529  ♯chash 14351  Vtxcvtx 28941  Walkscwlks 29542  Trailsctrls 29636  Pathscpths 29658  SPathscspths 29659  Cyclesccycls 29733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14352  df-word 14535  df-wlks 29545  df-trls 29638  df-pths 29662  df-spths 29663  df-cycls 29735

This theorem is referenced by:  pthacycspth  35121