MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  upgr4cycl4dv4e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem upgr4cycl4dv4e 29132
Description: If there is a cycle of length 4 in a pseudograph, there are four (different) vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.) (Revised by AV, 13-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgr4cycl4dv4e.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
upgr4cycl4dv4e.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
upgr4cycl4dv4e ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 4) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))
Distinct variable groups:   𝐸,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐺(π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem upgr4cycl4dv4e
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclprop 28744 . . 3 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
2 pthiswlk 28678 . . . . 5 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
3 upgr4cycl4dv4e.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
43upgrwlkvtxedg 28596 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸)
5 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (π‘ƒβ€˜4))
65eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜4)))
76anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) ↔ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜4))))
8 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))
9 fzo0to42pr 13660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^4) = ({0, 1} βˆͺ {2, 3})
108, 9eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = ({0, 1} βˆͺ {2, 3}))
1110raleqdv 3314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ ({0, 1} βˆͺ {2, 3}){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸))
12 ralunb 4152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘˜ ∈ ({0, 1} βˆͺ {2, 3}){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1} {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ {2, 3} {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸))
13 c0ex 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
14 1ex 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ V
15 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜0))
16 fv0p1e1 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜1))
1715, 16preq12d 4703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 0 β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)})
1817eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 0 β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸))
19 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜1))
20 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘˜ + 1) = (1 + 1))
21 1p1e2 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 + 1) = 2
2220, 21eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘˜ + 1) = 2)
2322fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜2))
2419, 23preq12d 4703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 1 β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)})
2524eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 1 β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸))
2613, 14, 18, 25ralpr 4662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1} {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸))
27 2ex 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ V
28 3ex 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ V
29 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜2))
30 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘˜ + 1) = (2 + 1))
31 2p1e3 12296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 1) = 3
3230, 31eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘˜ + 1) = 3)
3332fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 2 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜3))
3429, 33preq12d 4703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 2 β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)})
3534eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 2 β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))
36 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 3 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘˜) = (π‘ƒβ€˜3))
37 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 3 β†’ (π‘˜ + 1) = (3 + 1))
38 3p1e4 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (3 + 1) = 4
3937, 38eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 3 β†’ (π‘˜ + 1) = 4)
4039fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 3 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1)) = (π‘ƒβ€˜4))
4136, 40preq12d 4703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 3 β†’ {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} = {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)})
4241eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 3 β†’ ({(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸))
4327, 28, 35, 42ralpr 4662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ {2, 3} {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸))
4426, 43anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘˜ ∈ {0, 1} {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ {2, 3} {(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸)))
4512, 44bitri 275 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘˜ ∈ ({0, 1} βˆͺ {2, 3}){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸)))
4611, 45bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸))))
477, 46anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸) ↔ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜4)) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸)))))
48 preq2 4696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘ƒβ€˜4) = (π‘ƒβ€˜0) β†’ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} = {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)})
4948eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘ƒβ€˜4) = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ({(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
5049eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜4) β†’ ({(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
5150anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜4) β†’ (({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
5251anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜4) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
5352adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜4)) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
54 4nn0 12433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ β„•0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 4 ∈ β„•0)
56 upgr4cycl4dv4e.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
5756wlkp 28567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰)
58 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) = (0...4))
5958feq2d 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ ↔ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰))
6059biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰))
612, 57, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰))
6261impcom 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)
63 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ β„•0 β†’ 4 ∈ β„•0)
64 0nn0 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ β„•0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ β„•0)
66 4pos 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 < 4
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ β„•0 β†’ 0 < 4)
6863, 65, 673jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 ∈ β„•0 β†’ (4 ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ 0 < 4))
69 fvffz0 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((4 ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ β„•0 ∧ 0 < 4) ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉)
7068, 69sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉)
7170ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉)
72 1nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ β„•0
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ β„•0 β†’ 1 ∈ β„•0)
74 1lt4 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 4
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ β„•0 β†’ 1 < 4)
7663, 73, 753jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 ∈ β„•0 β†’ (4 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ 1 < 4))
77 fvffz0 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((4 ∈ β„•0 ∧ 1 ∈ β„•0 ∧ 1 < 4) ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉)
7876, 77sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉)
7978ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))) β†’ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉)
80 2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ β„•0
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ∈ β„•0 β†’ 2 ∈ β„•0)
82 2lt4 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 < 4
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ∈ β„•0 β†’ 2 < 4)
8463, 81, 833jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ β„•0 β†’ (4 ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0 ∧ 2 < 4))
85 fvffz0 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((4 ∈ β„•0 ∧ 2 ∈ β„•0 ∧ 2 < 4) ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)
8684, 85sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)
8786ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))) β†’ (π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉)
88 3nn0 12432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 ∈ β„•0
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ∈ β„•0 β†’ 3 ∈ β„•0)
90 3lt4 12328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 < 4
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ∈ β„•0 β†’ 3 < 4)
9263, 89, 913jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ β„•0 β†’ (4 ∈ β„•0 ∧ 3 ∈ β„•0 ∧ 3 < 4))
93 fvffz0 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((4 ∈ β„•0 ∧ 3 ∈ β„•0 ∧ 3 < 4) ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘ƒβ€˜3) ∈ 𝑉)
9492, 93sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰) β†’ (π‘ƒβ€˜3) ∈ 𝑉)
9594ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))) β†’ (π‘ƒβ€˜3) ∈ 𝑉)
96 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))) β†’ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
97 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
98 breq2 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (1 < (β™―β€˜πΉ) ↔ 1 < 4))
9974, 98mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ 1 < (β™―β€˜πΉ))
10099ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) β†’ 1 < (β™―β€˜πΉ))
101 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) β†’ (β™―β€˜πΉ) = 4)
1028ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) β†’ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))
103 4nn 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 ∈ β„•
104 lbfzo0 13613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 ∈ (0..^4) ↔ 4 ∈ β„•)
105103, 104mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ∈ (0..^4)
106 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4) β†’ (0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ 0 ∈ (0..^4)))
107105, 106mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
108107adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4)) β†’ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
109 pthdadjvtx 28681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 0 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
110108, 109syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
111 1e0p1 12661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 = (0 + 1)
112111fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘ƒβ€˜1) = (π‘ƒβ€˜(0 + 1))
113112neeq2i 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(0 + 1)))
114110, 113sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))
115 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
116 elfzo0 13614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (2 ∈ (0..^4) ↔ (2 ∈ β„•0 ∧ 4 ∈ β„• ∧ 2 < 4))
11780, 103, 82, 116mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 ∈ (0..^4)
118 2ne0 12258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 β‰  0
119 fzo1fzo0n0 13624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (2 ∈ (1..^4) ↔ (2 ∈ (0..^4) ∧ 2 β‰  0))
120117, 118, 119mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 ∈ (1..^4)
121 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (1..^(β™―β€˜πΉ)) = (1..^4))
122120, 121eleqtrrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ 2 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)))
123 0elfz 13539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (4 ∈ β„•0 β†’ 0 ∈ (0...4))
12454, 123ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 0 ∈ (0...4)
125124, 58eleqtrrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
126118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ 2 β‰  0)
127122, 125, 1263jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (2 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 2 β‰  0))
128127adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4)) β†’ (2 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 2 β‰  0))
1291283ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (2 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 2 β‰  0))
130 pthdivtx 28680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (2 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 2 β‰  0)) β†’ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0))
131115, 129, 130syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜0))
132131necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2))
133 elfzo0 13614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (3 ∈ (0..^4) ↔ (3 ∈ β„•0 ∧ 4 ∈ β„• ∧ 3 < 4))
13488, 103, 90, 133mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 ∈ (0..^4)
135 3ne0 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 β‰  0
136 fzo1fzo0n0 13624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (3 ∈ (1..^4) ↔ (3 ∈ (0..^4) ∧ 3 β‰  0))
137134, 135, 136mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 ∈ (1..^4)
138137, 121eleqtrrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ 3 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)))
139135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ 3 β‰  0)
140138, 125, 1393jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (3 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 3 β‰  0))
141140adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4)) β†’ (3 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 3 β‰  0))
1421413ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (3 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 3 β‰  0))
143 pthdivtx 28680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (3 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 0 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 3 β‰  0)) β†’ (π‘ƒβ€˜3) β‰  (π‘ƒβ€˜0))
144115, 142, 143syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (π‘ƒβ€˜3) β‰  (π‘ƒβ€˜0))
145144necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜3))
146114, 132, 1453jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜3)))
147 elfzo0 13614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1 ∈ (0..^4) ↔ (1 ∈ β„•0 ∧ 4 ∈ β„• ∧ 1 < 4))
14872, 103, 74, 147mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ (0..^4)
149 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4) β†’ (1 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ 1 ∈ (0..^4)))
150148, 149mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4) β†’ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
151150adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4)) β†’ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
152 pthdadjvtx 28681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 1 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜(1 + 1)))
153151, 152syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜(1 + 1)))
154 df-2 12217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 = (1 + 1)
155154fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘ƒβ€˜2) = (π‘ƒβ€˜(1 + 1))
156155neeq2i 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ↔ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜(1 + 1)))
157153, 156sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2))
158 ax-1ne0 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 β‰  0
159 fzo1fzo0n0 13624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (1 ∈ (1..^4) ↔ (1 ∈ (0..^4) ∧ 1 β‰  0))
160148, 158, 159mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 ∈ (1..^4)
161160, 121eleqtrrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ 1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)))
162 3re 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 ∈ ℝ
163 4re 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4 ∈ ℝ
164162, 163, 90ltleii 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 ≀ 4
165 elfz2nn0 13533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (3 ∈ (0...4) ↔ (3 ∈ β„•0 ∧ 4 ∈ β„•0 ∧ 3 ≀ 4))
16688, 54, 164, 165mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 ∈ (0...4)
167166, 58eleqtrrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ 3 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
168 1re 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 ∈ ℝ
169 1lt3 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 < 3
170168, 169ltneii 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 β‰  3
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ 1 β‰  3)
172161, 167, 1713jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 3 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 1 β‰  3))
173172adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4)) β†’ (1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 3 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 1 β‰  3))
1741733ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 3 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 1 β‰  3))
175 pthdivtx 28680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (1 ∈ (1..^(β™―β€˜πΉ)) ∧ 3 ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ∧ 1 β‰  3)) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜3))
176115, 174, 175syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜3))
177 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4) β†’ (2 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ 2 ∈ (0..^4)))
178117, 177mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4) β†’ 2 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
179178adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4)) β†’ 2 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
180 pthdadjvtx 28681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ 2 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1)))
181179, 180syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1)))
182 df-3 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 = (2 + 1)
183182fveq2i 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘ƒβ€˜3) = (π‘ƒβ€˜(2 + 1))
184183neeq2i 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3) ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜(2 + 1)))
185181, 184sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3))
186157, 176, 1853jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜3) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3)))
187146, 186jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ 1 < (β™―β€˜πΉ) ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ (0..^(β™―β€˜πΉ)) = (0..^4))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜3) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3))))
18897, 100, 101, 102, 187syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜3) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3))))
189188adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜3) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3))))
190 preq2 4696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} = {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)})
191190eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ({(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸))
192191anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸)))
193 preq1 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ {𝑐, 𝑑} = {(π‘ƒβ€˜2), 𝑑})
194193eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜2), 𝑑} ∈ 𝐸))
195194anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
196192, 195anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
197 neeq2 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2)))
1981973anbi2d 1442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑)))
199 neeq2 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ↔ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2)))
200 neeq1 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ (𝑐 β‰  𝑑 ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  𝑑))
201199, 2003anbi13d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ (((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑) ↔ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  𝑑)))
202198, 201anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ ((((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) ↔ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  𝑑))))
203196, 202anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = (π‘ƒβ€˜2) β†’ (((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) ↔ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  𝑑)))))
204 preq2 4696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ {(π‘ƒβ€˜2), 𝑑} = {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)})
205204eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ ({(π‘ƒβ€˜2), 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸))
206 preq1 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} = {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)})
207206eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ ({𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
208205, 207anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ (({(π‘ƒβ€˜2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
209208anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
210 neeq2 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜3)))
2112103anbi3d 1443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜3))))
212 neeq2 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ↔ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜3)))
213 neeq2 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ ((π‘ƒβ€˜2) β‰  𝑑 ↔ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3)))
214212, 2133anbi23d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ (((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  𝑑) ↔ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜3) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3))))
215211, 214anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ ((((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  𝑑)) ↔ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜3) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3)))))
216209, 215anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 = (π‘ƒβ€˜3) β†’ (((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  𝑑))) ↔ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜3) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3))))))
217203, 216rspc2ev 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘ƒβ€˜2) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜3) ∈ 𝑉 ∧ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜3)) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜2) ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  (π‘ƒβ€˜3) ∧ (π‘ƒβ€˜2) β‰  (π‘ƒβ€˜3))))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))
21887, 95, 96, 189, 217syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))
21971, 79, 2183jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰)) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))))
220219exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ((4 ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...4)βŸΆπ‘‰) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))))))
22155, 62, 220mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))))
222221adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜4)) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))))
22353, 222sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((β™―β€˜πΉ) = 4 ∧ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃) ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜4)) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))))
224223exp31 421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜4) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))))))
225224imp4c 425 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜4)) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸))) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))))
226 preq1 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ {π‘Ž, 𝑏} = {(π‘ƒβ€˜0), 𝑏})
227226eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸))
228227anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸)))
229 preq2 4696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ {𝑑, π‘Ž} = {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)})
230229eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ({𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸 ↔ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))
231230anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)))
232228, 231anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
233 neeq1 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (π‘Ž β‰  𝑏 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏))
234 neeq1 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (π‘Ž β‰  𝑐 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐))
235 neeq1 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (π‘Ž β‰  𝑑 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑))
236233, 234, 2353anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑)))
237236anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) ↔ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))
238232, 237anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) ↔ ((({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))))
2392382rexbidv 3214 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = (π‘ƒβ€˜0) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))))
240 preq2 4696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ {(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} = {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)})
241240eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸))
242 preq1 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ {𝑏, 𝑐} = {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐})
243242eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸))
244241, 243anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ (({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ↔ ({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸)))
245244anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ((({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸))))
246 neeq2 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
2472463anbi1d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑)))
248 neeq1 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ (𝑏 β‰  𝑐 ↔ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐))
249 neeq1 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ (𝑏 β‰  𝑑 ↔ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑))
250248, 2493anbi12d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ((𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑) ↔ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))
251247, 250anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ ((((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)) ↔ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))
252245, 251anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ (((({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) ↔ ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))))
2532522rexbidv 3214 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (π‘ƒβ€˜1) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑏 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))))
254239, 253rspc2ev 3593 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ 𝑉 ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ 𝑉 ∧ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (π‘ƒβ€˜0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  𝑑) ∧ ((π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑐 ∧ (π‘ƒβ€˜1) β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))
255225, 254syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜4)) ∧ (({(π‘ƒβ€˜0), (π‘ƒβ€˜1)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜1), (π‘ƒβ€˜2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(π‘ƒβ€˜2), (π‘ƒβ€˜3)} ∈ 𝐸 ∧ {(π‘ƒβ€˜3), (π‘ƒβ€˜4)} ∈ 𝐸))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))))
25647, 255sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))))
257256expd 417 . . . . . . . . . 10 ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))))
258257com13 88 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)){(π‘ƒβ€˜π‘˜), (π‘ƒβ€˜(π‘˜ + 1))} ∈ 𝐸 β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))))
2594, 258syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))))
260259expcom 415 . . . . . . 7 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))))))
261260com23 86 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))))))
262261expd 417 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))))))
2632, 262mpcom 38 . . . 4 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))))))
264263imp 408 . . 3 ((𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (π‘ƒβ€˜0) = (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))))
2651, 264syl 17 . 2 (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ UPGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))))
2662653imp21 1115 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 4) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ 𝐸)) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βˆͺ cun 3909  {cpr 4589   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052  1c1 11053   + caddc 11055   < clt 11190   ≀ cle 11191  β„•cn 12154  2c2 12209  3c3 12210  4c4 12211  β„•0cn0 12414  ...cfz 13425  ..^cfzo 13568  β™―chash 14231  Vtxcvtx 27950  Edgcedg 28001  UPGraphcupgr 28034  Walkscwlks 28547  Pathscpths 28663  Cyclesccycls 28736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-hash 14232  df-word 14404  df-edg 28002  df-uhgr 28012  df-upgr 28036  df-wlks 28550  df-trls 28643  df-pths 28667  df-cycls 28738
This theorem is referenced by:  n4cyclfrgr  29238
  Copyright terms: Public domain W3C validator