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Theorem upgr4cycl4dv4e 27980
 Description: If there is a cycle of length 4 in a pseudograph, there are four (different) vertices in the graph which are mutually connected by edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.) (Revised by AV, 13-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
upgr4cycl4dv4e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
upgr4cycl4dv4e.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
upgr4cycl4dv4e ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑃,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem upgr4cycl4dv4e
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclprop 27592 . . 3 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2 pthiswlk 27526 . . . . 5 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 upgr4cycl4dv4e.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (Edg‘𝐺)
43upgrwlkvtxedg 27444 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸)
5 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) = 4 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘4))
65eqeq2d 2809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) = 4 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)))
76anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) = 4 → ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4))))
8 oveq2 7144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐹) = 4 → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))
9 fzo0to42pr 13122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0..^4) = ({0, 1} ∪ {2, 3})
108, 9eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐹) = 4 → (0..^(♯‘𝐹)) = ({0, 1} ∪ {2, 3}))
1110raleqdv 3364 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) = 4 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3}){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
12 ralunb 4118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3}){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (∀𝑘 ∈ {0, 1} {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸))
13 c0ex 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
14 1ex 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ V
15 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
16 fv0p1e1 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
1715, 16preq12d 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 0 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
1817eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 0 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸))
19 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
20 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = (1 + 1))
21 1p1e2 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 + 1) = 2
2220, 21eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 1 → (𝑘 + 1) = 2)
2322fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 1 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘2))
2419, 23preq12d 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 1 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
2524eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 1 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸))
2613, 14, 18, 25ralpr 4596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘 ∈ {0, 1} {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸))
27 2ex 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ V
28 3ex 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ V
29 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
30 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = (2 + 1))
31 2p1e3 11770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 + 1) = 3
3230, 31eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 2 → (𝑘 + 1) = 3)
3332fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 2 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘3))
3429, 33preq12d 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 2 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘2), (𝑃‘3)})
3534eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 2 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸))
36 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 3 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘3))
37 oveq1 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 3 → (𝑘 + 1) = (3 + 1))
38 3p1e4 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (3 + 1) = 4
3937, 38eqtrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 3 → (𝑘 + 1) = 4)
4039fveq2d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 3 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘4))
4136, 40preq12d 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 3 → {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘3), (𝑃‘4)})
4241eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 3 → ({(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸))
4327, 28, 35, 42ralpr 4596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘 ∈ {2, 3} {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸))
4426, 43anbi12i 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑘 ∈ {0, 1} {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑘 ∈ {2, 3} {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)))
4512, 44bitri 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ ({0, 1} ∪ {2, 3}){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)))
4611, 45syl6bb 290 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) = 4 → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸))))
477, 46anbi12d 633 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = 4 → (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸) ↔ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)))))
48 preq2 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃‘4) = (𝑃‘0) → {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} = {(𝑃‘3), (𝑃‘0)})
4948eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃‘4) = (𝑃‘0) → ({(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
5049eqcoms 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃‘0) = (𝑃‘4) → ({(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
5150anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃‘0) = (𝑃‘4) → (({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
5251anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃‘0) = (𝑃‘4) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))))
5352adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))))
54 4nn0 11907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℕ0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 4 ∈ ℕ0)
56 upgr4cycl4dv4e.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5756wlkp 27416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
58 oveq2 7144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝐹) = 4 → (0...(♯‘𝐹)) = (0...4))
5958feq2d 6474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((♯‘𝐹) = 4 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉𝑃:(0...4)⟶𝑉))
6059biimpcd 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → ((♯‘𝐹) = 4 → 𝑃:(0...4)⟶𝑉))
612, 57, 603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 4 → 𝑃:(0...4)⟶𝑉))
6261impcom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → 𝑃:(0...4)⟶𝑉)
63 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
64 0nn0 11903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ ℕ0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℕ0)
66 4pos 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 < 4
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ ℕ0 → 0 < 4)
6863, 65, 673jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 4))
69 fvffz0 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((4 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 4) ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
7068, 69sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
7170ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → (𝑃‘0) ∈ 𝑉)
72 1nn0 11904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℕ0
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
74 1lt4 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 4
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ ℕ0 → 1 < 4)
7663, 73, 753jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 4))
77 fvffz0 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((4 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 4) ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
7876, 77sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
7978ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → (𝑃‘1) ∈ 𝑉)
80 2nn0 11905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℕ0
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
82 2lt4 11803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 < 4
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ∈ ℕ0 → 2 < 4)
8463, 81, 833jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 4))
85 fvffz0 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((4 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 < 4) ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
8684, 85sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
8786ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → (𝑃‘2) ∈ 𝑉)
88 3nn0 11906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 ∈ ℕ0
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
90 3lt4 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 < 4
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ∈ ℕ0 → 3 < 4)
9263, 89, 913jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4))
93 fvffz0 13023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 3 < 4) ∧ 𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
9492, 93sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
9594ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → (𝑃‘3) ∈ 𝑉)
96 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
97 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
98 breq2 5035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝐹) = 4 → (1 < (♯‘𝐹) ↔ 1 < 4))
9974, 98mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐹) = 4 → 1 < (♯‘𝐹))
10099ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) → 1 < (♯‘𝐹))
101 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) → (♯‘𝐹) = 4)
1028ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) → (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))
103 4nn 11711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 ∈ ℕ
104 lbfzo0 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 ∈ (0..^4) ↔ 4 ∈ ℕ)
105103, 104mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ∈ (0..^4)
106 eleq2 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 0 ∈ (0..^4)))
107105, 106mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
108107adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
109 pthdadjvtx 27529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)))
110108, 109syl3an3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)))
111 1e0p1 12131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 = (0 + 1)
112111fveq2i 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃‘1) = (𝑃‘(0 + 1))
113112neeq2i 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(0 + 1)))
114110, 113sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
115 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
116 elfzo0 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (2 ∈ (0..^4) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ ∧ 2 < 4))
11780, 103, 82, 116mpbir3an 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 ∈ (0..^4)
118 2ne0 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 ≠ 0
119 fzo1fzo0n0 13086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (2 ∈ (1..^4) ↔ (2 ∈ (0..^4) ∧ 2 ≠ 0))
120117, 118, 119mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 ∈ (1..^4)
121 oveq2 7144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((♯‘𝐹) = 4 → (1..^(♯‘𝐹)) = (1..^4))
122120, 121eleqtrrid 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((♯‘𝐹) = 4 → 2 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
123 0elfz 13002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (4 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...4))
12454, 123ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 0 ∈ (0...4)
125124, 58eleqtrrid 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((♯‘𝐹) = 4 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
126118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((♯‘𝐹) = 4 → 2 ≠ 0)
127122, 125, 1263jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝐹) = 4 → (2 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 2 ≠ 0))
128127adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4)) → (2 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 2 ≠ 0))
1291283ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (2 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 2 ≠ 0))
130 pthdivtx 27528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (2 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 2 ≠ 0)) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0))
131115, 129, 130syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘0))
132131necomd 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2))
133 elfzo0 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (3 ∈ (0..^4) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ ∧ 3 < 4))
13488, 103, 90, 133mpbir3an 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 ∈ (0..^4)
135 3ne0 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 ≠ 0
136 fzo1fzo0n0 13086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (3 ∈ (1..^4) ↔ (3 ∈ (0..^4) ∧ 3 ≠ 0))
137134, 135, 136mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 ∈ (1..^4)
138137, 121eleqtrrid 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((♯‘𝐹) = 4 → 3 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
139135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((♯‘𝐹) = 4 → 3 ≠ 0)
140138, 125, 1393jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝐹) = 4 → (3 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 3 ≠ 0))
141140adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4)) → (3 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 3 ≠ 0))
1421413ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (3 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 3 ≠ 0))
143 pthdivtx 27528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (3 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘0))
144115, 142, 143syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘3) ≠ (𝑃‘0))
145144necomd 3042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3))
146114, 132, 1453jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)))
147 elfzo0 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (1 ∈ (0..^4) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ ∧ 1 < 4))
14872, 103, 74, 147mpbir3an 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ (0..^4)
149 eleq2 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4) → (1 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 1 ∈ (0..^4)))
150148, 149mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4) → 1 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
151150adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4)) → 1 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
152 pthdadjvtx 27529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘(1 + 1)))
153151, 152syl3an3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘(1 + 1)))
154 df-2 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 = (1 + 1)
155154fveq2i 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃‘2) = (𝑃‘(1 + 1))
156155neeq2i 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘(1 + 1)))
157153, 156sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2))
158 ax-1ne0 10598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 ≠ 0
159 fzo1fzo0n0 13086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (1 ∈ (1..^4) ↔ (1 ∈ (0..^4) ∧ 1 ≠ 0))
160148, 158, 159mpbir2an 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 ∈ (1..^4)
161160, 121eleqtrrid 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝐹) = 4 → 1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)))
162 3re 11708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 ∈ ℝ
163 4re 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4 ∈ ℝ
164162, 163, 90ltleii 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 ≤ 4
165 elfz2nn0 12996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (3 ∈ (0...4) ↔ (3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0 ∧ 3 ≤ 4))
16688, 54, 164, 165mpbir3an 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 ∈ (0...4)
167166, 58eleqtrrid 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝐹) = 4 → 3 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
168 1re 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 ∈ ℝ
169 1lt3 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 < 3
170168, 169ltneii 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 ≠ 3
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝐹) = 4 → 1 ≠ 3)
172161, 167, 1713jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((♯‘𝐹) = 4 → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 3 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 3))
173172adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4)) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 3 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 3))
1741733ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 3 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 3))
175 pthdivtx 27528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (1 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) ∧ 3 ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 1 ≠ 3)) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3))
176115, 174, 175syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3))
177 eleq2 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4) → (2 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ 2 ∈ (0..^4)))
178117, 177mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4) → 2 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
179178adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4)) → 2 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
180 pthdadjvtx 27529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ 2 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘(2 + 1)))
181179, 180syl3an3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘(2 + 1)))
182 df-3 11692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 = (2 + 1)
183182fveq2i 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃‘3) = (𝑃‘(2 + 1))
184183neeq2i 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘(2 + 1)))
185181, 184sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))
186157, 176, 1853jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
187146, 186jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 1 < (♯‘𝐹) ∧ ((♯‘𝐹) = 4 ∧ (0..^(♯‘𝐹)) = (0..^4))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))))
18897, 100, 101, 102, 187syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))))
189188adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))))
190 preq2 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 = (𝑃‘2) → {(𝑃‘1), 𝑐} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)})
191190eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (𝑃‘2) → ({(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸))
192191anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (𝑃‘2) → (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸)))
193 preq1 4629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 = (𝑃‘2) → {𝑐, 𝑑} = {(𝑃‘2), 𝑑})
194193eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (𝑃‘2) → ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸))
195194anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (𝑃‘2) → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
196192, 195anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (𝑃‘2) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))))
197 neeq2 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (𝑃‘2) → ((𝑃‘0) ≠ 𝑐 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2)))
1981973anbi2d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (𝑃‘2) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑)))
199 neeq2 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (𝑃‘2) → ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2)))
200 neeq1 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = (𝑃‘2) → (𝑐𝑑 ↔ (𝑃‘2) ≠ 𝑑))
201199, 2003anbi13d 1435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = (𝑃‘2) → (((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑) ↔ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ (𝑃‘2) ≠ 𝑑)))
202198, 201anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = (𝑃‘2) → ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ (𝑃‘2) ≠ 𝑑))))
203196, 202anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = (𝑃‘2) → (((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑))) ↔ ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ (𝑃‘2) ≠ 𝑑)))))
204 preq2 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 = (𝑃‘3) → {(𝑃‘2), 𝑑} = {(𝑃‘2), (𝑃‘3)})
205204eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 = (𝑃‘3) → ({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸))
206 preq1 4629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 = (𝑃‘3) → {𝑑, (𝑃‘0)} = {(𝑃‘3), (𝑃‘0)})
207206eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 = (𝑃‘3) → ({𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
208205, 207anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = (𝑃‘3) → (({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
209208anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = (𝑃‘3) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))))
210 neeq2 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 = (𝑃‘3) → ((𝑃‘0) ≠ 𝑑 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)))
2112103anbi3d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = (𝑃‘3) → (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3))))
212 neeq2 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 = (𝑃‘3) → ((𝑃‘1) ≠ 𝑑 ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3)))
213 neeq2 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 = (𝑃‘3) → ((𝑃‘2) ≠ 𝑑 ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))
214212, 2133anbi23d 1436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = (𝑃‘3) → (((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ (𝑃‘2) ≠ 𝑑) ↔ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))))
215211, 214anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = (𝑃‘3) → ((((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ (𝑃‘2) ≠ 𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3)))))
216209, 215anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 = (𝑃‘3) → (((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑 ∧ (𝑃‘2) ≠ 𝑑))) ↔ ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))))))
217203, 216rspc2ev 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃‘2) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘3) ∈ 𝑉 ∧ ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘3)) ∧ ((𝑃‘1) ≠ (𝑃‘2) ∧ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘3) ∧ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘3))))) → ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑))))
21887, 95, 96, 189, 217syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑))))
21971, 79, 2183jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑)))))
220219exp31 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → ((4 ∈ ℕ0𝑃:(0...4)⟶𝑉) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑)))))))
22155, 62, 220mp2and 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑))))))
222221adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑))))))
22353, 222sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((♯‘𝐹) = 4 ∧ 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃) ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑))))))
224223exp31 423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐹) = 4 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘4) → ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸)) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑))))))))
225224imp4c 427 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) = 4 → (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸))) → ((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑))))))
226 preq1 4629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = (𝑃‘0) → {𝑎, 𝑏} = {(𝑃‘0), 𝑏})
227226eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑃‘0) → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸))
228227anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑃‘0) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸)))
229 preq2 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = (𝑃‘0) → {𝑑, 𝑎} = {𝑑, (𝑃‘0)})
230229eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑃‘0) → ({𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸 ↔ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))
231230anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑃‘0) → (({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸) ↔ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)))
232228, 231anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑃‘0) → ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ↔ (({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))))
233 neeq1 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑃‘0) → (𝑎𝑏 ↔ (𝑃‘0) ≠ 𝑏))
234 neeq1 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑃‘0) → (𝑎𝑐 ↔ (𝑃‘0) ≠ 𝑐))
235 neeq1 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑃‘0) → (𝑎𝑑 ↔ (𝑃‘0) ≠ 𝑑))
236233, 234, 2353anbi123d 1433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑃‘0) → ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ↔ ((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑)))
237236anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑃‘0) → (((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))))
238232, 237anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑃‘0) → (((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))) ↔ ((({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))))
2392382rexbidv 3259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑃‘0) → (∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))) ↔ ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))))
240 preq2 4630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = (𝑃‘1) → {(𝑃‘0), 𝑏} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)})
241240eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (𝑃‘1) → ({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸))
242 preq1 4629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = (𝑃‘1) → {𝑏, 𝑐} = {(𝑃‘1), 𝑐})
243242eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (𝑃‘1) → ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸))
244241, 243anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑃‘1) → (({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ↔ ({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸)))
245244anbi1d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑃‘1) → ((({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ↔ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸))))
246 neeq2 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (𝑃‘1) → ((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
2472463anbi1d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑃‘1) → (((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ↔ ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑)))
248 neeq1 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (𝑃‘1) → (𝑏𝑐 ↔ (𝑃‘1) ≠ 𝑐))
249 neeq1 3049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = (𝑃‘1) → (𝑏𝑑 ↔ (𝑃‘1) ≠ 𝑑))
250248, 2493anbi12d 1434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = (𝑃‘1) → ((𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑) ↔ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑)))
251247, 250anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑃‘1) → ((((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)) ↔ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑))))
252245, 251anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑃‘1) → (((({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))) ↔ ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑)))))
2532522rexbidv 3259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (𝑃‘1) → (∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ 𝑏 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))) ↔ ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑)))))
254239, 253rspc2ev 3583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑃‘1) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, (𝑃‘0)} ∈ 𝐸)) ∧ (((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘0) ≠ 𝑑) ∧ ((𝑃‘1) ≠ 𝑐 ∧ (𝑃‘1) ≠ 𝑑𝑐𝑑)))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))))
255225, 254syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = 4 → (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘4)) ∧ (({(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} ∈ 𝐸) ∧ ({(𝑃‘2), (𝑃‘3)} ∈ 𝐸 ∧ {(𝑃‘3), (𝑃‘4)} ∈ 𝐸))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))))
25647, 255sylbid 243 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) = 4 → (((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))))
257256expd 419 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) = 4 → ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))))))
258257com13 88 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ∈ 𝐸 → ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) = 4 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))))))
2594, 258syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃) → ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) = 4 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))))))
260259expcom 417 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) = 4 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))))))
261260com23 86 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ((♯‘𝐹) = 4 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))))))
262261expd 419 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐺 ∈ UPGraph → ((♯‘𝐹) = 4 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))))))))
2632, 262mpcom 38 . . . 4 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (𝐺 ∈ UPGraph → ((♯‘𝐹) = 4 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))))))
264263imp 410 . . 3 ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐺 ∈ UPGraph → ((♯‘𝐹) = 4 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))))))
2651, 264syl 17 . 2 (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ UPGraph → ((♯‘𝐹) = 4 → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))))))
2662653imp21 1111 1 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉𝑑𝑉 ((({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ 𝐸 ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ 𝐸)) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∪ cun 3879  {cpr 4527   class class class wbr 5031  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℕcn 11628  2c2 11683  3c3 11684  4c4 11685  ℕ0cn0 11888  ...cfz 12888  ..^cfzo 13031  ♯chash 13689  Vtxcvtx 26799  Edgcedg 26850  UPGraphcupgr 26883  Walkscwlks 27396  Pathscpths 27511  Cyclesccycls 27584 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-dju 9317  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-hash 13690  df-word 13861  df-edg 26851  df-uhgr 26861  df-upgr 26885  df-wlks 27399  df-trls 27492  df-pths 27515  df-cycls 27586 This theorem is referenced by:  n4cyclfrgr  28086
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