MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthispth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spthispth 29759
Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthispth (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem spthispth
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2 funres11 6645 . . . 4 (Fun 𝑃 → Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
32adantl 481 . . 3 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
4 imain 6653 . . . . 5 (Fun 𝑃 → (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
5 1e0p1 12773 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
65oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 (1..^(♯‘𝐹)) = ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))
76ineq2i 4225 . . . . . . . 8 ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹))) = ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹)))
8 0z 12622 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
9 prinfzo0 13735 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))) = ∅)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))) = ∅
117, 10eqtri 2763 . . . . . . 7 ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹))) = ∅
1211imaeq2i 6078 . . . . . 6 (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = (𝑃 “ ∅)
13 ima0 6097 . . . . . 6 (𝑃 “ ∅) = ∅
1412, 13eqtri 2763 . . . . 5 (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅
154, 14eqtr3di 2790 . . . 4 (Fun 𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
1615adantl 481 . . 3 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
171, 3, 163jca 1127 . 2 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
18 isspth 29757 . 2 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
19 ispth 29756 . 2 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
2017, 18, 193imtr4i 292 1 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cin 3962  c0 4339  {cpr 4633   class class class wbr 5148  ccnv 5688  cres 5691  cima 5692  Fun wfun 6557  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  cz 12611  ..^cfzo 13691  chash 14366  Trailsctrls 29723  Pathscpths 29745  SPathscspths 29746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-trls 29725  df-pths 29749  df-spths 29750
This theorem is referenced by:  spthiswlk  29761  isspthonpth  29782  spthonpthon  29784  usgr2trlspth  29794  usgr2pthspth  29795  wspthsnonn0vne  29947  spthcycl  35114
  Copyright terms: Public domain W3C validator