Theorem spthispth 30073

Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
spthispth	⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem spthispth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		funres11 6613	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
3	2	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
4		imain 6621	. . . . 5 ⊢ (Fun ◡𝑃 → (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
5		1e0p1 12753	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
6	5	oveq1i 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) = ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))
7	6	ineq2i 4170	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹))) = ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹)))
8		0z 12597	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		prinfzo0 13723	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))) = ∅)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))) = ∅
11	7, 10	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹))) = ∅
12	11	imaeq2i 6060	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = (𝑃 “ ∅)
13		ima0 6079	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
14	12, 13	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅
15	4, 14	eqtr3di 2813	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
16	15	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
17	1, 3, 16	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
18		isspth 30071	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
19		ispth 30070	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
20	17, 18, 19	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904  ∅c0 4286  {cpr 4591   class class class wbr 5109  ^◡ccnv 5660   ↾ cres 5663   “ cima 5664  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098  ℤcz 12586  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Trailsctrls 30038  Pathscpths 30059  SPathscspths 30060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-trls 30040  df-pths 30063  df-spths 30064

This theorem is referenced by:  spthiswlk  30075  isspthonpth  30098  spthonpthon  30100  usgr2trlspth  30110  usgr2pthspth  30111  pthspthcyc  30152  wspthsnonn0vne  30266  spthcycl  35621  upgrimspths  48675