MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthispth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spthispth 26979
Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthispth (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem spthispth
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . 3 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2 funres11 6178 . . . 4 (Fun 𝑃 → Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
32adantl 474 . . 3 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
4 1e0p1 11825 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
54oveq1i 6889 . . . . . . . . 9 (1..^(♯‘𝐹)) = ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))
65ineq2i 4010 . . . . . . . 8 ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹))) = ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹)))
7 0z 11676 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
8 prinfzo0 12761 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))) = ∅)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))) = ∅
106, 9eqtri 2822 . . . . . . 7 ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹))) = ∅
1110imaeq2i 5682 . . . . . 6 (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = (𝑃 “ ∅)
12 ima0 5699 . . . . . 6 (𝑃 “ ∅) = ∅
1311, 12eqtri 2822 . . . . 5 (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅
14 imain 6186 . . . . 5 (Fun 𝑃 → (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
1513, 14syl5reqr 2849 . . . 4 (Fun 𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
1615adantl 474 . . 3 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
171, 3, 163jca 1159 . 2 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
18 isspth 26977 . 2 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
19 ispth 26976 . 2 (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
2017, 18, 193imtr4i 284 1 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cin 3769  c0 4116  {cpr 4371   class class class wbr 4844  ccnv 5312  cres 5315  cima 5316  Fun wfun 6096  cfv 6102  (class class class)co 6879  0cc0 10225  1c1 10226   + caddc 10228  cz 11665  ..^cfzo 12719  chash 13369  Trailsctrls 26942  Pathscpths 26965  SPathscspths 26966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-ifp 1087  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-hash 13370  df-word 13534  df-wlks 26848  df-trls 26944  df-pths 26969  df-spths 26970
This theorem is referenced by:  spthiswlk  26981  spthson  26994  spthonprop  26998  isspthonpth  27002  spthonpthon  27004  usgr2trlspth  27014  usgr2pthspth  27015  wspthsnonn0vne  27205
  Copyright terms: Public domain W3C validator