MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthispth Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem spthispth 29584
Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthispth (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
Proof of Theorem spthispth
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
2 funres11 6625 . . . 4 (Fun ◑𝑃 β†’ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))))
32adantl 480 . . 3 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))))
4 imain 6633 . . . . 5 (Fun ◑𝑃 β†’ (𝑃 β€œ ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))))
5 1e0p1 12749 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
65oveq1i 7426 . . . . . . . . 9 (1..^(β™―β€˜πΉ)) = ((0 + 1)..^(β™―β€˜πΉ))
76ineq2i 4203 . . . . . . . 8 ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ))) = ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ ((0 + 1)..^(β™―β€˜πΉ)))
8 0z 12599 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
9 prinfzo0 13703 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„€ β†’ ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ ((0 + 1)..^(β™―β€˜πΉ))) = βˆ…)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ ((0 + 1)..^(β™―β€˜πΉ))) = βˆ…
117, 10eqtri 2753 . . . . . . 7 ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ))) = βˆ…
1211imaeq2i 6056 . . . . . 6 (𝑃 β€œ ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = (𝑃 β€œ βˆ…)
13 ima0 6075 . . . . . 6 (𝑃 β€œ βˆ…) = βˆ…
1412, 13eqtri 2753 . . . . 5 (𝑃 β€œ ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…
154, 14eqtr3di 2780 . . . 4 (Fun ◑𝑃 β†’ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…)
1615adantl 480 . . 3 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…)
171, 3, 163jca 1125 . 2 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…))
18 isspth 29582 . 2 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
19 ispth 29581 . 2 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…))
2017, 18, 193imtr4i 291 1 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3938  βˆ…c0 4318  {cpr 4626   class class class wbr 5143  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  β„€cz 12588  ..^cfzo 13659  β™―chash 14321  Trailsctrls 29548  Pathscpths 29570  SPathscspths 29571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-trls 29550  df-pths 29574  df-spths 29575
This theorem is referenced by:  spthiswlk  29586  isspthonpth  29607  spthonpthon  29609  usgr2trlspth  29619  usgr2pthspth  29620  wspthsnonn0vne  29772  spthcycl  34796
  Copyright terms: Public domain W3C validator