Theorem spthispth 27501

Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
spthispth	⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem spthispth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		funres11 6425	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
3	2	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
4		1e0p1 12134	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
5	4	oveq1i 7160	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) = ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))
6	5	ineq2i 4185	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹))) = ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹)))
7		0z 11986	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		prinfzo0 13070	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))) = ∅)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))) = ∅
10	6, 9	eqtri 2844	. . . . . . 7 ⊢ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹))) = ∅
11	10	imaeq2i 5921	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = (𝑃 “ ∅)
12		ima0 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
13	11, 12	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅
14		imain 6433	. . . . 5 ⊢ (Fun ◡𝑃 → (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
15	13, 14	syl5reqr 2871	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
16	15	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
17	1, 3, 16	3jca 1124	. 2 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
18		isspth 27499	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
19		ispth 27498	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
20	17, 18, 19	3imtr4i 294	1 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934  ∅c0 4290  {cpr 4562   class class class wbr 5058  ^◡ccnv 5548   ↾ cres 5551   “ cima 5552  Fun wfun 6343  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  ℤcz 11975  ..^cfzo 13027  ♯chash 13684  Trailsctrls 27466  Pathscpths 27487  SPathscspths 27488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-ifp 1058  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-hash 13685  df-word 13856  df-wlks 27375  df-trls 27468  df-pths 27491  df-spths 27492

This theorem is referenced by:  spthiswlk  27503  isspthonpth  27524  spthonpthon  27526  usgr2trlspth  27536  usgr2pthspth  27537  wspthsnonn0vne  27690  spthcycl  32371