Theorem spthispth 30136

Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
spthispth	⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem spthispth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		funres11 6617	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
3	2	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
4		imain 6625	. . . . 5 ⊢ (Fun ◡𝑃 → (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
5		1e0p1 12774	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
6	5	oveq1i 7429	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) = ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))
7	6	ineq2i 4170	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹))) = ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹)))
8		0z 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		prinfzo0 13744	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))) = ∅)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))) = ∅
11	7, 10	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹))) = ∅
12	11	imaeq2i 6062	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = (𝑃 “ ∅)
13		ima0 6081	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
14	12, 13	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅
15	4, 14	eqtr3di 2815	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
16	15	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
17	1, 3, 16	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
18		isspth 30134	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
19		ispth 30133	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
20	17, 18, 19	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {cpr 4593   class class class wbr 5111  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   “ cima 5666  Fun wfun 6534  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118  ℤcz 12606  ..^cfzo 13699  ♯chash 14384  Trailsctrls 30100  Pathscpths 30122  SPathscspths 30123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-trls 30102  df-pths 30126  df-spths 30127

This theorem is used by:  spthiswlk  30138  isspthonpth  30162  spthonpthon  30164  usgr2trlspth  30174  usgr2pthspth  30175  pthspthcyc  30218  spthcycl  30219  wspthsnonn0vne  30333  upgrimspths  48733