MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthispth Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem spthispth 28972
Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthispth (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
Proof of Theorem spthispth
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
2 funres11 6622 . . . 4 (Fun ◑𝑃 β†’ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))))
32adantl 482 . . 3 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))))
4 imain 6630 . . . . 5 (Fun ◑𝑃 β†’ (𝑃 β€œ ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))))
5 1e0p1 12715 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
65oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 (1..^(β™―β€˜πΉ)) = ((0 + 1)..^(β™―β€˜πΉ))
76ineq2i 4208 . . . . . . . 8 ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ))) = ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ ((0 + 1)..^(β™―β€˜πΉ)))
8 0z 12565 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
9 prinfzo0 13667 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„€ β†’ ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ ((0 + 1)..^(β™―β€˜πΉ))) = βˆ…)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ ((0 + 1)..^(β™―β€˜πΉ))) = βˆ…
117, 10eqtri 2760 . . . . . . 7 ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ))) = βˆ…
1211imaeq2i 6055 . . . . . 6 (𝑃 β€œ ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = (𝑃 β€œ βˆ…)
13 ima0 6073 . . . . . 6 (𝑃 β€œ βˆ…) = βˆ…
1412, 13eqtri 2760 . . . . 5 (𝑃 β€œ ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…
154, 14eqtr3di 2787 . . . 4 (Fun ◑𝑃 β†’ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…)
1615adantl 482 . . 3 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…)
171, 3, 163jca 1128 . 2 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…))
18 isspth 28970 . 2 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
19 ispth 28969 . 2 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…))
2017, 18, 193imtr4i 291 1 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946  βˆ…c0 4321  {cpr 4629   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„€cz 12554  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Trailsctrls 28936  Pathscpths 28958  SPathscspths 28959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-trls 28938  df-pths 28962  df-spths 28963
This theorem is referenced by:  spthiswlk  28974  isspthonpth  28995  spthonpthon  28997  usgr2trlspth  29007  usgr2pthspth  29008  wspthsnonn0vne  29160  spthcycl  34108
  Copyright terms: Public domain W3C validator