MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthispth Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem spthispth 29492
Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthispth (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
Proof of Theorem spthispth
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ 𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃)
2 funres11 6619 . . . 4 (Fun ◑𝑃 β†’ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))))
32adantl 481 . . 3 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))))
4 imain 6627 . . . . 5 (Fun ◑𝑃 β†’ (𝑃 β€œ ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))))
5 1e0p1 12723 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
65oveq1i 7415 . . . . . . . . 9 (1..^(β™―β€˜πΉ)) = ((0 + 1)..^(β™―β€˜πΉ))
76ineq2i 4204 . . . . . . . 8 ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ))) = ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ ((0 + 1)..^(β™―β€˜πΉ)))
8 0z 12573 . . . . . . . . 9 0 ∈ β„€
9 prinfzo0 13677 . . . . . . . . 9 (0 ∈ β„€ β†’ ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ ((0 + 1)..^(β™―β€˜πΉ))) = βˆ…)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ ((0 + 1)..^(β™―β€˜πΉ))) = βˆ…
117, 10eqtri 2754 . . . . . . 7 ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ))) = βˆ…
1211imaeq2i 6051 . . . . . 6 (𝑃 β€œ ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = (𝑃 β€œ βˆ…)
13 ima0 6070 . . . . . 6 (𝑃 β€œ βˆ…) = βˆ…
1412, 13eqtri 2754 . . . . 5 (𝑃 β€œ ({0, (β™―β€˜πΉ)} ∩ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…
154, 14eqtr3di 2781 . . . 4 (Fun ◑𝑃 β†’ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…)
1615adantl 481 . . 3 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…)
171, 3, 163jca 1125 . 2 ((𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃) β†’ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…))
18 isspth 29490 . 2 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun ◑𝑃))
19 ispth 29489 . 2 (𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃 ↔ (𝐹(Trailsβ€˜πΊ)𝑃 ∧ Fun β—‘(𝑃 β†Ύ (1..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ ((𝑃 β€œ {0, (β™―β€˜πΉ)}) ∩ (𝑃 β€œ (1..^(β™―β€˜πΉ)))) = βˆ…))
2017, 18, 193imtr4i 292 1 (𝐹(SPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Pathsβ€˜πΊ)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942  βˆ…c0 4317  {cpr 4625   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„€cz 12562  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Trailsctrls 29456  Pathscpths 29478  SPathscspths 29479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-trls 29458  df-pths 29482  df-spths 29483
This theorem is referenced by:  spthiswlk  29494  isspthonpth  29515  spthonpthon  29517  usgr2trlspth  29527  usgr2pthspth  29528  wspthsnonn0vne  29680  spthcycl  34648
  Copyright terms: Public domain W3C validator