Theorem spthispth 27669

Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
spthispth	⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem spthispth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
2		funres11 6416	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
3	2	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))))
4		imain 6424	. . . . 5 ⊢ (Fun ◡𝑃 → (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))))
5		1e0p1 12223	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 = (0 + 1)
6	5	oveq1i 7182	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) = ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))
7	6	ineq2i 4100	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹))) = ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹)))
8		0z 12075	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		prinfzo0 13169	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))) = ∅)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(♯‘𝐹))) = ∅
11	7, 10	eqtri 2761	. . . . . . 7 ⊢ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹))) = ∅
12	11	imaeq2i 5901	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = (𝑃 “ ∅)
13		ima0 5919	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
14	12, 13	eqtri 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑃 “ ({0, (♯‘𝐹)} ∩ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅
15	4, 14	eqtr3di 2788	. . . 4 ⊢ (Fun ◡𝑃 → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
16	15	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅)
17	1, 3, 16	3jca 1129	. 2 ⊢ ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
18		isspth 27667	. 2 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃))
19		ispth 27666	. 2 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(♯‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (♯‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(♯‘𝐹)))) = ∅))
20	17, 18, 19	3imtr4i 295	1 ⊢ (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3842  ∅c0 4211  {cpr 4518   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5524   ↾ cres 5527   “ cima 5528  Fun wfun 6333  ‘cfv 6339  (class class class)co 7172  0cc0 10617  1c1 10618   + caddc 10620  ℤcz 12064  ..^cfzo 13126  ♯chash 13784  Trailsctrls 27634  Pathscpths 27655  SPathscspths 27656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-map 8441  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-hash 13785  df-word 13958  df-wlks 27543  df-trls 27636  df-pths 27659  df-spths 27660

This theorem is referenced by:  spthiswlk  27671  isspthonpth  27692  spthonpthon  27694  usgr2trlspth  27704  usgr2pthspth  27705  wspthsnonn0vne  27857  spthcycl  32664