Theorem repsconst 14771

Description: Construct a function mapping a half-open range of nonnegative integers to a constant, see also fconstmpt 5698. (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repsconst	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = ((0..^𝑁) × {𝑆}))

Proof of Theorem repsconst

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reps 14769	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
2		fconstmpt 5698	. 2 ⊢ ((0..^𝑁) × {𝑆}) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆)
3	1, 2	eqtr4di 2805	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = ((0..^𝑁) × {𝑆}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  {csn 4572   ↦ cmpt 5171   × cxp 5634  (class class class)co 7381  0cc0 11059  ℕ₀cn0 12467  ..^cfzo 13645   repeatS creps 14767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5380

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-reps 14768

This theorem is referenced by:  repsdf2  14777  repsw1  14782