Theorem repsf 14808

Description: The constructed function mapping a half-open range of nonnegative integers to a constant is a function. (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repsf	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝑉)

Proof of Theorem repsf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
2	1	ralrimiva 3144	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)𝑆 ∈ 𝑉)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)𝑆 ∈ 𝑉)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆)
5	4	fmpt 7130	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)𝑆 ∈ 𝑉 ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆):(0..^𝑁)⟶𝑉)
6	3, 5	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆):(0..^𝑁)⟶𝑉)
7		reps 14805	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
8	7	feq1d 6721	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝑉 ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆):(0..^𝑁)⟶𝑉))
9	6, 8	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6559  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ℕ₀cn0 12524  ..^cfzo 13691   repeatS creps 14803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-reps 14804

This theorem is referenced by:  repsw  14810  repswlen  14811  repswswrd  14819  repsco  14876