MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repsf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repsf 13925
Description: The constructed function mapping a half-open range of nonnegative integers to a constant is a function. (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repsf ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝑉)

Proof of Theorem repsf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆𝑉)
21ralrimiva 3148 . . . 4 (𝑆𝑉 → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)𝑆𝑉)
32adantr 474 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)𝑆𝑉)
4 eqid 2778 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆)
54fmpt 6646 . . 3 (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)𝑆𝑉 ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆):(0..^𝑁)⟶𝑉)
63, 5sylib 210 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆):(0..^𝑁)⟶𝑉)
7 reps 13922 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
87feq1d 6278 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝑉 ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆):(0..^𝑁)⟶𝑉))
96, 8mpbird 249 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wcel 2107  wral 3090  cmpt 4967  wf 6133  (class class class)co 6924  0cc0 10274  0cn0 11647  ..^cfzo 12789   repeatS creps 13920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-reps 13921
This theorem is referenced by:  repsw  13927  repswlen  13928  repswswrd  13936  repsco  13997
  Copyright terms: Public domain W3C validator