Theorem repsf 14725

Description: The constructed function mapping a half-open range of nonnegative integers to a constant is a function. (Contributed by AV, 4-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repsf	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝑉)

Proof of Theorem repsf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
2	1	ralrimiva 3138	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)𝑆 ∈ 𝑉)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)𝑆 ∈ 𝑉)
4		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆)
5	4	fmpt 7102	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ (0..^𝑁)𝑆 ∈ 𝑉 ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆):(0..^𝑁)⟶𝑉)
6	3, 5	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆):(0..^𝑁)⟶𝑉)
7		reps 14722	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
8	7	feq1d 6693	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝑉 ↔ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆):(0..^𝑁)⟶𝑉))
9	6, 8	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁):(0..^𝑁)⟶𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053   ↦ cmpt 5222  ⟶wf 6530  (class class class)co 7402  0cc0 11107  ℕ₀cn0 12471  ..^cfzo 13628   repeatS creps 14720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-reps 14721

This theorem is referenced by:  repsw  14727  repswlen  14728  repswswrd  14736  repsco  14793