Theorem repsdf2 14813

Description: Alternative definition of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 7-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repsdf2	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑆,𝑖   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem repsdf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repsconst 14807	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = ((0..^𝑁) × {𝑆}))
2	1	eqeq2d 2746	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
3		fconst2g 7223	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
5		fconstfv 7232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ (𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆))
6		snssi 4813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → {𝑆} ⊆ 𝑉)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑆} ⊆ 𝑉)
8	7	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ∧ {𝑆} ⊆ 𝑉))
9		fss 6753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ∧ {𝑆} ⊆ 𝑉) → 𝑊:(0..^𝑁)⟶𝑉)
10		iswrdi 14553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:(0..^𝑁)⟶𝑉 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
12		ffzo0hash 14485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 Fn (0..^𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
13	12	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) = 𝑁))
14		ffn 6737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → 𝑊 Fn (0..^𝑁))
15	13, 14	syl11 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (♯‘𝑊) = 𝑁))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (♯‘𝑊) = 𝑁))
17	16	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
18	11, 17	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
19	18	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
20	5, 19	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
21	20	expcomd 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆 → (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))))
22	21	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆) → (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
23		wrdf 14554	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
24		ffn 6737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
26	25	fneq2d 6663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
27	26	biimpd 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
28	27	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^𝑁))))
29	28	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → 𝑊 Fn (0..^𝑁))))
30	23, 24, 29	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → 𝑊 Fn (0..^𝑁))))
31	30	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → 𝑊 Fn (0..^𝑁))))
32	31	impd 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
34	22, 33	impbid 212	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆) → (𝑊 Fn (0..^𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
35	34	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆 → (𝑊 Fn (0..^𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))))
36	35	pm5.32rd 578	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆)))
37		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆))
38	36, 5, 37	3bitr4g 314	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆)))
39	2, 4, 38	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ⊆ wss 3963  {csn 4631   × cxp 5687   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ℕ₀cn0 12524  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   repeatS creps 14803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-reps 14804

This theorem is referenced by:  repswsymball  14814  repswsymballbi  14815  cshwrepswhash1  17137