MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repsdf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repsdf2 14673
Description: Alternative definition of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 7-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repsdf2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑆,𝑖   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem repsdf2
StepHypRef Expression
1 repsconst 14667 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = ((0..^𝑁) × {𝑆}))
21eqeq2d 2748 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
3 fconst2g 7157 . . 3 (𝑆𝑉 → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
43adantr 482 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
5 fconstfv 7167 . . . . . . . . 9 (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ (𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆))
6 snssi 4773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝑉 → {𝑆} ⊆ 𝑉)
76adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑆} ⊆ 𝑉)
87anim1ci 617 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ∧ {𝑆} ⊆ 𝑉))
9 fss 6690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ∧ {𝑆} ⊆ 𝑉) → 𝑊:(0..^𝑁)⟶𝑉)
10 iswrdi 14413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:(0..^𝑁)⟶𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
12 ffzo0hash 14353 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 Fn (0..^𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
1312expcom 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) = 𝑁))
14 ffn 6673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → 𝑊 Fn (0..^𝑁))
1513, 14syl11 33 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (♯‘𝑊) = 𝑁))
1615adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (♯‘𝑊) = 𝑁))
1716imp 408 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
1811, 17jca 513 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
1918ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
205, 19biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
2120expcomd 418 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆 → (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))))
2221imp 408 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
23 wrdf 14414 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
24 ffn 6673 . . . . . . . . . 10 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
2625fneq2d 6601 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
2726biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
2827a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^𝑁))))
2928com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3023, 24, 293syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3130com12 32 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3231impd 412 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
3332adantr 482 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
3422, 33impbid 211 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → (𝑊 Fn (0..^𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
3534ex 414 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆 → (𝑊 Fn (0..^𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))))
3635pm5.32rd 579 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
37 df-3an 1090 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆))
3836, 5, 373bitr4g 314 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
392, 4, 383bitr2d 307 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  wss 3915  {csn 4591   × cxp 5636   Fn wfn 6496  wf 6497  cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  0cn0 12420  ..^cfzo 13574  chash 14237  Word cword 14409   repeatS creps 14663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-reps 14664
This theorem is referenced by:  repswsymball  14674  repswsymballbi  14675  cshwrepswhash1  16982
  Copyright terms: Public domain W3C validator