MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repsdf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repsdf2 14730
Description: Alternative definition of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 7-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repsdf2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑆,𝑖   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem repsdf2
StepHypRef Expression
1 repsconst 14724 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = ((0..^𝑁) × {𝑆}))
21eqeq2d 2743 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
3 fconst2g 7206 . . 3 (𝑆𝑉 → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
43adantr 481 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
5 fconstfv 7216 . . . . . . . . 9 (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ (𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆))
6 snssi 4811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆𝑉 → {𝑆} ⊆ 𝑉)
76adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑆} ⊆ 𝑉)
87anim1ci 616 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ∧ {𝑆} ⊆ 𝑉))
9 fss 6734 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ∧ {𝑆} ⊆ 𝑉) → 𝑊:(0..^𝑁)⟶𝑉)
10 iswrdi 14470 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊:(0..^𝑁)⟶𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉)
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
12 ffzo0hash 14410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 Fn (0..^𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
1312expcom 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) = 𝑁))
14 ffn 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → 𝑊 Fn (0..^𝑁))
1513, 14syl11 33 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (♯‘𝑊) = 𝑁))
1615adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (♯‘𝑊) = 𝑁))
1716imp 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
1811, 17jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
1918ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
205, 19biimtrrid 242 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
2120expcomd 417 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆 → (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))))
2221imp 407 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
23 wrdf 14471 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
24 ffn 6717 . . . . . . . . . 10 (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
2625fneq2d 6643 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
2726biimpd 228 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
2827a1d 25 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^𝑁))))
2928com13 88 . . . . . . . . . 10 (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3023, 24, 293syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3130com12 32 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 𝑁𝑊 Fn (0..^𝑁))))
3231impd 411 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
3332adantr 481 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
3422, 33impbid 211 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) → (𝑊 Fn (0..^𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
3534ex 413 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆 → (𝑊 Fn (0..^𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))))
3635pm5.32rd 578 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
37 df-3an 1089 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆))
3836, 5, 373bitr4g 313 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
392, 4, 383bitr2d 306 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊𝑖) = 𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061  wss 3948  {csn 4628   × cxp 5674   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  0cn0 12474  ..^cfzo 13629  chash 14292  Word cword 14466   repeatS creps 14720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-word 14467  df-reps 14721
This theorem is referenced by:  repswsymball  14731  repswsymballbi  14732  cshwrepswhash1  17038
  Copyright terms: Public domain W3C validator