Theorem repsdf2 14419

Description: Alternative definition of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 7-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repsdf2	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑆,𝑖   𝑖,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑖)

Proof of Theorem repsdf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repsconst 14413	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = ((0..^𝑁) × {𝑆}))
2	1	eqeq2d 2749	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
3		fconst2g 7060	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ 𝑊 = ((0..^𝑁) × {𝑆})))
5		fconstfv 7070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ (𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆))
6		snssi 4738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → {𝑆} ⊆ 𝑉)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑆} ⊆ 𝑉)
8	7	anim1ci 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ∧ {𝑆} ⊆ 𝑉))
9		fss 6601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ∧ {𝑆} ⊆ 𝑉) → 𝑊:(0..^𝑁)⟶𝑉)
10		iswrdi 14149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊:(0..^𝑁)⟶𝑉 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
12		ffzo0hash 14089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 Fn (0..^𝑁)) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
13	12	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) = 𝑁))
14		ffn 6584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → 𝑊 Fn (0..^𝑁))
15	13, 14	syl11 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (♯‘𝑊) = 𝑁))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (♯‘𝑊) = 𝑁))
17	16	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (♯‘𝑊) = 𝑁)
18	11, 17	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆}) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))
19	18	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
20	5, 19	syl5bir 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
21	20	expcomd 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆 → (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))))
22	21	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆) → (𝑊 Fn (0..^𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
23		wrdf 14150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉)
24		ffn 6584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑉 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
25		oveq2 7263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝑁))
26	25	fneq2d 6511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
27	26	biimpd 228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
28	27	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = 𝑁 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑊 Fn (0..^𝑁))))
29	28	com13 88	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → 𝑊 Fn (0..^𝑁))))
30	23, 24, 29	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → 𝑊 Fn (0..^𝑁))))
31	30	com12 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = 𝑁 → 𝑊 Fn (0..^𝑁))))
32	31	impd 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) → 𝑊 Fn (0..^𝑁)))
34	22, 33	impbid 211	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆) → (𝑊 Fn (0..^𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁)))
35	34	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆 → (𝑊 Fn (0..^𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁))))
36	35	pm5.32rd 577	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 Fn (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆)))
37		df-3an 1087	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆) ↔ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆))
38	36, 5, 37	3bitr4g 313	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊:(0..^𝑁)⟶{𝑆} ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆)))
39	2, 4, 38	3bitr2d 306	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 = (𝑆 repeatS 𝑁) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 𝑁 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑊‘𝑖) = 𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883  {csn 4558   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  ℕ₀cn0 12163  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145   repeatS creps 14409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-reps 14410

This theorem is referenced by:  repswsymball  14420  repswsymballbi  14421  cshwrepswhash1  16732