MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revval 14102
Description: Value of the word reversing function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revval (𝑊𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem revval
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3491 . 2 (𝑊𝑉𝑊 ∈ V)
2 fveq2 6646 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
32oveq2d 7149 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
4 id 22 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
52oveq1d 7148 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
65oveq1d 7148 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
74, 6fveq12d 6653 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
83, 7mpteq12dv 5127 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
9 df-reverse 14101 . . 3 reverse = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥))))
10 ovex 7166 . . . 4 (0..^(♯‘𝑊)) ∈ V
1110mptex 6962 . . 3 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ V
128, 9, 11fvmpt 6744 . 2 (𝑊 ∈ V → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
131, 12syl 17 1 (𝑊𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3473  cmpt 5122  cfv 6331  (class class class)co 7133  0cc0 10515  1c1 10516  cmin 10848  ..^cfzo 13017  chash 13675  reversecreverse 14100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pr 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-ov 7136  df-reverse 14101
This theorem is referenced by:  revcl  14103  revlen  14104  revfv  14105  repswrevw  14129  revco  14176
  Copyright terms: Public domain W3C validator