Theorem revval 14770

Description: Value of the word reversing function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revval	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem revval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3474	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
2		fveq2 6863	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
3	2	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
5	2	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	5	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
7	4, 6	fveq12d 6870	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
8	3, 7	mpteq12dv 5186	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
9		df-reverse 14769	. . 3 ⊢ reverse = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥))))
10		ovex 7425	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ∈ V
11	10	mptex 7203	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6971	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
13	1, 12	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   − cmin 11411  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  reversecreverse 14768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-reverse 14769

This theorem is referenced by:  revcl  14771  revlen  14772  revfv  14773  repswrevw  14797  revco  14844