Theorem revval 14889

Description: Value of the word reversing function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revval	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem revval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3472	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
2		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
3	2	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
4		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
5	2	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	5	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
7	4, 6	fveq12d 6884	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
8	3, 7	mpteq12dv 5192	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
9		df-reverse 14888	. . 3 ⊢ reverse = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥))))
10		ovex 7445	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ∈ V
11	10	mptex 7221	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6985	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
13	1, 12	syl 18	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   − cmin 11522  ..^cfzo 13768  ♯chash 14454  reversecreverse 14887

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-reverse 14888

This theorem is used by:  revcl  14890  revlen  14891  revfv  14892  repswrevw  14918  revco  14965