Theorem revval 14808

Description: Value of the word reversing function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revval	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem revval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3509	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
2		fveq2 6920	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
3	2	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
5	2	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	5	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
7	4, 6	fveq12d 6927	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
8	3, 7	mpteq12dv 5257	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
9		df-reverse 14807	. . 3 ⊢ reverse = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥))))
10		ovex 7481	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ∈ V
11	10	mptex 7260	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 7029	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
13	1, 12	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   − cmin 11520  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  reversecreverse 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-reverse 14807

This theorem is referenced by:  revcl  14809  revlen  14810  revfv  14811  repswrevw  14835  revco  14883