Theorem revval 14695

Description: Value of the word reversing function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revval	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem revval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3463	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
2		fveq2 6842	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
3	2	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^(♯‘𝑊)))
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
5	2	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((♯‘𝑤) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
6	5	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
7	4, 6	fveq12d 6849	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
8	3, 7	mpteq12dv 5187	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
9		df-reverse 14694	. . 3 ⊢ reverse = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((♯‘𝑤) − 1) − 𝑥))))
10		ovex 7401	. . . 4 ⊢ (0..^(♯‘𝑊)) ∈ V
11	10	mptex 7179	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6949	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
13	1, 12	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11376  ..^cfzo 13582  ♯chash 14265  reversecreverse 14693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-reverse 14694

This theorem is referenced by:  revcl  14696  revlen  14697  revfv  14698  repswrevw  14722  revco  14769