MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revcl 14122
Description: The reverse of a word is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revcl (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)

Proof of Theorem revcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revval 14121 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
2 wrdf 13865 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
32adantr 483 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
4 simpr 487 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5 lencl 13882 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
65adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
76nn0zd 12084 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
8 fzoval 13038 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
97, 8syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
104, 9eleqtrd 2915 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
11 fznn0sub2 13013 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
1312, 9eleqtrrd 2916 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
143, 13ffvelrnd 6851 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) ∈ 𝐴)
1514fmpttd 6878 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
16 iswrdi 13864 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ Word 𝐴)
1715, 16syl 17 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ Word 𝐴)
181, 17eqeltrd 2913 1 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  cmpt 5145  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  1c1 10537  cmin 10869  0cn0 11896  cz 11980  ...cfz 12891  ..^cfzo 13032  chash 13689  Word cword 13860  reversecreverse 14119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-hash 13690  df-word 13861  df-reverse 14120
This theorem is referenced by:  revs1  14126  revccat  14127  revrev  14128  revco  14195  gsumwrev  18493  psgnuni  18626  efginvrel2  18852  efginvrel1  18853  frgp0  18885  frgpinv  18889  revpfxsfxrev  32362  swrdrevpfx  32363  revwlk  32371
  Copyright terms: Public domain W3C validator