MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revfv 14798
Description: Reverse of a word at a point. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revfv ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))

Proof of Theorem revfv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revval 14795 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
21fveq1d 6909 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))‘𝑋))
3 oveq2 7439 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋))
43fveq2d 6911 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
5 eqid 2735 . . 3 (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
6 fvex 6920 . . 3 (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 7016 . 2 (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))‘𝑋) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
82, 7sylan9eq 2795 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  cmin 11490  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549  reversecreverse 14793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-reverse 14794
This theorem is referenced by:  revs1  14800  revccat  14801  revrev  14802  revco  14870  revpfxsfxrev  35100  revwlk  35109
  Copyright terms: Public domain W3C validator