Theorem revfv 14745

Description: Reverse of a word at a point. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revfv	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))

Proof of Theorem revfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		revval 14742	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
2	1	fveq1d 6899	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))‘𝑋))
3		oveq2 7428	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋))
4	3	fveq2d 6901	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
5		eqid 2728	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
6		fvex 6910	. . 3 ⊢ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 7005	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))‘𝑋) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
8	2, 7	sylan9eq 2788	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  0cc0 11138  1c1 11139   − cmin 11474  ..^cfzo 13659  ♯chash 14321  Word cword 14496  reversecreverse 14740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-reverse 14741

This theorem is referenced by:  revs1  14747  revccat  14748  revrev  14749  revco  14817  revpfxsfxrev  34725  revwlk  34734