MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revfv 14658
Description: Reverse of a word at a point. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revfv ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑋)))

Proof of Theorem revfv
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revval 14655 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
21fveq1d 6849 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = ((π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘‹))
3 oveq2 7370 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑋))
43fveq2d 6851 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑋)))
5 eqid 2737 . . 3 (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))
6 fvex 6860 . . 3 (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑋)) ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6953 . 2 (𝑋 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ ((π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))β€˜π‘‹) = (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑋)))
82, 7sylan9eq 2797 1 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘‹) = (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   βˆ’ cmin 11392  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  Word cword 14409  reversecreverse 14653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-reverse 14654
This theorem is referenced by:  revs1  14660  revccat  14661  revrev  14662  revco  14730  revpfxsfxrev  33749  revwlk  33758
  Copyright terms: Public domain W3C validator