Theorem revfv 14715

Description: Reverse of a word at a point. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revfv	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))

Proof of Theorem revfv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		revval 14712	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
2	1	fveq1d 6884	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))‘𝑋))
3		oveq2 7410	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋))
4	3	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
5		eqid 2724	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
6		fvex 6895	. . 3 ⊢ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvmpt 6989	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))‘𝑋) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))
8	2, 7	sylan9eq 2784	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑋) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5222  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   − cmin 11443  ..^cfzo 13628  ♯chash 14291  Word cword 14466  reversecreverse 14710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-reverse 14711

This theorem is referenced by:  revs1  14717  revccat  14718  revrev  14719  revco  14787  revpfxsfxrev  34623  revwlk  34632