Theorem repswrevw 14714

Description: The reverse of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswrevw	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswrevw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repswlen 14703	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2	1	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
3	2	mpteq1d 5189	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
4		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
7	6	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) = (𝑁 − 1))
8	7	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
9		ubmelm1fzo 13683	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁))
10		elfzoelz 13579	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
11		nn0cn 12415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		zcn 12497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
15		1cnd 11131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℂ)
16	12, 14, 15	sub32d 11528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 𝑥) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
17	16	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
18	17	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
19	18	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
20	10, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
21	9, 20	mpid 44	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
22	21	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
23	8, 22	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
24		repswsymb 14701	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
25	4, 5, 23, 24	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
26	25	mpteq2dva 5192	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
27	3, 26	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
28		ovex 7393	. . 3 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
29		revval 14687	. . 3 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
30	28, 29	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
31		reps 14697	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
32	27, 30, 31	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ..^cfzo 13574  ♯chash 14257  reversecreverse 14685   repeatS creps 14695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-reverse 14686  df-reps 14696

This theorem is referenced by: (None)