MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswrevw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswrevw 13939
Description: The reverse of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswrevw ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswrevw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repswlen 13928 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
21oveq2d 6940 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
32mpteq1d 4975 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
4 simpll 757 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆𝑉)
5 simplr 759 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
61adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
76oveq1d 6939 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) = (𝑁 − 1))
87oveq1d 6939 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
9 ubmelm1fzo 12888 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁))
10 elfzoelz 12794 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
11 nn0cn 11658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
1211ad2antll 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13 zcn 11738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1413adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
15 1cnd 10373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℂ)
1612, 14, 15sub32d 10768 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝑥) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
1716eleq1d 2844 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
1817biimpd 221 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
1918ex 403 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
2010, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
219, 20mpid 44 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
2221impcom 398 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
238, 22eqeltrd 2859 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
24 repswsymb 13926 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
254, 5, 23, 24syl3anc 1439 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
2625mpteq2dva 4981 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
273, 26eqtrd 2814 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
28 ovex 6956 . . 3 (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
29 revval 13912 . . 3 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
3028, 29mp1i 13 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
31 reps 13922 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
3227, 30, 313eqtr4d 2824 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  cmpt 4967  cfv 6137  (class class class)co 6924  cc 10272  0cc0 10274  1c1 10275  cmin 10608  0cn0 11647  cz 11733  ..^cfzo 12789  chash 13441  reversecreverse 13910   repeatS creps 13920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-hash 13442  df-reverse 13911  df-reps 13921
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator