Theorem repswrevw 14835

Description: The reverse of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswrevw	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswrevw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repswlen 14824	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2	1	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
3	2	mpteq1d 5261	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
4		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
7	6	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) = (𝑁 − 1))
8	7	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
9		ubmelm1fzo 13813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁))
10		elfzoelz 13716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
11		nn0cn 12563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		zcn 12644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
15		1cnd 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℂ)
16	12, 14, 15	sub32d 11679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 𝑥) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
17	16	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
18	17	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
19	18	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
20	10, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
21	9, 20	mpid 44	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
22	21	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
23	8, 22	eqeltrd 2844	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
24		repswsymb 14822	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
25	4, 5, 23, 24	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
26	25	mpteq2dva 5266	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
27	3, 26	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
28		ovex 7481	. . 3 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
29		revval 14808	. . 3 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
30	28, 29	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
31		reps 14818	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
32	27, 30, 31	3eqtr4d 2790	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   − cmin 11520  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ..^cfzo 13711  ♯chash 14379  reversecreverse 14806   repeatS creps 14816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-hash 14380  df-reverse 14807  df-reps 14817

This theorem is referenced by: (None)