Theorem repswrevw 14724

Description: The reverse of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswrevw	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswrevw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repswlen 14713	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2	1	oveq2d 7386	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
3	2	mpteq1d 5190	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
4		simpll 767	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
7	6	oveq1d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) = (𝑁 − 1))
8	7	oveq1d 7385	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
9		ubmelm1fzo 13693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁))
10		elfzoelz 13589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
11		nn0cn 12425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	ad2antll 730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		zcn 12507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
15		1cnd 11141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℂ)
16	12, 14, 15	sub32d 11538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 𝑥) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
17	16	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
18	17	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
19	18	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
20	10, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
21	9, 20	mpid 44	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
22	21	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
23	8, 22	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
24		repswsymb 14711	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
25	4, 5, 23, 24	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
26	25	mpteq2dva 5193	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
27	3, 26	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
28		ovex 7403	. . 3 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
29		revval 14697	. . 3 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
30	28, 29	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
31		reps 14707	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
32	27, 30, 31	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℂcc 11038  0cc0 11040  1c1 11041   − cmin 11378  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ..^cfzo 13584  ♯chash 14267  reversecreverse 14695   repeatS creps 14705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-hash 14268  df-reverse 14696  df-reps 14706

This theorem is referenced by: (None)