MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswrevw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswrevw 14682
Description: The reverse of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswrevw ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (reverseβ€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswrevw
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repswlen 14671 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
21oveq2d 7378 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
32mpteq1d 5205 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
4 simpll 766 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
5 simplr 768 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
61adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
76oveq1d 7377 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
87oveq1d 7377 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))
9 ubmelm1fzo 13675 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
10 elfzoelz 13579 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
11 nn0cn 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1211ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
13 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1413adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
15 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ 1 ∈ β„‚)
1612, 14, 15sub32d 11551 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))
1716eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁)))
1817biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁)))
1918ex 414 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁))))
2010, 19syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁))))
219, 20mpid 44 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁)))
2221impcom 409 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁))
238, 22eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁))
24 repswsymb 14669 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ (((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = 𝑆)
254, 5, 23, 24syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = 𝑆)
2625mpteq2dva 5210 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
273, 26eqtrd 2777 . 2 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
28 ovex 7395 . . 3 (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
29 revval 14655 . . 3 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V β†’ (reverseβ€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
3028, 29mp1i 13 . 2 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (reverseβ€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
31 reps 14665 . 2 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 repeatS 𝑁) = (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
3227, 30, 313eqtr4d 2787 1 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (reverseβ€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   βˆ’ cmin 11392  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  ..^cfzo 13574  β™―chash 14237  reversecreverse 14653   repeatS creps 14663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-reverse 14654  df-reps 14664
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator