MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswrevw Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem repswrevw 14739
Description: The reverse of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswrevw ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (reverseβ€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))
Proof of Theorem repswrevw
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repswlen 14728 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
21oveq2d 7427 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
32mpteq1d 5243 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
4 simpll 765 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
5 simplr 767 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
61adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
76oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
87oveq1d 7426 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))
9 ubmelm1fzo 13730 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
10 elfzoelz 13634 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
11 nn0cn 12484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1211ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
13 zcn 12565 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
15 1cnd 11211 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ 1 ∈ β„‚)
1612, 14, 15sub32d 11605 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))
1716eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁)))
1817biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁)))
1918ex 413 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁))))
2010, 19syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁))))
219, 20mpid 44 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁)))
2221impcom 408 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁))
238, 22eqeltrd 2833 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁))
24 repswsymb 14726 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ (((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = 𝑆)
254, 5, 23, 24syl3anc 1371 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = 𝑆)
2625mpteq2dva 5248 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
273, 26eqtrd 2772 . 2 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
28 ovex 7444 . . 3 (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
29 revval 14712 . . 3 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V β†’ (reverseβ€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
3028, 29mp1i 13 . 2 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (reverseβ€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
31 reps 14722 . 2 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 repeatS 𝑁) = (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
3227, 30, 313eqtr4d 2782 1 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (reverseβ€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   βˆ’ cmin 11446  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  ..^cfzo 13629  β™―chash 14292  reversecreverse 14710   repeatS creps 14720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-hash 14293  df-reverse 14711  df-reps 14721
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator