MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswrevw Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem repswrevw 14737
Description: The reverse of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswrevw ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (reverseβ€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))
Proof of Theorem repswrevw
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repswlen 14726 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
21oveq2d 7425 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
32mpteq1d 5244 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
4 simpll 766 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
5 simplr 768 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
61adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
76oveq1d 7424 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) = (𝑁 βˆ’ 1))
87oveq1d 7424 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))
9 ubmelm1fzo 13728 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁))
10 elfzoelz 13632 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ π‘₯ ∈ β„€)
11 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1211ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
13 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1413adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
15 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ 1 ∈ β„‚)
1612, 14, 15sub32d 11603 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ ((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) = ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))
1716eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁)))
1817biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ β„€ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0)) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁)))
1918ex 414 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„€ β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁))))
2010, 19syl 17 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((𝑁 βˆ’ π‘₯) βˆ’ 1) ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁))))
219, 20mpid 44 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) β†’ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁)))
2221impcom 409 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁))
238, 22eqeltrd 2834 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ (((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁))
24 repswsymb 14724 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ (((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = 𝑆)
254, 5, 23, 24syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = 𝑆)
2625mpteq2dva 5249 . . 3 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
273, 26eqtrd 2773 . 2 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
28 ovex 7442 . . 3 (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
29 revval 14710 . . 3 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V β†’ (reverseβ€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
3028, 29mp1i 13 . 2 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (reverseβ€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)β€˜(((β™―β€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
31 reps 14720 . 2 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 repeatS 𝑁) = (π‘₯ ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
3227, 30, 313eqtr4d 2783 1 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (reverseβ€˜(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   βˆ’ cmin 11444  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  ..^cfzo 13627  β™―chash 14290  reversecreverse 14708   repeatS creps 14718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-reverse 14709  df-reps 14719
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator