MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  repswrevw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repswrevw 14145
Description: The reverse of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
repswrevw ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswrevw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 repswlen 14134 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
21oveq2d 7161 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
32mpteq1d 5141 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
4 simpll 766 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆𝑉)
5 simplr 768 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
61adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
76oveq1d 7160 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) = (𝑁 − 1))
87oveq1d 7160 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
9 ubmelm1fzo 13133 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁))
10 elfzoelz 13038 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
11 nn0cn 11900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
1211ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13 zcn 11979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
1413adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
15 1cnd 10628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℂ)
1612, 14, 15sub32d 11021 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝑥) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
1716eleq1d 2900 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
1817biimpd 232 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
1918ex 416 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
2010, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
219, 20mpid 44 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
2221impcom 411 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
238, 22eqeltrd 2916 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
24 repswsymb 14132 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
254, 5, 23, 24syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
2625mpteq2dva 5147 . . 3 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
273, 26eqtrd 2859 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
28 ovex 7178 . . 3 (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
29 revval 14118 . . 3 ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
3028, 29mp1i 13 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
31 reps 14128 . 2 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
3227, 30, 313eqtr4d 2869 1 ((𝑆𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  cmpt 5132  cfv 6343  (class class class)co 7145  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530  cmin 10862  0cn0 11890  cz 11974  ..^cfzo 13033  chash 13691  reversecreverse 14116   repeatS creps 14126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-hash 13692  df-reverse 14117  df-reps 14127
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator