Theorem repswrevw 14860

Description: The reverse of a "repeated symbol word". (Contributed by AV, 6-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
repswrevw	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))

Proof of Theorem repswrevw

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		repswlen 14849	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
2	1	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) = (0..^𝑁))
3	2	mpteq1d 5199	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
4		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ 𝑉)
5		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	1	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = 𝑁)
7	6	oveq1d 7431	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) = (𝑁 − 1))
8	7	oveq1d 7431	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
9		ubmelm1fzo 13821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁))
10		elfzoelz 13716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
11		nn0cn 12541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		zcn 12623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
15		1cnd 11229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 1 ∈ ℂ)
16	12, 14, 15	sub32d 11628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 − 𝑥) − 1) = ((𝑁 − 1) − 𝑥))
17	16	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
18	17	biimpd 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
19	18	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
20	10, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − 𝑥) − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))))
21	9, 20	mpid 45	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)))
22	21	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑁 − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
23	8, 22	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁))
24		repswsymb 14847	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
25	4, 5, 23, 24	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥)) = 𝑆)
26	25	mpteq2dva 5202	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
27	3, 26	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
28		ovex 7449	. . 3 ⊢ (𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V
29		revval 14831	. . 3 ⊢ ((𝑆 repeatS 𝑁) ∈ V → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
30	28, 29	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 repeatS 𝑁))) ↦ ((𝑆 repeatS 𝑁)‘(((♯‘(𝑆 repeatS 𝑁)) − 1) − 𝑥))))
31		reps 14843	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑆 repeatS 𝑁) = (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↦ 𝑆))
32	27, 30, 31	3eqtr4d 2807	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (reverse‘(𝑆 repeatS 𝑁)) = (𝑆 repeatS 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   − cmin 11468  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ..^cfzo 13711  ♯chash 14396  reversecreverse 14829   repeatS creps 14841

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-reverse 14830  df-reps 14842

This theorem is used by: (None)