Theorem revco 14761

Description: Mapping of words (i.e., a letterwise mapping) commutes with reversal. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)))

Proof of Theorem revco

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 14455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2	1	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3		lencl 14460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		fzoval 13580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
8	7	eleq2d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
9	8	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
10		fznn0sub2 13555	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
12	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
13	11, 12	eleqtrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14		fvco2 6932	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
15	2, 13, 14	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
16		lenco 14759	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
17	16	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
18	17	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
20	19	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
21		revfv 14690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
22	21	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
23	22	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
24	15, 20, 23	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥)))
25	24	mpteq2dva 5192	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
26	16	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
27	26	mpteq1d 5189	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
28		revlen 14689	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
30	29	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
31	30	mpteq1d 5189	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
32	25, 27, 31	3eqtr4rd 2783	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
33		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
34		revcl 14688	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
35		wrdf 14445	. . . . 5 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
37	36	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
38		fcompt 7080	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
39	33, 37, 38	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
40		ffun 6666	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
41		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
42		cofunexg 7895	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
43	40, 41, 42	syl2an2 687	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
44		revval 14687	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V → (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
45	43, 44	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
46	32, 39, 45	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ↦ cmpt 5180   ∘ ccom 5629  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   − cmin 11368  ℤcz 12492  ...cfz 13427  ..^cfzo 13574  ♯chash 14257  Word cword 14440  reversecreverse 14685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-reverse 14686

This theorem is referenced by:  efginvrel1  19661