Theorem revco 14837

Description: Mapping of words (i.e., a letterwise mapping) commutes with reversal. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)))

Proof of Theorem revco

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 14531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2	1	ad2antrr 734	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3		lencl 14536	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		fzoval 13655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
7	6	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
8	7	eleq2d 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
9	8	biimpa 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
10		fznn0sub2 13630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
12	7	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
13	11, 12	eleqtrrd 2859	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14		fvco2 6953	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
15	2, 13, 14	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
16		lenco 14835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
17	16	oveq1d 7400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
18	17	oveq1d 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
19	18	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
20	19	fveq2d 6860	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
21		revfv 14766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
22	21	adantlr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
23	22	fveq2d 6860	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
24	15, 20, 23	3eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥)))
25	24	mpteq2dva 5187	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
26	16	oveq2d 7401	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
27	26	mpteq1d 5184	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
28		revlen 14765	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
29	28	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
30	29	oveq2d 7401	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
31	30	mpteq1d 5184	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
32	25, 27, 31	3eqtr4rd 2802	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
33		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
34		revcl 14764	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
35		wrdf 14521	. . . . 5 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
36	34, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
37	36	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
38		fcompt 7104	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
39	33, 37, 38	syl2anc 592	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
40		ffun 6683	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
41		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
42		cofunexg 7919	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
43	40, 41, 42	syl2an2 694	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
44		revval 14763	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V → (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
45	43, 44	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
46	32, 39, 45	3eqtr4d 2801	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  Vcvv 3448   ↦ cmpt 5175   ∘ ccom 5644  Fun wfun 6504   Fn wfn 6505  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  0cc0 11063  1c1 11064   − cmin 11404  ℤcz 12558  ...cfz 13502  ..^cfzo 13649  ♯chash 14333  Word cword 14516  reversecreverse 14761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-hash 14334  df-word 14517  df-reverse 14762

This theorem is referenced by:  efginvrel1  19744