MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revco 14186
Description: Mapping of words (i.e., a letterwise mapping) commutes with reversal. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revco ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (reverse‘(𝐹𝑊)))

Proof of Theorem revco
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdfn 13866 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
21ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3 lencl 13873 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
43nn0zd 12074 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5 fzoval 13029 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
87eleq2d 2903 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
98biimpa 477 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
10 fznn0sub2 13004 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
127adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
1311, 12eleqtrrd 2921 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14 fvco2 6755 . . . . . 6 ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
152, 13, 14syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
16 lenco 14184 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(𝐹𝑊)) = (♯‘𝑊))
1716oveq1d 7163 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((♯‘(𝐹𝑊)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
1817oveq1d 7163 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (((♯‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
1918adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
2019fveq2d 6671 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘(((♯‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((𝐹𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
21 revfv 14115 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
2221adantlr 711 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
2322fveq2d 6671 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
2415, 20, 233eqtr4d 2871 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘(((♯‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥)))
2524mpteq2dva 5158 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((𝐹𝑊)‘(((♯‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
2616oveq2d 7164 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(♯‘(𝐹𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
2726mpteq1d 5152 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑊))) ↦ ((𝐹𝑊)‘(((♯‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((𝐹𝑊)‘(((♯‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥))))
28 revlen 14114 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
2928adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
3029oveq2d 7164 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
3130mpteq1d 5152 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
3225, 27, 313eqtr4rd 2872 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑊))) ↦ ((𝐹𝑊)‘(((♯‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥))))
33 simpr 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
34 revcl 14113 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
35 wrdf 13856 . . . . 5 ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
3634, 35syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
3736adantr 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
38 fcompt 6891 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
3933, 37, 38syl2anc 584 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
40 ffun 6514 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
41 simpl 483 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
42 cofunexg 7641 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑊) ∈ V)
4340, 41, 42syl2an2 682 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ V)
44 revval 14112 . . 3 ((𝐹𝑊) ∈ V → (reverse‘(𝐹𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑊))) ↦ ((𝐹𝑊)‘(((♯‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥))))
4543, 44syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (reverse‘(𝐹𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹𝑊))) ↦ ((𝐹𝑊)‘(((♯‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥))))
4632, 39, 453eqtr4d 2871 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (reverse‘(𝐹𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500  cmpt 5143  ccom 5558  Fun wfun 6346   Fn wfn 6347  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  0cc0 10526  1c1 10527  cmin 10859  cz 11970  ...cfz 12882  ..^cfzo 13023  chash 13680  Word cword 13851  reversecreverse 14110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-reverse 14111
This theorem is referenced by:  efginvrel1  18774
  Copyright terms: Public domain W3C validator