Theorem revco 14861

Description: Mapping of words (i.e., a letterwise mapping) commutes with reversal. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)))

Proof of Theorem revco

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 14555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2	1	ad2antrr 738	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3		lencl 14560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		fzoval 13679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
7	6	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
8	7	eleq2d 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
9	8	biimpa 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
10		fznn0sub2 13654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
12	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
13	11, 12	eleqtrrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14		fvco2 6968	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
15	2, 13, 14	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
16		lenco 14859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
17	16	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
18	17	oveq1d 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
19	18	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
20	19	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
21		revfv 14790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
22	21	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
23	22	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
24	15, 20, 23	3eqtr4d 2810	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥)))
25	24	mpteq2dva 5198	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
26	16	oveq2d 7416	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
27	26	mpteq1d 5195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
28		revlen 14789	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
29	28	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
30	29	oveq2d 7416	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
31	30	mpteq1d 5195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
32	25, 27, 31	3eqtr4rd 2811	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
33		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
34		revcl 14788	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
35		wrdf 14545	. . . . 5 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
36	34, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
37	36	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
38		fcompt 7119	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
39	33, 37, 38	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
40		ffun 6698	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
41		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
42		cofunexg 7934	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
43	40, 41, 42	syl2an2 698	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
44		revval 14787	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V → (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
45	43, 44	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
46	32, 39, 45	3eqtr4d 2810	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5656  Fun wfun 6519   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   − cmin 11429  ℤcz 12582  ...cfz 13526  ..^cfzo 13673  ♯chash 14357  Word cword 14540  reversecreverse 14785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-hash 14358  df-word 14541  df-reverse 14786

This theorem is referenced by:  efginvrel1  19789