Theorem revco 14953

Description: Mapping of words (i.e., a letterwise mapping) commutes with reversal. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revco	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)))

Proof of Theorem revco

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 14641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
2	1	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)))
3		lencl 14646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
4	3	nn0zd 12688	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
5		fzoval 13763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
7	6	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
8	7	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1))))
9	8	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
10		fznn0sub2 13738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
12	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
13	11, 12	eleqtrrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
14		fvco2 6970	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 Fn (0..^(♯‘𝑊)) ∧ (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
15	2, 13, 14	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
16		lenco 14951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (♯‘𝑊))
17	16	oveq1d 7423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → ((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
18	17	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))
20	19	fveq2d 6877	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
21		revfv 14880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
22	21	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
23	22	fveq2d 6877	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
24	15, 20, 23	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥)))
25	24	mpteq2dva 5197	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
26	16	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
27	26	mpteq1d 5194	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
28		revlen 14879	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
29	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
30	29	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(♯‘𝑊)))
31	30	mpteq1d 5194	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
32	25, 27, 31	3eqtr4rd 2806	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
33		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
34		revcl 14878	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
35		wrdf 14631	. . . . 5 ⊢ ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
36	34, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
37	36	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
38		fcompt 7122	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ (reverse‘𝑊):(0..^(♯‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
39	33, 37, 38	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
40		ffun 6700	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → Fun 𝐹)
41		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
42		cofunexg 7944	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
43	40, 41, 42	syl2an2 699	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V)
44		revval 14877	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝑊) ∈ V → (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
45	43, 44	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘(𝐹 ∘ 𝑊))) ↦ ((𝐹 ∘ 𝑊)‘(((♯‘(𝐹 ∘ 𝑊)) − 1) − 𝑥))))
46	32, 39, 45	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (reverse‘(𝐹 ∘ 𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5651  Fun wfun 6521   Fn wfn 6522  ⟶wf 6523  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11172  1c1 11173   − cmin 11513  ℤcz 12663  ...cfz 13609  ..^cfzo 13757  ♯chash 14442  Word cword 14626  reversecreverse 14875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-hash 14443  df-word 14627  df-reverse 14876

This theorem is used by:  efginvrel1  19904