MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revco Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem revco 14781
Description: Mapping of words (i.e., a letterwise mapping) commutes with reversal. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revco ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∘ (reverseβ€˜π‘Š)) = (reverseβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)))
Proof of Theorem revco
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdfn 14474 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
21ad2antrr 724 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3 lencl 14479 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
43nn0zd 12580 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
5 fzoval 13629 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
87eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↔ π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))))
98biimpa 477 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
10 fznn0sub2 13604 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
127adantr 481 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
1311, 12eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
14 fvco2 6985 . . . . . 6 ((π‘Š Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ∧ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = (πΉβ€˜(π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
152, 13, 14syl2anc 584 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = (πΉβ€˜(π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
16 lenco 14779 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
1716oveq1d 7420 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ ((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1) = ((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1))
1817oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))
1918adantr 481 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) = (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))
2019fveq2d 6892 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))
21 revfv 14709 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))
2221adantlr 713 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯) = (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))
2322fveq2d 6892 . . . . 5 (((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (πΉβ€˜((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜(π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
2415, 20, 233eqtr4d 2782 . . . 4 (((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) = (πΉβ€˜((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯)))
2524mpteq2dva 5247 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (πΉβ€˜((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))))
2616oveq2d 7421 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (0..^(β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š))) = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
2726mpteq1d 5242 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š))) ↦ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
28 revlen 14708 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
2928adantr 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
3029oveq2d 7421 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š))) = (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
3130mpteq1d 5242 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š))) ↦ (πΉβ€˜((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (πΉβ€˜((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))))
3225, 27, 313eqtr4rd 2783 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š))) ↦ (πΉβ€˜((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š))) ↦ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
33 simpr 485 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
34 revcl 14707 . . . . 5 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜π‘Š) ∈ Word 𝐴)
35 wrdf 14465 . . . . 5 ((reverseβ€˜π‘Š) ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜π‘Š):(0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)))⟢𝐴)
3634, 35syl 17 . . . 4 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜π‘Š):(0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)))⟢𝐴)
3736adantr 481 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (reverseβ€˜π‘Š):(0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)))⟢𝐴)
38 fcompt 7127 . . 3 ((𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ (reverseβ€˜π‘Š):(0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)))⟢𝐴) β†’ (𝐹 ∘ (reverseβ€˜π‘Š)) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š))) ↦ (πΉβ€˜((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))))
3933, 37, 38syl2anc 584 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∘ (reverseβ€˜π‘Š)) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š))) ↦ (πΉβ€˜((reverseβ€˜π‘Š)β€˜π‘₯))))
40 ffun 6717 . . . 4 (𝐹:𝐴⟢𝐡 β†’ Fun 𝐹)
41 simpl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ π‘Š ∈ Word 𝐴)
42 cofunexg 7931 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ π‘Š ∈ Word 𝐴) β†’ (𝐹 ∘ π‘Š) ∈ V)
4340, 41, 42syl2an2 684 . . 3 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∘ π‘Š) ∈ V)
44 revval 14706 . . 3 ((𝐹 ∘ π‘Š) ∈ V β†’ (reverseβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š))) ↦ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
4543, 44syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (reverseβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š))) ↦ ((𝐹 ∘ π‘Š)β€˜(((β™―β€˜(𝐹 ∘ π‘Š)) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
4632, 39, 453eqtr4d 2782 1 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐹 ∘ (reverseβ€˜π‘Š)) = (reverseβ€˜(𝐹 ∘ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   βˆ’ cmin 11440  β„€cz 12554  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623  β™―chash 14286  Word cword 14460  reversecreverse 14704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-reverse 14705
This theorem is referenced by:  efginvrel1  19590
  Copyright terms: Public domain W3C validator