MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revlen 14114
Description: The reverse of a word has the same length as the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revlen (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem revlen
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revval 14112 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
21fveq2d 6671 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))))
3 wrdf 13856 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
43adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
5 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6 lencl 13873 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
76adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8 nn0z 11994 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
9 fzoval 13029 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
115, 10eleqtrd 2920 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
12 fznn0sub2 13004 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
1413, 10eleqtrrd 2921 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
154, 14ffvelrnd 6848 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) ∈ 𝐴)
1615fmpttd 6875 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
17 ffn 6511 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
18 hashfn 13726 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
1916, 17, 183syl 18 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
20 hashfzo0 13781 . . 3 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
216, 20syl 17 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
222, 19, 213eqtrd 2865 1 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  cmpt 5143   Fn wfn 6347  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  0cc0 10526  1c1 10527  cmin 10859  0cn0 11886  cz 11970  ...cfz 12882  ..^cfzo 13023  chash 13680  Word cword 13851  reversecreverse 14110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-reverse 14111
This theorem is referenced by:  rev0  14116  revs1  14117  revccat  14118  revrev  14119  revco  14186  psgnuni  18547  revpfxsfxrev  32246  swrdrevpfx  32247  revwlk  32255  swrdwlk  32257
  Copyright terms: Public domain W3C validator