MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revlen 14112
Description: The reverse of a word has the same length as the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revlen (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))

Proof of Theorem revlen
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revval 14110 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
21fveq2d 6667 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))))
3 wrdf 13854 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
43adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
5 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6 lencl 13871 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
76adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
8 nn0z 11993 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
9 fzoval 13027 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0...((♯‘𝑊) − 1)))
115, 10eleqtrd 2912 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
12 fznn0sub2 13002 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
1413, 10eleqtrrd 2913 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
154, 14ffvelrnd 6844 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)) ∈ 𝐴)
1615fmpttd 6871 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴)
17 ffn 6507 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))):(0..^(♯‘𝑊))⟶𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) Fn (0..^(♯‘𝑊)))
18 hashfn 13724 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥))) Fn (0..^(♯‘𝑊)) → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
1916, 17, 183syl 18 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(𝑥 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((♯‘𝑊) − 1) − 𝑥)))) = (♯‘(0..^(♯‘𝑊))))
20 hashfzo0 13779 . . 3 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
216, 20syl 17 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(0..^(♯‘𝑊))) = (♯‘𝑊))
222, 19, 213eqtrd 2857 1 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (♯‘(reverse‘𝑊)) = (♯‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cmpt 5137   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526  cmin 10858  0cn0 11885  cz 11969  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  chash 13678  Word cword 13849  reversecreverse 14108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-hash 13679  df-word 13850  df-reverse 14109
This theorem is referenced by:  rev0  14114  revs1  14115  revccat  14116  revrev  14117  revco  14184  psgnuni  18556  revpfxsfxrev  32259  swrdrevpfx  32260  revwlk  32268  swrdwlk  32270
  Copyright terms: Public domain W3C validator