MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revlen 14716
Description: The reverse of a word has the same length as the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revlen (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))

Proof of Theorem revlen
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revval 14714 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
21fveq2d 6888 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = (β™―β€˜(π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))))
3 wrdf 14473 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴)
43adantr 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴)
5 simpr 484 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
6 lencl 14487 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
76adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
8 nn0z 12584 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
9 fzoval 13636 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
115, 10eleqtrd 2829 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
12 fznn0sub2 13611 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
1413, 10eleqtrrd 2830 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
154, 14ffvelcdmd 7080 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) ∈ 𝐴)
1615fmpttd 7109 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴)
17 ffn 6710 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
18 hashfn 14338 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β™―β€˜(π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))) = (β™―β€˜(0..^(β™―β€˜π‘Š))))
1916, 17, 183syl 18 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))) = (β™―β€˜(0..^(β™―β€˜π‘Š))))
20 hashfzo0 14393 . . 3 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^(β™―β€˜π‘Š))) = (β™―β€˜π‘Š))
216, 20syl 17 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(0..^(β™―β€˜π‘Š))) = (β™―β€˜π‘Š))
222, 19, 213eqtrd 2770 1 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   βˆ’ cmin 11445  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  ...cfz 13487  ..^cfzo 13630  β™―chash 14293  Word cword 14468  reversecreverse 14712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-hash 14294  df-word 14469  df-reverse 14713
This theorem is referenced by:  rev0  14718  revs1  14719  revccat  14720  revrev  14721  revco  14789  psgnuni  19417  revpfxsfxrev  34634  swrdrevpfx  34635  revwlk  34643  swrdwlk  34645
  Copyright terms: Public domain W3C validator