MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revlen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revlen 14752
Description: The reverse of a word has the same length as the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revlen (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))

Proof of Theorem revlen
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revval 14750 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (reverseβ€˜π‘Š) = (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))))
21fveq2d 6906 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = (β™―β€˜(π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))))
3 wrdf 14509 . . . . . 6 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴)
43adantr 479 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘Š:(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴)
5 simpr 483 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
6 lencl 14523 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
76adantr 479 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0)
8 nn0z 12621 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€)
9 fzoval 13673 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„€ β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) = (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
115, 10eleqtrd 2831 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
12 fznn0sub2 13648 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0...((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1)))
1413, 10eleqtrrd 2832 . . . . 5 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯) ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
154, 14ffvelcdmd 7100 . . . 4 ((π‘Š ∈ Word 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š))) β†’ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)) ∈ 𝐴)
1615fmpttd 7130 . . 3 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴)
17 ffn 6727 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))):(0..^(β™―β€˜π‘Š))⟢𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)))
18 hashfn 14374 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯))) Fn (0..^(β™―β€˜π‘Š)) β†’ (β™―β€˜(π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))) = (β™―β€˜(0..^(β™―β€˜π‘Š))))
1916, 17, 183syl 18 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(π‘₯ ∈ (0..^(β™―β€˜π‘Š)) ↦ (π‘Šβ€˜(((β™―β€˜π‘Š) βˆ’ 1) βˆ’ π‘₯)))) = (β™―β€˜(0..^(β™―β€˜π‘Š))))
20 hashfzo0 14429 . . 3 ((β™―β€˜π‘Š) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(0..^(β™―β€˜π‘Š))) = (β™―β€˜π‘Š))
216, 20syl 17 . 2 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(0..^(β™―β€˜π‘Š))) = (β™―β€˜π‘Š))
222, 19, 213eqtrd 2772 1 (π‘Š ∈ Word 𝐴 β†’ (β™―β€˜(reverseβ€˜π‘Š)) = (β™―β€˜π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5235   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   βˆ’ cmin 11482  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  β™―chash 14329  Word cword 14504  reversecreverse 14748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-hash 14330  df-word 14505  df-reverse 14749
This theorem is referenced by:  rev0  14754  revs1  14755  revccat  14756  revrev  14757  revco  14825  psgnuni  19461  revpfxsfxrev  34758  swrdrevpfx  34759  revwlk  34767  swrdwlk  34769
  Copyright terms: Public domain W3C validator