Theorem rpregt0 13012

Description: A positive real is a positive real number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 13000	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2	1	biimpi 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ℝcr 11129  0cc0 11130   < clt 11270  ℝ⁺crp 12998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2698

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-br 5143  df-rp 12999

This theorem is referenced by:  rpne0  13014  divlt1lt  13067  divle1le  13068  ledivge1le  13069  nnledivrp  13110  modge0  13868  modlt  13869  modid  13885  modmuladdnn0  13904  expnlbnd  14219  o1fsum  15783  isprm6  16676  gexexlem  19798  lmnn  25178  aaliou2b  26263  harmonicbnd4  26930  logfaclbnd  27142  logfacrlim  27144  chto1ub  27396  vmadivsum  27402  dchrmusumlema  27413  dchrvmasumlem2  27418  dchrisum0lem2a  27437  dchrisum0lem2  27438  dchrisum0lem3  27439  mulogsumlem  27451  mulog2sumlem2  27455  selberg2lem  27470  selberg3lem1  27477  pntrmax  27484  pntrsumo1  27485  pntibndlem3  27512  divge1b  47503  divgt1b  47504