Theorem rpregt0 13037

Description: A positive real is a positive real number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 13024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2	1	biimpi 219	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11249  ℝ⁺crp 13022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-rp 13023

This theorem is used by:  rpne0  13039  divlt1lt  13093  divle1le  13094  ledivge1le  13095  nnledivrp  13136  modge0  13919  modlt  13920  modid  13936  modmuladdnn0  13958  expnlbnd  14276  o1fsum  15872  isprm6  16779  gexexlem  19928  lmnn  25433  aaliou2b  26515  harmonicbnd4  27186  logfaclbnd  27397  logfacrlim  27399  chto1ub  27651  vmadivsum  27657  dchrmusumlema  27668  dchrvmasumlem2  27673  dchrisum0lem2a  27692  dchrisum0lem2  27693  dchrisum0lem3  27694  mulogsumlem  27706  mulog2sumlem2  27710  selberg2lem  27725  selberg3lem1  27732  pntrmax  27739  pntrsumo1  27740  pntibndlem3  27767  divge1b  49320  divgt1b  49321