Theorem rpregt0 12897

Description: A positive real is a positive real number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 12884	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2	1	biimpi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  ℝcr 10997  0cc0 10998   < clt 11138  ℝ⁺crp 12882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-br 5090  df-rp 12883

This theorem is referenced by:  rpne0  12899  divlt1lt  12953  divle1le  12954  ledivge1le  12955  nnledivrp  12996  modge0  13775  modlt  13776  modid  13792  modmuladdnn0  13814  expnlbnd  14132  o1fsum  15712  isprm6  16617  gexexlem  19757  lmnn  25183  aaliou2b  26269  harmonicbnd4  26941  logfaclbnd  27153  logfacrlim  27155  chto1ub  27407  vmadivsum  27413  dchrmusumlema  27424  dchrvmasumlem2  27429  dchrisum0lem2a  27448  dchrisum0lem2  27449  dchrisum0lem3  27450  mulogsumlem  27462  mulog2sumlem2  27466  selberg2lem  27481  selberg3lem1  27488  pntrmax  27495  pntrsumo1  27496  pntibndlem3  27523  divge1b  48523  divgt1b  48524