Theorem rpregt0 13020

Description: A positive real is a positive real number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 13008	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2	1	biimpi 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5148  ℝcr 11137  0cc0 11138   < clt 11278  ℝ⁺crp 13006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3948  df-un 3950  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5149  df-rp 13007

This theorem is referenced by:  rpne0  13022  divlt1lt  13075  divle1le  13076  ledivge1le  13077  nnledivrp  13118  modge0  13876  modlt  13877  modid  13893  modmuladdnn0  13912  expnlbnd  14227  o1fsum  15791  isprm6  16684  gexexlem  19811  lmnn  25221  aaliou2b  26306  harmonicbnd4  26973  logfaclbnd  27185  logfacrlim  27187  chto1ub  27439  vmadivsum  27445  dchrmusumlema  27456  dchrvmasumlem2  27461  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  dchrisum0lem3  27482  mulogsumlem  27494  mulog2sumlem2  27498  selberg2lem  27513  selberg3lem1  27520  pntrmax  27527  pntrsumo1  27528  pntibndlem3  27555  divge1b  47692  divgt1b  47693