Theorem rpregt0 13047

Description: A positive real is a positive real number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 13034	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2	1	biimpi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293  ℝ⁺crp 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-rp 13033

This theorem is referenced by:  rpne0  13049  divlt1lt  13102  divle1le  13103  ledivge1le  13104  nnledivrp  13145  modge0  13916  modlt  13917  modid  13933  modmuladdnn0  13953  expnlbnd  14269  o1fsum  15846  isprm6  16748  gexexlem  19885  lmnn  25311  aaliou2b  26398  harmonicbnd4  27069  logfaclbnd  27281  logfacrlim  27283  chto1ub  27535  vmadivsum  27541  dchrmusumlema  27552  dchrvmasumlem2  27557  dchrisum0lem2a  27576  dchrisum0lem2  27577  dchrisum0lem3  27578  mulogsumlem  27590  mulog2sumlem2  27594  selberg2lem  27609  selberg3lem1  27616  pntrmax  27623  pntrsumo1  27624  pntibndlem3  27651  divge1b  48358  divgt1b  48359