Theorem rpregt0 13071

Description: A positive real is a positive real number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 13059	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2	1	biimpi 216	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-br 5167  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  rpne0  13073  divlt1lt  13126  divle1le  13127  ledivge1le  13128  nnledivrp  13169  modge0  13930  modlt  13931  modid  13947  modmuladdnn0  13966  expnlbnd  14282  o1fsum  15861  isprm6  16761  gexexlem  19894  lmnn  25316  aaliou2b  26401  harmonicbnd4  27072  logfaclbnd  27284  logfacrlim  27286  chto1ub  27538  vmadivsum  27544  dchrmusumlema  27555  dchrvmasumlem2  27560  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  dchrisum0lem3  27581  mulogsumlem  27593  mulog2sumlem2  27597  selberg2lem  27612  selberg3lem1  27619  pntrmax  27626  pntrsumo1  27627  pntibndlem3  27654  divge1b  48241  divgt1b  48242