Theorem rprege0 12090

Description: A positive real is a nonnegative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rprege0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12081	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpge0 12088	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	jca 508	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4844  ℝcr 10224  0cc0 10225   ≤ cle 10365  ℝ⁺crp 12073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-addrcl 10286  ax-rnegex 10296  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-rp 12074

This theorem is referenced by:  resqrex  14331  sqrtdiv  14346  o1fsum  14882  prmreclem3  15954  aaliou3lem3  24439  pige3  24610  rpcxpcl  24762  cxprec  24772  harmoniclbnd  25086  harmonicbnd4  25088  basellem4  25161  logfaclbnd  25298  logfacrlim  25300  logexprlim  25301  bposlem7  25366  vmadivsum  25522  dchrisum0lem2a  25557  dchrisum0lem2  25558  dchrisum0  25560  mudivsum  25570  mulogsumlem  25571  selberglem2  25586  selberg2lem  25590  pntrsumo1  25605  minvecolem3  28256