Theorem rprege0 12921

Description: A positive real is a nonnegative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rprege0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12914	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpge0 12919	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	jca 511	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11025  0cc0 11026   ≤ cle 11167  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  resqrex  15173  sqrtdiv  15188  o1fsum  15736  prmreclem3  16846  aaliou3lem3  26308  pige3ALT  26485  rpcxpcl  26641  cxprec  26651  harmoniclbnd  26975  harmonicbnd4  26977  basellem4  27050  logfaclbnd  27189  logfacrlim  27191  logexprlim  27192  bposlem7  27257  vmadivsum  27449  dchrisum0lem2a  27484  dchrisum0lem2  27485  dchrisum0  27487  mudivsum  27497  mulogsumlem  27498  selberglem2  27513  selberg2lem  27517  pntrsumo1  27532  minvecolem3  30951  ehl2eudis0lt  48972  itsclc0  49017  itsclc0b  49018