MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rprege0 12392
Description: A positive real is a nonnegative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
rprege0 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0
StepHypRef Expression
1 rpre 12385 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rpge0 12390 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
31, 2jca 512 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5057  cr 10524  0cc0 10525  cle 10664  +crp 12377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-addrcl 10586  ax-rnegex 10596  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-rp 12378
This theorem is referenced by:  resqrex  14598  sqrtdiv  14613  o1fsum  15156  prmreclem3  16242  aaliou3lem3  24860  pige3ALT  25032  rpcxpcl  25186  cxprec  25196  harmoniclbnd  25513  harmonicbnd4  25515  basellem4  25588  logfaclbnd  25725  logfacrlim  25727  logexprlim  25728  bposlem7  25793  vmadivsum  25985  dchrisum0lem2a  26020  dchrisum0lem2  26021  dchrisum0  26023  mudivsum  26033  mulogsumlem  26034  selberglem2  26049  selberg2lem  26053  pntrsumo1  26068  minvecolem3  28580  ehl2eudis0lt  44641  itsclc0  44686  itsclc0b  44687
  Copyright terms: Public domain W3C validator