Theorem rprege0 13002

Description: A positive real is a nonnegative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rprege0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12995	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpge0 13000	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	jca 519	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ℝcr 11065  0cc0 11066   ≤ cle 11210  ℝ⁺crp 12986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-addrcl 11127  ax-rnegex 11137  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-rp 12987

This theorem is referenced by:  resqrex  15267  sqrtdiv  15282  o1fsum  15831  prmreclem3  16944  aaliou3lem3  26395  pige3ALT  26572  rpcxpcl  26728  cxprec  26738  harmoniclbnd  27060  harmonicbnd4  27062  basellem4  27135  logfaclbnd  27273  logfacrlim  27275  logexprlim  27276  bposlem7  27341  vmadivsum  27533  dchrisum0lem2a  27568  dchrisum0lem2  27569  dchrisum0  27571  mudivsum  27581  mulogsumlem  27582  selberglem2  27597  selberg2lem  27601  pntrsumo1  27616  minvecolem3  31035  ehl2eudis0lt  49308  itsclc0  49353  itsclc0b  49354