Theorem rprege0 13033

Description: A positive real is a nonnegative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rprege0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13026	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpge0 13031	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	jca 520	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ℝcr 11100  0cc0 11101   ≤ cle 11245  ℝ⁺crp 13017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-addrcl 11162  ax-rnegex 11172  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-rp 13018

This theorem is referenced by:  resqrex  15303  sqrtdiv  15318  o1fsum  15867  prmreclem3  16979  aaliou3lem3  26488  pige3ALT  26666  rpcxpcl  26822  cxprec  26832  harmoniclbnd  27154  harmonicbnd4  27156  basellem4  27229  logfaclbnd  27367  logfacrlim  27369  logexprlim  27370  bposlem7  27435  vmadivsum  27627  dchrisum0lem2a  27662  dchrisum0lem2  27663  dchrisum0  27665  mudivsum  27675  mulogsumlem  27676  selberglem2  27691  selberg2lem  27695  pntrsumo1  27710  minvecolem3  31209  ehl2eudis0lt  49489  itsclc0  49534  itsclc0b  49535