Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulogsumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulogsumlem 26121
 Description: Lemma for mulogsum 26122. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsumlem (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   𝑚,𝑛,𝑥

Proof of Theorem mulogsumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 13348 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 elfznn 12943 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
32adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
4 mucl 25732 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
65zred 12087 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
76, 3nndivred 11691 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
87recnd 10668 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
91, 8fsumcl 15093 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
109adantl 485 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
11 emre 25597 . . . . . 6 γ ∈ ℝ
1211recni 10654 . . . . 5 γ ∈ ℂ
1312a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → γ ∈ ℂ)
14 mudivsum 26120 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
1514a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
16 rpssre 12396 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
17 o1const 14979 . . . . . 6 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ γ ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1))
1816, 12, 17mp2an 691 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1)
1918a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1))
2010, 13, 15, 19o1mul2 14984 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)) ∈ 𝑂(1))
21 fzfid 13348 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ Fin)
22 elfznn 12943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛))) → 𝑚 ∈ ℕ)
2322adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
2423nnrecred 11688 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
2521, 24fsumrecl 15094 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
262nnrpd 12429 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
27 rpdivcl 12414 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
2826, 27sylan2 595 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
2928relogcld 25220 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3025, 29resubcld 11067 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
317, 30remulcld 10670 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
321, 31fsumrecl 15094 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
3332recnd 10668 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
3433adantl 485 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
35 mulcl 10620 . . . . . 6 ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ ∧ γ ∈ ℂ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ) ∈ ℂ)
369, 12, 35sylancl 589 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ) ∈ ℂ)
3736adantl 485 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ) ∈ ℂ)
38 nnrecre 11679 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
3938recnd 10668 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
4023, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
4121, 40fsumcl 15093 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
4229recnd 10668 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
4341, 42subcld 10996 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
448, 43mulcld 10660 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
45 mulcl 10620 . . . . . . . . 9 ((((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ ∧ γ ∈ ℂ) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ) ∈ ℂ)
468, 12, 45sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ) ∈ ℂ)
471, 44, 46fsumsub 15146 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
4812a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → γ ∈ ℂ)
4941, 42, 48subsub4d 11027 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))) − γ) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))
5049oveq2d 7166 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))) − γ)) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))))
518, 43, 48subdid 11095 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))) − γ)) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
5250, 51eqtr3d 2861 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
5352sumeq2dv 15063 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
5412a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → γ ∈ ℂ)
551, 54, 8fsummulc1 15143 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ))
5655oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
5747, 53, 563eqtr4d 2869 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
5857mpteq2ia 5144 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
5916a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
6042, 48addcld 10659 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ) ∈ ℂ)
6141, 60subcld 10996 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)) ∈ ℂ)
628, 61mulcld 10660 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ∈ ℂ)
631, 62fsumcl 15093 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ∈ ℂ)
6463adantl 485 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ∈ ℂ)
65 1red 10641 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
6663abscld 14799 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ∈ ℝ)
6762abscld 14799 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ∈ ℝ)
681, 67fsumrecl 15094 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ∈ ℝ)
69 1red 10641 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
701, 62fsumabs 15159 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))))
71 rprege0 12404 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
72 flge0nn0 13197 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
7473nn0red 11956 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
75 rerpdivcl 12419 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
7674, 75mpancom 687 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
77 rpreccl 12415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
7877adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
7978rpred 12431 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
808abscld 14799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
813nnrecred 11688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
8261abscld 14799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ∈ ℝ)
83 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+)
84 rpdivcl 12414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 / 𝑥) ∈ ℝ+)
8526, 83, 84syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 / 𝑥) ∈ ℝ+)
8685rpred 12431 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 / 𝑥) ∈ ℝ)
878absge0d 14807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)))
8861absge0d 14807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))))
896recnd 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℂ)
903nncnd 11653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℂ)
913nnne0d 11687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ≠ 0)
9289, 90, 91absdivd 14818 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)) = ((abs‘(μ‘𝑛)) / (abs‘𝑛)))
933nnrpd 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
94 rprege0 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
96 absid 14659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
9897oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑛)) / (abs‘𝑛)) = ((abs‘(μ‘𝑛)) / 𝑛))
9992, 98eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)) = ((abs‘(μ‘𝑛)) / 𝑛))
10089abscld 14799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑛)) ∈ ℝ)
101 1red 10641 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
102 mule1 25739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝑛)) ≤ 1)
1033, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑛)) ≤ 1)
104100, 101, 93, 103lediv1dd 12489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑛)) / 𝑛) ≤ (1 / 𝑛))
10599, 104eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (1 / 𝑛))
106 harmonicbnd4 25602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ≤ (1 / (𝑥 / 𝑛)))
10728, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ≤ (1 / (𝑥 / 𝑛)))
108 rpcnne0 12407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
109108adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
110 rpcnne0 12407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
11193, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
112 recdiv 11345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑛)) = (𝑛 / 𝑥))
113109, 111, 112syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑥 / 𝑛)) = (𝑛 / 𝑥))
114107, 113breqtrd 5079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ≤ (𝑛 / 𝑥))
11580, 81, 82, 86, 87, 88, 105, 114lemul12ad 11581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)) · (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ ((1 / 𝑛) · (𝑛 / 𝑥)))
1168, 61absmuld 14817 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) = ((abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)) · (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))))
117 1cnd 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
118 dmdcan 11349 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 / 𝑥) · (1 / 𝑛)) = (1 / 𝑥))
119111, 109, 117, 118syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 / 𝑥) · (1 / 𝑛)) = (1 / 𝑥))
12085rpcnd 12433 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 / 𝑥) ∈ ℂ)
12181recnd 10668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
122120, 121mulcomd 10661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 / 𝑥) · (1 / 𝑛)) = ((1 / 𝑛) · (𝑛 / 𝑥)))
123119, 122eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) = ((1 / 𝑛) · (𝑛 / 𝑥)))
124115, 116, 1233brtr4d 5085 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ (1 / 𝑥))
1251, 67, 79, 124fsumle 15157 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥))
126 hashfz1 13714 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
12773, 126syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
128127oveq1d 7165 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)) = ((⌊‘𝑥) · (1 / 𝑥)))
12977rpcnd 12433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
130 fsumconst 15148 . . . . . . . . . . . 12 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ (1 / 𝑥) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)))
1311, 129, 130syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)))
13273nn0cnd 11957 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ∈ ℂ)
133 rpcn 12399 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
134 rpne0 12405 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
135132, 133, 134divrecd 11418 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) · (1 / 𝑥)))
136128, 131, 1353eqtr4d 2869 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) / 𝑥))
137125, 136breqtrd 5079 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ ((⌊‘𝑥) / 𝑥))
138 rpre 12397 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
139 flle 13176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
141133mulid1d 10657 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
142140, 141breqtrrd 5081 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1))
143 reflcl 13173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
144138, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
145 rpregt0 12403 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
146 ledivmul 11515 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1)))
147144, 69, 145, 146syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1)))
148142, 147mpbird 260 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1)
14968, 76, 69, 137, 148letrd 10796 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ 1)
15066, 68, 69, 70, 149letrd 10796 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ 1)
151150ad2antrl 727 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ 1)
15259, 64, 65, 65, 151elo1d 14896 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ∈ 𝑂(1))
15358, 152eqeltrrid 2921 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ))) ∈ 𝑂(1))
15434, 37, 153o1dif 14989 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)) ∈ 𝑂(1)))
15520, 154mpbird 260 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
156155mptru 1545 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   ⊆ wss 3920   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5133  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  Fincfn 8506  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   < clt 10674   ≤ cle 10675   − cmin 10869   / cdiv 11296  ℕcn 11637  ℕ0cn0 11897  ℤcz 11981  ℝ+crp 12389  ...cfz 12897  ⌊cfl 13167  ♯chash 13698  abscabs 14596  𝑂(1)co1 14846  Σcsu 15045  logclog 25152  γcem 25583  μcmu 25686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-fi 8873  df-sup 8904  df-inf 8905  df-oi 8972  df-dju 9328  df-card 9366  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-xnn0 11968  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-ioo 12742  df-ioc 12743  df-ico 12744  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-fac 13642  df-bc 13671  df-hash 13699  df-shft 14429  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-o1 14850  df-lo1 14851  df-sum 15046  df-ef 15424  df-e 15425  df-sin 15426  df-cos 15427  df-tan 15428  df-pi 15429  df-dvds 15611  df-gcd 15845  df-prm 16017  df-pc 16175  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-cmp 21998  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-limc 24475  df-dv 24476  df-ulm 24978  df-log 25154  df-atan 25459  df-em 25584  df-mu 25692 This theorem is referenced by:  mulogsum  26122
 Copyright terms: Public domain W3C validator