MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulogsumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulogsumlem 27438
Description: Lemma for mulogsum 27439. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsumlem (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   π‘š,𝑛,π‘₯

Proof of Theorem mulogsumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 13956 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
2 elfznn 13548 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
32adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4 mucl 27047 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
65zred 12682 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
76, 3nndivred 12282 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
87recnd 11258 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
91, 8fsumcl 15697 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
109adantl 481 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
11 emre 26912 . . . . . 6 Ξ³ ∈ ℝ
1211recni 11244 . . . . 5 Ξ³ ∈ β„‚
1312a1i 11 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
14 mudivsum 27437 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
1514a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
16 rpssre 12999 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
17 o1const 15582 . . . . . 6 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ Ξ³ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ³) ∈ 𝑂(1))
1816, 12, 17mp2an 691 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ³) ∈ 𝑂(1)
1918a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ³) ∈ 𝑂(1))
2010, 13, 15, 19o1mul2 15587 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)) ∈ 𝑂(1))
21 fzfid 13956 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ Fin)
22 elfznn 13548 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) β†’ π‘š ∈ β„•)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
2423nnrecred 12279 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (1 / π‘š) ∈ ℝ)
2521, 24fsumrecl 15698 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) ∈ ℝ)
262nnrpd 13032 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
27 rpdivcl 13017 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
2826, 27sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
2928relogcld 26531 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
3025, 29resubcld 11658 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ)
317, 30remulcld 11260 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ ℝ)
321, 31fsumrecl 15698 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ ℝ)
3332recnd 11258 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
3433adantl 481 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
35 mulcl 11208 . . . . . 6 ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚ ∧ Ξ³ ∈ β„‚) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³) ∈ β„‚)
369, 12, 35sylancl 585 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³) ∈ β„‚)
3736adantl 481 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³) ∈ β„‚)
38 nnrecre 12270 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ (1 / π‘š) ∈ ℝ)
3938recnd 11258 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ (1 / π‘š) ∈ β„‚)
4023, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (1 / π‘š) ∈ β„‚)
4121, 40fsumcl 15697 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) ∈ β„‚)
4229recnd 11258 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
4341, 42subcld 11587 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
448, 43mulcld 11250 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
45 mulcl 11208 . . . . . . . . 9 ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚ ∧ Ξ³ ∈ β„‚) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³) ∈ β„‚)
468, 12, 45sylancl 585 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³) ∈ β„‚)
471, 44, 46fsumsub 15752 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
4812a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
4941, 42, 48subsub4d 11618 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ Ξ³) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))
5049oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ Ξ³)) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))))
518, 43, 48subdid 11686 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ Ξ³)) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
5250, 51eqtr3d 2769 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
5352sumeq2dv 15667 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
5412a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
551, 54, 8fsummulc1 15749 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³))
5655oveq2d 7430 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
5747, 53, 563eqtr4d 2777 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
5857mpteq2ia 5245 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
5916a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
6042, 48addcld 11249 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³) ∈ β„‚)
6141, 60subcld 11587 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)) ∈ β„‚)
628, 61mulcld 11250 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ∈ β„‚)
631, 62fsumcl 15697 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ∈ β„‚)
6463adantl 481 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ∈ β„‚)
65 1red 11231 . . . . . 6 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ)
6663abscld 15401 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ∈ ℝ)
6762abscld 15401 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ∈ ℝ)
681, 67fsumrecl 15698 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ∈ ℝ)
69 1red 11231 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ)
701, 62fsumabs 15765 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))))
71 rprege0 13007 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
72 flge0nn0 13803 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
7473nn0red 12549 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
75 rerpdivcl 13022 . . . . . . . . . 10 (((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ ℝ)
7674, 75mpancom 687 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ ℝ)
77 rpreccl 13018 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
7978rpred 13034 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
808abscld 15401 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ℝ)
813nnrecred 12279 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
8261abscld 15401 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ∈ ℝ)
83 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
84 rpdivcl 13017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 / π‘₯) ∈ ℝ+)
8526, 83, 84syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 / π‘₯) ∈ ℝ+)
8685rpred 13034 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 / π‘₯) ∈ ℝ)
878absge0d 15409 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
8861absge0d 15409 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))))
896recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
903nncnd 12244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
913nnne0d 12278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 β‰  0)
9289, 90, 91absdivd 15420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) / (absβ€˜π‘›)))
933nnrpd 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
94 rprege0 13007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑛))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑛))
96 absid 15261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜π‘›) = 𝑛)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜π‘›) = 𝑛)
9897oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) / (absβ€˜π‘›)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) / 𝑛))
9992, 98eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) / 𝑛))
10089abscld 15401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
101 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
102 mule1 27054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
1033, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
104100, 101, 93, 103lediv1dd 13092 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) / 𝑛) ≀ (1 / 𝑛))
10599, 104eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ≀ (1 / 𝑛))
106 harmonicbnd4 26917 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ≀ (1 / (π‘₯ / 𝑛)))
10728, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ≀ (1 / (π‘₯ / 𝑛)))
108 rpcnne0 13010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
110 rpcnne0 13010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
11193, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
112 recdiv 11936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ (1 / (π‘₯ / 𝑛)) = (𝑛 / π‘₯))
113109, 111, 112syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / (π‘₯ / 𝑛)) = (𝑛 / π‘₯))
114107, 113breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ≀ (𝑛 / π‘₯))
11580, 81, 82, 86, 87, 88, 105, 114lemul12ad 12172 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) Β· (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ ((1 / 𝑛) Β· (𝑛 / π‘₯)))
1168, 61absmuld 15419 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) = ((absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) Β· (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))))
117 1cnd 11225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ β„‚)
118 dmdcan 11940 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 / π‘₯) Β· (1 / 𝑛)) = (1 / π‘₯))
119111, 109, 117, 118syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝑛 / π‘₯) Β· (1 / 𝑛)) = (1 / π‘₯))
12085rpcnd 13036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 / π‘₯) ∈ β„‚)
12181recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
122120, 121mulcomd 11251 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝑛 / π‘₯) Β· (1 / 𝑛)) = ((1 / 𝑛) Β· (𝑛 / π‘₯)))
123119, 122eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / π‘₯) = ((1 / 𝑛) Β· (𝑛 / π‘₯)))
124115, 116, 1233brtr4d 5174 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ (1 / π‘₯))
1251, 67, 79, 124fsumle 15763 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / π‘₯))
126 hashfz1 14323 . . . . . . . . . . . . 13 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
12773, 126syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
128127oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· (1 / π‘₯)) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· (1 / π‘₯)))
12977rpcnd 13036 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
130 fsumconst 15754 . . . . . . . . . . . 12 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ (1 / π‘₯) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / π‘₯) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· (1 / π‘₯)))
1311, 129, 130syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / π‘₯) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· (1 / π‘₯)))
13273nn0cnd 12550 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
133 rpcn 13002 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
134 rpne0 13008 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
135132, 133, 134divrecd 12009 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· (1 / π‘₯)))
136128, 131, 1353eqtr4d 2777 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / π‘₯) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯))
137125, 136breqtrd 5168 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯))
138 rpre 13000 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
139 flle 13782 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
141133mulridd 11247 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ Β· 1) = π‘₯)
142140, 141breqtrrd 5170 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ (π‘₯ Β· 1))
143 reflcl 13779 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
144138, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
145 rpregt0 13006 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
146 ledivmul 12106 . . . . . . . . . . 11 (((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ≀ 1 ↔ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ (π‘₯ Β· 1)))
147144, 69, 145, 146syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ≀ 1 ↔ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ (π‘₯ Β· 1)))
148142, 147mpbird 257 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ≀ 1)
14968, 76, 69, 137, 148letrd 11387 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ 1)
15066, 68, 69, 70, 149letrd 11387 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ 1)
151150ad2antrl 727 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ 1)
15259, 64, 65, 65, 151elo1d 15498 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ∈ 𝑂(1))
15358, 152eqeltrrid 2833 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³))) ∈ 𝑂(1))
15434, 37, 153o1dif 15592 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)) ∈ 𝑂(1)))
15520, 154mpbird 257 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
156155mptru 1541 1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  βŠ€wtru 1535   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  β„+crp 12992  ...cfz 13502  βŒŠcfl 13773  β™―chash 14307  abscabs 15199  π‘‚(1)co1 15448  Ξ£csu 15650  logclog 26462  Ξ³cem 26898  ΞΌcmu 27001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-o1 15452  df-lo1 15453  df-sum 15651  df-ef 16029  df-e 16030  df-sin 16031  df-cos 16032  df-tan 16033  df-pi 16034  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-prm 16628  df-pc 16791  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-cmp 23265  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-limc 25769  df-dv 25770  df-ulm 26287  df-log 26464  df-atan 26773  df-em 26899  df-mu 27007
This theorem is referenced by:  mulogsum  27439
  Copyright terms: Public domain W3C validator