MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulogsumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulogsumlem 27575
Description: Lemma for mulogsum 27576. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsumlem (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   𝑚,𝑛,𝑥

Proof of Theorem mulogsumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 14014 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 elfznn 13593 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
32adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
4 mucl 27184 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
65zred 12722 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
76, 3nndivred 12320 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
87recnd 11289 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
91, 8fsumcl 15769 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
109adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
11 emre 27049 . . . . . 6 γ ∈ ℝ
1211recni 11275 . . . . 5 γ ∈ ℂ
1312a1i 11 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → γ ∈ ℂ)
14 mudivsum 27574 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
1514a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
16 rpssre 13042 . . . . . 6 + ⊆ ℝ
17 o1const 15656 . . . . . 6 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ γ ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1))
1816, 12, 17mp2an 692 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1)
1918a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ γ) ∈ 𝑂(1))
2010, 13, 15, 19o1mul2 15661 . . 3 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)) ∈ 𝑂(1))
21 fzfid 14014 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ Fin)
22 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛))) → 𝑚 ∈ ℕ)
2322adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
2423nnrecred 12317 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
2521, 24fsumrecl 15770 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
262nnrpd 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
27 rpdivcl 13060 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
2826, 27sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
2928relogcld 26665 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3025, 29resubcld 11691 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
317, 30remulcld 11291 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
321, 31fsumrecl 15770 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
3332recnd 11289 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
3433adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
35 mulcl 11239 . . . . . 6 ((Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ ∧ γ ∈ ℂ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ) ∈ ℂ)
369, 12, 35sylancl 586 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ) ∈ ℂ)
3736adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ) ∈ ℂ)
38 nnrecre 12308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
3938recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
4023, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
4121, 40fsumcl 15769 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
4229recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
4341, 42subcld 11620 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
448, 43mulcld 11281 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
45 mulcl 11239 . . . . . . . . 9 ((((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ ∧ γ ∈ ℂ) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ) ∈ ℂ)
468, 12, 45sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ) ∈ ℂ)
471, 44, 46fsumsub 15824 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
4812a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → γ ∈ ℂ)
4941, 42, 48subsub4d 11651 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))) − γ) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))
5049oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))) − γ)) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))))
518, 43, 48subdid 11719 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))) − γ)) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
5250, 51eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
5352sumeq2dv 15738 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
5412a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → γ ∈ ℂ)
551, 54, 8fsummulc1 15821 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ))
5655oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
5747, 53, 563eqtr4d 2787 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
5857mpteq2ia 5245 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)))
5916a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
6042, 48addcld 11280 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ) ∈ ℂ)
6141, 60subcld 11620 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)) ∈ ℂ)
628, 61mulcld 11281 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ∈ ℂ)
631, 62fsumcl 15769 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ∈ ℂ)
6463adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ∈ ℂ)
65 1red 11262 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
6663abscld 15475 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ∈ ℝ)
6762abscld 15475 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ∈ ℝ)
681, 67fsumrecl 15770 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ∈ ℝ)
69 1red 11262 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
701, 62fsumabs 15837 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))))
71 rprege0 13050 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
72 flge0nn0 13860 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
7473nn0red 12588 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
75 rerpdivcl 13065 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
7674, 75mpancom 688 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
77 rpreccl 13061 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
7978rpred 13077 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
808abscld 15475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
813nnrecred 12317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
8261abscld 15475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ∈ ℝ)
83 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+)
84 rpdivcl 13060 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 / 𝑥) ∈ ℝ+)
8526, 83, 84syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 / 𝑥) ∈ ℝ+)
8685rpred 13077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 / 𝑥) ∈ ℝ)
878absge0d 15483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)))
8861absge0d 15483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))))
896recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℂ)
903nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℂ)
913nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ≠ 0)
9289, 90, 91absdivd 15494 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)) = ((abs‘(μ‘𝑛)) / (abs‘𝑛)))
933nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
94 rprege0 13050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
96 absid 15335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
9897oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑛)) / (abs‘𝑛)) = ((abs‘(μ‘𝑛)) / 𝑛))
9992, 98eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)) = ((abs‘(μ‘𝑛)) / 𝑛))
10089abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑛)) ∈ ℝ)
101 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
102 mule1 27191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (abs‘(μ‘𝑛)) ≤ 1)
1033, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(μ‘𝑛)) ≤ 1)
104100, 101, 93, 103lediv1dd 13135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(μ‘𝑛)) / 𝑛) ≤ (1 / 𝑛))
10599, 104eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (1 / 𝑛))
106 harmonicbnd4 27054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ≤ (1 / (𝑥 / 𝑛)))
10728, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ≤ (1 / (𝑥 / 𝑛)))
108 rpcnne0 13053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
110 rpcnne0 13053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
11193, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
112 recdiv 11973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / 𝑛)) = (𝑛 / 𝑥))
113109, 111, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑥 / 𝑛)) = (𝑛 / 𝑥))
114107, 113breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ))) ≤ (𝑛 / 𝑥))
11580, 81, 82, 86, 87, 88, 105, 114lemul12ad 12210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)) · (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ ((1 / 𝑛) · (𝑛 / 𝑥)))
1168, 61absmuld 15493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) = ((abs‘((μ‘𝑛) / 𝑛)) · (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))))
117 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
118 dmdcan 11977 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 / 𝑥) · (1 / 𝑛)) = (1 / 𝑥))
119111, 109, 117, 118syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 / 𝑥) · (1 / 𝑛)) = (1 / 𝑥))
12085rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 / 𝑥) ∈ ℂ)
12181recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
122120, 121mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑛 / 𝑥) · (1 / 𝑛)) = ((1 / 𝑛) · (𝑛 / 𝑥)))
123119, 122eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) = ((1 / 𝑛) · (𝑛 / 𝑥)))
124115, 116, 1233brtr4d 5175 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ (1 / 𝑥))
1251, 67, 79, 124fsumle 15835 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥))
126 hashfz1 14385 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
12773, 126syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
128127oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)) = ((⌊‘𝑥) · (1 / 𝑥)))
12977rpcnd 13079 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
130 fsumconst 15826 . . . . . . . . . . . 12 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ (1 / 𝑥) ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)))
1311, 129, 130syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)))
13273nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ∈ ℂ)
133 rpcn 13045 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
134 rpne0 13051 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
135132, 133, 134divrecd 12046 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) · (1 / 𝑥)))
136128, 131, 1353eqtr4d 2787 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) / 𝑥))
137125, 136breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ ((⌊‘𝑥) / 𝑥))
138 rpre 13043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
139 flle 13839 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
141133mulridd 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
142140, 141breqtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1))
143 reflcl 13836 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
144138, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
145 rpregt0 13049 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
146 ledivmul 12144 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1)))
147144, 69, 145, 146syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1)))
148142, 147mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1)
14968, 76, 69, 137, 148letrd 11418 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ 1)
15066, 68, 69, 70, 149letrd 11418 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ 1)
151150ad2antrl 728 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ≤ 1)
15259, 64, 65, 65, 151elo1d 15572 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − ((log‘(𝑥 / 𝑛)) + γ)))) ∈ 𝑂(1))
15358, 152eqeltrrid 2846 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) − (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ))) ∈ 𝑂(1))
15434, 37, 153o1dif 15666 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((μ‘𝑛) / 𝑛) · γ)) ∈ 𝑂(1)))
15520, 154mpbird 257 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
156155mptru 1547 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  ...cfz 13547  cfl 13830  chash 14369  abscabs 15273  𝑂(1)co1 15522  Σcsu 15722  logclog 26596  γcem 27035  μcmu 27138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-o1 15526  df-lo1 15527  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420  df-log 26598  df-atan 26910  df-em 27036  df-mu 27144
This theorem is referenced by:  mulogsum  27576
  Copyright terms: Public domain W3C validator