MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulogsumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulogsumlem 27480
Description: Lemma for mulogsum 27481. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsumlem (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   π‘š,𝑛,π‘₯

Proof of Theorem mulogsumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 13968 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
2 elfznn 13560 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
32adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4 mucl 27089 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
65zred 12694 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
76, 3nndivred 12294 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
87recnd 11270 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
91, 8fsumcl 15709 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
109adantl 480 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
11 emre 26954 . . . . . 6 Ξ³ ∈ ℝ
1211recni 11256 . . . . 5 Ξ³ ∈ β„‚
1312a1i 11 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
14 mudivsum 27479 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1)
1514a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
16 rpssre 13011 . . . . . 6 ℝ+ βŠ† ℝ
17 o1const 15594 . . . . . 6 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ Ξ³ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ³) ∈ 𝑂(1))
1816, 12, 17mp2an 690 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ³) ∈ 𝑂(1)
1918a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ³) ∈ 𝑂(1))
2010, 13, 15, 19o1mul2 15599 . . 3 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)) ∈ 𝑂(1))
21 fzfid 13968 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ Fin)
22 elfznn 13560 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) β†’ π‘š ∈ β„•)
2322adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
2423nnrecred 12291 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (1 / π‘š) ∈ ℝ)
2521, 24fsumrecl 15710 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) ∈ ℝ)
262nnrpd 13044 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
27 rpdivcl 13029 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
2826, 27sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
2928relogcld 26573 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
3025, 29resubcld 11670 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ)
317, 30remulcld 11272 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ ℝ)
321, 31fsumrecl 15710 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ ℝ)
3332recnd 11270 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
3433adantl 480 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
35 mulcl 11220 . . . . . 6 ((Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚ ∧ Ξ³ ∈ β„‚) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³) ∈ β„‚)
369, 12, 35sylancl 584 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³) ∈ β„‚)
3736adantl 480 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³) ∈ β„‚)
38 nnrecre 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ (1 / π‘š) ∈ ℝ)
3938recnd 11270 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ (1 / π‘š) ∈ β„‚)
4023, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (1 / π‘š) ∈ β„‚)
4121, 40fsumcl 15709 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) ∈ β„‚)
4229recnd 11270 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
4341, 42subcld 11599 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
448, 43mulcld 11262 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
45 mulcl 11220 . . . . . . . . 9 ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚ ∧ Ξ³ ∈ β„‚) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³) ∈ β„‚)
468, 12, 45sylancl 584 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³) ∈ β„‚)
471, 44, 46fsumsub 15764 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
4812a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
4941, 42, 48subsub4d 11630 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ Ξ³) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))
5049oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ Ξ³)) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))))
518, 43, 48subdid 11698 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ Ξ³)) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
5250, 51eqtr3d 2767 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
5352sumeq2dv 15679 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
5412a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Ξ³ ∈ β„‚)
551, 54, 8fsummulc1 15761 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³))
5655oveq2d 7431 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
5747, 53, 563eqtr4d 2775 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
5857mpteq2ia 5246 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)))
5916a1i 11 . . . . . 6 (⊀ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
6042, 48addcld 11261 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³) ∈ β„‚)
6141, 60subcld 11599 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)) ∈ β„‚)
628, 61mulcld 11262 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ∈ β„‚)
631, 62fsumcl 15709 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ∈ β„‚)
6463adantl 480 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ∈ β„‚)
65 1red 11243 . . . . . 6 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ)
6663abscld 15413 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ∈ ℝ)
6762abscld 15413 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ∈ ℝ)
681, 67fsumrecl 15710 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ∈ ℝ)
69 1red 11243 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ)
701, 62fsumabs 15777 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))))
71 rprege0 13019 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
72 flge0nn0 13815 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
7473nn0red 12561 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
75 rerpdivcl 13034 . . . . . . . . . 10 (((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ ℝ)
7674, 75mpancom 686 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ ℝ)
77 rpreccl 13030 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
7877adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
7978rpred 13046 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
808abscld 15413 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ℝ)
813nnrecred 12291 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
8261abscld 15413 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ∈ ℝ)
83 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
84 rpdivcl 13029 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 / π‘₯) ∈ ℝ+)
8526, 83, 84syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 / π‘₯) ∈ ℝ+)
8685rpred 13046 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 / π‘₯) ∈ ℝ)
878absge0d 15421 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)))
8861absge0d 15421 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))))
896recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
903nncnd 12256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
913nnne0d 12290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 β‰  0)
9289, 90, 91absdivd 15432 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) / (absβ€˜π‘›)))
933nnrpd 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
94 rprege0 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑛))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑛))
96 absid 15273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑛) β†’ (absβ€˜π‘›) = 𝑛)
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜π‘›) = 𝑛)
9897oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) / (absβ€˜π‘›)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) / 𝑛))
9992, 98eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) / 𝑛))
10089abscld 15413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
101 1red 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
102 mule1 27096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
1033, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
104100, 101, 93, 103lediv1dd 13104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) / 𝑛) ≀ (1 / 𝑛))
10599, 104eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) ≀ (1 / 𝑛))
106 harmonicbnd4 26959 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ≀ (1 / (π‘₯ / 𝑛)))
10728, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ≀ (1 / (π‘₯ / 𝑛)))
108 rpcnne0 13022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
109108adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
110 rpcnne0 13022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
11193, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
112 recdiv 11948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ (1 / (π‘₯ / 𝑛)) = (𝑛 / π‘₯))
113109, 111, 112syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / (π‘₯ / 𝑛)) = (𝑛 / π‘₯))
114107, 113breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³))) ≀ (𝑛 / π‘₯))
11580, 81, 82, 86, 87, 88, 105, 114lemul12ad 12184 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) Β· (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ ((1 / 𝑛) Β· (𝑛 / π‘₯)))
1168, 61absmuld 15431 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) = ((absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛)) Β· (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))))
117 1cnd 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ β„‚)
118 dmdcan 11952 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑛 / π‘₯) Β· (1 / 𝑛)) = (1 / π‘₯))
119111, 109, 117, 118syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝑛 / π‘₯) Β· (1 / 𝑛)) = (1 / π‘₯))
12085rpcnd 13048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 / π‘₯) ∈ β„‚)
12181recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / 𝑛) ∈ β„‚)
122120, 121mulcomd 11263 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝑛 / π‘₯) Β· (1 / 𝑛)) = ((1 / 𝑛) Β· (𝑛 / π‘₯)))
123119, 122eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / π‘₯) = ((1 / 𝑛) Β· (𝑛 / π‘₯)))
124115, 116, 1233brtr4d 5175 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ (1 / π‘₯))
1251, 67, 79, 124fsumle 15775 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / π‘₯))
126 hashfz1 14335 . . . . . . . . . . . . 13 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
12773, 126syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
128127oveq1d 7430 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· (1 / π‘₯)) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· (1 / π‘₯)))
12977rpcnd 13048 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
130 fsumconst 15766 . . . . . . . . . . . 12 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ (1 / π‘₯) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / π‘₯) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· (1 / π‘₯)))
1311, 129, 130syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / π‘₯) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· (1 / π‘₯)))
13273nn0cnd 12562 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
133 rpcn 13014 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
134 rpne0 13020 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ β‰  0)
135132, 133, 134divrecd 12021 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· (1 / π‘₯)))
136128, 131, 1353eqtr4d 2775 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / π‘₯) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯))
137125, 136breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯))
138 rpre 13012 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
139 flle 13794 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
141133mulridd 11259 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ Β· 1) = π‘₯)
142140, 141breqtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ (π‘₯ Β· 1))
143 reflcl 13791 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
144138, 143syl 17 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
145 rpregt0 13018 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
146 ledivmul 12118 . . . . . . . . . . 11 (((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ≀ 1 ↔ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ (π‘₯ Β· 1)))
147144, 69, 145, 146syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ≀ 1 ↔ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ (π‘₯ Β· 1)))
148142, 147mpbird 256 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ≀ 1)
14968, 76, 69, 137, 148letrd 11399 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ 1)
15066, 68, 69, 70, 149letrd 11399 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ 1)
151150ad2antrl 726 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ≀ 1)
15259, 64, 65, 65, 151elo1d 15510 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) + Ξ³)))) ∈ 𝑂(1))
15358, 152eqeltrrid 2830 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) βˆ’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³))) ∈ 𝑂(1))
15434, 37, 153o1dif 15604 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ³)) ∈ 𝑂(1)))
15520, 154mpbird 256 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
156155mptru 1540 1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472   / cdiv 11899  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  β„+crp 13004  ...cfz 13514  βŒŠcfl 13785  β™―chash 14319  abscabs 15211  π‘‚(1)co1 15460  Ξ£csu 15662  logclog 26504  Ξ³cem 26940  ΞΌcmu 27043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-dju 9922  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-mod 13865  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-o1 15464  df-lo1 15465  df-sum 15663  df-ef 16041  df-e 16042  df-sin 16043  df-cos 16044  df-tan 16045  df-pi 16046  df-dvds 16229  df-gcd 16467  df-prm 16640  df-pc 16803  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812  df-ulm 26329  df-log 26506  df-atan 26815  df-em 26941  df-mu 27049
This theorem is referenced by:  mulogsum  27481
  Copyright terms: Public domain W3C validator