Theorem logfacrlim 27515

Description: Combine the estimates logfacubnd 27512 and logfaclbnd 27513, to get log(𝑥!) = 𝑥log𝑥 + 𝑂(𝑥). Equation 9.2.9 of [Shapiro], p. 329. This is a weak form of the even stronger statement, log(𝑥!) = 𝑥log𝑥 − 𝑥 + 𝑂(log𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logfacrlim	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem logfacrlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11281	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2		1cnd 11274	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
3		relogcl 26867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
6		1cnd 11274	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
7		rpcnne0 13109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
8	7	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
9		divdir 11969	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) = (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥)))
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) = (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥)))
11	10	mpteq2dva 5197	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))))
12		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13	4, 12	rerpdivcld 13165	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
14		rpreccl 13118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
16	15	rpred 13134	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
17	8	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	cxp1d 26998	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
19	18	oveq2d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1)) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
20	19	mpteq2dva 5197	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥)))
21		1rp 13094	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
22		cxploglim 27269	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1))) ⇝𝑟 0)
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1))) ⇝𝑟 0)
24	20, 23	eqbrtrrd 5128	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
25		ax-1cn 11230	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		divrcnv 15989	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
27	25, 26	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
28	13, 16, 24, 27	rlimadd 15778	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))) ⇝𝑟 (0 + 0))
29	11, 28	eqbrtrd 5126	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) ⇝𝑟 (0 + 0))
30		00id 11457	. . . 4 ⊢ (0 + 0) = 0
31	29, 30	breqtrdi 5145	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
32		peano2re 11455	. . . . . 6 ⊢ ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
33	4, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
34	33, 12	rerpdivcld 13165	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11309	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℂ)
36		rprege0 13106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
37	36	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
38		flge0nn0 13929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
39		faccl 14395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℕ)
40	37, 38, 39	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℕ)
41	40	nnrpd 13132	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℝ+)
42		relogcl 26867	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℝ)
43	41, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℝ)
44	43, 12	rerpdivcld 13165	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11309	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℂ)
46	5, 45	subcld 11641	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ ℂ)
47		logfacbnd3 27514	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1))
48	47	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1))
49	43	recnd 11309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ)
50	49	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ)
51	7	ad2antrl 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
52	51	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
53	5	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
54		subcl 11528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
55	53, 25, 54	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
56	52, 55	mulcld 11301	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
57	50, 56	subcld 11641	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) ∈ ℂ)
58	57	abscld 15574	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ∈ ℝ)
59	4	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
60	59, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
61		rpregt0 13105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
62	61	ad2antrl 741	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
63		lediv1 12152	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1) ↔ ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥) ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1) ↔ ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥) ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
65	48, 64	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥) ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
66	51	simprd 501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ≠ 0)
67	55, 52, 66	divcan3d 12068	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) = ((log‘𝑥) − 1))
68	67	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) = (((log‘𝑥) − 1) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
69		divsubdir 11980	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) ∈ ℂ ∧ (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥) = (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
70	56, 50, 51, 69	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥) = (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
71	45	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℂ)
72		1cnd 11274	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ ℂ)
73	53, 71, 72	sub32d 11673	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1) = (((log‘𝑥) − 1) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
74	68, 70, 73	3eqtr4rd 2806	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1) = (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥))
75	74	fveq2d 6877	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1)) = (abs‘(((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥)))
76	56, 50	subcld 11641	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) ∈ ℂ)
77	76, 52, 66	absdivd 15593	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥)) = ((abs‘((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥))))) / (abs‘𝑥)))
78	56, 50	abssubd 15591	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥))))) = (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))))
79	36	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
80		absid 15431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
81	79, 80	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
82	78, 81	oveq12d 7426	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((abs‘((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥))))) / (abs‘𝑥)) = ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥))
83	75, 77, 82	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1)) = ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥))
84	35	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℂ)
85	84	subid1d 11630	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
86	85	fveq2d 6877	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
87		log1 26877	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘1) = 0
88		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
89	12	adantrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
90		logleb 26895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
91	21, 89, 90	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
92	88, 91	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
93	87, 92	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
94	59, 93	ge0p1rpd 13164	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ+)
95	94, 89	rpdivcld 13151	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ+)
96		rprege0 13106	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ+ → ((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
97		absid 15431	. . . . . 6 ⊢ (((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
98	95, 96, 97	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
99	86, 98	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0)) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
100	65, 83, 99	3brtr4d 5136	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1)) ≤ (abs‘((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0)))
101	1, 2, 31, 35, 46, 100	rlimsqzlem 15784	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥))) ⇝𝑟 1)
102	101	mptru 1577	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥))) ⇝𝑟 1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11170  ℝcr 11171  0cc0 11172  1c1 11173   + caddc 11175   · cmul 11177   < clt 11315   ≤ cle 11316   − cmin 11513   / cdiv 11943  ℕcn 12305  ℕ₀cn0 12576  ℝ⁺crp 13090  ⌊cfl 13899  !cfa 14385  abscabs 15369   ⇝_𝑟 crli 15620  logclog 26846  ↑_𝑐ccxp 26847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250  ax-addf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9992  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-q 13046  df-rp 13091  df-xneg 13211  df-xadd 13212  df-xmul 13213  df-ioo 13450  df-ioc 13451  df-ico 13452  df-icc 13453  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-fl 13901  df-mod 13979  df-seq 14114  df-exp 14174  df-fac 14386  df-bc 14415  df-hash 14443  df-shft 15188  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-limsup 15606  df-clim 15623  df-rlim 15624  df-sum 15822  df-ef 16201  df-sin 16203  df-cos 16204  df-pi 16206  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-starv 17405  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-unif 17413  df-hom 17414  df-cco 17415  df-rest 17555  df-topn 17556  df-0g 17574  df-gsum 17575  df-topgen 17576  df-pt 17577  df-prds 17580  df-xrs 17636  df-qtop 17641  df-imas 17642  df-xps 17644  df-mre 17718  df-mrc 17719  df-acs 17721  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-submnd 18941  df-mulg 19240  df-cntz 19493  df-cmn 19958  df-psmet 21632  df-xmet 21633  df-met 21634  df-bl 21635  df-mopn 21636  df-fbas 21637  df-fg 21638  df-cnfld 21641  df-top 23174  df-topon 23191  df-topsp 23213  df-bases 23226  df-cld 23299  df-ntr 23300  df-cls 23301  df-nei 23378  df-lp 23416  df-perf 23417  df-cn 23507  df-cnp 23508  df-haus 23595  df-cmp 23667  df-tx 23843  df-hmeo 24036  df-fil 24127  df-fm 24219  df-flim 24220  df-flf 24221  df-xms 24601  df-ms 24602  df-tms 24603  df-cncf 25161  df-limc 26148  df-dv 26149  df-log 26848  df-cxp 26849

This theorem is used by:  vmadivsum  27773