Theorem logfacrlim 27364

Description: Combine the estimates logfacubnd 27361 and logfaclbnd 27362, to get log(𝑥!) = 𝑥log𝑥 + 𝑂(𝑥). Equation 9.2.9 of [Shapiro], p. 329. This is a weak form of the even stronger statement, log(𝑥!) = 𝑥log𝑥 − 𝑥 + 𝑂(log𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logfacrlim	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem logfacrlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11208	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2		1cnd 11201	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
3		relogcl 26716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11236	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
6		1cnd 11201	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
7		rpcnne0 13034	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
8	7	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
9		divdir 11896	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) = (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥)))
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) = (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥)))
11	10	mpteq2dva 5203	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))))
12		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13	4, 12	rerpdivcld 13090	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
14		rpreccl 13043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
15	14	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
16	15	rpred 13059	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
17	8	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	cxp1d 26847	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
19	18	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1)) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
20	19	mpteq2dva 5203	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥)))
21		1rp 13019	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
22		cxploglim 27118	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1))) ⇝𝑟 0)
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1))) ⇝𝑟 0)
24	20, 23	eqbrtrrd 5134	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
25		ax-1cn 11157	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		divrcnv 15906	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
27	25, 26	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
28	13, 16, 24, 27	rlimadd 15694	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))) ⇝𝑟 (0 + 0))
29	11, 28	eqbrtrd 5132	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) ⇝𝑟 (0 + 0))
30		00id 11384	. . . 4 ⊢ (0 + 0) = 0
31	29, 30	breqtrdi 5151	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
32		peano2re 11382	. . . . . 6 ⊢ ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
33	4, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
34	33, 12	rerpdivcld 13090	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11236	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℂ)
36		rprege0 13031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
37	36	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
38		flge0nn0 13853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
39		faccl 14319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℕ)
40	37, 38, 39	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℕ)
41	40	nnrpd 13057	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℝ+)
42		relogcl 26716	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℝ)
43	41, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℝ)
44	43, 12	rerpdivcld 13090	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11236	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℂ)
46	5, 45	subcld 11568	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ ℂ)
47		logfacbnd3 27363	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1))
48	47	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1))
49	43	recnd 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ)
50	49	adantrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ)
51	7	ad2antrl 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
52	51	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
53	5	adantrr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
54		subcl 11455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
55	53, 25, 54	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
56	52, 55	mulcld 11228	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
57	50, 56	subcld 11568	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) ∈ ℂ)
58	57	abscld 15490	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ∈ ℝ)
59	4	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
60	59, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
61		rpregt0 13030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
62	61	ad2antrl 740	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
63		lediv1 12079	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1) ↔ ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥) ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1) ↔ ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥) ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
65	48, 64	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥) ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
66	51	simprd 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ≠ 0)
67	55, 52, 66	divcan3d 11995	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) = ((log‘𝑥) − 1))
68	67	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) = (((log‘𝑥) − 1) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
69		divsubdir 11907	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) ∈ ℂ ∧ (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥) = (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
70	56, 50, 51, 69	syl3anc 1396	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥) = (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
71	45	adantrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℂ)
72		1cnd 11201	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ ℂ)
73	53, 71, 72	sub32d 11600	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1) = (((log‘𝑥) − 1) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
74	68, 70, 73	3eqtr4rd 2807	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1) = (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥))
75	74	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1)) = (abs‘(((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥)))
76	56, 50	subcld 11568	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) ∈ ℂ)
77	76, 52, 66	absdivd 15509	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥)) = ((abs‘((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥))))) / (abs‘𝑥)))
78	56, 50	abssubd 15507	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥))))) = (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))))
79	36	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
80		absid 15347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
81	79, 80	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
82	78, 81	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((abs‘((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥))))) / (abs‘𝑥)) = ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥))
83	75, 77, 82	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1)) = ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥))
84	35	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℂ)
85	84	subid1d 11557	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
86	85	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
87		log1 26726	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘1) = 0
88		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
89	12	adantrr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
90		logleb 26744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
91	21, 89, 90	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
92	88, 91	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
93	87, 92	eqbrtrrid 5146	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
94	59, 93	ge0p1rpd 13089	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ+)
95	94, 89	rpdivcld 13076	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ+)
96		rprege0 13031	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ+ → ((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
97		absid 15347	. . . . . 6 ⊢ (((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
98	95, 96, 97	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
99	86, 98	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0)) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
100	65, 83, 99	3brtr4d 5142	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1)) ≤ (abs‘((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0)))
101	1, 2, 31, 35, 46, 100	rlimsqzlem 15700	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥))) ⇝𝑟 1)
102	101	mptru 1575	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568  ⊤wtru 1569   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   < clt 11242   ≤ cle 11243   − cmin 11440   / cdiv 11870  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℝ⁺crp 13015  ⌊cfl 13823  !cfa 14309  abscabs 15285   ⇝_𝑟 crli 15536  logclog 26695  ↑_𝑐ccxp 26696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-cmp 23523  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005  df-log 26697  df-cxp 26698

This theorem is referenced by:  vmadivsum  27622