Theorem logfacrlim 27346

Description: Combine the estimates logfacubnd 27343 and logfaclbnd 27344, to get log(𝑥!) = 𝑥log𝑥 + 𝑂(𝑥). Equation 9.2.9 of [Shapiro], p. 329. This is a weak form of the even stronger statement, log(𝑥!) = 𝑥log𝑥 − 𝑥 + 𝑂(log𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logfacrlim	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem logfacrlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11197	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2		1cnd 11190	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
3		relogcl 26698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11225	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
6		1cnd 11190	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
7		rpcnne0 13026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
8	7	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
9		divdir 11885	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) = (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥)))
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1394	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) = (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥)))
11	10	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))))
12		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13	4, 12	rerpdivcld 13082	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
14		rpreccl 13035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
15	14	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
16	15	rpred 13051	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
17	8	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	cxp1d 26829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
19	18	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1)) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
20	19	mpteq2dva 5198	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥)))
21		1rp 13011	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
22		cxploglim 27100	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1))) ⇝𝑟 0)
23	21, 22	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1))) ⇝𝑟 0)
24	20, 23	eqbrtrrd 5129	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
25		ax-1cn 11146	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		divrcnv 15896	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
27	25, 26	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
28	13, 16, 24, 27	rlimadd 15684	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))) ⇝𝑟 (0 + 0))
29	11, 28	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) ⇝𝑟 (0 + 0))
30		00id 11373	. . . 4 ⊢ (0 + 0) = 0
31	29, 30	breqtrdi 5146	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
32		peano2re 11371	. . . . . 6 ⊢ ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
33	4, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
34	33, 12	rerpdivcld 13082	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11225	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℂ)
36		rprege0 13023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
37	36	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
38		flge0nn0 13844	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
39		faccl 14310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℕ)
40	37, 38, 39	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℕ)
41	40	nnrpd 13049	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℝ+)
42		relogcl 26698	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℝ)
43	41, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℝ)
44	43, 12	rerpdivcld 13082	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11225	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℂ)
46	5, 45	subcld 11557	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ ℂ)
47		logfacbnd3 27345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1))
48	47	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1))
49	43	recnd 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ)
50	49	adantrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ)
51	7	ad2antrl 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
52	51	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
53	5	adantrr 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
54		subcl 11444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
55	53, 25, 54	sylancl 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
56	52, 55	mulcld 11217	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
57	50, 56	subcld 11557	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) ∈ ℂ)
58	57	abscld 15480	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ∈ ℝ)
59	4	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
60	59, 32	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
61		rpregt0 13022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
62	61	ad2antrl 740	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
63		lediv1 12071	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1) ↔ ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥) ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1394	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1) ↔ ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥) ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
65	48, 64	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥) ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
66	51	simprd 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ≠ 0)
67	55, 52, 66	divcan3d 11987	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) = ((log‘𝑥) − 1))
68	67	oveq1d 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) = (((log‘𝑥) − 1) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
69		divsubdir 11899	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) ∈ ℂ ∧ (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥) = (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
70	56, 50, 51, 69	syl3anc 1394	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥) = (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
71	45	adantrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℂ)
72		1cnd 11190	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ ℂ)
73	53, 71, 72	sub32d 11589	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1) = (((log‘𝑥) − 1) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
74	68, 70, 73	3eqtr4rd 2811	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1) = (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥))
75	74	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1)) = (abs‘(((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥)))
76	56, 50	subcld 11557	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) ∈ ℂ)
77	76, 52, 66	absdivd 15499	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥)) = ((abs‘((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥))))) / (abs‘𝑥)))
78	56, 50	abssubd 15497	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥))))) = (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))))
79	36	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
80		absid 15337	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
81	79, 80	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
82	78, 81	oveq12d 7418	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((abs‘((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥))))) / (abs‘𝑥)) = ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥))
83	75, 77, 82	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1)) = ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥))
84	35	adantrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℂ)
85	84	subid1d 11546	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
86	85	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
87		log1 26708	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘1) = 0
88		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
89	12	adantrr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
90		logleb 26726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
91	21, 89, 90	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
92	88, 91	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
93	87, 92	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
94	59, 93	ge0p1rpd 13081	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ+)
95	94, 89	rpdivcld 13068	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ+)
96		rprege0 13023	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ+ → ((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
97		absid 15337	. . . . . 6 ⊢ (((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
98	95, 96, 97	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
99	86, 98	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0)) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
100	65, 83, 99	3brtr4d 5137	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1)) ≤ (abs‘((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0)))
101	1, 2, 31, 35, 46, 100	rlimsqzlem 15690	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥))) ⇝𝑟 1)
102	101	mptru 1570	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563  ⊤wtru 1564   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12224  ℕ₀cn0 12495  ℝ⁺crp 13007  ⌊cfl 13814  !cfa 14300  abscabs 15275   ⇝_𝑟 crli 15526  logclog 26677  ↑_𝑐ccxp 26678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-shft 15094  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-ef 16111  df-sin 16113  df-cos 16114  df-pi 16116  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-cmp 23505  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-limc 25986  df-dv 25987  df-log 26679  df-cxp 26680

This theorem is referenced by:  vmadivsum  27604