Theorem logfacrlim 27258

Description: Combine the estimates logfacubnd 27255 and logfaclbnd 27256, to get log(𝑥!) = 𝑥log𝑥 + 𝑂(𝑥). Equation 9.2.9 of [Shapiro], p. 329. This is a weak form of the even stronger statement, log(𝑥!) = 𝑥log𝑥 − 𝑥 + 𝑂(log𝑥). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
logfacrlim	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥))) ⇝𝑟 1

Proof of Theorem logfacrlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 11172	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
2		1cnd 11165	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
3		relogcl 26610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4	3	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11200	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
6		1cnd 11165	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
7		rpcnne0 13002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
8	7	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
9		divdir 11860	. . . . . . 7 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) = (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥)))
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) = (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥)))
11	10	mpteq2dva 5187	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))))
12		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
13	4, 12	rerpdivcld 13058	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
14		rpreccl 13011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
15	14	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
16	15	rpred 13027	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
17	8	simpld 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
18	17	cxp1d 26741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑𝑐1) = 𝑥)
19	18	oveq2d 7401	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1)) = ((log‘𝑥) / 𝑥))
20	19	mpteq2dva 5187	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥)))
21		1rp 12987	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ+
22		cxploglim 27012	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1))) ⇝𝑟 0)
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / (𝑥↑𝑐1))) ⇝𝑟 0)
24	20, 23	eqbrtrrd 5118	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
25		ax-1cn 11121	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		divrcnv 15858	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
27	25, 26	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
28	13, 16, 24, 27	rlimadd 15646	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) / 𝑥) + (1 / 𝑥))) ⇝𝑟 (0 + 0))
29	11, 28	eqbrtrd 5116	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) ⇝𝑟 (0 + 0))
30		00id 11348	. . . 4 ⊢ (0 + 0) = 0
31	29, 30	breqtrdi 5135	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) ⇝𝑟 0)
32		peano2re 11346	. . . . . 6 ⊢ ((log‘𝑥) ∈ ℝ → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
33	4, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
34	33, 12	rerpdivcld 13058	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ)
35	34	recnd 11200	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℂ)
36		rprege0 12999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
37	36	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
38		flge0nn0 13820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
39		faccl 14286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℕ)
40	37, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℕ)
41	40	nnrpd 13025	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℝ+)
42		relogcl 26610	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘(⌊‘𝑥)) ∈ ℝ+ → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℝ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℝ)
44	43, 12	rerpdivcld 13058	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11200	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℂ)
46	5, 45	subcld 11532	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) ∈ ℂ)
47		logfacbnd3 27257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1))
48	47	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1))
49	43	recnd 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ)
50	49	adantrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ)
51	7	ad2antrl 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
52	51	simpld 497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
53	5	adantrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
54		subcl 11419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
55	53, 25, 54	sylancl 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) − 1) ∈ ℂ)
56	52, 55	mulcld 11192	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) ∈ ℂ)
57	50, 56	subcld 11532	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1))) ∈ ℂ)
58	57	abscld 15442	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ∈ ℝ)
59	4	adantrr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
60	59, 32	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ)
61		rpregt0 12998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
62	61	ad2antrl 736	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
63		lediv1 12047	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1) ↔ ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥) ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
64	58, 60, 62, 63	syl3anc 1386	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) ≤ ((log‘𝑥) + 1) ↔ ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥) ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
65	48, 64	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥) ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
66	51	simprd 498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ≠ 0)
67	55, 52, 66	divcan3d 11962	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) = ((log‘𝑥) − 1))
68	67	oveq1d 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) = (((log‘𝑥) − 1) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
69		divsubdir 11874	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) ∈ ℂ ∧ (log‘(!‘(⌊‘𝑥))) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥) = (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
70	56, 50, 51, 69	syl3anc 1386	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥) = (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) / 𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
71	45	adantrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥) ∈ ℂ)
72		1cnd 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ ℂ)
73	53, 71, 72	sub32d 11564	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1) = (((log‘𝑥) − 1) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)))
74	68, 70, 73	3eqtr4rd 2802	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1) = (((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥))
75	74	fveq2d 6860	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1)) = (abs‘(((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥)))
76	56, 50	subcld 11532	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) ∈ ℂ)
77	76, 52, 66	absdivd 15461	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥)))) / 𝑥)) = ((abs‘((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥))))) / (abs‘𝑥)))
78	56, 50	abssubd 15459	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥))))) = (abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))))
79	36	ad2antrl 736	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
80		absid 15299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
81	79, 80	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
82	78, 81	oveq12d 7403	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((abs‘((𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)) − (log‘(!‘(⌊‘𝑥))))) / (abs‘𝑥)) = ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥))
83	75, 77, 82	3eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1)) = ((abs‘((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) − (𝑥 · ((log‘𝑥) − 1)))) / 𝑥))
84	35	adantrr 725	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℂ)
85	84	subid1d 11521	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
86	85	fveq2d 6860	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0)) = (abs‘(((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
87		log1 26620	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘1) = 0
88		simprr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
89	12	adantrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
90		logleb 26638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
91	21, 89, 90	sylancr 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
92	88, 91	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
93	87, 92	eqbrtrrid 5130	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
94	59, 93	ge0p1rpd 13057	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + 1) ∈ ℝ+)
95	94, 89	rpdivcld 13044	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ+)
96		rprege0 12999	. . . . . 6 ⊢ ((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ+ → ((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)))
97		absid 15299	. . . . . 6 ⊢ (((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
98	95, 96, 97	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) + 1) / 𝑥)) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
99	86, 98	eqtrd 2791	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0)) = (((log‘𝑥) + 1) / 𝑥))
100	65, 83, 99	3brtr4d 5126	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥)) − 1)) ≤ (abs‘((((log‘𝑥) + 1) / 𝑥) − 0)))
101	1, 2, 31, 35, 46, 100	rlimsqzlem 15652	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥))) ⇝𝑟 1)
102	101	mptru 1561	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((log‘𝑥) − ((log‘(!‘(⌊‘𝑥))) / 𝑥))) ⇝𝑟 1

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554  ⊤wtru 1555   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951   class class class wbr 5094   ↦ cmpt 5175  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  ℝcr 11062  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068   < clt 11206   ≤ cle 11207   − cmin 11404   / cdiv 11834  ℕcn 12200  ℕ₀cn0 12471  ℝ⁺crp 12983  ⌊cfl 13790  !cfa 14276  abscabs 15237   ⇝_𝑟 crli 15488  logclog 26589  ↑_𝑐ccxp 26590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-ioo 13343  df-ioc 13344  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14277  df-bc 14306  df-hash 14334  df-shft 15070  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-limsup 15474  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-ef 16073  df-sin 16075  df-cos 16076  df-pi 16078  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-rest 17427  df-topn 17428  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-topgen 17448  df-pt 17449  df-prds 17452  df-xrs 17508  df-qtop 17513  df-imas 17514  df-xps 17516  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-mulg 19086  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-mopn 21393  df-fbas 21394  df-fg 21395  df-cnfld 21398  df-top 22927  df-topon 22944  df-topsp 22966  df-bases 22979  df-cld 23052  df-ntr 23053  df-cls 23054  df-nei 23131  df-lp 23169  df-perf 23170  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-haus 23348  df-cmp 23420  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-fil 23879  df-fm 23971  df-flim 23972  df-flf 23973  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-cncf 24913  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26591  df-cxp 26592

This theorem is referenced by:  vmadivsum  27516