MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacrlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfacrlim 26963
Description: Combine the estimates logfacubnd 26960 and logfaclbnd 26961, to get log(๐‘ฅ!) = ๐‘ฅlog๐‘ฅ + ๐‘‚(๐‘ฅ). Equation 9.2.9 of [Shapiro], p. 329. This is a weak form of the even stronger statement, log(๐‘ฅ!) = ๐‘ฅlog๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ + ๐‘‚(log๐‘ฅ). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacrlim (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 1

Proof of Theorem logfacrlim
StepHypRef Expression
1 1red 11219 . . 3 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2 1cnd 11213 . . 3 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3 relogcl 26320 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
43adantl 480 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
54recnd 11246 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6 1cnd 11213 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7 rpcnne0 12996 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
87adantl 480 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
9 divdir 11901 . . . . . . 7 (((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) = (((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) + (1 / ๐‘ฅ)))
105, 6, 8, 9syl3anc 1369 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) = (((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) + (1 / ๐‘ฅ)))
1110mpteq2dva 5247 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) + (1 / ๐‘ฅ))))
12 simpr 483 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
134, 12rerpdivcld 13051 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
14 rpreccl 13004 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
1514adantl 480 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
1615rpred 13020 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
178simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1817cxp1d 26450 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘1) = ๐‘ฅ)
1918oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅโ†‘๐‘1)) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
2019mpteq2dva 5247 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅโ†‘๐‘1))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
21 1rp 12982 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„+
22 cxploglim 26718 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅโ†‘๐‘1))) โ‡๐‘Ÿ 0)
2321, 22mp1i 13 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅโ†‘๐‘1))) โ‡๐‘Ÿ 0)
2420, 23eqbrtrrd 5171 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 0)
25 ax-1cn 11170 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
26 divrcnv 15802 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 0)
2725, 26mp1i 13 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 0)
2813, 16, 24, 27rlimadd 15591 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) + (1 / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ (0 + 0))
2911, 28eqbrtrd 5169 . . . 4 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ (0 + 0))
30 00id 11393 . . . 4 (0 + 0) = 0
3129, 30breqtrdi 5188 . . 3 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 0)
32 peano2re 11391 . . . . . 6 ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„)
334, 32syl 17 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„)
3433, 12rerpdivcld 13051 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3534recnd 11246 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
36 rprege0 12993 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
3736adantl 480 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
38 flge0nn0 13789 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
39 faccl 14247 . . . . . . . . 9 ((โŒŠโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
4140nnrpd 13018 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
42 relogcl 26320 . . . . . . 7 ((!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
4341, 42syl 17 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
4443, 12rerpdivcld 13051 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4544recnd 11246 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
465, 45subcld 11575 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
47 logfacbnd3 26962 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1))
4847adantl 480 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1))
4943recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
5049adantrr 713 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
517ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
5251simpld 493 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
535adantrr 713 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
54 subcl 11463 . . . . . . . . . 10 (((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5553, 25, 54sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5652, 55mulcld 11238 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5750, 56subcld 11575 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
5857abscld 15387 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
594adantrr 713 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6059, 32syl 17 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„)
61 rpregt0 12992 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ))
6261ad2antrl 724 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ))
63 lediv1 12083 . . . . . 6 (((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โ†” ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)))
6458, 60, 62, 63syl3anc 1369 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โ†” ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)))
6548, 64mpbid 231 . . . 4 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ))
6651simprd 494 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
6755, 52, 66divcan3d 11999 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ) = ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))
6867oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) = (((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
69 divsubdir 11912 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) = (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
7056, 50, 51, 69syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) = (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
7145adantrr 713 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
72 1cnd 11213 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7353, 71, 72sub32d 11607 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) = (((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
7468, 70, 733eqtr4rd 2781 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) = (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
7574fveq2d 6894 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1)) = (absโ€˜(((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ)))
7656, 50subcld 11575 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„‚)
7776, 52, 66absdivd 15406 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ)) = ((absโ€˜((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))))) / (absโ€˜๐‘ฅ)))
7856, 50abssubd 15404 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))))) = (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))))
7936ad2antrl 724 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
80 absid 15247 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
8179, 80syl 17 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
8278, 81oveq12d 7429 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((absโ€˜((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))))) / (absโ€˜๐‘ฅ)) = ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) / ๐‘ฅ))
8375, 77, 823eqtrd 2774 . . . 4 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1)) = ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) / ๐‘ฅ))
8435adantrr 713 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
8584subid1d 11564 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆ’ 0) = (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ))
8685fveq2d 6894 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆ’ 0)) = (absโ€˜(((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)))
87 log1 26330 . . . . . . . . 9 (logโ€˜1) = 0
88 simprr 769 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
8912adantrr 713 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
90 logleb 26347 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
9121, 89, 90sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
9288, 91mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
9387, 92eqbrtrrid 5183 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
9459, 93ge0p1rpd 13050 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„+)
9594, 89rpdivcld 13037 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
96 rprege0 12993 . . . . . 6 ((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+ โ†’ ((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)))
97 absid 15247 . . . . . 6 (((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)) = (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ))
9895, 96, 973syl 18 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)) = (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ))
9986, 98eqtrd 2770 . . . 4 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆ’ 0)) = (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ))
10065, 83, 993brtr4d 5179 . . 3 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1)) โ‰ค (absโ€˜((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆ’ 0)))
1011, 2, 31, 35, 46, 100rlimsqzlem 15599 . 2 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 1)
102101mptru 1546 1 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539  โŠคwtru 1540   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„+crp 12978  โŒŠcfl 13759  !cfa 14237  abscabs 15185   โ‡๐‘Ÿ crli 15433  logclog 26299  โ†‘๐‘ccxp 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302
This theorem is referenced by:  vmadivsum  27221
  Copyright terms: Public domain W3C validator