MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logfacrlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logfacrlim 27073
Description: Combine the estimates logfacubnd 27070 and logfaclbnd 27071, to get log(๐‘ฅ!) = ๐‘ฅlog๐‘ฅ + ๐‘‚(๐‘ฅ). Equation 9.2.9 of [Shapiro], p. 329. This is a weak form of the even stronger statement, log(๐‘ฅ!) = ๐‘ฅlog๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ฅ + ๐‘‚(log๐‘ฅ). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
logfacrlim (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 1

Proof of Theorem logfacrlim
StepHypRef Expression
1 1red 11212 . . 3 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
2 1cnd 11206 . . 3 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
3 relogcl 26426 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
43adantl 481 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
54recnd 11239 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6 1cnd 11206 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7 rpcnne0 12989 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
87adantl 481 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
9 divdir 11894 . . . . . . 7 (((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) = (((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) + (1 / ๐‘ฅ)))
105, 6, 8, 9syl3anc 1368 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) = (((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) + (1 / ๐‘ฅ)))
1110mpteq2dva 5238 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) + (1 / ๐‘ฅ))))
12 simpr 484 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
134, 12rerpdivcld 13044 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
14 rpreccl 12997 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
1615rpred 13013 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
178simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
1817cxp1d 26556 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅโ†‘๐‘1) = ๐‘ฅ)
1918oveq2d 7417 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅโ†‘๐‘1)) = ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
2019mpteq2dva 5238 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅโ†‘๐‘1))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
21 1rp 12975 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„+
22 cxploglim 26826 . . . . . . . 8 (1 โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅโ†‘๐‘1))) โ‡๐‘Ÿ 0)
2321, 22mp1i 13 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / (๐‘ฅโ†‘๐‘1))) โ‡๐‘Ÿ 0)
2420, 23eqbrtrrd 5162 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 0)
25 ax-1cn 11164 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
26 divrcnv 15795 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 0)
2725, 26mp1i 13 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (1 / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 0)
2813, 16, 24, 27rlimadd 15584 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) + (1 / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ (0 + 0))
2911, 28eqbrtrd 5160 . . . 4 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ (0 + 0))
30 00id 11386 . . . 4 (0 + 0) = 0
3129, 30breqtrdi 5179 . . 3 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)) โ‡๐‘Ÿ 0)
32 peano2re 11384 . . . . . 6 ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„)
334, 32syl 17 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„)
3433, 12rerpdivcld 13044 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3534recnd 11239 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
36 rprege0 12986 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
3736adantl 481 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
38 flge0nn0 13782 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
39 faccl 14240 . . . . . . . . 9 ((โŒŠโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
4037, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
4140nnrpd 13011 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
42 relogcl 26426 . . . . . . 7 ((!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
4341, 42syl 17 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
4443, 12rerpdivcld 13044 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4544recnd 11239 . . . 4 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
465, 45subcld 11568 . . 3 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
47 logfacbnd3 27072 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1))
4847adantl 481 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1))
4943recnd 11239 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
5049adantrr 714 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
517ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
5251simpld 494 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
535adantrr 714 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
54 subcl 11456 . . . . . . . . . 10 (((logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5553, 25, 54sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5652, 55mulcld 11231 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
5750, 56subcld 11568 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))) โˆˆ โ„‚)
5857abscld 15380 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„)
594adantrr 714 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
6059, 32syl 17 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„)
61 rpregt0 12985 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ))
6261ad2antrl 725 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ))
63 lediv1 12076 . . . . . 6 (((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โ†” ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)))
6458, 60, 62, 63syl3anc 1368 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) โ‰ค ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โ†” ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)))
6548, 64mpbid 231 . . . 4 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ))
6651simprd 495 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
6755, 52, 66divcan3d 11992 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ) = ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1))
6867oveq1d 7416 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) = (((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
69 divsubdir 11905 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) = (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
7056, 50, 51, 69syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) = (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
7145adantrr 714 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
72 1cnd 11206 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7353, 71, 72sub32d 11600 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) = (((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
7468, 70, 733eqtr4rd 2775 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1) = (((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
7574fveq2d 6885 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1)) = (absโ€˜(((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ)))
7656, 50subcld 11568 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„‚)
7776, 52, 66absdivd 15399 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ)) = ((absโ€˜((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))))) / (absโ€˜๐‘ฅ)))
7856, 50abssubd 15397 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))))) = (absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))))
7936ad2antrl 725 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
80 absid 15240 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
8179, 80syl 17 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜๐‘ฅ) = ๐‘ฅ)
8278, 81oveq12d 7419 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((absโ€˜((๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))))) / (absโ€˜๐‘ฅ)) = ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) / ๐‘ฅ))
8375, 77, 823eqtrd 2768 . . . 4 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1)) = ((absโ€˜((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ 1)))) / ๐‘ฅ))
8435adantrr 714 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
8584subid1d 11557 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆ’ 0) = (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ))
8685fveq2d 6885 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆ’ 0)) = (absโ€˜(((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)))
87 log1 26436 . . . . . . . . 9 (logโ€˜1) = 0
88 simprr 770 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฅ)
8912adantrr 714 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„+)
90 logleb 26453 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
9121, 89, 90sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (1 โ‰ค ๐‘ฅ โ†” (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ)))
9288, 91mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (logโ€˜1) โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
9387, 92eqbrtrrid 5174 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (logโ€˜๐‘ฅ))
9459, 93ge0p1rpd 13043 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) โˆˆ โ„+)
9594, 89rpdivcld 13030 . . . . . 6 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+)
96 rprege0 12986 . . . . . 6 ((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„+ โ†’ ((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)))
97 absid 15240 . . . . . 6 (((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)) = (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ))
9895, 96, 973syl 18 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ)) = (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ))
9986, 98eqtrd 2764 . . . 4 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆ’ 0)) = (((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ))
10065, 83, 993brtr4d 5170 . . 3 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ 1)) โ‰ค (absโ€˜((((logโ€˜๐‘ฅ) + 1) / ๐‘ฅ) โˆ’ 0)))
1011, 2, 31, 35, 46, 100rlimsqzlem 15592 . 2 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 1)
102101mptru 1540 1 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533  โŠคwtru 1534   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932   class class class wbr 5138   โ†ฆ cmpt 5221  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11245   โ‰ค cle 11246   โˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  โ„•cn 12209  โ„•0cn0 12469  โ„+crp 12971  โŒŠcfl 13752  !cfa 14230  abscabs 15178   โ‡๐‘Ÿ crli 15426  logclog 26405  โ†‘๐‘ccxp 26406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-cmp 23213  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-log 26407  df-cxp 26408
This theorem is referenced by:  vmadivsum  27331
  Copyright terms: Public domain W3C validator