Theorem expnlbnd 13994

Description: The reciprocal of exponentiation with a base greater than 1 has no positive lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
expnlbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12784	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpne0 12792	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	rereccld 11848	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4		expnbnd 13993	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘))
5	3, 4	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘))
6		rpregt0 12790	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
8		nnnn0 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
9		reexpcl 13845	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
10	8, 9	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
11	10	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑘) ∈ ℝ)
12		simpll 765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
13		nnz 12388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
14	13	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
15		0lt1 11543	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
16		0re 11023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		1re 11021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		lttr 11097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
19	16, 17, 18	mp3an12 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
20	15, 19	mpani 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
21	20	imp 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
22	21	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
23		expgt0 13862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵↑𝑘))
24	12, 14, 22, 23	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐵↑𝑘))
25	11, 24	jca 513	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝑘)))
26	25	3adantl1 1166	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝑘)))
27		ltrec1 11908	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((𝐵↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵↑𝑘))) → ((1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘) ↔ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
28	7, 26, 27	syl2an2r 683	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘) ↔ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
29	28	rexbidva 3170	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵↑𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴))
30	5, 29	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵↑𝑘)) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3071   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  ℝcr 10916  0cc0 10917  1c1 10918   < clt 11055   / cdiv 11678  ℕcn 12019  ℕ₀cn0 12279  ℤcz 12365  ℝ⁺crp 12776  ↑cexp 13828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9245  df-inf 9246  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-rp 12777  df-fl 13558  df-seq 13768  df-exp 13829

This theorem is referenced by:  expnlbnd2  13995  opnmbllem  24810  opnmbllem0  35857  heiborlem7  36019