MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnlbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnlbnd 13448
Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
expnlbnd ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd
StepHypRef Expression
1 rpre 12251 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rpne0 12259 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
31, 2rereccld 11321 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4 expnbnd 13447 . . 3 (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵𝑘))
53, 4syl3an1 1156 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵𝑘))
6 rpregt0 12257 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
763ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
8 nnnn0 11758 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 reexpcl 13300 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
108, 9sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
1110adantlr 711 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
12 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 nnz 11858 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1413adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
15 0lt1 11016 . . . . . . . . . 10 0 < 1
16 0re 10496 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
17 1re 10494 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
18 lttr 10570 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
1916, 17, 18mp3an12 1443 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
2015, 19mpani 692 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
2120imp 407 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
2221adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
23 expgt0 13316 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵𝑘))
2412, 14, 22, 23syl3anc 1364 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐵𝑘))
2511, 24jca 512 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝑘)))
26253adantl1 1159 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝑘)))
27 ltrec1 11381 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝑘))) → ((1 / 𝐴) < (𝐵𝑘) ↔ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
287, 26, 27syl2an2r 681 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < (𝐵𝑘) ↔ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
2928rexbidva 3261 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
305, 29mpbid 233 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080  wcel 2083  wrex 3108   class class class wbr 4968  (class class class)co 7023  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   < clt 10528   / cdiv 11151  cn 11492  0cn0 11751  cz 11835  +crp 12243  cexp 13283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-sup 8759  df-inf 8760  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fl 13016  df-seq 13224  df-exp 13284
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  13449  opnmbllem  23889  opnmbllem0  34480  heiborlem7  34648
  Copyright terms: Public domain W3C validator