MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnlbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnlbnd 14237
Description: The reciprocal of exponentiation with a base greater than 1 has no positive lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
expnlbnd ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd
StepHypRef Expression
1 rpre 13024 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rpne0 13032 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
31, 2rereccld 12081 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4 expnbnd 14236 . . 3 (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵𝑘))
53, 4syl3an1 1160 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵𝑘))
6 rpregt0 13030 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
763ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
8 nnnn0 12519 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 reexpcl 14085 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
108, 9sylan2 591 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
1110adantlr 713 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
12 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 nnz 12619 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1413adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
15 0lt1 11776 . . . . . . . . . 10 0 < 1
16 0re 11256 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
17 1re 11254 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
18 lttr 11330 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
1916, 17, 18mp3an12 1447 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
2015, 19mpani 694 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
2120imp 405 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
2221adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
23 expgt0 14102 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵𝑘))
2412, 14, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐵𝑘))
2511, 24jca 510 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝑘)))
26253adantl1 1163 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝑘)))
27 ltrec1 12141 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝑘))) → ((1 / 𝐴) < (𝐵𝑘) ↔ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
287, 26, 27syl2an2r 683 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < (𝐵𝑘) ↔ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
2928rexbidva 3174 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
305, 29mpbid 231 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084  wcel 2098  wrex 3067   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   < clt 11288   / cdiv 11911  cn 12252  0cn0 12512  cz 12598  +crp 13016  cexp 14068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069
This theorem is referenced by:  expnlbnd2  14238  opnmbllem  25558  opnmbllem0  37170  heiborlem7  37331
  Copyright terms: Public domain W3C validator