Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expnlbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expnlbnd 13610
 Description: The reciprocal of exponentiation with a mantissa greater than 1 has no lower bound. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
expnlbnd ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem expnlbnd
StepHypRef Expression
1 rpre 12405 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rpne0 12413 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
31, 2rereccld 11474 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
4 expnbnd 13609 . . 3 (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵𝑘))
53, 4syl3an1 1160 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵𝑘))
6 rpregt0 12411 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
763ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
8 nnnn0 11910 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
9 reexpcl 13462 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
108, 9sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
1110adantlr 714 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
12 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 nnz 12012 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1413adantl 485 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
15 0lt1 11169 . . . . . . . . . 10 0 < 1
16 0re 10650 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
17 1re 10648 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
18 lttr 10724 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
1916, 17, 18mp3an12 1448 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵))
2015, 19mpani 695 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ → (1 < 𝐵 → 0 < 𝐵))
2120imp 410 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
2221adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
23 expgt0 13478 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵𝑘))
2412, 14, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < (𝐵𝑘))
2511, 24jca 515 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝑘)))
26253adantl1 1163 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝑘)))
27 ltrec1 11534 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝑘))) → ((1 / 𝐴) < (𝐵𝑘) ↔ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
287, 26, 27syl2an2r 684 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝐴) < (𝐵𝑘) ↔ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
2928rexbidva 3256 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (∃𝑘 ∈ ℕ (1 / 𝐴) < (𝐵𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴))
305, 29mpbid 235 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ (1 / (𝐵𝑘)) < 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   class class class wbr 5034  (class class class)co 7145  ℝcr 10543  0cc0 10544  1c1 10545   < clt 10682   / cdiv 11304  ℕcn 11643  ℕ0cn0 11903  ℤcz 11989  ℝ+crp 12397  ↑cexp 13445 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fl 13177  df-seq 13385  df-exp 13446 This theorem is referenced by:  expnlbnd2  13611  opnmbllem  24246  opnmbllem0  35244  heiborlem7  35406
 Copyright terms: Public domain W3C validator