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Theorem mulog2sumlem2 26899
Description: Lemma for mulog2sum 26901. (Contributed by Mario Carneiro, 19-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsum.1 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))((logβ€˜π‘–) / 𝑖) βˆ’ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2)))
mulog2sumlem.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿)
mulog2sumlem2.t 𝑇 = ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))
mulog2sumlem2.r 𝑅 = (((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))) + Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
Assertion
Ref Expression
mulog2sumlem2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑖,π‘š,𝑛,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐹   𝑛,𝐿,π‘₯   πœ‘,π‘š,𝑛,π‘₯   𝑅,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑖)   𝑅(𝑦,𝑖,π‘š)   𝑇(π‘₯,𝑦,𝑖,π‘š,𝑛)   𝐹(𝑦,𝑖,π‘š,𝑛)   𝐿(𝑦,𝑖,π‘š)

Proof of Theorem mulog2sumlem2
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11163 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 2re 12234 . . . 4 2 ∈ ℝ
3 fzfid 13885 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
4 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
5 elfznn 13477 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
65nnrpd 12962 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
7 rpdivcl 12947 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
84, 6, 7syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
98relogcld 25994 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
10 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
119, 10rerpdivcld 12995 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯) ∈ ℝ)
123, 11fsumrecl 15626 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯) ∈ ℝ)
13 remulcl 11143 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
142, 12, 13sylancr 588 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
15 mulog2sumlem2.r . . . . . 6 𝑅 = (((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))) + Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
16 halfre 12374 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
17 emre 26371 . . . . . . . . 9 Ξ³ ∈ ℝ
18 mulog2sumlem.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿)
19 rlimcl 15392 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
2120abscld 15328 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜πΏ) ∈ ℝ)
22 readdcl 11141 . . . . . . . . 9 ((Ξ³ ∈ ℝ ∧ (absβ€˜πΏ) ∈ ℝ) β†’ (Ξ³ + (absβ€˜πΏ)) ∈ ℝ)
2317, 21, 22sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ξ³ + (absβ€˜πΏ)) ∈ ℝ)
24 readdcl 11141 . . . . . . . 8 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ (Ξ³ + (absβ€˜πΏ)) ∈ ℝ) β†’ ((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))) ∈ ℝ)
2516, 23, 24sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))) ∈ ℝ)
26 fzfid 13885 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1...2) ∈ Fin)
27 epr 16097 . . . . . . . . . . 11 e ∈ ℝ+
28 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (1...2) β†’ π‘š ∈ β„•)
2928adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ π‘š ∈ β„•)
3029nnrpd 12962 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
31 rpdivcl 12947 . . . . . . . . . . 11 ((e ∈ ℝ+ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (e / π‘š) ∈ ℝ+)
3227, 30, 31sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (e / π‘š) ∈ ℝ+)
3332relogcld 25994 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (logβ€˜(e / π‘š)) ∈ ℝ)
3433, 29nndivred 12214 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ ((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
3526, 34fsumrecl 15626 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
3625, 35readdcld 11191 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))) + Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š)) ∈ ℝ)
3715, 36eqeltrid 2842 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
38 remulcl 11143 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) β†’ (𝑅 Β· 2) ∈ ℝ)
3937, 2, 38sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Β· 2) ∈ ℝ)
4039adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑅 Β· 2) ∈ ℝ)
412a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ ℝ)
42 rpssre 12929 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
43 2cnd 12238 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
44 o1const 15509 . . . . 5 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
4542, 43, 44sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
46 logfacrlim2 26590 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 1
47 rlimo1 15506 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
4846, 47mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
4941, 12, 45, 48o1mul2 15514 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
5039recnd 11190 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Β· 2) ∈ β„‚)
51 o1const 15509 . . . 4 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (𝑅 Β· 2) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 Β· 2)) ∈ 𝑂(1))
5242, 50, 51sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 Β· 2)) ∈ 𝑂(1))
5314, 40, 49, 52o1add2 15513 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2))) ∈ 𝑂(1))
5414, 40readdcld 11191 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2)) ∈ ℝ)
555adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
56 mucl 26506 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
5857zred 12614 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
5958, 55nndivred 12214 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
6059recnd 11190 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
61 mulog2sumlem2.t . . . . . 6 𝑇 = ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))
629recnd 11190 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
6362sqcld 14056 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ β„‚)
6463halfcld 12405 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) ∈ β„‚)
65 remulcl 11143 . . . . . . . . . 10 ((Ξ³ ∈ ℝ ∧ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ) β†’ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ)
6617, 9, 65sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ)
6766recnd 11190 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
6820ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
6967, 68subcld 11519 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿) ∈ β„‚)
7064, 69addcld 11181 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) ∈ β„‚)
7161, 70eqeltrid 2842 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
7260, 71mulcld 11182 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) ∈ β„‚)
733, 72fsumcl 15625 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) ∈ β„‚)
74 relogcl 25947 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7574adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7675recnd 11190 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7773, 76subcld 11519 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
7877abscld 15328 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
7978adantrr 716 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ)
8054adantrr 716 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2)) ∈ ℝ)
8154recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2)) ∈ β„‚)
8281abscld 15328 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2))) ∈ ℝ)
8382adantrr 716 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2))) ∈ ℝ)
8457zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
85 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ Fin)
86 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) β†’ π‘š ∈ β„•)
87 nnrp 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ+)
88 rpdivcl 12947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) ∈ ℝ+)
898, 87, 88syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) ∈ ℝ+)
9089relogcld 25994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) ∈ ℝ)
91 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
9290, 91nndivred 12214 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
9392recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
9486, 93sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
9585, 94fsumcl 15625 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
9671, 95subcld 11519 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
9755nncnd 12176 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
9855nnne0d 12210 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 β‰  0)
9984, 96, 97, 98div23d 11975 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) / 𝑛) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
10060, 71, 95subdid 11618 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
10199, 100eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) / 𝑛) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
102101sumeq2dv 15595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) / 𝑛) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
10360, 95mulcld 11182 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
1043, 72, 103fsumsub 15680 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
105102, 104eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) / 𝑛) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
106105adantrr 716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) / 𝑛) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
10785, 60, 94fsummulc2 15676 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))
10884adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
10997, 98jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
111 div23 11839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) / 𝑛) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))
112 divass 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) / 𝑛) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) / 𝑛)))
113111, 112eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) / 𝑛)))
114108, 93, 110, 113syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) / 𝑛)))
11590recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) ∈ β„‚)
11691nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
117 rpcnne0 12940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ ℝ+ β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))
119 divdiv1 11873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) ∈ β„‚ ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ (((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) / 𝑛) = ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / (π‘š Β· 𝑛)))
120115, 118, 110, 119syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) / 𝑛) = ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / (π‘š Β· 𝑛)))
121 rpre 12930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
122121adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
123122adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
124123recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
125124adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
126 divdiv1 11873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0)) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) = (π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š)))
127125, 110, 118, 126syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) = (π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š)))
128127fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) = (logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))))
12991nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„‚)
13097adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
131129, 130mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š Β· 𝑛) = (𝑛 Β· π‘š))
132128, 131oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / (π‘š Β· 𝑛)) = ((logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))) / (𝑛 Β· π‘š)))
133120, 132eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) / 𝑛) = ((logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))) / (𝑛 Β· π‘š)))
134133oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) / 𝑛)) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))) / (𝑛 Β· π‘š))))
135114, 134eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))) / (𝑛 Β· π‘š))))
13686, 135sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))) / (𝑛 Β· π‘š))))
137136sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))) / (𝑛 Β· π‘š))))
138107, 137eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))) / (𝑛 Β· π‘š))))
139138sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))) / (𝑛 Β· π‘š))))
140 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (𝑛 Β· π‘š) β†’ (π‘₯ / π‘˜) = (π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š)))
141140fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (𝑛 Β· π‘š) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) = (logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))))
142 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (𝑛 Β· π‘š) β†’ π‘˜ = (𝑛 Β· π‘š))
143141, 142oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑛 Β· π‘š) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜) = ((logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))) / (𝑛 Β· π‘š)))
144143oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑛 Β· π‘š) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜)) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))) / (𝑛 Β· π‘š))))
1454rpred 12964 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
146 ssrab2 4042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} βŠ† β„•
147 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})
148146, 147sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
149148, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
150149zred 12614 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
151 elfznn 13477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
152151adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜}) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
153152nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜}) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
154 rpdivcl 12947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / π‘˜) ∈ ℝ+)
1554, 153, 154syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (π‘₯ / π‘˜) ∈ ℝ+)
156155relogcld 25994 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) ∈ ℝ)
157151ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
158156, 157nndivred 12214 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜) ∈ ℝ)
159150, 158remulcld 11192 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜)) ∈ ℝ)
160159recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜)) ∈ β„‚)
161144, 145, 160dvdsflsumcom 26553 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / (𝑛 Β· π‘š))) / (𝑛 Β· π‘š))))
162139, 161eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜)))
163162adantrr 716 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜)))
164 oveq2 7370 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 1 β†’ (π‘₯ / π‘˜) = (π‘₯ / 1))
165164fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 1 β†’ (logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) = (logβ€˜(π‘₯ / 1)))
166 id 22 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 1 β†’ π‘˜ = 1)
167165, 166oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 1 β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜) = ((logβ€˜(π‘₯ / 1)) / 1))
168 fzfid 13885 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
169 fz1ssnn 13479 . . . . . . . . . 10 (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•
170169a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•)
171122adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
172 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
173 flge1nn 13733 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
174171, 172, 173syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
175 nnuz 12813 . . . . . . . . . . 11 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
176174, 175eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
177 eluzfz1 13455 . . . . . . . . . 10 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
178176, 177syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
179151nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
1804, 179, 154syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / π‘˜) ∈ ℝ+)
181180relogcld 25994 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) ∈ ℝ)
182169a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•)
183182sselda 3949 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
184181, 183nndivred 12214 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜) ∈ ℝ)
185184recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜) ∈ β„‚)
186185adantlrr 720 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜) ∈ β„‚)
187167, 168, 170, 178, 186musumsum 26557 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· ((logβ€˜(π‘₯ / π‘˜)) / π‘˜)) = ((logβ€˜(π‘₯ / 1)) / 1))
1884rpcnd 12966 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
189188div1d 11930 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 1) = π‘₯)
190189fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 1)) = (logβ€˜π‘₯))
191190oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 1)) / 1) = ((logβ€˜π‘₯) / 1))
19276div1d 11930 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜π‘₯) / 1) = (logβ€˜π‘₯))
193191, 192eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 1)) / 1) = (logβ€˜π‘₯))
194193adantrr 716 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 1)) / 1) = (logβ€˜π‘₯))
195163, 187, 1943eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) = (logβ€˜π‘₯))
196195oveq2d 7378 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
197106, 196eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) / 𝑛) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (logβ€˜π‘₯)))
198197fveq2d 6851 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) / 𝑛)) = (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))))
199 ere 15978 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ
200199a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ e ∈ ℝ)
201 1re 11162 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
202 1lt2 12331 . . . . . . . . . 10 1 < 2
203 egt2lt3 16095 . . . . . . . . . . 11 (2 < e ∧ e < 3)
204203simpli 485 . . . . . . . . . 10 2 < e
205201, 2, 199lttri 11288 . . . . . . . . . 10 ((1 < 2 ∧ 2 < e) β†’ 1 < e)
206202, 204, 205mp2an 691 . . . . . . . . 9 1 < e
207201, 199, 206ltleii 11285 . . . . . . . 8 1 ≀ e
208200, 207jctir 522 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (e ∈ ℝ ∧ 1 ≀ e))
20937adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
21016a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
211 1rp 12926 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
212 rphalfcl 12949 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ+)
213211, 212ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ+
214 rpge0 12935 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ (1 / 2))
215213, 214mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (1 / 2))
21617a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ Ξ³ ∈ ℝ)
217 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
218 emgt0 26372 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < Ξ³
219217, 17, 218ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≀ Ξ³
220219a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Ξ³)
22120absge0d 15336 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (absβ€˜πΏ))
222216, 21, 220, 221addge0d 11738 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (Ξ³ + (absβ€˜πΏ)))
223210, 23, 215, 222addge0d 11738 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))))
224 log1 25957 . . . . . . . . . . . . . 14 (logβ€˜1) = 0
22529nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
226225mulid2d 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (1 Β· π‘š) = π‘š)
22730rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
2282a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ 2 ∈ ℝ)
229199a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ e ∈ ℝ)
230 elfzle2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘š ∈ (1...2) β†’ π‘š ≀ 2)
231230adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ π‘š ≀ 2)
2322, 199, 204ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ≀ e
233232a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ 2 ≀ e)
234227, 228, 229, 231, 233letrd 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ π‘š ≀ e)
235226, 234eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (1 Β· π‘š) ≀ e)
236 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ 1 ∈ ℝ)
237236, 229, 30lemuldivd 13013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ ((1 Β· π‘š) ≀ e ↔ 1 ≀ (e / π‘š)))
238235, 237mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ 1 ≀ (e / π‘š))
239 logleb 25974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (e / π‘š) ∈ ℝ+) β†’ (1 ≀ (e / π‘š) ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜(e / π‘š))))
240211, 32, 239sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (1 ≀ (e / π‘š) ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜(e / π‘š))))
241238, 240mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜(e / π‘š)))
242224, 241eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜(e / π‘š)))
24333, 30, 242divge0d 13004 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
24426, 34, 243fsumge0 15687 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
24525, 35, 223, 244addge0d 11738 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))) + Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š)))
246245, 15breqtrrdi 5152 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
247246adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ 𝑅)
248209, 247jca 513 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
24984, 96mulcld 11182 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) ∈ β„‚)
250 remulcl 11143 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
2512, 11, 250sylancr 588 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
2522a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 2 ∈ ℝ)
253 0le2 12262 . . . . . . . . 9 0 ≀ 2
254253a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ 2)
25597mulid2d 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· 𝑛) = 𝑛)
256 fznnfl 13774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)))
257122, 256syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)))
258257simplbda 501 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ≀ π‘₯)
259255, 258eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· 𝑛) ≀ π‘₯)
260 1red 11163 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
26155nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
262260, 123, 261lemuldivd 13013 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1 Β· 𝑛) ≀ π‘₯ ↔ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑛)))
263259, 262mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑛))
264 logleb 25974 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+) β†’ (1 ≀ (π‘₯ / 𝑛) ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))
265211, 8, 264sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 ≀ (π‘₯ / 𝑛) ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))
266263, 265mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))
267224, 266eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))
268 rpregt0 12936 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
269268ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
270 divge0 12031 . . . . . . . . 9 ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯))
2719, 267, 269, 270syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯))
272252, 11, 254, 271mulge0d 11739 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)))
273249abscld 15328 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))) ∈ ℝ)
274273adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))) ∈ ℝ)
27596adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
276275abscld 15328 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) ∈ ℝ)
277261rpred 12964 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
278251, 277remulcld 11192 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) Β· 𝑛) ∈ ℝ)
279278adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ ((2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) Β· 𝑛) ∈ ℝ)
28084, 96absmuld 15346 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))) = ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) Β· (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))))
28184abscld 15328 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
28296abscld 15328 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) ∈ ℝ)
28396absge0d 15336 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
284 mule1 26513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
28555, 284syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) ≀ 1)
286281, 260, 282, 283, 285lemul1ad 12101 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) Β· (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))) ≀ (1 Β· (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))))
287282recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) ∈ β„‚)
288287mulid2d 11180 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))) = (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
289286, 288breqtrd 5136 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(ΞΌβ€˜π‘›)) Β· (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))) ≀ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
290280, 289eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))) ≀ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
291290adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))) ≀ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
292 logdivsum.1 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑖 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))((logβ€˜π‘–) / 𝑖) βˆ’ (((logβ€˜π‘¦)↑2) / 2)))
29318ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ 𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿)
2948adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
295 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ e ≀ (π‘₯ / 𝑛))
296292, 293, 294, 295mulog2sumlem1 26898 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) βˆ’ ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))) ≀ (2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))))
29771, 95abssubd 15345 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) = (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) βˆ’ 𝑇)))
298297adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) = (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) βˆ’ 𝑇)))
29961oveq2i 7373 . . . . . . . . . . 11 (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) βˆ’ 𝑇) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) βˆ’ ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))
300299fveq2i 6850 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) βˆ’ 𝑇)) = (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) βˆ’ ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))))
301298, 300eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) = (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) βˆ’ ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))))
302 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 2 ∈ β„‚)
30311recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯) ∈ β„‚)
304302, 303, 97mulassd 11185 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) Β· 𝑛) = (2 Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯) Β· 𝑛)))
305 rpcnne0 12940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
306305ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
307 divdiv2 11874 . . . . . . . . . . . . . 14 (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0)) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· 𝑛) / π‘₯))
30862, 306, 109, 307syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· 𝑛) / π‘₯))
309 div23 11839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· 𝑛) / π‘₯) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯) Β· 𝑛))
31062, 97, 306, 309syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) Β· 𝑛) / π‘₯) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯) Β· 𝑛))
311308, 310eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯) Β· 𝑛))
312311oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))) = (2 Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯) Β· 𝑛)))
313304, 312eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) Β· 𝑛) = (2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))))
314313adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ ((2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) Β· 𝑛) = (2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / (π‘₯ / 𝑛))))
315296, 301, 3143brtr4d 5142 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) ≀ ((2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) Β· 𝑛))
316274, 276, 279, 291, 315letrd 11319 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ e ≀ (π‘₯ / 𝑛)) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))) ≀ ((2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) Β· 𝑛))
317273adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))) ∈ ℝ)
318282adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) ∈ ℝ)
31937ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
320290adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))) ≀ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
32171adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
322321abscld 15328 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜π‘‡) ∈ ℝ)
32395adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
324323abscld 15328 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) ∈ ℝ)
325322, 324readdcld 11191 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((absβ€˜π‘‡) + (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) ∈ ℝ)
326321, 323abs2dif2d 15350 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) ≀ ((absβ€˜π‘‡) + (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))))
32725ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))) ∈ ℝ)
32835ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
32961fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . 12 (absβ€˜π‘‡) = (absβ€˜((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)))
330329, 322eqeltrrid 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) ∈ ℝ)
33164adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) ∈ β„‚)
332331abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) ∈ ℝ)
33369adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿) ∈ β„‚)
334333abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) ∈ ℝ)
335332, 334readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((absβ€˜(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) + (absβ€˜((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) ∈ ℝ)
336331, 333abstrid 15348 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) ≀ ((absβ€˜(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) + (absβ€˜((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))))
33716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
33823ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (Ξ³ + (absβ€˜πΏ)) ∈ ℝ)
3399resqcld 14037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ ℝ)
340339rehalfcld 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) ∈ ℝ)
3419sqge0d 14049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2))
342 2pos 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
3432, 342pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
344343a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
345 divge0 12031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 ≀ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))
346339, 341, 344, 345syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))
347340, 346absidd 15314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))
348347adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2))
3498rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
350 ltle 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) < e β†’ (π‘₯ / 𝑛) ≀ e))
351349, 199, 350sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) < e β†’ (π‘₯ / 𝑛) ≀ e))
352351imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ≀ e)
3538adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
354 logleb 25974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+ ∧ e ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) ≀ e ↔ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ (logβ€˜e)))
355353, 27, 354sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) ≀ e ↔ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ (logβ€˜e)))
356352, 355mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ (logβ€˜e))
357 loge 25958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (logβ€˜e) = 1
358356, 357breqtrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ 1)
359 0le1 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≀ 1
360359a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ 1)
3619, 260, 267, 360le2sqd 14167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ 1 ↔ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ≀ (1↑2)))
362361adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ 1 ↔ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ≀ (1↑2)))
363358, 362mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ≀ (1↑2))
364 sq1 14106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1↑2) = 1
365363, 364breqtrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ≀ 1)
366339adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ ℝ)
367 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ 1 ∈ ℝ)
368343a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
369 lediv1 12027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ≀ 1 ↔ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) ≀ (1 / 2)))
370366, 367, 368, 369syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) ≀ 1 ↔ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) ≀ (1 / 2)))
371365, 370mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) ≀ (1 / 2))
372348, 371eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) ≀ (1 / 2))
37368abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜πΏ) ∈ ℝ)
37466, 373readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (absβ€˜πΏ)) ∈ ℝ)
375374adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (absβ€˜πΏ)) ∈ ℝ)
37667adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
37720ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ 𝐿 ∈ β„‚)
378376, 377abs2dif2d 15350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) ≀ ((absβ€˜(Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) + (absβ€˜πΏ)))
37917a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ³ ∈ ℝ)
380219a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ Ξ³)
381379, 9, 380, 267mulge0d 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))
38266, 381absidd 15314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))
383382adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜(Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))
384383oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((absβ€˜(Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) + (absβ€˜πΏ)) = ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (absβ€˜πΏ)))
385378, 384breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) ≀ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (absβ€˜πΏ)))
38666adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ)
38717a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ Ξ³ ∈ ℝ)
388377abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜πΏ) ∈ ℝ)
3899adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
390387, 218jctir 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (Ξ³ ∈ ℝ ∧ 0 < Ξ³))
391 lemul2 12015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (Ξ³ ∈ ℝ ∧ 0 < Ξ³)) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ 1 ↔ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ (Ξ³ Β· 1)))
392389, 367, 390, 391syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ 1 ↔ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ (Ξ³ Β· 1)))
393358, 392mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ (Ξ³ Β· 1))
39417recni 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ξ³ ∈ β„‚
395394mulid1i 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ξ³ Β· 1) = Ξ³
396393, 395breqtrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ≀ Ξ³)
397386, 387, 388, 396leadd1dd 11776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) + (absβ€˜πΏ)) ≀ (Ξ³ + (absβ€˜πΏ)))
398334, 375, 338, 385, 397letrd 11319 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿)) ≀ (Ξ³ + (absβ€˜πΏ)))
399332, 334, 337, 338, 372, 398le2addd 11781 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((absβ€˜(((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2)) + (absβ€˜((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) ≀ ((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))))
400330, 335, 327, 336, 399letrd 11319 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))↑2) / 2) + ((Ξ³ Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βˆ’ 𝐿))) ≀ ((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))))
401329, 400eqbrtrid 5145 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜π‘‡) ≀ ((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))))
40286, 92sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
40385, 402fsumrecl 15626 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
404403adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
40586, 90sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) ∈ ℝ)
40686, 129sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
407406mulid2d 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (1 Β· π‘š) = π‘š)
408 fznnfl 13774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ↔ (π‘š ∈ β„• ∧ π‘š ≀ (π‘₯ / 𝑛))))
409349, 408syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ↔ (π‘š ∈ β„• ∧ π‘š ≀ (π‘₯ / 𝑛))))
410409simplbda 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ π‘š ≀ (π‘₯ / 𝑛))
411407, 410eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (1 Β· π‘š) ≀ (π‘₯ / 𝑛))
412 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ 1 ∈ ℝ)
413349adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
414116rpregt0d 12970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
41586, 414sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
416 lemuldiv 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š)) β†’ ((1 Β· π‘š) ≀ (π‘₯ / 𝑛) ↔ 1 ≀ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)))
417412, 413, 415, 416syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((1 Β· π‘š) ≀ (π‘₯ / 𝑛) ↔ 1 ≀ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)))
418411, 417mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ 1 ≀ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š))
41986, 89sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) ∈ ℝ+)
420 logleb 25974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) ∈ ℝ+) β†’ (1 ≀ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š))))
421211, 419, 420sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (1 ≀ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š))))
422418, 421mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)))
423224, 422eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ 0 ≀ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)))
424 divge0 12031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š))) ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))
425405, 423, 415, 424syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))
42685, 402, 425fsumge0 15687 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))
427426adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))
428404, 427absidd 15314 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))
429 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ Fin)
430349flcld 13710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„€)
431430adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„€)
432 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„€
433432a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ 2 ∈ β„€)
434349adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
435199a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ e ∈ ℝ)
436 3re 12240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 ∈ ℝ
437436a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ 3 ∈ ℝ)
438 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (π‘₯ / 𝑛) < e)
439203simpri 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e < 3
440439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ e < 3)
441434, 435, 437, 438, 440lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (π‘₯ / 𝑛) < 3)
442 3z 12543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ β„€
443 fllt 13718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) < 3 ↔ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) < 3))
444434, 442, 443sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) < 3 ↔ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) < 3))
445441, 444mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) < 3)
446 df-3 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 = (2 + 1)
447445, 446breqtrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) < (2 + 1))
448 zleltp1 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ 2 ↔ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) < (2 + 1)))
449431, 432, 448sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ 2 ↔ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) < (2 + 1)))
450447, 449mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ 2)
451 eluz2 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ↔ ((βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„€ ∧ 2 ∈ β„€ ∧ (βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ≀ 2))
452431, 433, 450, 451syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ 2 ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))
453 fzss2 13488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βŠ† (1...2))
454452, 453syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) βŠ† (1...2))
455454sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ π‘š ∈ (1...2))
45634ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ ((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
457455, 456syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
458429, 457fsumrecl 15626 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
45992adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
46086, 459sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ∈ ℝ)
461352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ≀ e)
462434adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ)
463199a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ e ∈ ℝ)
46430rpregt0d 12970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
465464ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š))
466 lediv1 12027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š)) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) ≀ e ↔ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) ≀ (e / π‘š)))
467462, 463, 465, 466syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) ≀ e ↔ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) ≀ (e / π‘š)))
468461, 467mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) ≀ (e / π‘š))
46989adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) ∈ ℝ+)
47028, 469sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ ((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) ∈ ℝ+)
47132ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (e / π‘š) ∈ ℝ+)
472470, 471logled 25998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (((π‘₯ / 𝑛) / π‘š) ≀ (e / π‘š) ↔ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) ≀ (logβ€˜(e / π‘š))))
473468, 472mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) ≀ (logβ€˜(e / π‘š)))
47490adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) ∈ ℝ)
47528, 474sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) ∈ ℝ)
47633ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ (logβ€˜(e / π‘š)) ∈ ℝ)
477 lediv1 12027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) ∈ ℝ ∧ (logβ€˜(e / π‘š)) ∈ ℝ ∧ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 < π‘š)) β†’ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) ≀ (logβ€˜(e / π‘š)) ↔ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ≀ ((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š)))
478475, 476, 465, 477syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) ≀ (logβ€˜(e / π‘š)) ↔ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ≀ ((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š)))
479473, 478mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ≀ ((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
480455, 479syldan 592 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ≀ ((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
481429, 460, 457, 480fsumle 15691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ≀ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
482 fzfid 13885 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (1...2) ∈ Fin)
483243ad5ant15 758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) ∧ π‘š ∈ (1...2)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
484482, 456, 483, 454fsumless 15688 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š) ≀ Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
485404, 458, 328, 481, 484letrd 11319 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š) ≀ Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
486428, 485eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)) ≀ Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š))
487322, 324, 327, 328, 401, 486le2addd 11781 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((absβ€˜π‘‡) + (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) ≀ (((1 / 2) + (Ξ³ + (absβ€˜πΏ))) + Ξ£π‘š ∈ (1...2)((logβ€˜(e / π‘š)) / π‘š)))
488487, 15breqtrrdi 5152 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ ((absβ€˜π‘‡) + (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝑅)
489318, 325, 319, 326, 488letrd 11319 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜(𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝑅)
490317, 318, 319, 320, 489letrd 11319 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑛) < e) β†’ (absβ€˜((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š)))) ≀ 𝑅)
4914, 208, 248, 249, 251, 272, 316, 490fsumharmonic 26377 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) / 𝑛)) ≀ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜e) + 1))))
492 2cnd 12238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
4933, 492, 303fsummulc2 15676 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)))
494 df-2 12223 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
495357oveq1i 7372 . . . . . . . . . 10 ((logβ€˜e) + 1) = (1 + 1)
496494, 495eqtr4i 2768 . . . . . . . . 9 2 = ((logβ€˜e) + 1)
497496a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 = ((logβ€˜e) + 1))
498497oveq2d 7378 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑅 Β· 2) = (𝑅 Β· ((logβ€˜e) + 1)))
499493, 498oveq12d 7380 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(2 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜e) + 1))))
500491, 499breqtrrd 5138 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) / 𝑛)) ≀ ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2)))
501500adantrr 716 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘› ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (𝑇 βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((logβ€˜((π‘₯ / 𝑛) / π‘š)) / π‘š))) / 𝑛)) ≀ ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2)))
502198, 501eqbrtrrd 5134 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ≀ ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2)))
50354leabsd 15306 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2)) ≀ (absβ€˜((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2))))
504503adantrr 716 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2)) ≀ (absβ€˜((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2))))
50579, 80, 83, 502, 504letrd 11319 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ≀ (absβ€˜((2 Β· Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· 2))))
5061, 53, 54, 77, 505o1le 15544 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· 𝑇) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3410   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  β†‘cexp 13974  abscabs 15126   β‡π‘Ÿ crli 15374  π‘‚(1)co1 15375  Ξ£csu 15577  eceu 15952   βˆ₯ cdvds 16143  logclog 25926  Ξ³cem 26357  ΞΌcmu 26460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-atan 26233  df-em 26358  df-mu 26466
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  26900
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