Theorem lmnn 25473

Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmnn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmnn.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
lmnn.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
lmnn	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑘)

Proof of Theorem lmnn

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmnn.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
2		rpreccl 13060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
3	2	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
4	3	rpred 13076	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
5	3	rpge0d 13080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑥))
6		flge0nn0 13871	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑥)) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
8		nn0p1nn 12558	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
10		lmnn.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		lmnn.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
14		eluznn 12958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
15	9, 14	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
16	13, 15	ffvelcdmd 7084	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
17	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
18		xmetcl 24539	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
19	11, 16, 17, 18	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
20	15	nnrecred 12302	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
22		rpxr 13042	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	22	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24		lmnn.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
25	24	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
26	15, 25	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
27	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
28	9	nnred 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
30	15	nnred 12263	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
31		flltp1 13851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ ℝ → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
32	27, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
33		eluzle 12891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
34	33	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
35	27, 29, 30, 32, 34	ltletrd 11385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < 𝑘)
36		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
37		rpregt0 13047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
38		nnrp 13044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
39	38	rpregt0d 13082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
40		ltrec1 12117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
41	37, 39, 40	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
42	36, 15, 41	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
43	35, 42	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) < 𝑥)
44	19, 21, 23, 26, 43	xrlttrd 13200	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
45	44	ralrimiva 3159	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
46		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)))
47	46	raleqdv 3325	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
48	47	rspcev 3583	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
49	9, 45, 48	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
50	49	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
51		lmnn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
52		nnuz 12917	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
53		1zzd 12640	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
54		eqidd 2766	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
55	51, 10, 52, 53, 54, 12	lmmbrf 25472	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
56	1, 50, 55	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118  ℝ^*cxr 11257   < clt 11258   ≤ cle 11259   / cdiv 11886  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12519  ℤ_≥cuz 12878  ℝ⁺crp 13032  ⌊cfl 13841  ∞Metcxmet 21557  MetOpencmopn 21562  ⇝_𝑡clm 23433

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-fl 13843  df-topgen 17518  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-top 23101  df-topon 23118  df-bases 23153  df-lm 23436

This theorem is used by: (None)