MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmnn 24627
Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmnn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmnn.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmnn.4 (𝜑𝑃𝑋)
lmnn.5 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
Assertion
Ref Expression
lmnn (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑘)

Proof of Theorem lmnn
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmnn.4 . 2 (𝜑𝑃𝑋)
2 rpreccl 12941 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
32adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
43rpred 12957 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
53rpge0d 12961 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑥))
6 flge0nn0 13725 . . . . . 6 (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑥)) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
8 nn0p1nn 12452 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
10 lmnn.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1110ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12 lmnn.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
1312ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
14 eluznn 12843 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
159, 14sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1613, 15ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
171ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑃𝑋)
18 xmetcl 23684 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
1911, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
2015nnrecred 12204 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
2120rexrd 11205 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
22 rpxr 12924 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*)
2322ad2antlr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24 lmnn.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
2524adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
2615, 25syldan 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
274adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
289nnred 12168 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
3015nnred 12168 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
31 flltp1 13705 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝑥) ∈ ℝ → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
33 eluzle 12776 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
3433adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
3527, 29, 30, 32, 34ltletrd 11315 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < 𝑘)
36 simplr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
37 rpregt0 12929 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
38 nnrp 12926 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
3938rpregt0d 12963 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
40 ltrec1 12042 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4137, 39, 40syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4236, 15, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4335, 42mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) < 𝑥)
4419, 21, 23, 26, 43xrlttrd 13078 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
4544ralrimiva 3143 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
46 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)))
4746raleqdv 3313 . . . . 5 (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
4847rspcev 3581 . . . 4 ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
499, 45, 48syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
5049ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
51 lmnn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
52 nnuz 12806 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
53 1zzd 12534 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
54 eqidd 2737 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
5551, 10, 52, 53, 54, 12lmmbrf 24626 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
561, 50, 55mpbir2and 711 1 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cuz 12763  +crp 12915  cfl 13695  ∞Metcxmet 20781  MetOpencmopn 20786  𝑡clm 22577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-fl 13697  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-lm 22580
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator