MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmnn 25311
Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmnn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmnn.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmnn.4 (𝜑𝑃𝑋)
lmnn.5 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
Assertion
Ref Expression
lmnn (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑘)

Proof of Theorem lmnn
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmnn.4 . 2 (𝜑𝑃𝑋)
2 rpreccl 13059 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
32adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
43rpred 13075 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
53rpge0d 13079 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑥))
6 flge0nn0 13857 . . . . . 6 (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑥)) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
8 nn0p1nn 12563 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
10 lmnn.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1110ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12 lmnn.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
1312ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
14 eluznn 12958 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
159, 14sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1613, 15ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
171ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑃𝑋)
18 xmetcl 24357 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
1911, 16, 17, 18syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
2015nnrecred 12315 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
2120rexrd 11309 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
22 rpxr 13042 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*)
2322ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24 lmnn.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
2524adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
2615, 25syldan 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
274adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
289nnred 12279 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
3015nnred 12279 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
31 flltp1 13837 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝑥) ∈ ℝ → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
33 eluzle 12889 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
3433adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
3527, 29, 30, 32, 34ltletrd 11419 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < 𝑘)
36 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
37 rpregt0 13047 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
38 nnrp 13044 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
3938rpregt0d 13081 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
40 ltrec1 12153 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4137, 39, 40syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4236, 15, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4335, 42mpbid 232 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) < 𝑥)
4419, 21, 23, 26, 43xrlttrd 13198 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
4544ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
46 fveq2 6907 . . . . . 6 (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)))
4746raleqdv 3324 . . . . 5 (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
4847rspcev 3622 . . . 4 ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
499, 45, 48syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
5049ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
51 lmnn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
52 nnuz 12919 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
53 1zzd 12646 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
54 eqidd 2736 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
5551, 10, 52, 53, 54, 12lmmbrf 25310 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
561, 50, 55mpbir2and 713 1 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  cuz 12876  +crp 13032  cfl 13827  ∞Metcxmet 21367  MetOpencmopn 21372  𝑡clm 23250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-fl 13829  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-lm 23253
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator