Theorem lmnn 25390

Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmnn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmnn.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
lmnn.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
lmnn	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑘)

Proof of Theorem lmnn

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmnn.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
2		rpreccl 13043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
3	2	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
4	3	rpred 13059	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
5	3	rpge0d 13063	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑥))
6		flge0nn0 13852	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑥)) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
7	4, 5, 6	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
8		nn0p1nn 12542	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
10		lmnn.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11	10	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		lmnn.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
13	12	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
14		eluznn 12941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
15	9, 14	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
16	13, 15	ffvelcdmd 7081	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
17	1	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
18		xmetcl 24456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
19	11, 16, 17, 18	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
20	15	nnrecred 12286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11258	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
22		rpxr 13025	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	22	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24		lmnn.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
25	24	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
26	15, 25	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
27	4	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
28	9	nnred 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
29	28	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
30	15	nnred 12247	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
31		flltp1 13832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ ℝ → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
32	27, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
33		eluzle 12874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
34	33	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
35	27, 29, 30, 32, 34	ltletrd 11369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < 𝑘)
36		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
37		rpregt0 13030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
38		nnrp 13027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
39	38	rpregt0d 13065	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
40		ltrec1 12101	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
41	37, 39, 40	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
42	36, 15, 41	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
43	35, 42	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) < 𝑥)
44	19, 21, 23, 26, 43	xrlttrd 13183	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
45	44	ralrimiva 3163	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
46		fveq2 6882	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)))
47	46	raleqdv 3329	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
48	47	rspcev 3590	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
49	9, 45, 48	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
50	49	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
51		lmnn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
52		nnuz 12900	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
53		1zzd 12624	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
54		eqidd 2770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
55	51, 10, 52, 53, 54, 12	lmmbrf 25389	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
56	1, 50, 55	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243   / cdiv 11870  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤ_≥cuz 12861  ℝ⁺crp 13015  ⌊cfl 13822  ∞Metcxmet 21475  MetOpencmopn 21480  ⇝_𝑡clm 23351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-fl 13824  df-topgen 17495  df-psmet 21482  df-xmet 21483  df-bl 21485  df-mopn 21486  df-top 23019  df-topon 23036  df-bases 23071  df-lm 23354

This theorem is referenced by: (None)