MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmnn 24779
Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmnn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lmnn.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
lmnn.4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
lmnn.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
lmnn.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < (1 / π‘˜))
Assertion
Ref Expression
lmnn (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐹   𝑃,π‘˜   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘˜)

Proof of Theorem lmnn
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmnn.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
2 rpreccl 12999 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
32adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
43rpred 13015 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
53rpge0d 13019 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (1 / π‘₯))
6 flge0nn0 13784 . . . . . 6 (((1 / π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) ∈ β„•0)
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) ∈ β„•0)
8 nn0p1nn 12510 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ β„•)
97, 8syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ β„•)
10 lmnn.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1110ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
12 lmnn.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
1312ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
14 eluznn 12901 . . . . . . . . 9 ((((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
159, 14sylan 580 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1613, 15ffvelcdmd 7087 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
171ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
18 xmetcl 23836 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
1911, 16, 17, 18syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
2015nnrecred 12262 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
2120rexrd 11263 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ*)
22 rpxr 12982 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2322ad2antlr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
24 lmnn.6 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < (1 / π‘˜))
2524adantlr 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < (1 / π‘˜))
2615, 25syldan 591 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < (1 / π‘˜))
274adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
289nnred 12226 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ ℝ)
3015nnred 12226 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
31 flltp1 13764 . . . . . . . . 9 ((1 / π‘₯) ∈ ℝ β†’ (1 / π‘₯) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘₯) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))
33 eluzle 12834 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1)) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ≀ π‘˜)
3433adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ≀ π‘˜)
3527, 29, 30, 32, 34ltletrd 11373 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘₯) < π‘˜)
36 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
37 rpregt0 12987 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
38 nnrp 12984 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
3938rpregt0d 13021 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
40 ltrec1 12100 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ ((1 / π‘₯) < π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) < π‘₯))
4137, 39, 40syl2an 596 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / π‘₯) < π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) < π‘₯))
4236, 15, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((1 / π‘₯) < π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) < π‘₯))
4335, 42mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘˜) < π‘₯)
4419, 21, 23, 26, 43xrlttrd 13137 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
4544ralrimiva 3146 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
46 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1)))
4746raleqdv 3325 . . . . 5 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))
4847rspcev 3612 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
499, 45, 48syl2anc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
5049ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
51 lmnn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
52 nnuz 12864 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
53 1zzd 12592 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
54 eqidd 2733 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
5551, 10, 52, 53, 54, 12lmmbrf 24778 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
561, 50, 55mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248   / cdiv 11870  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  β„€β‰₯cuz 12821  β„+crp 12973  βŒŠcfl 13754  βˆžMetcxmet 20928  MetOpencmopn 20933  β‡π‘‘clm 22729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-fl 13756  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-lm 22732
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator