Theorem lmnn 25316

Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmnn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmnn.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
lmnn.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
lmnn	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑘)

Proof of Theorem lmnn

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmnn.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
2		rpreccl 13083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
4	3	rpred 13099	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
5	3	rpge0d 13103	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑥))
6		flge0nn0 13871	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑥)) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
7	4, 5, 6	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
8		nn0p1nn 12592	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
10		lmnn.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11	10	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		lmnn.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
13	12	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
14		eluznn 12983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
15	9, 14	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
16	13, 15	ffvelcdmd 7119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
17	1	ad2antrr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
18		xmetcl 24362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
19	11, 16, 17, 18	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
20	15	nnrecred 12344	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11340	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
22		rpxr 13066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	22	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24		lmnn.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
25	24	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
26	15, 25	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
27	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
28	9	nnred 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
30	15	nnred 12308	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
31		flltp1 13851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ ℝ → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
32	27, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
33		eluzle 12916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
34	33	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
35	27, 29, 30, 32, 34	ltletrd 11450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < 𝑘)
36		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
37		rpregt0 13071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
38		nnrp 13068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
39	38	rpregt0d 13105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
40		ltrec1 12182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
41	37, 39, 40	syl2an 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
42	36, 15, 41	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
43	35, 42	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) < 𝑥)
44	19, 21, 23, 26, 43	xrlttrd 13221	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
45	44	ralrimiva 3152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
46		fveq2 6920	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)))
47	46	raleqdv 3334	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
48	47	rspcev 3635	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
49	9, 45, 48	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
50	49	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
51		lmnn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
52		nnuz 12946	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
53		1zzd 12674	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
54		eqidd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
55	51, 10, 52, 53, 54, 12	lmmbrf 25315	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
56	1, 50, 55	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057  ⌊cfl 13841  ∞Metcxmet 21372  MetOpencmopn 21377  ⇝_𝑡clm 23255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-fl 13843  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-lm 23258

This theorem is referenced by: (None)