Theorem lmnn 25322

Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmnn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmnn.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
lmnn.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
lmnn	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑘)

Proof of Theorem lmnn

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmnn.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
2		rpreccl 13021	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
3	2	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
4	3	rpred 13037	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
5	3	rpge0d 13041	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑥))
6		flge0nn0 13830	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑥)) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
7	4, 5, 6	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
8		nn0p1nn 12520	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
10		lmnn.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11	10	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		lmnn.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
13	12	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
14		eluznn 12919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
15	9, 14	sylan 589	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
16	13, 15	ffvelcdmd 7066	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
17	1	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
18		xmetcl 24388	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
19	11, 16, 17, 18	syl3anc 1390	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
20	15	nnrecred 12264	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
22		rpxr 13003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	22	ad2antlr 737	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24		lmnn.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
25	24	adantlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
26	15, 25	syldan 600	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
27	4	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
28	9	nnred 12225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
29	28	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
30	15	nnred 12225	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
31		flltp1 13810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ ℝ → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
32	27, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
33		eluzle 12852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
34	33	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
35	27, 29, 30, 32, 34	ltletrd 11343	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < 𝑘)
36		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
37		rpregt0 13008	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
38		nnrp 13005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
39	38	rpregt0d 13043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
40		ltrec1 12079	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
41	37, 39, 40	syl2an 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
42	36, 15, 41	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
43	35, 42	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) < 𝑥)
44	19, 21, 23, 26, 43	xrlttrd 13161	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
45	44	ralrimiva 3154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
46		fveq2 6867	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)))
47	46	raleqdv 3320	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
48	47	rspcev 3581	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
49	9, 45, 48	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
50	49	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
51		lmnn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
52		nnuz 12878	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
53		1zzd 12602	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
54		eqidd 2763	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
55	51, 10, 52, 53, 54, 12	lmmbrf 25321	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
56	1, 50, 55	mpbir2and 723	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5100  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217   / cdiv 11844  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ℤ_≥cuz 12839  ℝ⁺crp 12993  ⌊cfl 13800  ∞Metcxmet 21406  MetOpencmopn 21411  ⇝_𝑡clm 23283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-fl 13802  df-topgen 17472  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-top 22951  df-topon 22968  df-bases 23003  df-lm 23286

This theorem is referenced by: (None)