MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmnn 24780
Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmnn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lmnn.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
lmnn.4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
lmnn.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
lmnn.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < (1 / π‘˜))
Assertion
Ref Expression
lmnn (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐹   𝑃,π‘˜   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘˜)

Proof of Theorem lmnn
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmnn.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
2 rpreccl 13000 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
32adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
43rpred 13016 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
53rpge0d 13020 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (1 / π‘₯))
6 flge0nn0 13785 . . . . . 6 (((1 / π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) ∈ β„•0)
74, 5, 6syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) ∈ β„•0)
8 nn0p1nn 12511 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ β„•)
97, 8syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ β„•)
10 lmnn.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1110ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
12 lmnn.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
14 eluznn 12902 . . . . . . . . 9 ((((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
159, 14sylan 581 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1613, 15ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
171ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
18 xmetcl 23837 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
1911, 16, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
2015nnrecred 12263 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
2120rexrd 11264 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ*)
22 rpxr 12983 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2322ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
24 lmnn.6 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < (1 / π‘˜))
2524adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < (1 / π‘˜))
2615, 25syldan 592 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < (1 / π‘˜))
274adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
289nnred 12227 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ ℝ)
2928adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ ℝ)
3015nnred 12227 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
31 flltp1 13765 . . . . . . . . 9 ((1 / π‘₯) ∈ ℝ β†’ (1 / π‘₯) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘₯) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))
33 eluzle 12835 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1)) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ≀ π‘˜)
3433adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ≀ π‘˜)
3527, 29, 30, 32, 34ltletrd 11374 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘₯) < π‘˜)
36 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
37 rpregt0 12988 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
38 nnrp 12985 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
3938rpregt0d 13022 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
40 ltrec1 12101 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ ((1 / π‘₯) < π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) < π‘₯))
4137, 39, 40syl2an 597 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / π‘₯) < π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) < π‘₯))
4236, 15, 41syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((1 / π‘₯) < π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) < π‘₯))
4335, 42mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘˜) < π‘₯)
4419, 21, 23, 26, 43xrlttrd 13138 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
4544ralrimiva 3147 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
46 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1)))
4746raleqdv 3326 . . . . 5 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))
4847rspcev 3613 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
499, 45, 48syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
5049ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
51 lmnn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
52 nnuz 12865 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
53 1zzd 12593 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
54 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
5551, 10, 52, 53, 54, 12lmmbrf 24779 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
561, 50, 55mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  βŒŠcfl 13755  βˆžMetcxmet 20929  MetOpencmopn 20934  β‡π‘‘clm 22730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fl 13757  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-lm 22733
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator