MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmnn 24650
Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmnn.2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
lmnn.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
lmnn.4 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
lmnn.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
lmnn.6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < (1 / π‘˜))
Assertion
Ref Expression
lmnn (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘˜   π‘˜,𝐹   𝑃,π‘˜   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘˜)

Proof of Theorem lmnn
Dummy variables 𝑗 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmnn.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
2 rpreccl 12949 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
32adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
43rpred 12965 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
53rpge0d 12969 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (1 / π‘₯))
6 flge0nn0 13734 . . . . . 6 (((1 / π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (1 / π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) ∈ β„•0)
74, 5, 6syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) ∈ β„•0)
8 nn0p1nn 12460 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ β„•)
97, 8syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ β„•)
10 lmnn.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
1110ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
12 lmnn.5 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆπ‘‹)
14 eluznn 12851 . . . . . . . . 9 ((((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
159, 14sylan 581 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
1613, 15ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋)
171ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ 𝑃 ∈ 𝑋)
18 xmetcl 23707 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
1911, 16, 17, 18syl3anc 1372 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
2015nnrecred 12212 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
2120rexrd 11213 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ*)
22 rpxr 12932 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2322ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
24 lmnn.6 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < (1 / π‘˜))
2524adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < (1 / π‘˜))
2615, 25syldan 592 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < (1 / π‘˜))
274adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
289nnred 12176 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ ℝ)
2928adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ ℝ)
3015nnred 12176 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
31 flltp1 13714 . . . . . . . . 9 ((1 / π‘₯) ∈ ℝ β†’ (1 / π‘₯) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘₯) < ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))
33 eluzle 12784 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1)) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ≀ π‘˜)
3433adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ≀ π‘˜)
3527, 29, 30, 32, 34ltletrd 11323 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘₯) < π‘˜)
36 simplr 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
37 rpregt0 12937 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
38 nnrp 12934 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ+)
3938rpregt0d 12971 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
40 ltrec1 12050 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ ((1 / π‘₯) < π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) < π‘₯))
4137, 39, 40syl2an 597 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / π‘₯) < π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) < π‘₯))
4236, 15, 41syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((1 / π‘₯) < π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) < π‘₯))
4335, 42mpbid 231 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ (1 / π‘˜) < π‘₯)
4419, 21, 23, 26, 43xrlttrd 13087 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
4544ralrimiva 3140 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
46 fveq2 6846 . . . . . 6 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1)))
4746raleqdv 3312 . . . . 5 (𝑗 = ((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯))
4847rspcev 3583 . . . 4 ((((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1) ∈ β„• ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / π‘₯)) + 1))((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
499, 45, 48syl2anc 585 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
5049ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)
51 lmnn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
52 nnuz 12814 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
53 1zzd 12542 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
54 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘˜))
5551, 10, 52, 53, 54, 12lmmbrf 24649 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘˜)𝐷𝑃) < π‘₯)))
561, 50, 55mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   / cdiv 11820  β„•cn 12161  β„•0cn0 12421  β„€β‰₯cuz 12771  β„+crp 12923  βŒŠcfl 13704  βˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809  β‡π‘‘clm 22600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-fl 13706  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-lm 22603
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator