MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmnn 24499
Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmnn.2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmnn.3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmnn.4 (𝜑𝑃𝑋)
lmnn.5 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmnn.6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
Assertion
Ref Expression
lmnn (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑘)

Proof of Theorem lmnn
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmnn.4 . 2 (𝜑𝑃𝑋)
2 rpreccl 12829 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
32adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
43rpred 12845 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
53rpge0d 12849 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑥))
6 flge0nn0 13613 . . . . . 6 (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑥)) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
8 nn0p1nn 12345 . . . . 5 ((⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
10 lmnn.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
1110ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12 lmnn.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
1312ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
14 eluznn 12731 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
159, 14sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
1613, 15ffvelcdmd 7001 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
171ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑃𝑋)
18 xmetcl 23556 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
1911, 16, 17, 18syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
2015nnrecred 12097 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
2120rexrd 11098 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
22 rpxr 12812 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*)
2322ad2antlr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24 lmnn.6 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
2524adantlr 712 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
2615, 25syldan 591 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
274adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
289nnred 12061 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
3015nnred 12061 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
31 flltp1 13593 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝑥) ∈ ℝ → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
3227, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
33 eluzle 12668 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
3433adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
3527, 29, 30, 32, 34ltletrd 11208 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < 𝑘)
36 simplr 766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
37 rpregt0 12817 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
38 nnrp 12814 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
3938rpregt0d 12851 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
40 ltrec1 11935 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4137, 39, 40syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4236, 15, 41syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
4335, 42mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) < 𝑥)
4419, 21, 23, 26, 43xrlttrd 12966 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
4544ralrimiva 3140 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
46 fveq2 6811 . . . . . 6 (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)))
4746raleqdv 3310 . . . . 5 (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
4847rspcev 3570 . . . 4 ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
499, 45, 48syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
5049ralrimiva 3140 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
51 lmnn.2 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
52 nnuz 12694 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
53 1zzd 12424 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
54 eqidd 2738 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
5551, 10, 52, 53, 54, 12lmmbrf 24498 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
561, 50, 55mpbir2and 710 1 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3062  wrex 3071   class class class wbr 5087  wf 6461  cfv 6465  (class class class)co 7315  cr 10943  0cc0 10944  1c1 10945   + caddc 10947  *cxr 11081   < clt 11082  cle 11083   / cdiv 11705  cn 12046  0cn0 12306  cuz 12655  +crp 12803  cfl 13583  ∞Metcxmet 20654  MetOpencmopn 20659  𝑡clm 22449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-er 8546  df-map 8665  df-pm 8666  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-sup 9271  df-inf 9272  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-q 12762  df-rp 12804  df-xneg 12921  df-xadd 12922  df-xmul 12923  df-fl 13585  df-topgen 17224  df-psmet 20661  df-xmet 20662  df-bl 20664  df-mopn 20665  df-top 22115  df-topon 22132  df-bases 22168  df-lm 22452
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator