Theorem lmnn 25577

Description: A condition that implies convergence. (Contributed by NM, 8-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmnn.2	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmnn.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmnn.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
lmnn.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmnn.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))

Assertion

Ref	Expression
lmnn	⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑘)

Proof of Theorem lmnn

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmnn.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋)
2		rpreccl 13141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
3	2	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
4	3	rpred 13157	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
5	3	rpge0d 13161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑥))
6		flge0nn0 13953	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑥)) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0)
8		nn0p1nn 12638	. . . . 5 ⊢ ((⌊‘(1 / 𝑥)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ)
10		lmnn.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
11	10	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
12		lmnn.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
14		eluznn 13038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
15	9, 14	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
16	13, 15	ffvelcdmd 7083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋)
17	1	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑃 ∈ 𝑋)
18		xmetcl 24643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑋 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
19	11, 16, 17, 18	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) ∈ ℝ*)
20	15	nnrecred 12382	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11352	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ*)
22		rpxr 13123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ*)
23	22	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
24		lmnn.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
25	24	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
26	15, 25	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < (1 / 𝑘))
27	4	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
28	9	nnred 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
29	28	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℝ)
30	15	nnred 12343	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
31		flltp1 13933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ ℝ → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
32	27, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))
33		eluzle 12971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
34	33	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ≤ 𝑘)
35	27, 29, 30, 32, 34	ltletrd 11463	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑥) < 𝑘)
36		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
37		rpregt0 13128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
38		nnrp 13125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
39	38	rpregt0d 13163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
40		ltrec1 12197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
41	37, 39, 40	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
42	36, 15, 41	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((1 / 𝑥) < 𝑘 ↔ (1 / 𝑘) < 𝑥))
43	35, 42	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → (1 / 𝑘) < 𝑥)
44	19, 21, 23, 26, 43	xrlttrd 13281	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))) → ((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
45	44	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
46		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1)))
47	46	raleqdv 3320	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = ((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥))
48	47	rspcev 3577	. . . 4 ⊢ ((((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1) ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(1 / 𝑥)) + 1))((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
49	9, 45, 48	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
50	49	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)
51		lmnn.2	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
52		nnuz 12997	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
53		1zzd 12720	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
54		eqidd 2762	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
55	51, 10, 52, 53, 54, 12	lmmbrf 25576	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘)𝐷𝑃) < 𝑥)))
56	1, 50, 55	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337   / cdiv 11966  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  ℤ_≥cuz 12958  ℝ⁺crp 13113  ⌊cfl 13923  ∞Metcxmet 21656  MetOpencmopn 21661  ⇝_𝑡clm 23537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-sup 9427  df-inf 9428  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-fl 13925  df-topgen 17607  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-top 23205  df-topon 23222  df-bases 23257  df-lm 23540

This theorem is used by: (None)