MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem2a 26881
Description: Lemma for dchrisum0 26884. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
rpvmasum2.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
dchrisum0.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
dchrisum0.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
dchrisum0lem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))
dchrisum0lem2.u (πœ‘ β†’ 𝐻 β‡π‘Ÿ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2a (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦, 1   π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐢   𝐹,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑆,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘š,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘š,𝑍,π‘₯,𝑦   𝐷,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž,𝑑)   𝑆(π‘Ž)   π‘ˆ(𝑦,π‘Ž,𝑑)   1 (π‘Ž,𝑑)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝑁(π‘Ž,𝑑)   π‘Š(𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝑍(π‘Ž,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13885 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
2 simpl 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ πœ‘)
3 elfznn 13477 . . . . 5 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ β„•)
4 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
6 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
8 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
98ssrab3 4045 . . . . . . . . . 10 π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 })
10 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
119, 10sselid 3947 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }))
1211eldifad 3927 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1312adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
14 nnz 12527 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„€)
1514adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„€)
164, 5, 6, 7, 13, 15dchrzrhcl 26609 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
17 nnrp 12933 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ+)
1817adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
1918rpsqrtcld 15303 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
2019rpcnd 12966 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
2119rpne0d 12969 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)
2216, 20, 21divcld 11938 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
232, 3, 22syl2an 597 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
241, 23fsumcl 15625 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
25 dchrisum0lem2.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‡π‘Ÿ π‘ˆ)
26 rlimcl 15392 . . . . 5 (𝐻 β‡π‘Ÿ π‘ˆ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
2725, 26syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
2827adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
29 0xr 11209 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
30 0lt1 11684 . . . . . . . . 9 0 < 1
31 df-ioo 13275 . . . . . . . . . 10 (,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
32 df-ico 13277 . . . . . . . . . 10 [,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
33 xrltletr 13083 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((0 < 1 ∧ 1 ≀ 𝑀) β†’ 0 < 𝑀))
3431, 32, 33ixxss1 13289 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) β†’ (1[,)+∞) βŠ† (0(,)+∞))
3529, 30, 34mp2an 691 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) βŠ† (0(,)+∞)
36 ioorp 13349 . . . . . . . 8 (0(,)+∞) = ℝ+
3735, 36sseqtri 3985 . . . . . . 7 (1[,)+∞) βŠ† ℝ+
38 resmpt 5996 . . . . . . 7 ((1[,)+∞) βŠ† ℝ+ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) β†Ύ (1[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) β†Ύ (1[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
4037sseli 3945 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
413adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„•)
42 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = π‘š β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
43 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = π‘š β†’ (βˆšβ€˜π‘Ž) = (βˆšβ€˜π‘š))
4442, 43oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = π‘š β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
45 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
46 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt3i 6958 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• β†’ (πΉβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
4940, 48sylanl2 680 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΉβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
50 1re 11162 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
51 elicopnf 13369 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯))
53 flge1nn 13733 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
5452, 53sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
5554adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
56 nnuz 12813 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5755, 56eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
5840, 23sylanl2 680 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
5949, 57, 58fsumser 15622 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
6059mpteq2dva 5210 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) = (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯))))
6139, 60eqtrid 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) β†Ύ (1[,)+∞)) = (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯))))
62 fveq2 6847 . . . . . . 7 (π‘š = (βŒŠβ€˜π‘₯) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘š) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
63 rpssre 12929 . . . . . . . . 9 ℝ+ βŠ† ℝ
6463a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
6537, 64sstrid 3960 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1[,)+∞) βŠ† ℝ)
66 1zzd 12541 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
6744cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
6845, 67eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (π‘š ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
6922, 68fmptd 7067 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„‚)
7069ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
7156, 66, 70serf 13943 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹):β„•βŸΆβ„‚)
7271feqmptd 6915 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) = (π‘š ∈ β„• ↦ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘š)))
73 dchrisum0.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
7472, 73eqbrtrrd 5134 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘š)) ⇝ 𝑆)
7571ffvelcdmda 7040 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
7652simprbi 498 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) β†’ 1 ≀ π‘₯)
7776adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
7856, 62, 65, 66, 74, 75, 77climrlim2 15436 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 𝑆)
79 rlimo1 15506 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 𝑆 β†’ (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
8078, 79syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
8161, 80eqeltrd 2838 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) β†Ύ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
8224fmpttd 7068 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))):ℝ+βŸΆβ„‚)
83 1red 11163 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
8482, 64, 83o1resb 15455 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) ∈ 𝑂(1) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) β†Ύ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
8581, 84mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) ∈ 𝑂(1))
86 o1const 15509 . . . 4 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ π‘ˆ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ π‘ˆ) ∈ 𝑂(1))
8763, 27, 86sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ π‘ˆ) ∈ 𝑂(1))
8824, 28, 85, 87o1mul2 15514 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ)) ∈ 𝑂(1))
89 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
90 2z 12542 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
91 rpexpcl 13993 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
9289, 90, 91sylancl 587 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
933nnrpd 12962 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
94 rpdivcl 12947 . . . . . . . 8 (((π‘₯↑2) ∈ ℝ+ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+)
9592, 93, 94syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+)
96 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))
9796divsqrsumf 26346 . . . . . . . 8 𝐻:ℝ+βŸΆβ„
9897ffvelcdmi 7039 . . . . . . 7 (((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+ β†’ (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ)
9995, 98syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ)
10099recnd 11190 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ β„‚)
10123, 100mulcld 11182 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ β„‚)
1021, 101fsumcl 15625 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ β„‚)
10324, 28mulcld 11182 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ) ∈ β„‚)
10425ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐻 β‡π‘Ÿ π‘ˆ)
105104, 26syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
10623, 105mulcld 11182 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ) ∈ β„‚)
1071, 101, 106fsumsub 15680 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ)) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ)))
10823, 100, 105subdid 11618 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ)) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ)))
109108sumeq2dv 15595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ)))
1101, 28, 23fsummulc1 15677 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ))
111110oveq2d 7378 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) βˆ’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ)) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ)))
112107, 109, 1113eqtr4d 2787 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ)) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) βˆ’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ)))
113112mpteq2dva 5210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) βˆ’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ))))
114100, 105subcld 11519 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ) ∈ β„‚)
11523, 114mulcld 11182 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ)) ∈ β„‚)
1161, 115fsumcl 15625 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ)) ∈ β„‚)
117116abscld 15328 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) ∈ ℝ)
118115abscld 15328 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) ∈ ℝ)
1191, 118fsumrecl 15626 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) ∈ ℝ)
120 1red 11163 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ ℝ)
1211, 115fsumabs 15693 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) ≀ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))))
122 rprege0 12937 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
123122adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
124123simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
125 reflcl 13708 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
126124, 125syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
127126, 89rerpdivcld 12995 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ∈ ℝ)
128 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
129128rprecred 12975 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ)
13023abscld 15328 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) ∈ ℝ)
13193rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
132131adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
133132rprecred 12975 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
134114abscld 15328 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ)) ∈ ℝ)
135132, 128rpdivcld 12981 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯) ∈ ℝ+)
13663, 135sselid 3947 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯) ∈ ℝ)
13723absge0d 15336 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))))
138114absge0d 15336 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ)))
1392, 3, 16syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
140132rpcnd 12966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
141132rpne0d 12969 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)
142139, 140, 141absdivd 15347 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘š))))
143132rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π‘š)))
144 absid 15188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((βˆšβ€˜π‘š) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (βˆšβ€˜π‘š)) β†’ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘š)) = (βˆšβ€˜π‘š))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘š)) = (βˆšβ€˜π‘š))
146145oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (absβ€˜(βˆšβ€˜π‘š))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (βˆšβ€˜π‘š)))
147142, 146eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) = ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (βˆšβ€˜π‘š)))
148139abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ∈ ℝ)
149 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
150 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘)
15112ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
152 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
153152nnnn0d 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
1545, 150, 7znzrhfo 20970 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘))
155 fof 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿:℀–ontoβ†’(Baseβ€˜π‘) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
156153, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
157156adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘))
158 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ β„€)
159 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘))
160157, 158, 159syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΏβ€˜π‘š) ∈ (Baseβ€˜π‘))
1614, 6, 5, 150, 151, 160dchrabs2 26626 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) ≀ 1)
162148, 149, 132, 161lediv1dd 13022 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š))) / (βˆšβ€˜π‘š)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜π‘š)))
163147, 162eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) ≀ (1 / (βˆšβ€˜π‘š)))
16496, 104divsqrtsum2 26348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))
16595, 164mpdan 686 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))
16692rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯↑2)))
167 sqrtdiv 15157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯↑2)) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
168166, 93, 167syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
169122ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
170 sqrtsq 15161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) = π‘₯)
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) = π‘₯)
172171oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š)))
173168, 172eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š)))
174173oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (1 / (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
175 rpcnne0 12940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
176175ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
177132rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0))
178 recdiv 11868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)) β†’ (1 / (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))) = ((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯))
179176, 177, 178syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))) = ((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯))
180174, 179eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = ((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯))
181165, 180breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ)) ≀ ((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯))
182130, 133, 134, 136, 137, 138, 163, 181lemul12ad 12104 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) Β· (absβ€˜((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) ≀ ((1 / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯)))
18323, 114absmuld 15346 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) = ((absβ€˜((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) Β· (absβ€˜((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))))
184 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ β„‚)
185 dmdcan 11872 . . . . . . . . . . . . 13 ((((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0) ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘š))) = (1 / π‘₯))
186177, 176, 184, 185syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘š))) = (1 / π‘₯))
187135rpcnd 12966 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯) ∈ β„‚)
188 reccl 11827 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
189177, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
190187, 189mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘š))) = ((1 / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯)))
191186, 190eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / π‘₯) = ((1 / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((βˆšβ€˜π‘š) / π‘₯)))
192182, 183, 1913brtr4d 5142 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) ≀ (1 / π‘₯))
1931, 118, 129, 192fsumle 15691 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) ≀ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / π‘₯))
194 flge0nn0 13732 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
195 hashfz1 14253 . . . . . . . . . . . 12 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
196123, 194, 1953syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) = (βŒŠβ€˜π‘₯))
197196oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· (1 / π‘₯)) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· (1 / π‘₯)))
19889rpreccld 12974 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ ℝ+)
199198rpcnd 12966 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / π‘₯) ∈ β„‚)
200 fsumconst 15682 . . . . . . . . . . 11 (((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin ∧ (1 / π‘₯) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / π‘₯) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· (1 / π‘₯)))
2011, 199, 200syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / π‘₯) = ((β™―β€˜(1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) Β· (1 / π‘₯)))
202126recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
203175adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
204203simpld 496 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
205203simprd 497 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ β‰  0)
206202, 204, 205divrecd 11941 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) Β· (1 / π‘₯)))
207197, 201, 2063eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / π‘₯) = ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯))
208193, 207breqtrd 5136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) ≀ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯))
209 flle 13711 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
210124, 209syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ π‘₯)
211124recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
212211mulid1d 11179 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· 1) = π‘₯)
213210, 212breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ (π‘₯ Β· 1))
214 rpregt0 12936 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
215214adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
216 ledivmul 12038 . . . . . . . . . 10 (((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ≀ 1 ↔ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ (π‘₯ Β· 1)))
217126, 120, 215, 216syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ≀ 1 ↔ (βŒŠβ€˜π‘₯) ≀ (π‘₯ Β· 1)))
218213, 217mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) / π‘₯) ≀ 1)
219119, 127, 120, 208, 218letrd 11319 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(absβ€˜(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 1)
220117, 119, 120, 121, 219letrd 11319 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 1)
221220adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) ≀ 1)
22264, 116, 83, 83, 221elo1d 15425 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) βˆ’ π‘ˆ))) ∈ 𝑂(1))
223113, 222eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) βˆ’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ))) ∈ 𝑂(1))
224102, 103, 223o1dif 15519 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· π‘ˆ)) ∈ 𝑂(1)))
22588, 224mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  [,)cico 13273  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  β™―chash 14237  βˆšcsqrt 15125  abscabs 15126   ⇝ cli 15373   β‡π‘Ÿ crli 15374  π‘‚(1)co1 15375  Ξ£csu 15577  Basecbs 17090  0gc0g 17328  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-od 19317  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  26882
  Copyright terms: Public domain W3C validator