MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem2a 27495
Description: Lemma for dchrisum0 27498. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
dchrisum0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
dchrisum0lem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
dchrisum0lem2.u (𝜑𝐻𝑟 𝑈)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2a (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑆,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑥   𝑥,𝑊   𝑚,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑆(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑎,𝑑)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13974 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 simpl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝜑)
3 elfznn 13565 . . . . 5 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℕ)
4 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
98ssrab3 4076 . . . . . . . . . 10 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
10 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑊)
119, 10sselid 3974 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
1211eldifad 3956 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
1312adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
14 nnz 12612 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
1514adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
164, 5, 6, 7, 13, 15dchrzrhcl 27223 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
17 nnrp 13020 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
1817adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1918rpsqrtcld 15394 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
2019rpcnd 13053 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
2119rpne0d 13056 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (√‘𝑚) ≠ 0)
2216, 20, 21divcld 12023 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
232, 3, 22syl2an 594 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
241, 23fsumcl 15715 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
25 dchrisum0lem2.u . . . . 5 (𝜑𝐻𝑟 𝑈)
26 rlimcl 15483 . . . . 5 (𝐻𝑟 𝑈𝑈 ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2827adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ ℂ)
29 0xr 11293 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
30 0lt1 11768 . . . . . . . . 9 0 < 1
31 df-ioo 13363 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
32 df-ico 13365 . . . . . . . . . 10 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
33 xrltletr 13171 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
3431, 32, 33ixxss1 13377 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
3529, 30, 34mp2an 690 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
36 ioorp 13437 . . . . . . . 8 (0(,)+∞) = ℝ+
3735, 36sseqtri 4013 . . . . . . 7 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
38 resmpt 6042 . . . . . . 7 ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
4037sseli 3972 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
413adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℕ)
42 2fveq3 6901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
43 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑚 → (√‘𝑎) = (√‘𝑚))
4442, 43oveq12d 7437 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
45 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
46 ovex 7452 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt3i 7009 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
4940, 48sylanl2 679 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
50 1re 11246 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
51 elicopnf 13457 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
53 flge1nn 13822 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
5452, 53sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
5554adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
56 nnuz 12898 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
5755, 56eleqtrdi 2835 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1))
5840, 23sylanl2 679 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
5949, 57, 58fsumser 15712 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
6059mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))))
6139, 60eqtrid 2777 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))))
62 fveq2 6896 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘𝑥) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑚) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
63 rpssre 13016 . . . . . . . . 9 + ⊆ ℝ
6463a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
6537, 64sstrid 3988 . . . . . . 7 (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
66 1zzd 12626 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
6744cbvmptv 5262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
6845, 67eqtri 2753 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
6922, 68fmptd 7123 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
7069ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
7156, 66, 70serf 14031 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
7271feqmptd 6966 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑚)))
73 dchrisum0.s . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
7472, 73eqbrtrrd 5173 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑚)) ⇝ 𝑆)
7571ffvelcdmda 7093 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ)
7652simprbi 495 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
7776adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
7856, 62, 65, 66, 74, 75, 77climrlim2 15527 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ⇝𝑟 𝑆)
79 rlimo1 15597 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ⇝𝑟 𝑆 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8078, 79syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8161, 80eqeltrd 2825 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
8224fmpttd 7124 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))):ℝ+⟶ℂ)
83 1red 11247 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
8482, 64, 83o1resb 15546 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
8581, 84mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ 𝑂(1))
86 o1const 15600 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑈) ∈ 𝑂(1))
8763, 27, 86sylancr 585 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝑈) ∈ 𝑂(1))
8824, 28, 85, 87o1mul2 15605 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) ∈ 𝑂(1))
89 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
90 2z 12627 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
91 rpexpcl 14081 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
9289, 90, 91sylancl 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
933nnrpd 13049 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
94 rpdivcl 13034 . . . . . . . 8 (((𝑥↑2) ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+)
9592, 93, 94syl2an 594 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+)
96 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
9796divsqrsumf 26958 . . . . . . . 8 𝐻:ℝ+⟶ℝ
9897ffvelcdmi 7092 . . . . . . 7 (((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+ → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ)
9995, 98syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ)
10099recnd 11274 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℂ)
10123, 100mulcld 11266 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℂ)
1021, 101fsumcl 15715 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℂ)
10324, 28mulcld 11266 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈) ∈ ℂ)
10425ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐻𝑟 𝑈)
105104, 26syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑈 ∈ ℂ)
10623, 105mulcld 11266 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈) ∈ ℂ)
1071, 101, 106fsumsub 15770 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
10823, 100, 105subdid 11702 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) = ((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
109108sumeq2dv 15685 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
1101, 28, 23fsummulc1 15767 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈))
111110oveq2d 7435 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
112107, 109, 1113eqtr4d 2775 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
113112mpteq2dva 5249 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈))))
114100, 105subcld 11603 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈) ∈ ℂ)
11523, 114mulcld 11266 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ∈ ℂ)
1161, 115fsumcl 15715 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ∈ ℂ)
117116abscld 15419 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ ℝ)
118115abscld 15419 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ ℝ)
1191, 118fsumrecl 15716 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ ℝ)
120 1red 11247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
1211, 115fsumabs 15783 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))))
122 rprege0 13024 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
123122adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
124123simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
125 reflcl 13797 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
126124, 125syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
127126, 89rerpdivcld 13082 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
128 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
129128rprecred 13062 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
13023abscld 15419 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ ℝ)
13193rpsqrtcld 15394 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
132131adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
133132rprecred 13062 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑚)) ∈ ℝ)
134114abscld 15419 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ∈ ℝ)
135132, 128rpdivcld 13068 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) / 𝑥) ∈ ℝ+)
13663, 135sselid 3974 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) / 𝑥) ∈ ℝ)
13723absge0d 15427 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))))
138114absge0d 15427 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)))
1392, 3, 16syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
140132rpcnd 13053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
141132rpne0d 13056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ≠ 0)
142139, 140, 141absdivd 15438 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (abs‘(√‘𝑚))))
143132rprege0d 13058 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑚)))
144 absid 15279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((√‘𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑚)) → (abs‘(√‘𝑚)) = (√‘𝑚))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(√‘𝑚)) = (√‘𝑚))
146145oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (abs‘(√‘𝑚))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (√‘𝑚)))
147142, 146eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (√‘𝑚)))
148139abscld 15419 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ)
149 1red 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
150 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
15112ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
152 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
153152nnnn0d 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1545, 150, 7znzrhfo 21498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
155 fof 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
156153, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
157156adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
158 elfzelz 13536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℤ)
159 ffvelcdm 7090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
160157, 158, 159syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
1614, 6, 5, 150, 151, 160dchrabs2 27240 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 1)
162148, 149, 132, 161lediv1dd 13109 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (√‘𝑚)) ≤ (1 / (√‘𝑚)))
163147, 162eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ≤ (1 / (√‘𝑚)))
16496, 104divsqrtsum2 26960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ≤ (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))
16595, 164mpdan 685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ≤ (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))
16692rprege0d 13058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥↑2)))
167 sqrtdiv 15248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥↑2)) ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)))
168166, 93, 167syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)))
169122ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
170 sqrtsq 15252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘(𝑥↑2)) = 𝑥)
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘(𝑥↑2)) = 𝑥)
172171oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)) = (𝑥 / (√‘𝑚)))
173168, 172eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = (𝑥 / (√‘𝑚)))
174173oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = (1 / (𝑥 / (√‘𝑚))))
175 rpcnne0 13027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
176175ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
177132rpcnne0d 13060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0))
178 recdiv 11953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / (√‘𝑚))) = ((√‘𝑚) / 𝑥))
179176, 177, 178syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑥 / (√‘𝑚))) = ((√‘𝑚) / 𝑥))
180174, 179eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = ((√‘𝑚) / 𝑥))
181165, 180breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ≤ ((√‘𝑚) / 𝑥))
182130, 133, 134, 136, 137, 138, 163, 181lemul12ad 12189 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) · (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ ((1 / (√‘𝑚)) · ((√‘𝑚) / 𝑥)))
18323, 114absmuld 15437 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) = ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) · (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))))
184 1cnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
185 dmdcan 11957 . . . . . . . . . . . . 13 ((((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → (((√‘𝑚) / 𝑥) · (1 / (√‘𝑚))) = (1 / 𝑥))
186177, 176, 184, 185syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((√‘𝑚) / 𝑥) · (1 / (√‘𝑚))) = (1 / 𝑥))
187135rpcnd 13053 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) / 𝑥) ∈ ℂ)
188 reccl 11912 . . . . . . . . . . . . . 14 (((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0) → (1 / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
189177, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
190187, 189mulcomd 11267 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((√‘𝑚) / 𝑥) · (1 / (√‘𝑚))) = ((1 / (√‘𝑚)) · ((√‘𝑚) / 𝑥)))
191186, 190eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) = ((1 / (√‘𝑚)) · ((√‘𝑚) / 𝑥)))
192182, 183, 1913brtr4d 5181 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ (1 / 𝑥))
1931, 118, 129, 192fsumle 15781 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥))
194 flge0nn0 13821 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
195 hashfz1 14341 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
196123, 194, 1953syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
197196oveq1d 7434 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)) = ((⌊‘𝑥) · (1 / 𝑥)))
19889rpreccld 13061 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
199198rpcnd 13053 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
200 fsumconst 15772 . . . . . . . . . . 11 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ (1 / 𝑥) ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)))
2011, 199, 200syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)))
202126recnd 11274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℂ)
203175adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
204203simpld 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
205203simprd 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
206202, 204, 205divrecd 12026 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) · (1 / 𝑥)))
207197, 201, 2063eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) / 𝑥))
208193, 207breqtrd 5175 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ ((⌊‘𝑥) / 𝑥))
209 flle 13800 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
210124, 209syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
211124recnd 11274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
212211mulridd 11263 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
213210, 212breqtrrd 5177 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1))
214 rpregt0 13023 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
215214adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
216 ledivmul 12123 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1)))
217126, 120, 215, 216syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1)))
218213, 217mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1)
219119, 127, 120, 208, 218letrd 11403 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ 1)
220117, 119, 120, 121, 219letrd 11403 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ 1)
221220adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ 1)
22264, 116, 83, 83, 221elo1d 15516 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ 𝑂(1))
223113, 222eqeltrrd 2826 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈))) ∈ 𝑂(1))
224102, 103, 223o1dif 15610 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) ∈ 𝑂(1)))
22588, 224mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  {crab 3418  cdif 3941  wss 3944  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cres 5680  wf 6545  ontowfo 6547  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   · cmul 11145  +∞cpnf 11277  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  2c2 12300  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  +crp 13009  (,)cioo 13359  [,)cico 13361  ...cfz 13519  cfl 13791  seqcseq 14002  cexp 14062  chash 14325  csqrt 15216  abscabs 15217  cli 15464  𝑟 crli 15465  𝑂(1)co1 15466  Σcsu 15668  Basecbs 17183  0gc0g 17424  ℤRHomczrh 21442  ℤ/nczn 21445  DChrcdchr 27210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-o1 15470  df-lo1 15471  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-dvds 16235  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-qus 17494  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-nsg 19087  df-eqg 19088  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-od 19495  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-lidl 21116  df-rsp 21117  df-2idl 21157  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-zn 21449  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535  df-cxp 26536  df-dchr 27211
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  27496
  Copyright terms: Public domain W3C validator