MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem2a 26865
Description: Lemma for dchrisum0 26868. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
dchrisum0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
dchrisum0lem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
dchrisum0lem2.u (𝜑𝐻𝑟 𝑈)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2a (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑆,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑥   𝑥,𝑊   𝑚,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑆(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑎,𝑑)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 13878 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 simpl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝜑)
3 elfznn 13470 . . . . 5 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℕ)
4 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
6 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
98ssrab3 4040 . . . . . . . . . 10 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
10 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑊)
119, 10sselid 3942 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
1211eldifad 3922 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
14 nnz 12520 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
1514adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
164, 5, 6, 7, 13, 15dchrzrhcl 26593 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
17 nnrp 12926 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
1817adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1918rpsqrtcld 15296 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
2019rpcnd 12959 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
2119rpne0d 12962 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (√‘𝑚) ≠ 0)
2216, 20, 21divcld 11931 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
232, 3, 22syl2an 596 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
241, 23fsumcl 15618 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
25 dchrisum0lem2.u . . . . 5 (𝜑𝐻𝑟 𝑈)
26 rlimcl 15385 . . . . 5 (𝐻𝑟 𝑈𝑈 ∈ ℂ)
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2827adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑈 ∈ ℂ)
29 0xr 11202 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
30 0lt1 11677 . . . . . . . . 9 0 < 1
31 df-ioo 13268 . . . . . . . . . 10 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
32 df-ico 13270 . . . . . . . . . 10 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
33 xrltletr 13076 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
3431, 32, 33ixxss1 13282 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
3529, 30, 34mp2an 690 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
36 ioorp 13342 . . . . . . . 8 (0(,)+∞) = ℝ+
3735, 36sseqtri 3980 . . . . . . 7 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
38 resmpt 5991 . . . . . . 7 ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
4037sseli 3940 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ+)
413adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℕ)
42 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
43 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑚 → (√‘𝑎) = (√‘𝑚))
4442, 43oveq12d 7375 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
45 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
46 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt3i 6953 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
4940, 48sylanl2 679 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐹𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
50 1re 11155 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
51 elicopnf 13362 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
53 flge1nn 13726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
5452, 53sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
5554adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
56 nnuz 12806 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
5755, 56eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1))
5840, 23sylanl2 679 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
5949, 57, 58fsumser 15615 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
6059mpteq2dva 5205 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))))
6139, 60eqtrid 2788 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))))
62 fveq2 6842 . . . . . . 7 (𝑚 = (⌊‘𝑥) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑚) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
63 rpssre 12922 . . . . . . . . 9 + ⊆ ℝ
6463a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
6537, 64sstrid 3955 . . . . . . 7 (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
66 1zzd 12534 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
6744cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
6845, 67eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)))
6922, 68fmptd 7062 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
7069ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
7156, 66, 70serf 13936 . . . . . . . . 9 (𝜑 → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℂ)
7271feqmptd 6910 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑚)))
73 dchrisum0.s . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
7472, 73eqbrtrrd 5129 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑚)) ⇝ 𝑆)
7571ffvelcdmda 7035 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑚) ∈ ℂ)
7652simprbi 497 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
7776adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
7856, 62, 65, 66, 74, 75, 77climrlim2 15429 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ⇝𝑟 𝑆)
79 rlimo1 15499 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ⇝𝑟 𝑆 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8078, 79syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↦ (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
8161, 80eqeltrd 2838 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
8224fmpttd 7063 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))):ℝ+⟶ℂ)
83 1red 11156 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
8482, 64, 83o1resb 15448 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ 𝑂(1) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ↾ (1[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
8581, 84mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ 𝑂(1))
86 o1const 15502 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝑈) ∈ 𝑂(1))
8763, 27, 86sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝑈) ∈ 𝑂(1))
8824, 28, 85, 87o1mul2 15507 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) ∈ 𝑂(1))
89 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
90 2z 12535 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
91 rpexpcl 13986 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
9289, 90, 91sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
933nnrpd 12955 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
94 rpdivcl 12940 . . . . . . . 8 (((𝑥↑2) ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+)
9592, 93, 94syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+)
96 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
9796divsqrsumf 26330 . . . . . . . 8 𝐻:ℝ+⟶ℝ
9897ffvelcdmi 7034 . . . . . . 7 (((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+ → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ)
9995, 98syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ)
10099recnd 11183 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℂ)
10123, 100mulcld 11175 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℂ)
1021, 101fsumcl 15618 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℂ)
10324, 28mulcld 11175 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈) ∈ ℂ)
10425ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐻𝑟 𝑈)
105104, 26syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑈 ∈ ℂ)
10623, 105mulcld 11175 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈) ∈ ℂ)
1071, 101, 106fsumsub 15673 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
10823, 100, 105subdid 11611 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) = ((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
109108sumeq2dv 15588 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
1101, 28, 23fsummulc1 15670 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈))
111110oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
112107, 109, 1113eqtr4d 2786 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)))
113112mpteq2dva 5205 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈))))
114100, 105subcld 11512 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈) ∈ ℂ)
11523, 114mulcld 11175 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ∈ ℂ)
1161, 115fsumcl 15618 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ∈ ℂ)
117116abscld 15321 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ ℝ)
118115abscld 15321 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ ℝ)
1191, 118fsumrecl 15619 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ ℝ)
120 1red 11156 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
1211, 115fsumabs 15686 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))))
122 rprege0 12930 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
123122adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
124123simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
125 reflcl 13701 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
126124, 125syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
127126, 89rerpdivcld 12988 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
128 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
129128rprecred 12968 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ)
13023abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ∈ ℝ)
13193rpsqrtcld 15296 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
132131adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
133132rprecred 12968 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑚)) ∈ ℝ)
134114abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ∈ ℝ)
135132, 128rpdivcld 12974 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) / 𝑥) ∈ ℝ+)
13663, 135sselid 3942 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) / 𝑥) ∈ ℝ)
13723absge0d 15329 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))))
138114absge0d 15329 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)))
1392, 3, 16syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
140132rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
141132rpne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ≠ 0)
142139, 140, 141absdivd 15340 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (abs‘(√‘𝑚))))
143132rprege0d 12964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑚)))
144 absid 15181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((√‘𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑚)) → (abs‘(√‘𝑚)) = (√‘𝑚))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(√‘𝑚)) = (√‘𝑚))
146145oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (abs‘(√‘𝑚))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (√‘𝑚)))
147142, 146eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) = ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (√‘𝑚)))
148139abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) ∈ ℝ)
149 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
150 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
15112ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
152 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
153152nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1545, 150, 7znzrhfo 20954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
155 fof 6756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
156153, 154, 1553syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
157156adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
158 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℤ)
159 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
160157, 158, 159syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
1614, 6, 5, 150, 151, 160dchrabs2 26610 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) ≤ 1)
162148, 149, 132, 161lediv1dd 13015 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑋‘(𝐿𝑚))) / (√‘𝑚)) ≤ (1 / (√‘𝑚)))
163147, 162eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) ≤ (1 / (√‘𝑚)))
16496, 104divsqrtsum2 26332 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ≤ (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))
16595, 164mpdan 685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ≤ (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))
16692rprege0d 12964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥↑2)))
167 sqrtdiv 15150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥↑2)) ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)))
168166, 93, 167syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)))
169122ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
170 sqrtsq 15154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘(𝑥↑2)) = 𝑥)
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘(𝑥↑2)) = 𝑥)
172171oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)) = (𝑥 / (√‘𝑚)))
173168, 172eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = (𝑥 / (√‘𝑚)))
174173oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = (1 / (𝑥 / (√‘𝑚))))
175 rpcnne0 12933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
176175ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
177132rpcnne0d 12966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0))
178 recdiv 11861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0)) → (1 / (𝑥 / (√‘𝑚))) = ((√‘𝑚) / 𝑥))
179176, 177, 178syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (𝑥 / (√‘𝑚))) = ((√‘𝑚) / 𝑥))
180174, 179eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = ((√‘𝑚) / 𝑥))
181165, 180breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈)) ≤ ((√‘𝑚) / 𝑥))
182130, 133, 134, 136, 137, 138, 163, 181lemul12ad 12097 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) · (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ ((1 / (√‘𝑚)) · ((√‘𝑚) / 𝑥)))
18323, 114absmuld 15339 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) = ((abs‘((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚))) · (abs‘((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))))
184 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℂ)
185 dmdcan 11865 . . . . . . . . . . . . 13 ((((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ 1 ∈ ℂ) → (((√‘𝑚) / 𝑥) · (1 / (√‘𝑚))) = (1 / 𝑥))
186177, 176, 184, 185syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((√‘𝑚) / 𝑥) · (1 / (√‘𝑚))) = (1 / 𝑥))
187135rpcnd 12959 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) / 𝑥) ∈ ℂ)
188 reccl 11820 . . . . . . . . . . . . . 14 (((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0) → (1 / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
189177, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
190187, 189mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((√‘𝑚) / 𝑥) · (1 / (√‘𝑚))) = ((1 / (√‘𝑚)) · ((√‘𝑚) / 𝑥)))
191186, 190eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑥) = ((1 / (√‘𝑚)) · ((√‘𝑚) / 𝑥)))
192182, 183, 1913brtr4d 5137 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ (1 / 𝑥))
1931, 118, 129, 192fsumle 15684 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥))
194 flge0nn0 13725 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
195 hashfz1 14246 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
196123, 194, 1953syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (♯‘(1...(⌊‘𝑥))) = (⌊‘𝑥))
197196oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)) = ((⌊‘𝑥) · (1 / 𝑥)))
19889rpreccld 12967 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℝ+)
199198rpcnd 12959 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
200 fsumconst 15675 . . . . . . . . . . 11 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ (1 / 𝑥) ∈ ℂ) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)))
2011, 199, 200syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((♯‘(1...(⌊‘𝑥))) · (1 / 𝑥)))
202126recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℂ)
203175adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
204203simpld 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
205203simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
206202, 204, 205divrecd 11934 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) · (1 / 𝑥)))
207197, 201, 2063eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / 𝑥) = ((⌊‘𝑥) / 𝑥))
208193, 207breqtrd 5131 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ ((⌊‘𝑥) / 𝑥))
209 flle 13704 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
210124, 209syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ≤ 𝑥)
211124recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
212211mulid1d 11172 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
213210, 212breqtrrd 5133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1))
214 rpregt0 12929 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
215214adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
216 ledivmul 12031 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1)))
217126, 120, 215, 216syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝑥) ≤ (𝑥 · 1)))
218213, 217mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) / 𝑥) ≤ 1)
219119, 127, 120, 208, 218letrd 11312 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ 1)
220117, 119, 120, 121, 219letrd 11312 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ 1)
221220adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ≤ 1)
22264, 116, 83, 83, 221elo1d 15418 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) − 𝑈))) ∈ 𝑂(1))
223113, 222eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) − (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈))) ∈ 𝑂(1))
224102, 103, 223o1dif 15512 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · 𝑈)) ∈ 𝑂(1)))
22588, 224mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  {crab 3407  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cres 5635  wf 6492  ontowfo 6494  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  ...cfz 13424  cfl 13695  seqcseq 13906  cexp 13967  chash 14230  csqrt 15118  abscabs 15119  cli 15366  𝑟 crli 15367  𝑂(1)co1 15368  Σcsu 15570  Basecbs 17083  0gc0g 17321  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nczn 20903  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-o1 15372  df-lo1 15373  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-od 19310  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-dchr 26581
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  26866
  Copyright terms: Public domain W3C validator