MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem2 27556
Description: Lemma for dchrvmasum 27583. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasum.f ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
dchrvmasum.g (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
dchrvmasum.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasum.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dchrvmasum.1 ((𝜑𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
dchrvmasum.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrvmasum.2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥   𝑚,𝐾   𝑚,𝑁,𝑥   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑇,𝑑,𝑚,𝑥   𝑅,𝑑,𝑚,𝑥   𝑚,𝑍,𝑥   𝐷,𝑚,𝑥   𝐿,𝑑,𝑚,𝑥   𝑋,𝑑,𝑚,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2
StepHypRef Expression
1 1red 11259 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 dchrvmasum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
3 elrege0 13490 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
42, 3sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
54simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 fzfid 14010 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9 elfznn 13589 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
109nnrpd 13072 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
11 rpdivcl 13057 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
128, 10, 11syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
1312relogcld 26679 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℝ)
148adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1513, 14rerpdivcld 13105 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℝ)
167, 15fsumrecl 15766 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℝ)
176, 16remulcld 11288 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
18 dchrvmasum.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
19 3nn 12342 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
20 nnrp 13043 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
21 relogcl 26631 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . 6 (log‘3) ∈ ℝ
23 1re 11258 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2422, 23readdcli 11273 . . . . 5 ((log‘3) + 1) ∈ ℝ
25 remulcl 11237 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ((log‘3) + 1) ∈ ℝ) → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℝ)
2618, 24, 25sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℝ)
28 rpssre 13039 . . . . 5 + ⊆ ℝ
295recnd 11286 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
30 o1const 15652 . . . . 5 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝐶) ∈ 𝑂(1))
3128, 29, 30sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝐶) ∈ 𝑂(1))
32 logfacrlim2 27284 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
33 rlimo1 15649 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
3432, 33mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
356, 16, 31, 34o1mul2 15657 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
3626recnd 11286 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℂ)
37 o1const 15652 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ 𝑂(1))
3828, 36, 37sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ 𝑂(1))
3917, 27, 35, 38o1add2 15656 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))) ∈ 𝑂(1))
4017, 27readdcld 11287 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ ℝ)
41 dchrvmasum.g . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
4241eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐹 ∈ ℂ ↔ 𝐾 ∈ ℂ))
43 dchrvmasum.f . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
4443ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
4544ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
4642, 45, 12rspcdva 3622 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐾 ∈ ℂ)
47 dchrvmasum.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
4847ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
4946, 48subcld 11617 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐾𝑇) ∈ ℂ)
5049abscld 15471 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾𝑇)) ∈ ℝ)
519adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
5250, 51nndivred 12317 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
537, 52fsumrecl 15766 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
5453recnd 11286 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℂ)
5551nnrpd 13072 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
5649absge0d 15479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝐾𝑇)))
5750, 55, 56divge0d 13114 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
587, 52, 57fsumge0 15827 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
5953, 58absidd 15457 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
6059, 53eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ ℝ)
6140recnd 11286 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ ℂ)
6261abscld 15471 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))) ∈ ℝ)
63 3re 12343 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℝ)
65 1le3 12475 . . . . . . 7 1 ≤ 3
6664, 65jctir 520 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (3 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 3))
6718adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
6823rexri 11316 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
6963rexri 11316 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ*
70 1lt3 12436 . . . . . . . . . 10 1 < 3
71 lbico1 13437 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ* ∧ 3 ∈ ℝ* ∧ 1 < 3) → 1 ∈ (1[,)3))
7268, 69, 70, 71mp3an 1460 . . . . . . . . 9 1 ∈ (1[,)3)
73 0red 11261 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 0 ∈ ℝ)
74 elico2 13447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) → (𝑚 ∈ (1[,)3) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 3)))
7523, 69, 74mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 3))
7675simp1bi 1144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 𝑚 ∈ ℝ)
77 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 0 ∈ ℝ)
78 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 1 ∈ ℝ)
79 0lt1 11782 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 0 < 1)
8175simp2bi 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 1 ≤ 𝑚)
8277, 78, 76, 80, 81ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 0 < 𝑚)
8376, 82elrpd 13071 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 𝑚 ∈ ℝ+)
8447adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℂ)
8543, 84subcld 11617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑇) ∈ ℂ)
8685abscld 15471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐹𝑇)) ∈ ℝ)
8783, 86sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ∈ ℝ)
8818adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 𝑅 ∈ ℝ)
8985absge0d 15479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑇)))
9083, 89sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑇)))
91 dchrvmasum.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
9291r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
9373, 87, 88, 90, 92letrd 11415 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 0 ≤ 𝑅)
9493ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)0 ≤ 𝑅)
95 biidd 262 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
9695rspcv 3617 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1[,)3) → (∀𝑚 ∈ (1[,)3)0 ≤ 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
9772, 94, 96mpsyl 68 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
9897adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑅)
9967, 98jca 511 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
10050recnd 11286 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾𝑇)) ∈ ℂ)
1015ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
102101, 15remulcld 11288 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
1034ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
104 log1 26641 . . . . . . . . 9 (log‘1) = 0
10551nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℂ)
106105mullidd 11276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) = 𝑑)
107 rpre 13040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
109 fznnfl 13898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
111110simplbda 499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑𝑥)
112106, 111eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) ≤ 𝑥)
113 1red 11259 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
114107ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
115113, 114, 55lemuldivd 13123 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 · 𝑑) ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
116112, 115mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))
117 1rp 13035 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ+)
119118, 12logled 26683 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 ≤ (𝑥 / 𝑑) ↔ (log‘1) ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑))))
120116, 119mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘1) ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑)))
121104, 120eqbrtrrid 5183 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑)))
122 rpregt0 13046 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
123122ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
124 divge0 12134 . . . . . . . 8 ((((log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))
12513, 121, 123, 124syl21anc 838 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))
126 mulge0 11778 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))) → 0 ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)))
127103, 15, 125, 126syl12anc 837 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)))
128 absidm 15358 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑇) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
12949, 128syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
130129adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
13141fvoveq1d 7452 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (abs‘(𝐹𝑇)) = (abs‘(𝐾𝑇)))
132 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (log‘𝑚) = (log‘(𝑥 / 𝑑)))
133 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝑚 = (𝑥 / 𝑑))
134132, 133oveq12d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → ((log‘𝑚) / 𝑚) = ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)))
135134oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))))
136131, 135breq12d 5160 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → ((abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)) ↔ (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)))))
137 dchrvmasum.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
138137ralrimiva 3143 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (3[,)+∞)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
139138ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → ∀𝑚 ∈ (3[,)+∞)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
140 nndivre 12304 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
141108, 9, 140syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
142141adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
143 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → 3 ≤ (𝑥 / 𝑑))
144 elicopnf 13481 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℝ → ((𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑))))
14563, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
146142, 143, 145sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞))
147136, 139, 146rspcdva 3622 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))))
14813recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℂ)
149 rpcnne0 13050 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
150149ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
15155rpcnne0d 13083 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
152 divdiv2 11976 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0)) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥))
153148, 150, 151, 152syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥))
154 div23 11938 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑))
155148, 105, 150, 154syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑))
156153, 155eqtrd 2774 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑))
157156oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))) = (𝐶 · (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑)))
15829ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℂ)
15915recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℂ)
160158, 159, 105mulassd 11281 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑) = (𝐶 · (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑)))
161157, 160eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))) = ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
162161adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))) = ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
163147, 162breqtrd 5173 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
164130, 163eqbrtrd 5169 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) ≤ ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
165129adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
166131breq1d 5157 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → ((abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ 𝑅))
16791ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
168141adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
169116adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))
170 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (𝑥 / 𝑑) < 3)
171 elico2 13447 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) → ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3)))
17223, 69, 171mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3))
173168, 169, 170, 172syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3))
174166, 167, 173rspcdva 3622 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ 𝑅)
175165, 174eqbrtrd 5169 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) ≤ 𝑅)
1768, 66, 99, 100, 102, 127, 164, 175fsumharmonic 27069 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))))
17729adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
1787, 177, 159fsummulc2 15816 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)))
179178oveq1d 7445 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))))
180176, 179breqtrrd 5175 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))))
18140leabsd 15449 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ≤ (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))))
18260, 40, 62, 180, 181letrd 11415 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))))
183182adantrr 717 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))))
1841, 39, 40, 54, 183o1le 15685 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  3c3 12319  +crp 13031  [,)cico 13385  ...cfz 13543  cfl 13826  abscabs 15269  𝑟 crli 15517  𝑂(1)co1 15518  Σcsu 15718  Basecbs 17244  0gc0g 17485  ℤRHomczrh 21527  ℤ/nczn 21530  logclog 26610  DChrcdchr 27290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-o1 15522  df-lo1 15523  df-sum 15719  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ulm 26434  df-log 26612  df-cxp 26613  df-atan 26924  df-em 27050
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  27557
  Copyright terms: Public domain W3C validator