MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem2 27542
Description: Lemma for dchrvmasum 27569. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasum.f ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
dchrvmasum.g (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
dchrvmasum.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasum.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dchrvmasum.1 ((𝜑𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
dchrvmasum.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrvmasum.2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥   𝑚,𝐾   𝑚,𝑁,𝑥   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑇,𝑑,𝑚,𝑥   𝑅,𝑑,𝑚,𝑥   𝑚,𝑍,𝑥   𝐷,𝑚,𝑥   𝐿,𝑑,𝑚,𝑥   𝑋,𝑑,𝑚,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2
StepHypRef Expression
1 1red 11262 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 dchrvmasum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
3 elrege0 13494 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
42, 3sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
54simpld 494 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 fzfid 14014 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9 elfznn 13593 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
109nnrpd 13075 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
11 rpdivcl 13060 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
128, 10, 11syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
1312relogcld 26665 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℝ)
148adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1513, 14rerpdivcld 13108 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℝ)
167, 15fsumrecl 15770 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℝ)
176, 16remulcld 11291 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
18 dchrvmasum.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
19 3nn 12345 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
20 nnrp 13046 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
21 relogcl 26617 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . 6 (log‘3) ∈ ℝ
23 1re 11261 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2422, 23readdcli 11276 . . . . 5 ((log‘3) + 1) ∈ ℝ
25 remulcl 11240 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ((log‘3) + 1) ∈ ℝ) → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℝ)
2618, 24, 25sylancl 586 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℝ)
28 rpssre 13042 . . . . 5 + ⊆ ℝ
295recnd 11289 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
30 o1const 15656 . . . . 5 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝐶) ∈ 𝑂(1))
3128, 29, 30sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝐶) ∈ 𝑂(1))
32 logfacrlim2 27270 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
33 rlimo1 15653 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
3432, 33mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
356, 16, 31, 34o1mul2 15661 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
3626recnd 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℂ)
37 o1const 15656 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ 𝑂(1))
3828, 36, 37sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ 𝑂(1))
3917, 27, 35, 38o1add2 15660 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))) ∈ 𝑂(1))
4017, 27readdcld 11290 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ ℝ)
41 dchrvmasum.g . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
4241eleq1d 2826 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐹 ∈ ℂ ↔ 𝐾 ∈ ℂ))
43 dchrvmasum.f . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
4443ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
4544ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
4642, 45, 12rspcdva 3623 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐾 ∈ ℂ)
47 dchrvmasum.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
4847ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
4946, 48subcld 11620 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐾𝑇) ∈ ℂ)
5049abscld 15475 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾𝑇)) ∈ ℝ)
519adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
5250, 51nndivred 12320 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
537, 52fsumrecl 15770 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
5453recnd 11289 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℂ)
5551nnrpd 13075 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
5649absge0d 15483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝐾𝑇)))
5750, 55, 56divge0d 13117 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
587, 52, 57fsumge0 15831 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
5953, 58absidd 15461 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
6059, 53eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ ℝ)
6140recnd 11289 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ ℂ)
6261abscld 15475 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))) ∈ ℝ)
63 3re 12346 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℝ)
65 1le3 12478 . . . . . . 7 1 ≤ 3
6664, 65jctir 520 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (3 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 3))
6718adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
6823rexri 11319 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
6963rexri 11319 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ*
70 1lt3 12439 . . . . . . . . . 10 1 < 3
71 lbico1 13441 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ* ∧ 3 ∈ ℝ* ∧ 1 < 3) → 1 ∈ (1[,)3))
7268, 69, 70, 71mp3an 1463 . . . . . . . . 9 1 ∈ (1[,)3)
73 0red 11264 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 0 ∈ ℝ)
74 elico2 13451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) → (𝑚 ∈ (1[,)3) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 3)))
7523, 69, 74mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 3))
7675simp1bi 1146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 𝑚 ∈ ℝ)
77 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 0 ∈ ℝ)
78 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 1 ∈ ℝ)
79 0lt1 11785 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 0 < 1)
8175simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 1 ≤ 𝑚)
8277, 78, 76, 80, 81ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 0 < 𝑚)
8376, 82elrpd 13074 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 𝑚 ∈ ℝ+)
8447adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℂ)
8543, 84subcld 11620 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑇) ∈ ℂ)
8685abscld 15475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐹𝑇)) ∈ ℝ)
8783, 86sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ∈ ℝ)
8818adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 𝑅 ∈ ℝ)
8985absge0d 15483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑇)))
9083, 89sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑇)))
91 dchrvmasum.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
9291r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
9373, 87, 88, 90, 92letrd 11418 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 0 ≤ 𝑅)
9493ralrimiva 3146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)0 ≤ 𝑅)
95 biidd 262 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
9695rspcv 3618 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1[,)3) → (∀𝑚 ∈ (1[,)3)0 ≤ 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
9772, 94, 96mpsyl 68 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
9897adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑅)
9967, 98jca 511 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
10050recnd 11289 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾𝑇)) ∈ ℂ)
1015ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
102101, 15remulcld 11291 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
1034ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
104 log1 26627 . . . . . . . . 9 (log‘1) = 0
10551nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℂ)
106105mullidd 11279 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) = 𝑑)
107 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
109 fznnfl 13902 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
111110simplbda 499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑𝑥)
112106, 111eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) ≤ 𝑥)
113 1red 11262 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
114107ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
115113, 114, 55lemuldivd 13126 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 · 𝑑) ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
116112, 115mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))
117 1rp 13038 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ+)
119118, 12logled 26669 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 ≤ (𝑥 / 𝑑) ↔ (log‘1) ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑))))
120116, 119mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘1) ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑)))
121104, 120eqbrtrrid 5179 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑)))
122 rpregt0 13049 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
123122ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
124 divge0 12137 . . . . . . . 8 ((((log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))
12513, 121, 123, 124syl21anc 838 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))
126 mulge0 11781 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))) → 0 ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)))
127103, 15, 125, 126syl12anc 837 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)))
128 absidm 15362 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑇) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
12949, 128syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
130129adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
13141fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (abs‘(𝐹𝑇)) = (abs‘(𝐾𝑇)))
132 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (log‘𝑚) = (log‘(𝑥 / 𝑑)))
133 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝑚 = (𝑥 / 𝑑))
134132, 133oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → ((log‘𝑚) / 𝑚) = ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)))
135134oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))))
136131, 135breq12d 5156 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → ((abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)) ↔ (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)))))
137 dchrvmasum.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
138137ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (3[,)+∞)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
139138ad3antrrr 730 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → ∀𝑚 ∈ (3[,)+∞)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
140 nndivre 12307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
141108, 9, 140syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
142141adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
143 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → 3 ≤ (𝑥 / 𝑑))
144 elicopnf 13485 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℝ → ((𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑))))
14563, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
146142, 143, 145sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞))
147136, 139, 146rspcdva 3623 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))))
14813recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℂ)
149 rpcnne0 13053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
150149ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
15155rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
152 divdiv2 11979 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0)) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥))
153148, 150, 151, 152syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥))
154 div23 11941 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑))
155148, 105, 150, 154syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑))
156153, 155eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑))
157156oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))) = (𝐶 · (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑)))
15829ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℂ)
15915recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℂ)
160158, 159, 105mulassd 11284 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑) = (𝐶 · (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑)))
161157, 160eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))) = ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
162161adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))) = ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
163147, 162breqtrd 5169 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
164130, 163eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) ≤ ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
165129adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
166131breq1d 5153 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → ((abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ 𝑅))
16791ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
168141adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
169116adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))
170 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (𝑥 / 𝑑) < 3)
171 elico2 13451 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) → ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3)))
17223, 69, 171mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3))
173168, 169, 170, 172syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3))
174166, 167, 173rspcdva 3623 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ 𝑅)
175165, 174eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) ≤ 𝑅)
1768, 66, 99, 100, 102, 127, 164, 175fsumharmonic 27055 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))))
17729adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
1787, 177, 159fsummulc2 15820 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)))
179178oveq1d 7446 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))))
180176, 179breqtrrd 5171 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))))
18140leabsd 15453 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ≤ (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))))
18260, 40, 62, 180, 181letrd 11418 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))))
183182adantrr 717 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))))
1841, 39, 40, 54, 183o1le 15689 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  3c3 12322  +crp 13034  [,)cico 13389  ...cfz 13547  cfl 13830  abscabs 15273  𝑟 crli 15521  𝑂(1)co1 15522  Σcsu 15722  Basecbs 17247  0gc0g 17484  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513  logclog 26596  DChrcdchr 27276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-o1 15526  df-lo1 15527  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420  df-log 26598  df-cxp 26599  df-atan 26910  df-em 27036
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  27543
  Copyright terms: Public domain W3C validator