MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem2 25539
Description: Lemma for dchrvmasum 25566. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrvmasum.f ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
dchrvmasum.g (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
dchrvmasum.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasum.t (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
dchrvmasum.1 ((𝜑𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
dchrvmasum.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
dchrvmasum.2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥   𝑚,𝐾   𝑚,𝑁,𝑥   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑇,𝑑,𝑚,𝑥   𝑅,𝑑,𝑚,𝑥   𝑚,𝑍,𝑥   𝐷,𝑚,𝑥   𝐿,𝑑,𝑚,𝑥   𝑋,𝑑,𝑚,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐹(𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2
StepHypRef Expression
1 1red 10329 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 dchrvmasum.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
3 elrege0 12529 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
42, 3sylib 210 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
54simpld 489 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
65adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
7 fzfid 13027 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8 simpr 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9 elfznn 12624 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℕ)
109nnrpd 12115 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
11 rpdivcl 12101 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
128, 10, 11syl2an 590 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+)
13 relogcl 24663 . . . . . . 7 ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ+ → (log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℝ)
158adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1614, 15rerpdivcld 12148 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℝ)
177, 16fsumrecl 14806 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℝ)
186, 17remulcld 10359 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
19 dchrvmasum.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
20 3nn 11392 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
21 nnrp 12087 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
22 relogcl 24663 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
2320, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6 (log‘3) ∈ ℝ
24 1re 10328 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2523, 24readdcli 10344 . . . . 5 ((log‘3) + 1) ∈ ℝ
26 remulcl 10309 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ((log‘3) + 1) ∈ ℝ) → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℝ)
2719, 25, 26sylancl 581 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℝ)
2827adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℝ)
29 rpssre 12081 . . . . 5 + ⊆ ℝ
305recnd 10357 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
31 o1const 14691 . . . . 5 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+𝐶) ∈ 𝑂(1))
3229, 30, 31sylancr 582 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+𝐶) ∈ 𝑂(1))
33 logfacrlim2 25303 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ⇝𝑟 1
34 rlimo1 14688 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ⇝𝑟 1 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
3533, 34mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
366, 17, 32, 35o1mul2 14696 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))) ∈ 𝑂(1))
3727recnd 10357 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℂ)
38 o1const 14691 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (𝑅 · ((log‘3) + 1)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ 𝑂(1))
3929, 37, 38sylancr 582 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ 𝑂(1))
4018, 28, 36, 39o1add2 14695 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))) ∈ 𝑂(1))
4118, 28readdcld 10358 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ ℝ)
42 dchrvmasum.g . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝐹 = 𝐾)
4342eleq1d 2863 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐹 ∈ ℂ ↔ 𝐾 ∈ ℂ))
44 dchrvmasum.f . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ ℂ)
4544ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
4645ad2antrr 718 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ∀𝑚 ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ ℂ)
4743, 46, 12rspcdva 3503 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐾 ∈ ℂ)
48 dchrvmasum.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
4948ad2antrr 718 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℂ)
5047, 49subcld 10684 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐾𝑇) ∈ ℂ)
5150abscld 14516 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾𝑇)) ∈ ℝ)
529adantl 474 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℕ)
5351, 52nndivred 11367 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
547, 53fsumrecl 14806 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
5554recnd 10357 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑) ∈ ℂ)
5652nnrpd 12115 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
5750absge0d 14524 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘(𝐾𝑇)))
5851, 56, 57divge0d 12157 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ ((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
597, 53, 58fsumge0 14865 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
6054, 59absidd 14502 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑))
6160, 54eqeltrd 2878 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ ℝ)
6241recnd 10357 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ∈ ℂ)
6362abscld 14516 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))) ∈ ℝ)
64 3re 11393 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
6564a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 3 ∈ ℝ)
66 1le3 11532 . . . . . . 7 1 ≤ 3
6765, 66jctir 517 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (3 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 3))
6819adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
6924rexri 10387 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
7064rexri 10387 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ*
71 1lt3 11493 . . . . . . . . . 10 1 < 3
72 lbico1 12477 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ* ∧ 3 ∈ ℝ* ∧ 1 < 3) → 1 ∈ (1[,)3))
7369, 70, 71, 72mp3an 1586 . . . . . . . . 9 1 ∈ (1[,)3)
74 0red 10332 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 0 ∈ ℝ)
75 elico2 12486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) → (𝑚 ∈ (1[,)3) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 3)))
7624, 70, 75mp2an 684 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) ↔ (𝑚 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑚𝑚 < 3))
7776simp1bi 1176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 𝑚 ∈ ℝ)
78 0red 10332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 0 ∈ ℝ)
79 1red 10329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 1 ∈ ℝ)
80 0lt1 10842 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 0 < 1)
8276simp2bi 1177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 1 ≤ 𝑚)
8378, 79, 77, 81, 82ltletrd 10487 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 0 < 𝑚)
8477, 83elrpd 12114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (1[,)3) → 𝑚 ∈ ℝ+)
8548adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 𝑇 ∈ ℂ)
8644, 85subcld 10684 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑇) ∈ ℂ)
8786abscld 14516 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝐹𝑇)) ∈ ℝ)
8884, 87sylan2 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ∈ ℝ)
8919adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 𝑅 ∈ ℝ)
9086absge0d 14524 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑇)))
9184, 90sylan2 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑇)))
92 dchrvmasum.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
9392r19.21bi 3113 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
9474, 88, 89, 91, 93letrd 10484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ (1[,)3)) → 0 ≤ 𝑅)
9594ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)0 ≤ 𝑅)
96 biidd 254 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 1 → (0 ≤ 𝑅 ↔ 0 ≤ 𝑅))
9796rspcv 3493 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1[,)3) → (∀𝑚 ∈ (1[,)3)0 ≤ 𝑅 → 0 ≤ 𝑅))
9873, 95, 97mpsyl 68 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
9998adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝑅)
10068, 99jca 508 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
10151recnd 10357 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝐾𝑇)) ∈ ℂ)
1025ad2antrr 718 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
103102, 16remulcld 10359 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) ∈ ℝ)
1044ad2antrr 718 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
105 log1 24673 . . . . . . . . 9 (log‘1) = 0
10652nncnd 11330 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑 ∈ ℂ)
107106mulid2d 10347 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) = 𝑑)
108 rpre 12082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
109108adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
110 fznnfl 12916 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ↔ (𝑑 ∈ ℕ ∧ 𝑑𝑥)))
112111simplbda 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑑𝑥)
113107, 112eqbrtrd 4865 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 · 𝑑) ≤ 𝑥)
114 1red 10329 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
115108ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ)
116114, 115, 56lemuldivd 12166 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1 · 𝑑) ≤ 𝑥 ↔ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
117113, 116mpbid 224 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))
118 1rp 12078 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
119118a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ+)
120119, 12logled 24714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 ≤ (𝑥 / 𝑑) ↔ (log‘1) ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑))))
121117, 120mpbid 224 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘1) ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑)))
122105, 121syl5eqbrr 4879 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑)))
123 rpregt0 12090 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
124123ad2antlr 719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
125 divge0 11184 . . . . . . . 8 ((((log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (log‘(𝑥 / 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))
12614, 122, 124, 125syl21anc 867 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))
127 mulge0 10838 . . . . . . 7 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥))) → 0 ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)))
128104, 16, 126, 127syl12anc 866 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)))
129 absidm 14404 . . . . . . . . 9 ((𝐾𝑇) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
13050, 129syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
131130adantr 473 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
13242fvoveq1d 6900 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (abs‘(𝐹𝑇)) = (abs‘(𝐾𝑇)))
133 fveq2 6411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (log‘𝑚) = (log‘(𝑥 / 𝑑)))
134 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → 𝑚 = (𝑥 / 𝑑))
135133, 134oveq12d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → ((log‘𝑚) / 𝑚) = ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)))
136135oveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)) = (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))))
137132, 136breq12d 4856 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → ((abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)) ↔ (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)))))
138 dchrvmasum.1 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ (3[,)+∞)) → (abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
139138ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (3[,)+∞)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
140139ad3antrrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → ∀𝑚 ∈ (3[,)+∞)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘𝑚) / 𝑚)))
141 nndivre 11354 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
142109, 9, 141syl2an 590 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
143142adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
144 simpr 478 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → 3 ≤ (𝑥 / 𝑑))
145 elicopnf 12519 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℝ → ((𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑))))
14664, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)))
147143, 144, 146sylanbrc 579 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (𝑥 / 𝑑) ∈ (3[,)+∞))
148137, 140, 147rspcdva 3503 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))))
14914recnd 10357 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℂ)
150 rpcnne0 12094 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
151150ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
15256rpcnne0d 12126 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0))
153 divdiv2 11029 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0) ∧ (𝑑 ∈ ℂ ∧ 𝑑 ≠ 0)) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥))
154149, 151, 152, 153syl3anc 1491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥))
155 div23 10996 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘(𝑥 / 𝑑)) ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑))
156149, 106, 151, 155syl3anc 1491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((log‘(𝑥 / 𝑑)) · 𝑑) / 𝑥) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑))
157154, 156eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑)) = (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑))
158157oveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))) = (𝐶 · (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑)))
15930ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℂ)
16016recnd 10357 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) ∈ ℂ)
161159, 160, 106mulassd 10352 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑) = (𝐶 · (((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥) · 𝑑)))
162158, 161eqtr4d 2836 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))) = ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
163162adantr 473 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / (𝑥 / 𝑑))) = ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
164148, 163breqtrd 4869 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
165131, 164eqbrtrd 4865 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 3 ≤ (𝑥 / 𝑑)) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) ≤ ((𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) · 𝑑))
166130adantr 473 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) = (abs‘(𝐾𝑇)))
167132breq1d 4853 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑥 / 𝑑) → ((abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ 𝑅))
16892ad3antrrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → ∀𝑚 ∈ (1[,)3)(abs‘(𝐹𝑇)) ≤ 𝑅)
169142adantr 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ)
170117adantr 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → 1 ≤ (𝑥 / 𝑑))
171 simpr 478 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (𝑥 / 𝑑) < 3)
172 elico2 12486 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) → ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3)))
17324, 70, 172mp2an 684 . . . . . . . . 9 ((𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3) ↔ ((𝑥 / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ (𝑥 / 𝑑) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3))
174169, 170, 171, 173syl3anbrc 1444 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (𝑥 / 𝑑) ∈ (1[,)3))
175167, 168, 174rspcdva 3503 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (abs‘(𝐾𝑇)) ≤ 𝑅)
176166, 175eqbrtrd 4865 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ (𝑥 / 𝑑) < 3) → (abs‘(abs‘(𝐾𝑇))) ≤ 𝑅)
1778, 67, 100, 101, 103, 128, 165, 176fsumharmonic 25090 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))))
17830adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
1797, 178, 160fsummulc2 14854 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)))
180179oveq1d 6893 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐶 · ((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))))
181177, 180breqtrrd 4871 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))))
18241leabsd 14494 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1))) ≤ (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))))
18361, 41, 63, 181, 182letrd 10484 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))))
184183adantrr 709 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ≤ (abs‘((𝐶 · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((log‘(𝑥 / 𝑑)) / 𝑥)) + (𝑅 · ((log‘3) + 1)))))
1851, 40, 41, 55, 184o1le 14724 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((abs‘(𝐾𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wral 3089  wss 3769   class class class wbr 4843  cmpt 4922  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229  +∞cpnf 10360  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364  cmin 10556   / cdiv 10976  cn 11312  3c3 11369  +crp 12074  [,)cico 12426  ...cfz 12580  cfl 12846  abscabs 14315  𝑟 crli 14557  𝑂(1)co1 14558  Σcsu 14757  Basecbs 16184  0gc0g 16415  ℤRHomczrh 20170  ℤ/nczn 20173  logclog 24642  DChrcdchr 25309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-mod 12924  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-bc 13343  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-o1 14562  df-lo1 14563  df-sum 14758  df-ef 15134  df-e 15135  df-sin 15136  df-cos 15137  df-pi 15139  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-lp 21269  df-perf 21270  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-haus 21448  df-cmp 21519  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cncf 23009  df-limc 23971  df-dv 23972  df-log 24644  df-cxp 24645  df-em 25071
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  25540
  Copyright terms: Public domain W3C validator