MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem2 26862
Description: Lemma for dchrvmasum 26889. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasum.f ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
dchrvmasum.g (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ 𝐹 = 𝐾)
dchrvmasum.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasum.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
dchrvmasum.1 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
dchrvmasum.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
dchrvmasum.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š, 1   π‘š,𝑑,π‘₯,𝐢   𝐹,𝑑,π‘₯   π‘š,𝐾   π‘š,𝑁,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑇,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑅,𝑑,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑍,π‘₯   𝐷,π‘š,π‘₯   𝐿,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑋,𝑑,π‘š,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐹(π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑑)   𝐾(π‘₯,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2
StepHypRef Expression
1 1red 11163 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 dchrvmasum.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
3 elrege0 13378 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
42, 3sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
54simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
65adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7 fzfid 13885 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
8 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
9 elfznn 13477 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
109nnrpd 12962 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
11 rpdivcl 12947 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+)
128, 10, 11syl2an 597 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+)
1312relogcld 25994 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ ℝ)
148adantr 482 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1513, 14rerpdivcld 12995 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) ∈ ℝ)
167, 15fsumrecl 15626 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) ∈ ℝ)
176, 16remulcld 11192 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
18 dchrvmasum.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
19 3nn 12239 . . . . . . 7 3 ∈ β„•
20 nnrp 12933 . . . . . . 7 (3 ∈ β„• β†’ 3 ∈ ℝ+)
21 relogcl 25947 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜3) ∈ ℝ)
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . 6 (logβ€˜3) ∈ ℝ
23 1re 11162 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2422, 23readdcli 11177 . . . . 5 ((logβ€˜3) + 1) ∈ ℝ
25 remulcl 11143 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ((logβ€˜3) + 1) ∈ ℝ) β†’ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)) ∈ ℝ)
2618, 24, 25sylancl 587 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)) ∈ ℝ)
2726adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)) ∈ ℝ)
28 rpssre 12929 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
295recnd 11190 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
30 o1const 15509 . . . . 5 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 𝐢) ∈ 𝑂(1))
3128, 29, 30sylancr 588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 𝐢) ∈ 𝑂(1))
32 logfacrlim2 26590 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 1
33 rlimo1 15506 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
3432, 33mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
356, 16, 31, 34o1mul2 15514 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
3626recnd 11190 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)) ∈ β„‚)
37 o1const 15509 . . . 4 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))) ∈ 𝑂(1))
3828, 36, 37sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))) ∈ 𝑂(1))
3917, 27, 35, 38o1add2 15513 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)))) ∈ 𝑂(1))
4017, 27readdcld 11191 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))) ∈ ℝ)
41 dchrvmasum.g . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ 𝐹 = 𝐾)
4241eleq1d 2823 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (𝐹 ∈ β„‚ ↔ 𝐾 ∈ β„‚))
43 dchrvmasum.f . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
4443ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ β„‚)
4544ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘š ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ β„‚)
4642, 45, 12rspcdva 3585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
47 dchrvmasum.t . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
4847ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
4946, 48subcld 11519 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
5049abscld 15328 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ∈ ℝ)
519adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
5250, 51nndivred 12214 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
537, 52fsumrecl 15626 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
5453recnd 11190 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ∈ β„‚)
5551nnrpd 12962 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
5649absge0d 15336 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
5750, 55, 56divge0d 13004 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑))
587, 52, 57fsumge0 15687 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑))
5953, 58absidd 15314 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑))
6059, 53eqeltrd 2838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ∈ ℝ)
6140recnd 11190 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))) ∈ β„‚)
6261abscld 15328 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)))) ∈ ℝ)
63 3re 12240 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 3 ∈ ℝ)
65 1le3 12372 . . . . . . 7 1 ≀ 3
6664, 65jctir 522 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (3 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 3))
6718adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
6823rexri 11220 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
6963rexri 11220 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ*
70 1lt3 12333 . . . . . . . . . 10 1 < 3
71 lbico1 13325 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ* ∧ 3 ∈ ℝ* ∧ 1 < 3) β†’ 1 ∈ (1[,)3))
7268, 69, 70, 71mp3an 1462 . . . . . . . . 9 1 ∈ (1[,)3)
73 0red 11165 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 0 ∈ ℝ)
74 elico2 13335 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) β†’ (π‘š ∈ (1[,)3) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘š ∧ π‘š < 3)))
7523, 69, 74mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1[,)3) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘š ∧ π‘š < 3))
7675simp1bi 1146 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ π‘š ∈ ℝ)
77 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ 0 ∈ ℝ)
78 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ 1 ∈ ℝ)
79 0lt1 11684 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ 0 < 1)
8175simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ 1 ≀ π‘š)
8277, 78, 76, 80, 81ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ 0 < π‘š)
8376, 82elrpd 12961 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
8447adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
8543, 84subcld 11519 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
8685abscld 15328 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ∈ ℝ)
8783, 86sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ∈ ℝ)
8818adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
8985absge0d 15336 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)))
9083, 89sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)))
91 dchrvmasum.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
9291r19.21bi 3237 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
9373, 87, 88, 90, 92letrd 11319 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
9493ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)0 ≀ 𝑅)
95 biidd 262 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 1 β†’ (0 ≀ 𝑅 ↔ 0 ≀ 𝑅))
9695rspcv 3580 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1[,)3) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)0 ≀ 𝑅 β†’ 0 ≀ 𝑅))
9772, 94, 96mpsyl 68 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
9897adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ 𝑅)
9967, 98jca 513 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
10050recnd 11190 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
1015ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
102101, 15remulcld 11192 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
1034ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
104 log1 25957 . . . . . . . . 9 (logβ€˜1) = 0
10551nncnd 12176 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
106105mulid2d 11180 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· 𝑑) = 𝑑)
107 rpre 12930 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
108107adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
109 fznnfl 13774 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ π‘₯)))
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ π‘₯)))
111110simplbda 501 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ≀ π‘₯)
112106, 111eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· 𝑑) ≀ π‘₯)
113 1red 11163 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
114107ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
115113, 114, 55lemuldivd 13013 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1 Β· 𝑑) ≀ π‘₯ ↔ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑)))
116112, 115mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑))
117 1rp 12926 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ+)
119118, 12logled 25998 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 ≀ (π‘₯ / 𝑑) ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))))
120116, 119mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))
121104, 120eqbrtrrid 5146 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))
122 rpregt0 12936 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
123122ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
124 divge0 12031 . . . . . . . 8 ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯))
12513, 121, 123, 124syl21anc 837 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯))
126 mulge0 11680 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢) ∧ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯))) β†’ 0 ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)))
127103, 15, 125, 126syl12anc 836 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)))
128 absidm 15215 . . . . . . . . 9 ((𝐾 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
12949, 128syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
130129adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (absβ€˜(absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
13141fvoveq1d 7384 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) = (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
132 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (logβ€˜π‘š) = (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))
133 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ π‘š = (π‘₯ / 𝑑))
134132, 133oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ ((logβ€˜π‘š) / π‘š) = ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑)))
135134oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) = (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑))))
136131, 135breq12d 5123 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ ((absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) ↔ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑)))))
137 dchrvmasum.1 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
138137ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
139138ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ βˆ€π‘š ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
140 nndivre 12201 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ)
141108, 9, 140syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ)
142141adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ)
143 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑))
144 elicopnf 13369 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) ↔ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑))))
14563, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) ↔ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)))
146142, 143, 145sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ (3[,)+∞))
147136, 139, 146rspcdva 3585 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑))))
14813recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ β„‚)
149 rpcnne0 12940 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
150149ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
15155rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0))
152 divdiv2 11874 . . . . . . . . . . . . 13 (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) Β· 𝑑) / π‘₯))
153148, 150, 151, 152syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) Β· 𝑑) / π‘₯))
154 div23 11839 . . . . . . . . . . . . 13 (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ β„‚ ∧ 𝑑 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) Β· 𝑑) / π‘₯) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) Β· 𝑑))
155148, 105, 150, 154syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) Β· 𝑑) / π‘₯) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) Β· 𝑑))
156153, 155eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) Β· 𝑑))
157156oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑))) = (𝐢 Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) Β· 𝑑)))
15829ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
15915recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) ∈ β„‚)
160158, 159, 105mulassd 11185 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) Β· 𝑑) = (𝐢 Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) Β· 𝑑)))
161157, 160eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑))) = ((𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) Β· 𝑑))
162161adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑))) = ((𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) Β· 𝑑))
163147, 162breqtrd 5136 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ≀ ((𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) Β· 𝑑))
164130, 163eqbrtrd 5132 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (absβ€˜(absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ ((𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) Β· 𝑑))
165129adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ (absβ€˜(absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
166131breq1d 5120 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ ((absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅 ↔ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅))
16791ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
168141adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ)
169116adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑))
170 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ (π‘₯ / 𝑑) < 3)
171 elico2 13335 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ (1[,)3) ↔ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3)))
17223, 69, 171mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ / 𝑑) ∈ (1[,)3) ↔ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3))
173168, 169, 170, 172syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ (1[,)3))
174166, 167, 173rspcdva 3585 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
175165, 174eqbrtrd 5132 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ (absβ€˜(absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ 𝑅)
1768, 66, 99, 100, 102, 127, 164, 175fsumharmonic 26377 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ≀ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))))
17729adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1787, 177, 159fsummulc2 15676 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)))
179178oveq1d 7377 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))))
180176, 179breqtrrd 5138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ≀ ((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))))
18140leabsd 15306 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))) ≀ (absβ€˜((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)))))
18260, 40, 62, 180, 181letrd 11319 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ≀ (absβ€˜((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)))))
183182adantrr 716 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ≀ (absβ€˜((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)))))
1841, 39, 40, 54, 183o1le 15544 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  3c3 12216  β„+crp 12922  [,)cico 13273  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  abscabs 15126   β‡π‘Ÿ crli 15374  π‘‚(1)co1 15375  Ξ£csu 15577  Basecbs 17090  0gc0g 17328  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  logclog 25926  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-atan 26233  df-em 26358
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  26863
  Copyright terms: Public domain W3C validator