MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrvmasumlem2 27418
Description: Lemma for dchrvmasum 27445. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrvmasum.f ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
dchrvmasum.g (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ 𝐹 = 𝐾)
dchrvmasum.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrvmasum.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
dchrvmasum.1 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
dchrvmasum.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
dchrvmasum.2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlem2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š, 1   π‘š,𝑑,π‘₯,𝐢   𝐹,𝑑,π‘₯   π‘š,𝐾   π‘š,𝑁,π‘₯   πœ‘,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑇,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑅,𝑑,π‘š,π‘₯   π‘š,𝑍,π‘₯   𝐷,π‘š,π‘₯   𝐿,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑋,𝑑,π‘š,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑑)   1 (𝑑)   𝐹(π‘š)   𝐺(π‘₯,π‘š,𝑑)   𝐾(π‘₯,𝑑)   𝑁(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem dchrvmasumlem2
StepHypRef Expression
1 1red 11237 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 dchrvmasum.c . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
3 elrege0 13455 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
42, 3sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
54simpld 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
7 fzfid 13962 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
8 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
9 elfznn 13554 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
109nnrpd 13038 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
11 rpdivcl 13023 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+)
128, 10, 11syl2an 595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ+)
1312relogcld 26544 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ ℝ)
148adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1513, 14rerpdivcld 13071 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) ∈ ℝ)
167, 15fsumrecl 15704 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) ∈ ℝ)
176, 16remulcld 11266 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
18 dchrvmasum.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
19 3nn 12313 . . . . . . 7 3 ∈ β„•
20 nnrp 13009 . . . . . . 7 (3 ∈ β„• β†’ 3 ∈ ℝ+)
21 relogcl 26496 . . . . . . 7 (3 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜3) ∈ ℝ)
2219, 20, 21mp2b 10 . . . . . 6 (logβ€˜3) ∈ ℝ
23 1re 11236 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2422, 23readdcli 11251 . . . . 5 ((logβ€˜3) + 1) ∈ ℝ
25 remulcl 11215 . . . . 5 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ ((logβ€˜3) + 1) ∈ ℝ) β†’ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)) ∈ ℝ)
2618, 24, 25sylancl 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)) ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)) ∈ ℝ)
28 rpssre 13005 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
295recnd 11264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
30 o1const 15588 . . . . 5 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 𝐢) ∈ 𝑂(1))
3128, 29, 30sylancr 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 𝐢) ∈ 𝑂(1))
32 logfacrlim2 27146 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 1
33 rlimo1 15585 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) β‡π‘Ÿ 1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
3432, 33mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
356, 16, 31, 34o1mul2 15593 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
3626recnd 11264 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)) ∈ β„‚)
37 o1const 15588 . . . 4 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))) ∈ 𝑂(1))
3828, 36, 37sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))) ∈ 𝑂(1))
3917, 27, 35, 38o1add2 15592 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)))) ∈ 𝑂(1))
4017, 27readdcld 11265 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))) ∈ ℝ)
41 dchrvmasum.g . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ 𝐹 = 𝐾)
4241eleq1d 2813 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (𝐹 ∈ β„‚ ↔ 𝐾 ∈ β„‚))
43 dchrvmasum.f . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ β„‚)
4443ralrimiva 3141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ β„‚)
4544ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ βˆ€π‘š ∈ ℝ+ 𝐹 ∈ β„‚)
4642, 45, 12rspcdva 3608 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
47 dchrvmasum.t . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
4847ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
4946, 48subcld 11593 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐾 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
5049abscld 15407 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ∈ ℝ)
519adantl 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
5250, 51nndivred 12288 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
537, 52fsumrecl 15704 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ∈ ℝ)
5453recnd 11264 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑) ∈ β„‚)
5551nnrpd 13038 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
5649absge0d 15415 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
5750, 55, 56divge0d 13080 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑))
587, 52, 57fsumge0 15765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑))
5953, 58absidd 15393 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑))
6059, 53eqeltrd 2828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ∈ ℝ)
6140recnd 11264 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))) ∈ β„‚)
6261abscld 15407 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)))) ∈ ℝ)
63 3re 12314 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 3 ∈ ℝ)
65 1le3 12446 . . . . . . 7 1 ≀ 3
6664, 65jctir 520 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (3 ∈ ℝ ∧ 1 ≀ 3))
6718adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
6823rexri 11294 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
6963rexri 11294 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ*
70 1lt3 12407 . . . . . . . . . 10 1 < 3
71 lbico1 13402 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ* ∧ 3 ∈ ℝ* ∧ 1 < 3) β†’ 1 ∈ (1[,)3))
7268, 69, 70, 71mp3an 1458 . . . . . . . . 9 1 ∈ (1[,)3)
73 0red 11239 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 0 ∈ ℝ)
74 elico2 13412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) β†’ (π‘š ∈ (1[,)3) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘š ∧ π‘š < 3)))
7523, 69, 74mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1[,)3) ↔ (π‘š ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘š ∧ π‘š < 3))
7675simp1bi 1143 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ π‘š ∈ ℝ)
77 0red 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ 0 ∈ ℝ)
78 1red 11237 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ 1 ∈ ℝ)
79 0lt1 11758 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ 0 < 1)
8175simp2bi 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ 1 ≀ π‘š)
8277, 78, 76, 80, 81ltletrd 11396 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ 0 < π‘š)
8376, 82elrpd 13037 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ (1[,)3) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
8447adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
8543, 84subcld 11593 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚)
8685abscld 15407 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ∈ ℝ)
8783, 86sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ∈ ℝ)
8818adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
8985absge0d 15415 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)))
9083, 89sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)))
91 dchrvmasum.2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
9291r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
9373, 87, 88, 90, 92letrd 11393 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (1[,)3)) β†’ 0 ≀ 𝑅)
9493ralrimiva 3141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)0 ≀ 𝑅)
95 biidd 262 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 1 β†’ (0 ≀ 𝑅 ↔ 0 ≀ 𝑅))
9695rspcv 3603 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (1[,)3) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)0 ≀ 𝑅 β†’ 0 ≀ 𝑅))
9772, 94, 96mpsyl 68 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑅)
9897adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ 𝑅)
9967, 98jca 511 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑅))
10050recnd 11264 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ∈ β„‚)
1015ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
102101, 15remulcld 11266 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) ∈ ℝ)
1034ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
104 log1 26506 . . . . . . . . 9 (logβ€˜1) = 0
10551nncnd 12250 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
106105mullidd 11254 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· 𝑑) = 𝑑)
107 rpre 13006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
109 fznnfl 13851 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ π‘₯)))
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ↔ (𝑑 ∈ β„• ∧ 𝑑 ≀ π‘₯)))
111110simplbda 499 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ≀ π‘₯)
112106, 111eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· 𝑑) ≀ π‘₯)
113 1red 11237 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
114107ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
115113, 114, 55lemuldivd 13089 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((1 Β· 𝑑) ≀ π‘₯ ↔ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑)))
116112, 115mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑))
117 1rp 13002 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ+
118117a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ+)
119118, 12logled 26548 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 ≀ (π‘₯ / 𝑑) ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))))
120116, 119mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))
121104, 120eqbrtrrid 5178 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))
122 rpregt0 13012 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
123122ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
124 divge0 12105 . . . . . . . 8 ((((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑))) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯))
12513, 121, 123, 124syl21anc 837 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯))
126 mulge0 11754 . . . . . . 7 (((𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢) ∧ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯))) β†’ 0 ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)))
127103, 15, 125, 126syl12anc 836 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 0 ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)))
128 absidm 15294 . . . . . . . . 9 ((𝐾 βˆ’ 𝑇) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
12949, 128syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (absβ€˜(absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
130129adantr 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (absβ€˜(absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
13141fvoveq1d 7436 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) = (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
132 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (logβ€˜π‘š) = (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)))
133 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ π‘š = (π‘₯ / 𝑑))
134132, 133oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ ((logβ€˜π‘š) / π‘š) = ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑)))
135134oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) = (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑))))
136131, 135breq12d 5155 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ ((absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)) ↔ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑)))))
137 dchrvmasum.1 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (3[,)+∞)) β†’ (absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
138137ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
139138ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ βˆ€π‘š ∈ (3[,)+∞)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜π‘š) / π‘š)))
140 nndivre 12275 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ)
141108, 9, 140syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ)
142141adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ)
143 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑))
144 elicopnf 13446 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) ↔ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑))))
14563, 144ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ / 𝑑) ∈ (3[,)+∞) ↔ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)))
146142, 143, 145sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ (3[,)+∞))
147136, 139, 146rspcdva 3608 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑))))
14813recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ β„‚)
149 rpcnne0 13016 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
150149ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0))
15155rpcnne0d 13049 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0))
152 divdiv2 11948 . . . . . . . . . . . . 13 (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0) ∧ (𝑑 ∈ β„‚ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) Β· 𝑑) / π‘₯))
153148, 150, 151, 152syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) Β· 𝑑) / π‘₯))
154 div23 11913 . . . . . . . . . . . . 13 (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) ∈ β„‚ ∧ 𝑑 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ β‰  0)) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) Β· 𝑑) / π‘₯) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) Β· 𝑑))
155148, 105, 150, 154syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) Β· 𝑑) / π‘₯) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) Β· 𝑑))
156153, 155eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑)) = (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) Β· 𝑑))
157156oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑))) = (𝐢 Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) Β· 𝑑)))
15829ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
15915recnd 11264 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) ∈ β„‚)
160158, 159, 105mulassd 11259 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) Β· 𝑑) = (𝐢 Β· (((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯) Β· 𝑑)))
161157, 160eqtr4d 2770 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑))) = ((𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) Β· 𝑑))
162161adantr 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / (π‘₯ / 𝑑))) = ((𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) Β· 𝑑))
163147, 162breqtrd 5168 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ≀ ((𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) Β· 𝑑))
164130, 163eqbrtrd 5164 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 3 ≀ (π‘₯ / 𝑑)) β†’ (absβ€˜(absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ ((𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) Β· 𝑑))
165129adantr 480 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ (absβ€˜(absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) = (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)))
166131breq1d 5152 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘₯ / 𝑑) β†’ ((absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅 ↔ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅))
16791ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ βˆ€π‘š ∈ (1[,)3)(absβ€˜(𝐹 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
168141adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ)
169116adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑))
170 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ (π‘₯ / 𝑑) < 3)
171 elico2 13412 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ (1[,)3) ↔ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3)))
17223, 69, 171mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ / 𝑑) ∈ (1[,)3) ↔ ((π‘₯ / 𝑑) ∈ ℝ ∧ 1 ≀ (π‘₯ / 𝑑) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3))
173168, 169, 170, 172syl3anbrc 1341 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ (π‘₯ / 𝑑) ∈ (1[,)3))
174166, 167, 173rspcdva 3608 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ (absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) ≀ 𝑅)
175165, 174eqbrtrd 5164 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ (π‘₯ / 𝑑) < 3) β†’ (absβ€˜(absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇))) ≀ 𝑅)
1768, 66, 99, 100, 102, 127, 164, 175fsumharmonic 26931 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ≀ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))))
17729adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
1787, 177, 159fsummulc2 15754 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)))
179178oveq1d 7429 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(𝐢 Β· ((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))))
180176, 179breqtrrd 5170 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ≀ ((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))))
18140leabsd 15385 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1))) ≀ (absβ€˜((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)))))
18260, 40, 62, 180, 181letrd 11393 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ≀ (absβ€˜((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)))))
183182adantrr 716 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘‘ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ≀ (absβ€˜((𝐢 Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((logβ€˜(π‘₯ / 𝑑)) / π‘₯)) + (𝑅 Β· ((logβ€˜3) + 1)))))
1841, 39, 40, 54, 183o1le 15623 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((absβ€˜(𝐾 βˆ’ 𝑇)) / 𝑑)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  +∞cpnf 11267  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  3c3 12290  β„+crp 12998  [,)cico 13350  ...cfz 13508  βŒŠcfl 13779  abscabs 15205   β‡π‘Ÿ crli 15453  π‘‚(1)co1 15454  Ξ£csu 15656  Basecbs 17171  0gc0g 17412  β„€RHomczrh 21412  β„€/nβ„€czn 21415  logclog 26475  DChrcdchr 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-o1 15458  df-lo1 15459  df-sum 15657  df-ef 16035  df-e 16036  df-sin 16037  df-cos 16038  df-tan 16039  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-ulm 26300  df-log 26477  df-cxp 26478  df-atan 26786  df-em 26912
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem3  27419
  Copyright terms: Public domain W3C validator