Theorem pntibndlem3 26738

Description: Lemma for pntibnd 26739. Package up pntibndlem2 26737 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c	⊢ 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝐿,𝑣,𝑥,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐾   𝑘,𝑍,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑢,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,𝑣,𝑖,𝑚,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐶(𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐿(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑧,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem3

Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12047	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1le2 12182	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		chpdifbnd 26701	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
4	1, 2, 3	mp2an 689	. 2 ⊢ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣))))
5		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
6		ioossre 13139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
7		pntibndlem3.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
8	6, 7	sselid 3924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
9		eliooord 13137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
11	10	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
12	8, 11	elrpd 12768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
14		4nn 12056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ
15		nnrp 12740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
17		rpdivcl 12754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
18	13, 16, 17	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
19	5, 18	rpdivcld 12788	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
21	20	rpefcld 15812	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ+)
22		pntibndlem3.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
23	22	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
24	21, 23	rpaddcld 12786	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
25	24	adantrr 714	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
26		breq2 5083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑣 < 𝑖 ↔ 𝑣 < 𝑛))
27		breq1 5082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
28	26, 27	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
29		fveq2 6771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘𝑛))
30		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → 𝑖 = 𝑛)
31	29, 30	oveq12d 7289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑅‘𝑖) / 𝑖) = ((𝑅‘𝑛) / 𝑛))
32	31	fveq2d 6775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) = (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)))
33	32	breq1d 5089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2) ↔ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
34	28, 33	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
35	34	cbvrexvw 3382	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
36		breq1 5082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 < 𝑛 ↔ 𝑦 < 𝑛))
37		oveq2 7279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑘 / 2) · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑦))
38	37	breq2d 5091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)))
39	36, 38	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦))))
40	39	anbi1d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
41	40	rexbidv 3228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
42	35, 41	syl5bb 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
43		oveq1 7278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑚 · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑣))
44	43	breq2d 5091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣) ↔ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
45	44	anbi2d 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
46	45	anbi1d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
47	46	rexbidv 3228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
48	47	ralbidv 3123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
49		pntibndlem3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
50	49	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
51		pntibndlem3.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
52		pntibndlem3.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
54	53	rpred 12771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
55		remulcl 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
56	1, 54, 55	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
57		2rp 12734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ+
58		relogcl 25729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
60		readdcl 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
61	56, 59, 60	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
62	51, 61	eqeltrid 2845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
63	62, 13	rerpdivcld 12802	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
64	63	reefcld 15795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
65		elicopnf 13176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
67	66	simprbda 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
68	67	rehalfcld 12220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ ℝ)
69		pntibndlem3.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
70	13	rphalfcld 12783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
71	54, 70	rerpdivcld 12802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
72	71	reefcld 15795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
73		remulcl 10957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
74	72, 1, 73	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
76	64	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
77	71	recnd 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ)
78	59	recni 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
79		efadd 15801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
80	77, 78, 79	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
81		reeflog 25734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
82	57, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (exp‘(log‘2)) = 2
83	82	oveq2i 7282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2)
84	80, 83	eqtrdi 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2))
85	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℝ)
86		rerpdivcl 12759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
87	59, 13, 86	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
88	78	div1i 11703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((log‘2) / 1) = (log‘2)
89	10	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < 1)
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 < 1)
91	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ)
92		1re 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ
93		ltle 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
94	91, 92, 93	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
95	90, 94	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ≤ 1)
96	13	rpregt0d 12777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
97		1rp 12733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ+
98		rpregt0 12743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
99	97, 98	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
100		1lt2 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
101		rplogcl 25757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
102	1, 100, 101	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ+
103		rpregt0 12743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ+ → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
104	102, 103	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
105		lediv2 11865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
106	96, 99, 104, 105	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
107	95, 106	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
108	88, 107	eqbrtrrid 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
109	85, 87, 71, 108	leadd2dd 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
110	51	oveq1i 7281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸)
111	56	recnd 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
112	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℂ)
113		rpcnne0 12747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
114	13, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
115		divdir 11658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
116	111, 112, 114, 115	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
117	110, 116	eqtrid 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
118	1	recni 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℂ
119	54	recnd 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
120		mulcom 10958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
121	118, 119, 120	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
122	121	oveq1d 7286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
123		rpcnne0 12747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
124	57, 123	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
125		divdiv2 11687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
126	119, 114, 124, 125	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
127	122, 126	eqtr4d 2783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = (𝐵 / (𝐸 / 2)))
128	127	oveq1d 7286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
129	117, 128	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
130	109, 129	breqtrrd 5107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸))
131		readdcl 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
132	71, 59, 131	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
133		efle 15825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
134	132, 63, 133	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
135	130, 134	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
136	84, 135	eqbrtrrd 5103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
138	66	simplbda 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)
139	75, 76, 67, 137, 138	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘)
140	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
141		rpregt0 12743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
142	57, 141	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
143		lemuldiv 11855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
144	140, 67, 142, 143	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
145	139, 144	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2))
146	69, 145	eqbrtrid 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))
147	69, 140	eqeltrid 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℝ)
148		elicopnf 13176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
150	68, 146, 149	mpbir2and 710	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
151	150	adantrr 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
152	151	adantlrr 718	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
153	48, 50, 152	rspcdva 3563	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
154		elioore 13108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
155	154	ad2antll 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
156	23	rpred 12771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ)
157	156	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ)
158	20	reefcld 15795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
159	158, 156	readdcld 11005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
161	156, 21	ltaddrp2d 12805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
162	161	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
163		eliooord 13137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
164	163	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
165	164	ad2antll 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
166	157, 160, 155, 162, 165	lttrd 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < 𝑦)
167	157	rexrd 11026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ*)
168		elioopnf 13174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
170	155, 166, 169	mpbir2and 710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
171	170	adantlrr 718	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
172	42, 153, 171	rspcdva 3563	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
173		pntibnd.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
174		pntibndlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
175	174	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
176		pntibndlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
177		pntibndlem3.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
178		fveq2 6771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑅‘𝑥) = (𝑅‘𝑣))
179		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → 𝑥 = 𝑣)
180	178, 179	oveq12d 7289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝑅‘𝑥) / 𝑥) = ((𝑅‘𝑣) / 𝑣))
181	180	fveq2d 6775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)))
182	181	breq1d 5089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴))
183	182	cbvralvw 3381	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
184	177, 183	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
185	184	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
186	52	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
187	7	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐸 ∈ (0(,)1))
188	22	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
189		simprrl 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑛 ∈ ℕ)
190		simplrl 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑡 ∈ ℝ+)
191		simplrr 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
192		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
193		simprll 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
194		simprlr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
195		simprrr 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
196	173, 175, 176, 185, 186, 69, 51, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195	pntibndlem2 26737	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
197	196	anassrs 468	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
198	172, 197	rexlimddv 3222	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
199	198	ralrimivva 3117	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
200		oveq1 7278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (𝑥(,)+∞) = (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
201	200	raleqdv 3347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
202	201	ralbidv 3123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
203	202	rspcev 3561	. . . 4 ⊢ ((((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
204	25, 199, 203	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
205	204	rexlimdvaa 3216	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
206	4, 205	mpi 20	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∀wral 3066  ∃wrex 3067   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  ℝcr 10871  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   · cmul 10877  +∞cpnf 11007  ℝ^*cxr 11009   < clt 11010   ≤ cle 11011   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  ℝ⁺crp 12729  (,)cioo 13078  [,)cico 13080  [,]cicc 13081  abscabs 14943  expce 15769  logclog 25708  ψcchp 26240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-oadd 8292  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-dju 9660  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ioc 13083  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-o1 15197  df-lo1 15198  df-sum 15396  df-ef 15775  df-e 15776  df-sin 15777  df-cos 15778  df-tan 15779  df-pi 15780  df-dvds 15962  df-gcd 16200  df-prm 16375  df-pc 16536  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-cmp 22536  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-limc 25028  df-dv 25029  df-ulm 25534  df-log 25710  df-cxp 25711  df-atan 26015  df-em 26140  df-cht 26244  df-vma 26245  df-chp 26246  df-ppi 26247  df-mu 26248

This theorem is referenced by:  pntibnd  26739