MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem3 26095
Description: Lemma for pntibnd 26096. Package up pntibndlem2 26094 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.5 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝐿,𝑣,𝑥,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐾   𝑘,𝑍,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑢,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,𝑣,𝑖,𝑚,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐶(𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐿(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑧,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem3
Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 11699 . . 3 2 ∈ ℝ
2 1le2 11834 . . 3 1 ≤ 2
3 chpdifbnd 26058 . . 3 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
41, 2, 3mp2an 688 . 2 𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣))))
5 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
6 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)1) ⊆ ℝ
7 pntibndlem3.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
86, 7sseldi 3962 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
9 eliooord 12784 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
1110simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐸)
128, 11elrpd 12416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1312adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
14 4nn 11708 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
15 nnrp 12388 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
17 rpdivcl 12402 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
1813, 16, 17sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
195, 18rpdivcld 12436 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+)
2019rpred 12419 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
2120rpefcld 15446 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ+)
22 pntibndlem3.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
2421, 23rpaddcld 12434 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
2524adantrr 713 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
26 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → (𝑣 < 𝑖𝑣 < 𝑛))
27 breq1 5060 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
2826, 27anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
29 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → (𝑅𝑖) = (𝑅𝑛))
30 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛𝑖 = 𝑛)
3129, 30oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑅𝑖) / 𝑖) = ((𝑅𝑛) / 𝑛))
3231fveq2d 6667 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) = (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
3332breq1d 5067 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2) ↔ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
3428, 33anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
3534cbvrexvw 3448 . . . . . . . 8 (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
36 breq1 5060 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 < 𝑛𝑦 < 𝑛))
37 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑘 / 2) · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑦))
3837breq2d 5069 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑦 → (𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)))
3936, 38anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦))))
4039anbi1d 629 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 → (((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
4140rexbidv 3294 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
4235, 41syl5bb 284 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
43 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑚 · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑣))
4443breq2d 5069 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣) ↔ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
4544anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘 / 2) → ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
4645anbi1d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
4746rexbidv 3294 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
4847ralbidv 3194 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
49 pntibndlem3.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
5049ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
51 pntibndlem3.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
52 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
5453rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
55 remulcl 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
561, 54, 55sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
57 2rp 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
58 relogcl 25086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (log‘2) ∈ ℝ
60 readdcl 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
6156, 59, 60sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
6251, 61eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
6362, 13rerpdivcld 12450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
6463reefcld 15429 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
65 elicopnf 12821 . . . . . . . . . . . . . 14 ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
6766simprbda 499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
6867rehalfcld 11872 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ ℝ)
69 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
7013rphalfcld 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
7154, 70rerpdivcld 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
7271reefcld 15429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
73 remulcl 10610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
7472, 1, 73sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
7664adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
7771recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ)
7859recni 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (log‘2) ∈ ℂ
79 efadd 15435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
8077, 78, 79sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
81 reeflog 25091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
8257, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (exp‘(log‘2)) = 2
8382oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2)
8480, 83syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2))
8559a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℝ)
86 rerpdivcl 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
8759, 13, 86sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
8878div1i 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((log‘2) / 1) = (log‘2)
8910simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐸 < 1)
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 < 1)
918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ)
92 1re 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
93 ltle 10717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
9491, 92, 93sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
9590, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ≤ 1)
9613rpregt0d 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
97 1rp 12381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ+
98 rpregt0 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
9997, 98mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
100 1lt2 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 2
101 rplogcl 25114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
1021, 100, 101mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (log‘2) ∈ ℝ+
103 rpregt0 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((log‘2) ∈ ℝ+ → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
104102, 103mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
105 lediv2 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
10696, 99, 104, 105syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
10795, 106mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
10888, 107eqbrtrrid 5093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
10985, 87, 71, 108leadd2dd 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
11051oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸)
11156recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
11278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℂ)
113 rpcnne0 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
11413, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
115 divdir 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
116111, 112, 114, 115syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
117110, 116syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
1181recni 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℂ
11954recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
120 mulcom 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
121118, 119, 120sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
122121oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
123 rpcnne0 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
12457, 123mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
125 divdiv2 11340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
126119, 114, 124, 125syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
127122, 126eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = (𝐵 / (𝐸 / 2)))
128127oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
129117, 128eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
130109, 129breqtrrd 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸))
131 readdcl 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
13271, 59, 131sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
133 efle 15459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
134132, 63, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
135130, 134mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
13684, 135eqbrtrrd 5081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
137136adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
13866simplbda 500 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)
13975, 76, 67, 137, 138letrd 10785 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘)
14072adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
141 rpregt0 12391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
14257, 141mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
143 lemuldiv 11508 . . . . . . . . . . . . . 14 (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
144140, 67, 142, 143syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
145139, 144mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2))
14669, 145eqbrtrid 5092 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))
14769, 140eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℝ)
148 elicopnf 12821 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
15068, 146, 149mpbir2and 709 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
151150adantrr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
152151adantlrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
15348, 50, 152rspcdva 3622 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
154 elioore 12756 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
155154ad2antll 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
15623rpred 12419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ)
157156adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ)
15820reefcld 15429 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
159158, 156readdcld 10658 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
160159adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
161156, 21ltaddrp2d 12453 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
162161adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
163 eliooord 12784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦𝑦 < +∞))
164163simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
165164ad2antll 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
166157, 160, 155, 162, 165lttrd 10789 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < 𝑦)
167157rexrd 10679 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ*)
168 elioopnf 12819 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
169167, 168syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
170155, 166, 169mpbir2and 709 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
171170adantlrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
17242, 153, 171rspcdva 3622 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
173 pntibnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
174 pntibndlem1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
175174ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
176 pntibndlem1.l . . . . . . . 8 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
177 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
178 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝑣))
179 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣𝑥 = 𝑣)
180178, 179oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑣 → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = ((𝑅𝑣) / 𝑣))
181180fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑣 → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)))
182181breq1d 5067 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑣 → ((abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴))
183182cbvralvw 3447 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
184177, 183sylib 219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
185184ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
18652ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1877ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐸 ∈ (0(,)1))
18822ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
189 simprrl 777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑛 ∈ ℕ)
190 simplrl 773 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑡 ∈ ℝ+)
191 simplrr 774 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
192 eqid 2818 . . . . . . . 8 ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
193 simprll 775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
194 simprlr 776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
195 simprrr 778 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
196173, 175, 176, 185, 186, 69, 51, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195pntibndlem2 26094 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
197196anassrs 468 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
198172, 197rexlimddv 3288 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
199198ralrimivva 3188 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
200 oveq1 7152 . . . . . . 7 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (𝑥(,)+∞) = (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
201200raleqdv 3413 . . . . . 6 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
202201ralbidv 3194 . . . . 5 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
203202rspcev 3620 . . . 4 ((((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
20425, 199, 203syl2anc 584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
205204rexlimdvaa 3282 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
2064, 205mpi 20 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  +crp 12377  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  abscabs 14581  expce 15403  logclog 25065  ψcchp 25597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-o1 14835  df-lo1 14836  df-sum 15031  df-ef 15409  df-e 15410  df-sin 15411  df-cos 15412  df-tan 15413  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-ulm 24892  df-log 25067  df-cxp 25068  df-atan 25372  df-em 25497  df-cht 25601  df-vma 25602  df-chp 25603  df-ppi 25604  df-mu 25605
This theorem is referenced by:  pntibnd  26096
  Copyright terms: Public domain W3C validator