Theorem pntibndlem3 26176

Description: Lemma for pntibnd 26177. Package up pntibndlem2 26175 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c	⊢ 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝐿,𝑣,𝑥,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐾   𝑘,𝑍,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑢,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,𝑣,𝑖,𝑚,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐶(𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐿(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑧,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem3

Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11699	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1le2 11834	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		chpdifbnd 26139	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
4	1, 2, 3	mp2an 691	. 2 ⊢ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣))))
5		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
6		ioossre 12786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
7		pntibndlem3.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
8	6, 7	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
9		eliooord 12784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
11	10	simpld 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
12	8, 11	elrpd 12416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
13	12	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
14		4nn 11708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ
15		nnrp 12388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
17		rpdivcl 12402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
18	13, 16, 17	sylancl 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
19	5, 18	rpdivcld 12436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
21	20	rpefcld 15450	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ+)
22		pntibndlem3.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
23	22	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
24	21, 23	rpaddcld 12434	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
25	24	adantrr 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
26		breq2 5034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑣 < 𝑖 ↔ 𝑣 < 𝑛))
27		breq1 5033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
28	26, 27	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
29		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘𝑛))
30		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → 𝑖 = 𝑛)
31	29, 30	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑅‘𝑖) / 𝑖) = ((𝑅‘𝑛) / 𝑛))
32	31	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) = (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)))
33	32	breq1d 5040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2) ↔ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
34	28, 33	anbi12d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
35	34	cbvrexvw 3397	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
36		breq1 5033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 < 𝑛 ↔ 𝑦 < 𝑛))
37		oveq2 7143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑘 / 2) · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑦))
38	37	breq2d 5042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)))
39	36, 38	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦))))
40	39	anbi1d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
41	40	rexbidv 3256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
42	35, 41	syl5bb 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
43		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑚 · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑣))
44	43	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣) ↔ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
45	44	anbi2d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
46	45	anbi1d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
47	46	rexbidv 3256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
48	47	ralbidv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
49		pntibndlem3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
50	49	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
51		pntibndlem3.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
52		pntibndlem3.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
53	52	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
54	53	rpred 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
55		remulcl 10611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
56	1, 54, 55	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
57		2rp 12382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ+
58		relogcl 25167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
60		readdcl 10609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
61	56, 59, 60	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
62	51, 61	eqeltrid 2894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
63	62, 13	rerpdivcld 12450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
64	63	reefcld 15433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
65		elicopnf 12823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
67	66	simprbda 502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
68	67	rehalfcld 11872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ ℝ)
69		pntibndlem3.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
70	13	rphalfcld 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
71	54, 70	rerpdivcld 12450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
72	71	reefcld 15433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
73		remulcl 10611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
74	72, 1, 73	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
75	74	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
76	64	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
77	71	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ)
78	59	recni 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
79		efadd 15439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
80	77, 78, 79	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
81		reeflog 25172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
82	57, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (exp‘(log‘2)) = 2
83	82	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2)
84	80, 83	eqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2))
85	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℝ)
86		rerpdivcl 12407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
87	59, 13, 86	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
88	78	div1i 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((log‘2) / 1) = (log‘2)
89	10	simprd 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < 1)
90	89	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 < 1)
91	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ)
92		1re 10630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ
93		ltle 10718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
94	91, 92, 93	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
95	90, 94	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ≤ 1)
96	13	rpregt0d 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
97		1rp 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ+
98		rpregt0 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
99	97, 98	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
100		1lt2 11796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
101		rplogcl 25195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
102	1, 100, 101	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ+
103		rpregt0 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ+ → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
104	102, 103	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
105		lediv2 11519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
106	96, 99, 104, 105	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
107	95, 106	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
108	88, 107	eqbrtrrid 5066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
109	85, 87, 71, 108	leadd2dd 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
110	51	oveq1i 7145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸)
111	56	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
112	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℂ)
113		rpcnne0 12395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
114	13, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
115		divdir 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
116	111, 112, 114, 115	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
117	110, 116	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
118	1	recni 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℂ
119	54	recnd 10658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
120		mulcom 10612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
121	118, 119, 120	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
122	121	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
123		rpcnne0 12395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
124	57, 123	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
125		divdiv2 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
126	119, 114, 124, 125	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
127	122, 126	eqtr4d 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = (𝐵 / (𝐸 / 2)))
128	127	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
129	117, 128	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
130	109, 129	breqtrrd 5058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸))
131		readdcl 10609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
132	71, 59, 131	sylancl 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
133		efle 15463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
134	132, 63, 133	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
135	130, 134	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
136	84, 135	eqbrtrrd 5054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
137	136	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
138	66	simplbda 503	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)
139	75, 76, 67, 137, 138	letrd 10786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘)
140	72	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
141		rpregt0 12391	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
142	57, 141	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
143		lemuldiv 11509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
144	140, 67, 142, 143	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
145	139, 144	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2))
146	69, 145	eqbrtrid 5065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))
147	69, 140	eqeltrid 2894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℝ)
148		elicopnf 12823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
150	68, 146, 149	mpbir2and 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
151	150	adantrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
152	151	adantlrr 720	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
153	48, 50, 152	rspcdva 3573	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
154		elioore 12756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
155	154	ad2antll 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
156	23	rpred 12419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ)
157	156	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ)
158	20	reefcld 15433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
159	158, 156	readdcld 10659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
160	159	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
161	156, 21	ltaddrp2d 12453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
162	161	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
163		eliooord 12784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
164	163	simpld 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
165	164	ad2antll 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
166	157, 160, 155, 162, 165	lttrd 10790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < 𝑦)
167	157	rexrd 10680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ*)
168		elioopnf 12821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
170	155, 166, 169	mpbir2and 712	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
171	170	adantlrr 720	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
172	42, 153, 171	rspcdva 3573	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
173		pntibnd.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
174		pntibndlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
175	174	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
176		pntibndlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
177		pntibndlem3.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
178		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑅‘𝑥) = (𝑅‘𝑣))
179		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → 𝑥 = 𝑣)
180	178, 179	oveq12d 7153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝑅‘𝑥) / 𝑥) = ((𝑅‘𝑣) / 𝑣))
181	180	fveq2d 6649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)))
182	181	breq1d 5040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴))
183	182	cbvralvw 3396	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
184	177, 183	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
185	184	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
186	52	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
187	7	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐸 ∈ (0(,)1))
188	22	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
189		simprrl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑛 ∈ ℕ)
190		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑡 ∈ ℝ+)
191		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
192		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
193		simprll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
194		simprlr 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
195		simprrr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
196	173, 175, 176, 185, 186, 69, 51, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195	pntibndlem2 26175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
197	196	anassrs 471	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
198	172, 197	rexlimddv 3250	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
199	198	ralrimivva 3156	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
200		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (𝑥(,)+∞) = (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
201	200	raleqdv 3364	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
202	201	ralbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
203	202	rspcev 3571	. . . 4 ⊢ ((((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
204	25, 199, 203	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
205	204	rexlimdvaa 3244	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
206	4, 205	mpi 20	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  ℝ⁺crp 12377  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  abscabs 14585  expce 15407  logclog 25146  ψcchp 25678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-o1 14839  df-lo1 14840  df-sum 15035  df-ef 15413  df-e 15414  df-sin 15415  df-cos 15416  df-tan 15417  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-pc 16164  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-ulm 24972  df-log 25148  df-cxp 25149  df-atan 25453  df-em 25578  df-cht 25682  df-vma 25683  df-chp 25684  df-ppi 25685  df-mu 25686

This theorem is referenced by:  pntibnd  26177