MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem3 26174
Description: Lemma for pntibnd 26175. Package up pntibndlem2 26173 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.5 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝐿,𝑣,𝑥,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐾   𝑘,𝑍,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑢,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,𝑣,𝑖,𝑚,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐶(𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐿(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑧,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem3
Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 11699 . . 3 2 ∈ ℝ
2 1le2 11834 . . 3 1 ≤ 2
3 chpdifbnd 26137 . . 3 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
41, 2, 3mp2an 691 . 2 𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣))))
5 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
6 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)1) ⊆ ℝ
7 pntibndlem3.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
86, 7sseldi 3940 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
9 eliooord 12784 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
1110simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐸)
128, 11elrpd 12416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1312adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
14 4nn 11708 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
15 nnrp 12388 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
17 rpdivcl 12402 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
1813, 16, 17sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
195, 18rpdivcld 12436 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+)
2019rpred 12419 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
2120rpefcld 15449 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ+)
22 pntibndlem3.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
2322adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
2421, 23rpaddcld 12434 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
2524adantrr 716 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
26 breq2 5046 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → (𝑣 < 𝑖𝑣 < 𝑛))
27 breq1 5045 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
2826, 27anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
29 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → (𝑅𝑖) = (𝑅𝑛))
30 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛𝑖 = 𝑛)
3129, 30oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑅𝑖) / 𝑖) = ((𝑅𝑛) / 𝑛))
3231fveq2d 6656 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) = (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
3332breq1d 5052 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2) ↔ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
3428, 33anbi12d 633 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
3534cbvrexvw 3425 . . . . . . . 8 (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
36 breq1 5045 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 < 𝑛𝑦 < 𝑛))
37 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑘 / 2) · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑦))
3837breq2d 5054 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑦 → (𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)))
3936, 38anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦))))
4039anbi1d 632 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 → (((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
4140rexbidv 3283 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
4235, 41syl5bb 286 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
43 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑚 · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑣))
4443breq2d 5054 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣) ↔ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
4544anbi2d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘 / 2) → ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
4645anbi1d 632 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
4746rexbidv 3283 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
4847ralbidv 3187 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
49 pntibndlem3.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
5049ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
51 pntibndlem3.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
52 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5352adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
5453rpred 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
55 remulcl 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
561, 54, 55sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
57 2rp 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
58 relogcl 25165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (log‘2) ∈ ℝ
60 readdcl 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
6156, 59, 60sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
6251, 61eqeltrid 2918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
6362, 13rerpdivcld 12450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
6463reefcld 15432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
65 elicopnf 12823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
6766simprbda 502 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
6867rehalfcld 11872 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ ℝ)
69 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
7013rphalfcld 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
7154, 70rerpdivcld 12450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
7271reefcld 15432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
73 remulcl 10611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
7472, 1, 73sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
7574adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
7664adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
7771recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ)
7859recni 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (log‘2) ∈ ℂ
79 efadd 15438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
8077, 78, 79sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
81 reeflog 25170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
8257, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (exp‘(log‘2)) = 2
8382oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2)
8480, 83syl6eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2))
8559a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℝ)
86 rerpdivcl 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
8759, 13, 86sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
8878div1i 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((log‘2) / 1) = (log‘2)
8910simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐸 < 1)
9089adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 < 1)
918adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ)
92 1re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
93 ltle 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
9491, 92, 93sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
9590, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ≤ 1)
9613rpregt0d 12425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
97 1rp 12381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ+
98 rpregt0 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
9997, 98mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
100 1lt2 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 2
101 rplogcl 25193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
1021, 100, 101mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (log‘2) ∈ ℝ+
103 rpregt0 12391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((log‘2) ∈ ℝ+ → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
104102, 103mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
105 lediv2 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
10696, 99, 104, 105syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
10795, 106mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
10888, 107eqbrtrrid 5078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
10985, 87, 71, 108leadd2dd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
11051oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸)
11156recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
11278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℂ)
113 rpcnne0 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
11413, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
115 divdir 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
116111, 112, 114, 115syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
117110, 116syl5eq 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
1181recni 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℂ
11954recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
120 mulcom 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
121118, 119, 120sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
122121oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
123 rpcnne0 12395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
12457, 123mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
125 divdiv2 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
126119, 114, 124, 125syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
127122, 126eqtr4d 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = (𝐵 / (𝐸 / 2)))
128127oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
129117, 128eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
130109, 129breqtrrd 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸))
131 readdcl 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
13271, 59, 131sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
133 efle 15462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
134132, 63, 133syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
135130, 134mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
13684, 135eqbrtrrd 5066 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
137136adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
13866simplbda 503 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)
13975, 76, 67, 137, 138letrd 10786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘)
14072adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
141 rpregt0 12391 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
14257, 141mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
143 lemuldiv 11509 . . . . . . . . . . . . . 14 (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
144140, 67, 142, 143syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
145139, 144mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2))
14669, 145eqbrtrid 5077 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))
14769, 140eqeltrid 2918 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℝ)
148 elicopnf 12823 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
15068, 146, 149mpbir2and 712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
151150adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
152151adantlrr 720 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
15348, 50, 152rspcdva 3600 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
154 elioore 12756 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
155154ad2antll 728 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
15623rpred 12419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ)
157156adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ)
15820reefcld 15432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
159158, 156readdcld 10659 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
160159adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
161156, 21ltaddrp2d 12453 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
162161adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
163 eliooord 12784 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦𝑦 < +∞))
164163simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
165164ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
166157, 160, 155, 162, 165lttrd 10790 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < 𝑦)
167157rexrd 10680 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ*)
168 elioopnf 12821 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
169167, 168syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
170155, 166, 169mpbir2and 712 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
171170adantlrr 720 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
17242, 153, 171rspcdva 3600 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
173 pntibnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
174 pntibndlem1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
175174ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
176 pntibndlem1.l . . . . . . . 8 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
177 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
178 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝑣))
179 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣𝑥 = 𝑣)
180178, 179oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑣 → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = ((𝑅𝑣) / 𝑣))
181180fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑣 → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)))
182181breq1d 5052 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑣 → ((abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴))
183182cbvralvw 3424 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
184177, 183sylib 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
185184ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
18652ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1877ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐸 ∈ (0(,)1))
18822ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
189 simprrl 780 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑛 ∈ ℕ)
190 simplrl 776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑡 ∈ ℝ+)
191 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
192 eqid 2822 . . . . . . . 8 ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
193 simprll 778 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
194 simprlr 779 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
195 simprrr 781 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
196173, 175, 176, 185, 186, 69, 51, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195pntibndlem2 26173 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
197196anassrs 471 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
198172, 197rexlimddv 3277 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
199198ralrimivva 3181 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
200 oveq1 7147 . . . . . . 7 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (𝑥(,)+∞) = (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
201200raleqdv 3392 . . . . . 6 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
202201ralbidv 3187 . . . . 5 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
203202rspcev 3598 . . . 4 ((((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
20425, 199, 203syl2anc 587 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
205204rexlimdvaa 3271 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
2064, 205mpi 20 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wral 3130  wrex 3131   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  +crp 12377  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  [,]cicc 12729  abscabs 14584  expce 15406  logclog 25144  ψcchp 25676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-o1 14838  df-lo1 14839  df-sum 15034  df-ef 15412  df-e 15413  df-sin 15414  df-cos 15415  df-tan 15416  df-pi 15417  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-prm 16005  df-pc 16163  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-ulm 24970  df-log 25146  df-cxp 25147  df-atan 25451  df-em 25576  df-cht 25680  df-vma 25681  df-chp 25682  df-ppi 25683  df-mu 25684
This theorem is referenced by:  pntibnd  26175
  Copyright terms: Public domain W3C validator