MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem3 26785
Description: Lemma for pntibnd 26786. Package up pntibndlem2 26784 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntibndlem1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntibndlem1.l ๐ฟ = ((1 / 4) / (๐ด + 3))
pntibndlem3.2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)
pntibndlem3.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntibndlem3.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2)))
pntibndlem3.c ๐ถ = ((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2))
pntibndlem3.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
pntibndlem3.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
pntibndlem3.5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž)โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘Ž,๐‘˜,๐‘š,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ธ   ๐‘ข,๐ฟ,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘ข,๐ด,๐‘ฃ,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐ถ,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘…,๐‘–,๐‘˜,๐‘š,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐พ   ๐‘˜,๐‘,๐‘š,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘–,๐‘š,๐‘Ž)   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘–,๐‘˜,๐‘š,๐‘Ž)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘š,๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘ง,๐‘–,๐‘˜,๐‘š,๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘˜,๐‘š,๐‘Ž)   ๐‘(๐‘ง,๐‘–,๐‘Ž)

Proof of Theorem pntibndlem3
Dummy variables ๐‘› ๐‘ก ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12093 . . 3 2 โˆˆ โ„
2 1le2 12228 . . 3 1 โ‰ค 2
3 chpdifbnd 26748 . . 3 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 2) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))
41, 2, 3mp2an 690 . 2 โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ))))
5 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„+)
6 ioossre 13186 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)1) โŠ† โ„
7 pntibndlem3.4 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
86, 7sselid 3924 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
9 eliooord 13184 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐ธ โˆง ๐ธ < 1))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ธ โˆง ๐ธ < 1))
1110simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ธ)
128, 11elrpd 12815 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
1312adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
14 4nn 12102 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„•
15 nnrp 12787 . . . . . . . . . . 11 (4 โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„+)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„+
17 rpdivcl 12801 . . . . . . . . . 10 ((๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ / 4) โˆˆ โ„+)
1813, 16, 17sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ / 4) โˆˆ โ„+)
195, 18rpdivcld 12835 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ก / (๐ธ / 4)) โˆˆ โ„+)
2019rpred 12818 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ก / (๐ธ / 4)) โˆˆ โ„)
2120rpefcld 15859 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) โˆˆ โ„+)
22 pntibndlem3.6 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
2322adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
2421, 23rpaddcld 12833 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โˆˆ โ„+)
2524adantrr 715 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โˆˆ โ„+)
26 breq2 5085 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (๐‘ฃ < ๐‘– โ†” ๐‘ฃ < ๐‘›))
27 breq1 5084 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ) โ†” ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)))
2826, 27anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘› โ†’ ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โ†” (๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ))))
29 fveq2 6804 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘–) = (๐‘…โ€˜๐‘›))
30 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐‘› โ†’ ๐‘– = ๐‘›)
3129, 30oveq12d 7325 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘› โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–) = ((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›))
3231fveq2d 6808 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) = (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
3332breq1d 5091 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘› โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2) โ†” (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
3428, 33anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
3534cbvrexvw 3223 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
36 breq1 5084 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฃ < ๐‘› โ†” ๐‘ฆ < ๐‘›))
37 oveq2 7315 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ) = ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ))
3837breq2d 5093 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ) โ†” ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)))
3936, 38anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ))))
4039anbi1d 631 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
4140rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
4235, 41bitrid 283 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
43 oveq1 7314 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = (๐‘˜ / 2) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฃ) = ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ))
4443breq2d 5093 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = (๐‘˜ / 2) โ†’ (๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ) โ†” ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)))
4544anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = (๐‘˜ / 2) โ†’ ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โ†” (๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ))))
4645anbi1d 631 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘˜ / 2) โ†’ (((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
4746rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘˜ / 2) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
4847ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘˜ / 2) โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž)โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž)โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
49 pntibndlem3.5 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž)โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
5049ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž)โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
51 pntibndlem3.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ถ = ((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2))
52 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
5453rpred 12818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
55 remulcl 11002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
561, 54, 55sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
57 2rp 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„+
58 relogcl 25776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (logโ€˜2) โˆˆ โ„
60 readdcl 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„)
6156, 59, 60sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„)
6251, 61eqeltrid 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
6362, 13rerpdivcld 12849 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„)
6463reefcld 15842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โˆˆ โ„)
65 elicopnf 13223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐‘˜)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐‘˜)))
6766simprbda 500 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
6867rehalfcld 12266 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘˜ / 2) โˆˆ โ„)
69 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . 12 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2)))
7013rphalfcld 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ / 2) โˆˆ โ„+)
7154, 70rerpdivcld 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต / (๐ธ / 2)) โˆˆ โ„)
7271reefcld 15842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โˆˆ โ„)
73 remulcl 11002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„) โ†’ ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โˆˆ โ„)
7472, 1, 73sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โˆˆ โ„)
7574adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โˆˆ โ„)
7664adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โˆˆ โ„)
7771recnd 11049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต / (๐ธ / 2)) โˆˆ โ„‚)
7859recni 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚
79 efadd 15848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ต / (๐ธ / 2)) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2))) = ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท (expโ€˜(logโ€˜2))))
8077, 78, 79sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2))) = ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท (expโ€˜(logโ€˜2))))
81 reeflog 25781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜2)) = 2)
8257, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (expโ€˜(logโ€˜2)) = 2
8382oveq2i 7318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท (expโ€˜(logโ€˜2))) = ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2)
8480, 83eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2))) = ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2))
8559a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
86 rerpdivcl 12806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((logโ€˜2) โˆˆ โ„ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜2) / ๐ธ) โˆˆ โ„)
8759, 13, 86sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜2) / ๐ธ) โˆˆ โ„)
8878div1i 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((logโ€˜2) / 1) = (logโ€˜2)
8910simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ < 1)
9089adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ธ < 1)
918adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
92 1re 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 โˆˆ โ„
93 ltle 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ธ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธ < 1 โ†’ ๐ธ โ‰ค 1))
9491, 92, 93sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ < 1 โ†’ ๐ธ โ‰ค 1))
9590, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ธ โ‰ค 1)
9613rpregt0d 12824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ธ))
97 1rp 12780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 โˆˆ โ„+
98 rpregt0 12790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 โˆˆ โ„+ โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1))
9997, 98mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1))
100 1lt2 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 2
101 rplogcl 25804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„+)
1021, 100, 101mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (logโ€˜2) โˆˆ โ„+
103 rpregt0 12790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((logโ€˜2) โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (logโ€˜2)))
104102, 103mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (logโ€˜2)))
105 lediv2 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ธ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ธ) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1) โˆง ((logโ€˜2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (logโ€˜2))) โ†’ (๐ธ โ‰ค 1 โ†” ((logโ€˜2) / 1) โ‰ค ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
10696, 99, 104, 105syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ โ‰ค 1 โ†” ((logโ€˜2) / 1) โ‰ค ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
10795, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜2) / 1) โ‰ค ((logโ€˜2) / ๐ธ))
10888, 107eqbrtrrid 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜2) โ‰ค ((logโ€˜2) / ๐ธ))
10985, 87, 71, 108leadd2dd 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โ‰ค ((๐ต / (๐ธ / 2)) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
11051oveq1i 7317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ถ / ๐ธ) = (((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2)) / ๐ธ)
11156recnd 11049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
11278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
113 rpcnne0 12794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ธ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โ‰  0))
11413, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โ‰  0))
115 divdir 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2)) / ๐ธ) = (((2 ยท ๐ต) / ๐ธ) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
116111, 112, 114, 115syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2)) / ๐ธ) = (((2 ยท ๐ต) / ๐ธ) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
117110, 116eqtrid 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ / ๐ธ) = (((2 ยท ๐ต) / ๐ธ) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
1181recni 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 โˆˆ โ„‚
11954recnd 11049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
120 mulcom 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 2))
121118, 119, 120sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 2))
122121oveq1d 7322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท ๐ต) / ๐ธ) = ((๐ต ยท 2) / ๐ธ))
123 rpcnne0 12794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
12457, 123mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
125 divdiv2 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (๐ต / (๐ธ / 2)) = ((๐ต ยท 2) / ๐ธ))
126119, 114, 124, 125syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต / (๐ธ / 2)) = ((๐ต ยท 2) / ๐ธ))
127122, 126eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท ๐ต) / ๐ธ) = (๐ต / (๐ธ / 2)))
128127oveq1d 7322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท ๐ต) / ๐ธ) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)) = ((๐ต / (๐ธ / 2)) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
129117, 128eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ / ๐ธ) = ((๐ต / (๐ธ / 2)) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
130109, 129breqtrrd 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โ‰ค (๐ถ / ๐ธ))
131 readdcl 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ต / (๐ธ / 2)) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„)
13271, 59, 131sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„)
133 efle 15872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โ‰ค (๐ถ / ๐ธ) โ†” (expโ€˜((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2))) โ‰ค (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))))
134132, 63, 133syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โ‰ค (๐ถ / ๐ธ) โ†” (expโ€˜((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2))) โ‰ค (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))))
135130, 134mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2))) โ‰ค (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)))
13684, 135eqbrtrrd 5105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โ‰ค (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)))
137136adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โ‰ค (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)))
13866simplbda 501 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐‘˜)
13975, 76, 67, 137, 138letrd 11178 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โ‰ค ๐‘˜)
14072adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โˆˆ โ„)
141 rpregt0 12790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
14257, 141mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
143 lemuldiv 11901 . . . . . . . . . . . . . 14 (((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โ‰ค ๐‘˜ โ†” (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โ‰ค (๐‘˜ / 2)))
144140, 67, 142, 143syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โ‰ค ๐‘˜ โ†” (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โ‰ค (๐‘˜ / 2)))
145139, 144mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โ‰ค (๐‘˜ / 2))
14669, 145eqbrtrid 5116 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ๐พ โ‰ค (๐‘˜ / 2))
14769, 140eqeltrid 2841 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
148 elicopnf 13223 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘˜ / 2) โˆˆ (๐พ[,)+โˆž) โ†” ((๐‘˜ / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค (๐‘˜ / 2))))
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘˜ / 2) โˆˆ (๐พ[,)+โˆž) โ†” ((๐‘˜ / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค (๐‘˜ / 2))))
15068, 146, 149mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘˜ / 2) โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
151150adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ (๐‘˜ / 2) โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
152151adantlrr 719 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ (๐‘˜ / 2) โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
15348, 50, 152rspcdva 3567 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž)โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
154 elioore 13155 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
155154ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
15623rpred 12818 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
157156adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
15820reefcld 15842 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) โˆˆ โ„)
159158, 156readdcld 11050 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โˆˆ โ„)
160159adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โˆˆ โ„)
161156, 21ltaddrp2d 12852 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ < ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘))
162161adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ < ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘))
163 eliooord 13184 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž) โ†’ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < +โˆž))
164163simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) < ๐‘ฆ)
165164ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) < ๐‘ฆ)
166157, 160, 155, 162, 165lttrd 11182 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ < ๐‘ฆ)
167157rexrd 11071 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
168 elioopnf 13221 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„* โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < ๐‘ฆ)))
169167, 168syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < ๐‘ฆ)))
170155, 166, 169mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž))
171170adantlrr 719 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž))
17242, 153, 171rspcdva 3567 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
173 pntibnd.r . . . . . . . 8 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
174 pntibndlem1.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
175174ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
176 pntibndlem1.l . . . . . . . 8 ๐ฟ = ((1 / 4) / (๐ด + 3))
177 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)
178 fveq2 6804 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘…โ€˜๐‘ฃ))
179 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฃ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฃ)
180178, 179oveq12d 7325 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฃ โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) = ((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ))
181180fveq2d 6808 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ฃ โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) = (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)))
182181breq1d 5091 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฃ โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด โ†” (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค ๐ด))
183182cbvralvw 3222 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค ๐ด)
184177, 183sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค ๐ด)
185184ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค ๐ด)
18652ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
1877ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
18822ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
189 simprrl 779 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
190 simplrl 775 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„+)
191 simplrr 776 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))
192 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) = ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)
193 simprll 777 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž))
194 simprlr 778 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))
195 simprrr 780 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
196173, 175, 176, 185, 186, 69, 51, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195pntibndlem2 26784 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
197196anassrs 469 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
198172, 197rexlimddv 3155 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
199198ralrimivva 3194 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
200 oveq1 7314 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ(,)+โˆž) = (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))
201200raleqdv 3360 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
202201ralbidv 3171 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
203202rspcev 3566 . . . 4 ((((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
20425, 199, 203syl2anc 585 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
205204rexlimdvaa 3150 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
2064, 205mpi 20 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5081   โ†ฆ cmpt 5164  โ€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  โ„‚cc 10915  โ„cr 10916  0cc0 10917  1c1 10918   + caddc 10920   ยท cmul 10922  +โˆžcpnf 11052  โ„*cxr 11054   < clt 11055   โ‰ค cle 11056   โˆ’ cmin 11251   / cdiv 11678  โ„•cn 12019  2c2 12074  3c3 12075  4c4 12076  โ„+crp 12776  (,)cioo 13125  [,)cico 13127  [,]cicc 13128  abscabs 14990  expce 15816  logclog 25755  ฯˆcchp 26287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9443  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-pre-sup 10995  ax-addf 10996  ax-mulf 10997
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-disj 5047  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-oadd 8332  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9173  df-fi 9214  df-sup 9245  df-inf 9246  df-oi 9313  df-dju 9703  df-card 9741  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-div 11679  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-xnn0 12352  df-z 12366  df-dec 12484  df-uz 12629  df-q 12735  df-rp 12777  df-xneg 12894  df-xadd 12895  df-xmul 12896  df-ioo 13129  df-ioc 13130  df-ico 13131  df-icc 13132  df-fz 13286  df-fzo 13429  df-fl 13558  df-mod 13636  df-seq 13768  df-exp 13829  df-fac 14034  df-bc 14063  df-hash 14091  df-shft 14823  df-cj 14855  df-re 14856  df-im 14857  df-sqrt 14991  df-abs 14992  df-limsup 15225  df-clim 15242  df-rlim 15243  df-o1 15244  df-lo1 15245  df-sum 15443  df-ef 15822  df-e 15823  df-sin 15824  df-cos 15825  df-tan 15826  df-pi 15827  df-dvds 16009  df-gcd 16247  df-prm 16422  df-pc 16583  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-starv 17022  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-ip 17025  df-tset 17026  df-ple 17027  df-ds 17029  df-unif 17030  df-hom 17031  df-cco 17032  df-rest 17178  df-topn 17179  df-0g 17197  df-gsum 17198  df-topgen 17199  df-pt 17200  df-prds 17203  df-xrs 17258  df-qtop 17263  df-imas 17264  df-xps 17266  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-mulg 18746  df-cntz 18968  df-cmn 19433  df-psmet 20634  df-xmet 20635  df-met 20636  df-bl 20637  df-mopn 20638  df-fbas 20639  df-fg 20640  df-cnfld 20643  df-top 22088  df-topon 22105  df-topsp 22127  df-bases 22141  df-cld 22215  df-ntr 22216  df-cls 22217  df-nei 22294  df-lp 22332  df-perf 22333  df-cn 22423  df-cnp 22424  df-haus 22511  df-cmp 22583  df-tx 22758  df-hmeo 22951  df-fil 23042  df-fm 23134  df-flim 23135  df-flf 23136  df-xms 23518  df-ms 23519  df-tms 23520  df-cncf 24086  df-limc 25075  df-dv 25076  df-ulm 25581  df-log 25757  df-cxp 25758  df-atan 26062  df-em 26187  df-cht 26291  df-vma 26292  df-chp 26293  df-ppi 26294  df-mu 26295
This theorem is referenced by:  pntibnd  26786
  Copyright terms: Public domain W3C validator