MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem3 25870
Description: Lemma for pntibnd 25871. Package up pntibndlem2 25869 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.5 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝐿,𝑣,𝑥,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐾   𝑘,𝑍,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑢,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,𝑣,𝑖,𝑚,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐶(𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐿(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑧,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem3
Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 11514 . . 3 2 ∈ ℝ
2 1le2 11656 . . 3 1 ≤ 2
3 chpdifbnd 25833 . . 3 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
41, 2, 3mp2an 679 . 2 𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣))))
5 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
6 ioossre 12614 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)1) ⊆ ℝ
7 pntibndlem3.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
86, 7sseldi 3856 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
9 eliooord 12612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
1110simpld 487 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐸)
128, 11elrpd 12245 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1312adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
14 4nn 11524 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
15 nnrp 12217 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
17 rpdivcl 12231 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
1813, 16, 17sylancl 577 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
195, 18rpdivcld 12265 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+)
2019rpred 12248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
2120rpefcld 15318 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ+)
22 pntibndlem3.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
2322adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
2421, 23rpaddcld 12263 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
2524adantrr 704 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
26 breq2 4933 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → (𝑣 < 𝑖𝑣 < 𝑛))
27 breq1 4932 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
2826, 27anbi12d 621 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
29 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → (𝑅𝑖) = (𝑅𝑛))
30 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛𝑖 = 𝑛)
3129, 30oveq12d 6994 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑅𝑖) / 𝑖) = ((𝑅𝑛) / 𝑛))
3231fveq2d 6503 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) = (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
3332breq1d 4939 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2) ↔ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
3428, 33anbi12d 621 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
3534cbvrexv 3384 . . . . . . . 8 (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
36 breq1 4932 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 < 𝑛𝑦 < 𝑛))
37 oveq2 6984 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑘 / 2) · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑦))
3837breq2d 4941 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑦 → (𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)))
3936, 38anbi12d 621 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦))))
4039anbi1d 620 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 → (((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
4140rexbidv 3242 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
4235, 41syl5bb 275 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
43 oveq1 6983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑚 · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑣))
4443breq2d 4941 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣) ↔ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
4544anbi2d 619 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘 / 2) → ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
4645anbi1d 620 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
4746rexbidv 3242 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
4847ralbidv 3147 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
49 pntibndlem3.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
5049ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
51 pntibndlem3.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
52 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
5352adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
5453rpred 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
55 remulcl 10420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
561, 54, 55sylancr 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
57 2rp 12209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
58 relogcl 24860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (log‘2) ∈ ℝ
60 readdcl 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
6156, 59, 60sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
6251, 61syl5eqel 2870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
6362, 13rerpdivcld 12279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
6463reefcld 15301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
65 elicopnf 12649 . . . . . . . . . . . . . 14 ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
6766simprbda 491 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
6867rehalfcld 11694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ ℝ)
69 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
7013rphalfcld 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
7154, 70rerpdivcld 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
7271reefcld 15301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
73 remulcl 10420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
7472, 1, 73sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
7574adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
7664adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
7771recnd 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ)
7859recni 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (log‘2) ∈ ℂ
79 efadd 15307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
8077, 78, 79sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
81 reeflog 24865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
8257, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (exp‘(log‘2)) = 2
8382oveq2i 6987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2)
8480, 83syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2))
8559a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℝ)
86 rerpdivcl 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
8759, 13, 86sylancr 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
8878div1i 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((log‘2) / 1) = (log‘2)
8910simprd 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐸 < 1)
9089adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 < 1)
918adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ)
92 1re 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
93 ltle 10529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
9491, 92, 93sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
9590, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ≤ 1)
9613rpregt0d 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
97 1rp 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ+
98 rpregt0 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
9997, 98mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
100 1lt2 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 2
101 rplogcl 24888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
1021, 100, 101mp2an 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (log‘2) ∈ ℝ+
103 rpregt0 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((log‘2) ∈ ℝ+ → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
104102, 103mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
105 lediv2 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
10696, 99, 104, 105syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
10795, 106mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
10888, 107syl5eqbrr 4965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
10985, 87, 71, 108leadd2dd 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
11051oveq1i 6986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸)
11156recnd 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
11278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℂ)
113 rpcnne0 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
11413, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
115 divdir 11124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
116111, 112, 114, 115syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
117110, 116syl5eq 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
1181recni 10454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℂ
11954recnd 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
120 mulcom 10421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
121118, 119, 120sylancr 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
122121oveq1d 6991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
123 rpcnne0 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
12457, 123mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
125 divdiv2 11153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
126119, 114, 124, 125syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
127122, 126eqtr4d 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = (𝐵 / (𝐸 / 2)))
128127oveq1d 6991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
129117, 128eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
130109, 129breqtrrd 4957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸))
131 readdcl 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
13271, 59, 131sylancl 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
133 efle 15331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
134132, 63, 133syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
135130, 134mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
13684, 135eqbrtrrd 4953 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
137136adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
13866simplbda 492 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)
13975, 76, 67, 137, 138letrd 10597 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘)
14072adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
141 rpregt0 12220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
14257, 141mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
143 lemuldiv 11321 . . . . . . . . . . . . . 14 (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
144140, 67, 142, 143syl3anc 1351 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
145139, 144mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2))
14669, 145syl5eqbr 4964 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))
14769, 140syl5eqel 2870 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℝ)
148 elicopnf 12649 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
15068, 146, 149mpbir2and 700 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
151150adantrr 704 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
152151adantlrr 708 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
15348, 50, 152rspcdva 3541 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
154 elioore 12584 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
155154ad2antll 716 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
15623rpred 12248 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ)
157156adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ)
15820reefcld 15301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
159158, 156readdcld 10469 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
160159adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
161156, 21ltaddrp2d 12282 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
162161adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
163 eliooord 12612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦𝑦 < +∞))
164163simpld 487 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
165164ad2antll 716 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
166157, 160, 155, 162, 165lttrd 10601 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < 𝑦)
167157rexrd 10490 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ*)
168 elioopnf 12647 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
169167, 168syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
170155, 166, 169mpbir2and 700 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
171170adantlrr 708 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
17242, 153, 171rspcdva 3541 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
173 pntibnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
174 pntibndlem1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
175174ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
176 pntibndlem1.l . . . . . . . 8 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
177 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
178 fveq2 6499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝑣))
179 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣𝑥 = 𝑣)
180178, 179oveq12d 6994 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑣 → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = ((𝑅𝑣) / 𝑣))
181180fveq2d 6503 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑣 → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)))
182181breq1d 4939 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑣 → ((abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴))
183182cbvralv 3383 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
184177, 183sylib 210 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
185184ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
18652ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1877ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐸 ∈ (0(,)1))
18822ad2antrr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
189 simprrl 768 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑛 ∈ ℕ)
190 simplrl 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑡 ∈ ℝ+)
191 simplrr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
192 eqid 2778 . . . . . . . 8 ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
193 simprll 766 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
194 simprlr 767 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
195 simprrr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
196173, 175, 176, 185, 186, 69, 51, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195pntibndlem2 25869 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
197196anassrs 460 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
198172, 197rexlimddv 3236 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
199198ralrimivva 3141 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
200 oveq1 6983 . . . . . . 7 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (𝑥(,)+∞) = (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
201200raleqdv 3355 . . . . . 6 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
202201ralbidv 3147 . . . . 5 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
203202rspcev 3535 . . . 4 ((((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
20425, 199, 203syl2anc 576 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
205204rexlimdvaa 3230 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
2064, 205mpi 20 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967  wral 3088  wrex 3089   class class class wbr 4929  cmpt 5008  cfv 6188  (class class class)co 6976  cc 10333  cr 10334  0cc0 10335  1c1 10336   + caddc 10338   · cmul 10340  +∞cpnf 10471  *cxr 10473   < clt 10474  cle 10475  cmin 10670   / cdiv 11098  cn 11439  2c2 11495  3c3 11496  4c4 11497  +crp 12204  (,)cioo 12554  [,)cico 12556  [,]cicc 12557  abscabs 14454  expce 15275  logclog 24839  ψcchp 25372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413  ax-addf 10414  ax-mulf 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-disj 4898  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-of 7227  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-supp 7634  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-pm 8209  df-ixp 8260  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-fsupp 8629  df-fi 8670  df-sup 8701  df-inf 8702  df-oi 8769  df-dju 9124  df-card 9162  df-cda 9388  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-dec 11912  df-uz 12059  df-q 12163  df-rp 12205  df-xneg 12324  df-xadd 12325  df-xmul 12326  df-ioo 12558  df-ioc 12559  df-ico 12560  df-icc 12561  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-fl 12977  df-mod 13053  df-seq 13185  df-exp 13245  df-fac 13449  df-bc 13478  df-hash 13506  df-shft 14287  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-limsup 14689  df-clim 14706  df-rlim 14707  df-o1 14708  df-lo1 14709  df-sum 14904  df-ef 15281  df-e 15282  df-sin 15283  df-cos 15284  df-tan 15285  df-pi 15286  df-dvds 15468  df-gcd 15704  df-prm 15872  df-pc 16030  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-mulr 16435  df-starv 16436  df-sca 16437  df-vsca 16438  df-ip 16439  df-tset 16440  df-ple 16441  df-ds 16443  df-unif 16444  df-hom 16445  df-cco 16446  df-rest 16552  df-topn 16553  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-topgen 16573  df-pt 16574  df-prds 16577  df-xrs 16631  df-qtop 16636  df-imas 16637  df-xps 16639  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-mulg 18012  df-cntz 18218  df-cmn 18668  df-psmet 20239  df-xmet 20240  df-met 20241  df-bl 20242  df-mopn 20243  df-fbas 20244  df-fg 20245  df-cnfld 20248  df-top 21206  df-topon 21223  df-topsp 21245  df-bases 21258  df-cld 21331  df-ntr 21332  df-cls 21333  df-nei 21410  df-lp 21448  df-perf 21449  df-cn 21539  df-cnp 21540  df-haus 21627  df-cmp 21699  df-tx 21874  df-hmeo 22067  df-fil 22158  df-fm 22250  df-flim 22251  df-flf 22252  df-xms 22633  df-ms 22634  df-tms 22635  df-cncf 23189  df-limc 24167  df-dv 24168  df-ulm 24668  df-log 24841  df-cxp 24842  df-atan 25146  df-em 25272  df-cht 25376  df-vma 25377  df-chp 25378  df-ppi 25379  df-mu 25380
This theorem is referenced by:  pntibnd  25871
  Copyright terms: Public domain W3C validator