Theorem pntibndlem3 27557

Description: Lemma for pntibnd 27558. Package up pntibndlem2 27556 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntibnd.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l	⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c	⊢ 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
pntibndlem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝐿,𝑣,𝑥,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐾   𝑘,𝑍,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑢,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,𝑣,𝑖,𝑚,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐶(𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐿(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑧,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem3

Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12217	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1le2 12347	. . 3 ⊢ 1 ≤ 2
3		chpdifbnd 27520	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2) → ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
4	1, 2, 3	mp2an 692	. 2 ⊢ ∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣))))
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
6		ioossre 13321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,)1) ⊆ ℝ
7		pntibndlem3.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (0(,)1))
8	6, 7	sselid 3929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
9		eliooord 13319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐸 ∧ 𝐸 < 1))
11	10	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐸)
12	8, 11	elrpd 12944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
14		4nn 12226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℕ
15		nnrp 12915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ+
17		rpdivcl 12930	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
18	13, 16, 17	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
19	5, 18	rpdivcld 12964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
21	20	rpefcld 16028	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ+)
22		pntibndlem3.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
24	21, 23	rpaddcld 12962	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
25	24	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
26		breq2 5100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑣 < 𝑖 ↔ 𝑣 < 𝑛))
27		breq1 5099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
28	26, 27	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
29		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (𝑅‘𝑖) = (𝑅‘𝑛))
30		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → 𝑖 = 𝑛)
31	29, 30	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((𝑅‘𝑖) / 𝑖) = ((𝑅‘𝑛) / 𝑛))
32	31	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) = (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)))
33	32	breq1d 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2) ↔ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
34	28, 33	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑛 → (((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
35	34	cbvrexvw 3213	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
36		breq1 5099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 < 𝑛 ↔ 𝑦 < 𝑛))
37		oveq2 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑘 / 2) · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑦))
38	37	breq2d 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)))
39	36, 38	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦))))
40	39	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
41	40	rexbidv 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
42	35, 41	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
43		oveq1 7363	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑚 · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑣))
44	43	breq2d 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣) ↔ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
45	44	anbi2d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
46	45	anbi1d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
47	46	rexbidv 3158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
48	47	ralbidv 3157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
49		pntibndlem3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
51		pntibndlem3.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
52		pntibndlem3.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
54	53	rpred 12947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
55		remulcl 11109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
56	1, 54, 55	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
57		2rp 12908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ+
58		relogcl 26538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
59	57, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
60		readdcl 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
61	56, 59, 60	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
62	51, 61	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
63	62, 13	rerpdivcld 12978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
64	63	reefcld 16009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
65		elicopnf 13359	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
67	66	simprbda 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
68	67	rehalfcld 12386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ ℝ)
69		pntibndlem3.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
70	13	rphalfcld 12959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
71	54, 70	rerpdivcld 12978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
72	71	reefcld 16009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
73		remulcl 11109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
74	72, 1, 73	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
76	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
77	71	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ)
78	59	recni 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
79		efadd 16015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
80	77, 78, 79	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
81		reeflog 26543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
82	57, 81	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (exp‘(log‘2)) = 2
83	82	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2)
84	80, 83	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2))
85	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℝ)
86		rerpdivcl 12935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
87	59, 13, 86	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
88	78	div1i 11867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((log‘2) / 1) = (log‘2)
89	10	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐸 < 1)
90	89	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 < 1)
91	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ)
92		1re 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ
93		ltle 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
94	91, 92, 93	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
95	90, 94	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ≤ 1)
96	13	rpregt0d 12953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
97		1rp 12907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ+
98		rpregt0 12918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
99	97, 98	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
100		1lt2 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
101		rplogcl 26567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
102	1, 100, 101	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ+
103		rpregt0 12918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ+ → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
104	102, 103	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
105		lediv2 12030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
106	96, 99, 104, 105	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
107	95, 106	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
108	88, 107	eqbrtrrid 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
109	85, 87, 71, 108	leadd2dd 11750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
110	51	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸)
111	56	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
112	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℂ)
113		rpcnne0 12922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
114	13, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
115		divdir 11819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
116	111, 112, 114, 115	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
117	110, 116	eqtrid 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
118	1	recni 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℂ
119	54	recnd 11158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
120		mulcom 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
121	118, 119, 120	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
122	121	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
123		rpcnne0 12922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
124	57, 123	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
125		divdiv2 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
126	119, 114, 124, 125	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
127	122, 126	eqtr4d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = (𝐵 / (𝐸 / 2)))
128	127	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
129	117, 128	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
130	109, 129	breqtrrd 5124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸))
131		readdcl 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
132	71, 59, 131	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
133		efle 16041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
134	132, 63, 133	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
135	130, 134	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
136	84, 135	eqbrtrrd 5120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
137	136	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
138	66	simplbda 499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)
139	75, 76, 67, 137, 138	letrd 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘)
140	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
141		rpregt0 12918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
142	57, 141	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
143		lemuldiv 12020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
144	140, 67, 142, 143	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
145	139, 144	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2))
146	69, 145	eqbrtrid 5131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))
147	69, 140	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℝ)
148		elicopnf 13359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℝ → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
149	147, 148	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
150	68, 146, 149	mpbir2and 713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
151	150	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
152	151	adantlrr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
153	48, 50, 152	rspcdva 3575	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
154		elioore 13289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
155	154	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
156	23	rpred 12947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ)
157	156	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ)
158	20	reefcld 16009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
159	158, 156	readdcld 11159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
160	159	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
161	156, 21	ltaddrp2d 12981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
162	161	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
163		eliooord 13319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
164	163	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
165	164	ad2antll 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
166	157, 160, 155, 162, 165	lttrd 11292	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < 𝑦)
167	157	rexrd 11180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ*)
168		elioopnf 13357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑍 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
169	167, 168	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
170	155, 166, 169	mpbir2and 713	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
171	170	adantlrr 721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
172	42, 153, 171	rspcdva 3575	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
173		pntibnd.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
174		pntibndlem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
175	174	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
176		pntibndlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
177		pntibndlem3.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
178		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (𝑅‘𝑥) = (𝑅‘𝑣))
179		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → 𝑥 = 𝑣)
180	178, 179	oveq12d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((𝑅‘𝑥) / 𝑥) = ((𝑅‘𝑣) / 𝑣))
181	180	fveq2d 6836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)))
182	181	breq1d 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑣 → ((abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴))
183	182	cbvralvw 3212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
184	177, 183	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
185	184	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅‘𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
186	52	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
187	7	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐸 ∈ (0(,)1))
188	22	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
189		simprrl 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑛 ∈ ℕ)
190		simplrl 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑡 ∈ ℝ+)
191		simplrr 777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
192		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
193		simprll 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
194		simprlr 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
195		simprrr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
196	173, 175, 176, 185, 186, 69, 51, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195	pntibndlem2 27556	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
197	196	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅‘𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
198	172, 197	rexlimddv 3141	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
199	198	ralrimivva 3177	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
200		oveq1 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (𝑥(,)+∞) = (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
201	200	raleqdv 3294	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
202	201	ralbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
203	202	rspcev 3574	. . . 4 ⊢ ((((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
204	25, 199, 203	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
205	204	rexlimdvaa 3136	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤 − 𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
206	4, 205	mpi 20	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅‘𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029  +∞cpnf 11161  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362   / cdiv 11792  ℕcn 12143  2c2 12198  3c3 12199  4c4 12200  ℝ⁺crp 12903  (,)cioo 13259  [,)cico 13261  [,]cicc 13262  abscabs 15155  expce 15982  logclog 26517  ψcchp 27057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-disj 5064  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-o1 15411  df-lo1 15412  df-sum 15608  df-ef 15988  df-e 15989  df-sin 15990  df-cos 15991  df-tan 15992  df-pi 15993  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-prm 16597  df-pc 16763  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-cmp 23329  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822  df-ulm 26340  df-log 26519  df-cxp 26520  df-atan 26831  df-em 26957  df-cht 27061  df-vma 27062  df-chp 27063  df-ppi 27064  df-mu 27065

This theorem is referenced by:  pntibnd  27558