MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem3 27102
Description: Lemma for pntibnd 27103. Package up pntibndlem2 27101 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
pntibndlem1.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
pntibndlem1.l ๐ฟ = ((1 / 4) / (๐ด + 3))
pntibndlem3.2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)
pntibndlem3.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
pntibndlem3.k ๐พ = (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2)))
pntibndlem3.c ๐ถ = ((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2))
pntibndlem3.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
pntibndlem3.6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
pntibndlem3.5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž)โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘Ž,๐‘˜,๐‘š,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐ธ   ๐‘ข,๐ฟ,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ง   ๐‘ข,๐ด,๐‘ฃ,๐‘ฅ   ๐‘ข,๐ถ,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘…,๐‘–,๐‘˜,๐‘š,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘š,๐พ   ๐‘˜,๐‘,๐‘š,๐‘ข,๐‘ฃ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ข,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘–,๐‘š,๐‘Ž)   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘–,๐‘˜,๐‘š,๐‘Ž)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘š,๐‘Ž)   ๐ถ(๐‘ง,๐‘–,๐‘˜,๐‘š,๐‘Ž)   ๐‘…(๐‘Ž)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘–,๐‘˜,๐‘Ž)   ๐ฟ(๐‘ฆ,๐‘–,๐‘˜,๐‘š,๐‘Ž)   ๐‘(๐‘ง,๐‘–,๐‘Ž)

Proof of Theorem pntibndlem3
Dummy variables ๐‘› ๐‘ก ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12288 . . 3 2 โˆˆ โ„
2 1le2 12423 . . 3 1 โ‰ค 2
3 chpdifbnd 27065 . . 3 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 โ‰ค 2) โ†’ โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))
41, 2, 3mp2an 690 . 2 โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ))))
5 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„+)
6 ioossre 13387 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)1) โŠ† โ„
7 pntibndlem3.4 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
86, 7sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
9 eliooord 13385 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ธ โˆˆ (0(,)1) โ†’ (0 < ๐ธ โˆง ๐ธ < 1))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ธ โˆง ๐ธ < 1))
1110simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ธ)
128, 11elrpd 13015 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
1312adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„+)
14 4nn 12297 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„•
15 nnrp 12987 . . . . . . . . . . 11 (4 โˆˆ โ„• โ†’ 4 โˆˆ โ„+)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 โˆˆ โ„+
17 rpdivcl 13001 . . . . . . . . . 10 ((๐ธ โˆˆ โ„+ โˆง 4 โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ / 4) โˆˆ โ„+)
1813, 16, 17sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ / 4) โˆˆ โ„+)
195, 18rpdivcld 13035 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ก / (๐ธ / 4)) โˆˆ โ„+)
2019rpred 13018 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ก / (๐ธ / 4)) โˆˆ โ„)
2120rpefcld 16050 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) โˆˆ โ„+)
22 pntibndlem3.6 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
2421, 23rpaddcld 13033 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โˆˆ โ„+)
2524adantrr 715 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โˆˆ โ„+)
26 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (๐‘ฃ < ๐‘– โ†” ๐‘ฃ < ๐‘›))
27 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ) โ†” ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)))
2826, 27anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘› โ†’ ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โ†” (๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ))))
29 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘–) = (๐‘…โ€˜๐‘›))
30 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– = ๐‘› โ†’ ๐‘– = ๐‘›)
3129, 30oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– = ๐‘› โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–) = ((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›))
3231fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) = (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)))
3332breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (๐‘– = ๐‘› โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2) โ†” (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
3428, 33anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (๐‘– = ๐‘› โ†’ (((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
3534cbvrexvw 3235 . . . . . . . 8 (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
36 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฃ < ๐‘› โ†” ๐‘ฆ < ๐‘›))
37 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ) = ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ))
3837breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ) โ†” ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)))
3936, 38anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โ†” (๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ))))
4039anbi1d 630 . . . . . . . . 9 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ (((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
4140rexbidv 3178 . . . . . . . 8 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
4235, 41bitrid 282 . . . . . . 7 (๐‘ฃ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
43 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š = (๐‘˜ / 2) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘ฃ) = ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ))
4443breq2d 5160 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = (๐‘˜ / 2) โ†’ (๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ) โ†” ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)))
4544anbi2d 629 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = (๐‘˜ / 2) โ†’ ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โ†” (๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ))))
4645anbi1d 630 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘˜ / 2) โ†’ (((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
4746rexbidv 3178 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘˜ / 2) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
4847ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘˜ / 2) โ†’ (โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž)โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)) โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž)โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2))))
49 pntibndlem3.5 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž)โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
5049ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (๐พ[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž)โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค (๐‘š ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
51 pntibndlem3.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐ถ = ((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2))
52 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
5453rpred 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
55 remulcl 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
561, 54, 55sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
57 2rp 12981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 โˆˆ โ„+
58 relogcl 26091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (logโ€˜2) โˆˆ โ„
60 readdcl 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„) โ†’ ((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„)
6156, 59, 60sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„)
6251, 61eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
6362, 13rerpdivcld 13049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„)
6463reefcld 16033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โˆˆ โ„)
65 elicopnf 13424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐‘˜)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐‘˜)))
6766simprbda 499 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
6867rehalfcld 12461 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘˜ / 2) โˆˆ โ„)
69 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . 12 ๐พ = (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2)))
7013rphalfcld 13030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ / 2) โˆˆ โ„+)
7154, 70rerpdivcld 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต / (๐ธ / 2)) โˆˆ โ„)
7271reefcld 16033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โˆˆ โ„)
73 remulcl 11197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„) โ†’ ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โˆˆ โ„)
7472, 1, 73sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โˆˆ โ„)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โˆˆ โ„)
7664adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โˆˆ โ„)
7771recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต / (๐ธ / 2)) โˆˆ โ„‚)
7859recni 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚
79 efadd 16039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐ต / (๐ธ / 2)) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2))) = ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท (expโ€˜(logโ€˜2))))
8077, 78, 79sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2))) = ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท (expโ€˜(logโ€˜2))))
81 reeflog 26096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜2)) = 2)
8257, 81ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (expโ€˜(logโ€˜2)) = 2
8382oveq2i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท (expโ€˜(logโ€˜2))) = ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2)
8480, 83eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2))) = ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2))
8559a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„)
86 rerpdivcl 13006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((logโ€˜2) โˆˆ โ„ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜2) / ๐ธ) โˆˆ โ„)
8759, 13, 86sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜2) / ๐ธ) โˆˆ โ„)
8878div1i 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((logโ€˜2) / 1) = (logโ€˜2)
8910simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ < 1)
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ธ < 1)
918adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
92 1re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 โˆˆ โ„
93 ltle 11304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐ธ โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธ < 1 โ†’ ๐ธ โ‰ค 1))
9491, 92, 93sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ < 1 โ†’ ๐ธ โ‰ค 1))
9590, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ธ โ‰ค 1)
9613rpregt0d 13024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ธ))
97 1rp 12980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 โˆˆ โ„+
98 rpregt0 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 โˆˆ โ„+ โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1))
9997, 98mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1))
100 1lt2 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 2
101 rplogcl 26119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 1 < 2) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„+)
1021, 100, 101mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (logโ€˜2) โˆˆ โ„+
103 rpregt0 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((logโ€˜2) โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (logโ€˜2)))
104102, 103mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (logโ€˜2)))
105 lediv2 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((๐ธ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ธ) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1) โˆง ((logโ€˜2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (logโ€˜2))) โ†’ (๐ธ โ‰ค 1 โ†” ((logโ€˜2) / 1) โ‰ค ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
10696, 99, 104, 105syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ โ‰ค 1 โ†” ((logโ€˜2) / 1) โ‰ค ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
10795, 106mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜2) / 1) โ‰ค ((logโ€˜2) / ๐ธ))
10888, 107eqbrtrrid 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜2) โ‰ค ((logโ€˜2) / ๐ธ))
10985, 87, 71, 108leadd2dd 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โ‰ค ((๐ต / (๐ธ / 2)) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
11051oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ถ / ๐ธ) = (((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2)) / ๐ธ)
11156recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
11278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚)
113 rpcnne0 12994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐ธ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โ‰  0))
11413, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โ‰  0))
115 divdir 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โ‰  0)) โ†’ (((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2)) / ๐ธ) = (((2 ยท ๐ต) / ๐ธ) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
116111, 112, 114, 115syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท ๐ต) + (logโ€˜2)) / ๐ธ) = (((2 ยท ๐ต) / ๐ธ) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
117110, 116eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ / ๐ธ) = (((2 ยท ๐ต) / ๐ธ) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
1181recni 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 โˆˆ โ„‚
11954recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
120 mulcom 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 2))
121118, 119, 120sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐ต) = (๐ต ยท 2))
122121oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท ๐ต) / ๐ธ) = ((๐ต ยท 2) / ๐ธ))
123 rpcnne0 12994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
12457, 123mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
125 divdiv2 11928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ธ โ‰  0) โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)) โ†’ (๐ต / (๐ธ / 2)) = ((๐ต ยท 2) / ๐ธ))
126119, 114, 124, 125syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต / (๐ธ / 2)) = ((๐ต ยท 2) / ๐ธ))
127122, 126eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((2 ยท ๐ต) / ๐ธ) = (๐ต / (๐ธ / 2)))
128127oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (((2 ยท ๐ต) / ๐ธ) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)) = ((๐ต / (๐ธ / 2)) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
129117, 128eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ถ / ๐ธ) = ((๐ต / (๐ธ / 2)) + ((logโ€˜2) / ๐ธ)))
130109, 129breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โ‰ค (๐ถ / ๐ธ))
131 readdcl 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐ต / (๐ธ / 2)) โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜2) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„)
13271, 59, 131sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„)
133 efle 16063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ / ๐ธ) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โ‰ค (๐ถ / ๐ธ) โ†” (expโ€˜((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2))) โ‰ค (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))))
134132, 63, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2)) โ‰ค (๐ถ / ๐ธ) โ†” (expโ€˜((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2))) โ‰ค (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))))
135130, 134mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜((๐ต / (๐ธ / 2)) + (logโ€˜2))) โ‰ค (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)))
13684, 135eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โ‰ค (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)))
137136adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โ‰ค (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)))
13866simplbda 500 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (expโ€˜(๐ถ / ๐ธ)) โ‰ค ๐‘˜)
13975, 76, 67, 137, 138letrd 11373 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โ‰ค ๐‘˜)
14072adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โˆˆ โ„)
141 rpregt0 12990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 โˆˆ โ„+ โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
14257, 141mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
143 lemuldiv 12096 . . . . . . . . . . . . . 14 (((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โ‰ค ๐‘˜ โ†” (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โ‰ค (๐‘˜ / 2)))
144140, 67, 142, 143syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (((expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) ยท 2) โ‰ค ๐‘˜ โ†” (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โ‰ค (๐‘˜ / 2)))
145139, 144mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (expโ€˜(๐ต / (๐ธ / 2))) โ‰ค (๐‘˜ / 2))
14669, 145eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ๐พ โ‰ค (๐‘˜ / 2))
14769, 140eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
148 elicopnf 13424 . . . . . . . . . . . 12 (๐พ โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘˜ / 2) โˆˆ (๐พ[,)+โˆž) โ†” ((๐‘˜ / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค (๐‘˜ / 2))))
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ ((๐‘˜ / 2) โˆˆ (๐พ[,)+โˆž) โ†” ((๐‘˜ / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โ‰ค (๐‘˜ / 2))))
15068, 146, 149mpbir2and 711 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘˜ / 2) โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
151150adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ (๐‘˜ / 2) โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
152151adantlrr 719 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ (๐‘˜ / 2) โˆˆ (๐พ[,)+โˆž))
15348, 50, 152rspcdva 3613 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž)โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘ฃ < ๐‘– โˆง ๐‘– โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฃ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘–) / ๐‘–)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
154 elioore 13356 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
155154ad2antll 727 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
15623rpred 13018 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
157156adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
15820reefcld 16033 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ (expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) โˆˆ โ„)
159158, 156readdcld 11245 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โˆˆ โ„)
160159adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โˆˆ โ„)
161156, 21ltaddrp2d 13052 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ < ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘))
162161adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ < ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘))
163 eliooord 13385 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž) โ†’ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) < ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ < +โˆž))
164163simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) < ๐‘ฆ)
165164ad2antll 727 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) < ๐‘ฆ)
166157, 160, 155, 162, 165lttrd 11377 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ < ๐‘ฆ)
167157rexrd 11266 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„*)
168 elioopnf 13422 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„* โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < ๐‘ฆ)))
169167, 168syl 17 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ < ๐‘ฆ)))
170155, 166, 169mpbir2and 711 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ก โˆˆ โ„+) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž))
171170adantlrr 719 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐‘(,)+โˆž))
17242, 153, 171rspcdva 3613 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
173 pntibnd.r . . . . . . . 8 ๐‘… = (๐‘Ž โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘Ž) โˆ’ ๐‘Ž))
174 pntibndlem1.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
175174ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
176 pntibndlem1.l . . . . . . . 8 ๐ฟ = ((1 / 4) / (๐ด + 3))
177 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด)
178 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘…โ€˜๐‘ฃ))
179 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฃ โ†’ ๐‘ฅ = ๐‘ฃ)
180178, 179oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘ฃ โ†’ ((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) = ((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ))
181180fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘ฃ โ†’ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) = (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)))
182181breq1d 5158 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ฃ โ†’ ((absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด โ†” (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค ๐ด))
183182cbvralvw 3234 . . . . . . . . . 10 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โ‰ค ๐ด โ†” โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค ๐ด)
184177, 183sylib 217 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค ๐ด)
185184ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ โ„+ (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ฃ) / ๐‘ฃ)) โ‰ค ๐ด)
18652ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
1877ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐ธ โˆˆ (0(,)1))
18822ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
189 simprrl 779 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
190 simplrl 775 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐‘ก โˆˆ โ„+)
191 simplrr 776 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))
192 eqid 2732 . . . . . . . 8 ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) = ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)
193 simprll 777 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž))
194 simprlr 778 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))
195 simprrr 780 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)))
196173, 175, 176, 185, 186, 69, 51, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195pntibndlem2 27101 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง ((๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2))))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
197196anassrs 468 . . . . . 6 ((((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ < ๐‘› โˆง ๐‘› โ‰ค ((๐‘˜ / 2) ยท ๐‘ฆ)) โˆง (absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘›) / ๐‘›)) โ‰ค (๐ธ / 2)))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
198172, 197rexlimddv 3161 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โˆง (๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
199198ralrimivva 3200 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
200 oveq1 7418 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ(,)+โˆž) = (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž))
201200raleqdv 3325 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
202201ralbidv 3177 . . . . 5 (๐‘ฅ = ((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
203202rspcev 3612 . . . 4 ((((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘) โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (((expโ€˜(๐‘ก / (๐ธ / 4))) + ๐‘)(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
20425, 199, 203syl2anc 584 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆง โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
205204rexlimdvaa 3156 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘ฃ โˆˆ (1(,)+โˆž)โˆ€๐‘ค โˆˆ (๐‘ฃ[,](2 ยท ๐‘ฃ))((ฯˆโ€˜๐‘ค) โˆ’ (ฯˆโ€˜๐‘ฃ)) โ‰ค ((2 ยท (๐‘ค โˆ’ ๐‘ฃ)) + (๐‘ก ยท (๐‘ฃ / (logโ€˜๐‘ฃ)))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ)))
2064, 205mpi 20 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ((expโ€˜(๐ถ / ๐ธ))[,)+โˆž)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (๐‘ฅ(,)+โˆž)โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„+ ((๐‘ฆ < ๐‘ง โˆง ((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง) < (๐‘˜ ยท ๐‘ฆ)) โˆง โˆ€๐‘ข โˆˆ (๐‘ง[,]((1 + (๐ฟ ยท ๐ธ)) ยท ๐‘ง))(absโ€˜((๐‘…โ€˜๐‘ข) / ๐‘ข)) โ‰ค ๐ธ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11247  โ„*cxr 11249   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  โ„+crp 12976  (,)cioo 13326  [,)cico 13328  [,]cicc 13329  abscabs 15183  expce 16007  logclog 26070  ฯˆcchp 26604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-o1 15436  df-lo1 15437  df-sum 15635  df-ef 16013  df-e 16014  df-sin 16015  df-cos 16016  df-tan 16017  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-ulm 25896  df-log 26072  df-cxp 26073  df-atan 26379  df-em 26504  df-cht 26608  df-vma 26609  df-chp 26610  df-ppi 26611  df-mu 26612
This theorem is referenced by:  pntibnd  27103
  Copyright terms: Public domain W3C validator