MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem3 26867
Description: Lemma for dchrisum0 26868. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
dchrisum0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑆,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑚,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑆(𝑎)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem3
Dummy variables 𝑐 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11156 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 sumex 15572 . . . 4 Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ V
32a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ V)
4 sumex 15572 . . . 4 Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ V
54a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ V)
6 rpvmasum.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7 rpvmasum.l . . . . 5 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8 rpvmasum.a . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 rpvmasum2.g . . . . 5 𝐺 = (DChr‘𝑁)
10 rpvmasum2.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐺)
11 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0g𝐺)
12 rpvmasum2.w . . . . . . . 8 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
1312ssrab3 4040 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
14 difss 4091 . . . . . . 7 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
1513, 14sstri 3953 . . . . . 6 𝑊𝐷
16 dchrisum0.b . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑊)
1715, 16sselid 3942 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
1813, 16sselid 3942 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
19 eldifsni 4750 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋1 )
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋1 )
21 eqid 2736 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
226, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 20, 21dchrmusumlema 26841 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
238adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2416adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋𝑊)
25 dchrisum0lem1.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
26 dchrisum0.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
28 dchrisum0.s . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
30 dchrisum0.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
32 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
3332divsqrsum 26331 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))) ∈ dom ⇝𝑟
3432divsqrsumf 26330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))):ℝ+⟶ℝ
35 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
36 fss 6685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))):ℝ+⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))):ℝ+⟶ℂ)
3734, 35, 36mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))):ℝ+⟶ℂ
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))):ℝ+⟶ℂ)
39 rpsup 13771 . . . . . . . . . . 11 sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞)
4138, 40rlimdm 15433 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))))))
4233, 41mpbii 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))))
4342adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))))
44 simprl 769 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
45 simprrl 779 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
46 simprrr 780 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
476, 7, 23, 9, 10, 11, 12, 24, 25, 27, 29, 31, 32, 43, 21, 44, 45, 46dchrisum0lem2 26866 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
4847rexlimdvaa 3153 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1)))
4948exlimdv 1936 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1)))
5022, 49mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
516, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 25, 26, 28, 30dchrisum0lem1 26864 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
523, 5, 50, 51o1add2 15506 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) + Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
53 ovexd 7392 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) + Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ V)
54 fzfid 13878 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘(𝑥↑2))) ∈ Fin)
55 fzfid 13878 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ Fin)
5617ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → 𝑋𝐷)
57 elfzelz 13441 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2))) → 𝑚 ∈ ℤ)
5857adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
599, 6, 10, 7, 56, 58dchrzrhcl 26593 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
6059adantr 481 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
61 elfznn 13470 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2))) → 𝑚 ∈ ℕ)
6261adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
6362nnrpd 12955 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
64 elfznn 13470 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) → 𝑑 ∈ ℕ)
6564nnrpd 12955 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
66 rpmulcl 12938 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑚 · 𝑑) ∈ ℝ+)
6763, 65, 66syl2an 596 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑚 · 𝑑) ∈ ℝ+)
6867rpsqrtcld 15296 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘(𝑚 · 𝑑)) ∈ ℝ+)
6968rpcnd 12959 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘(𝑚 · 𝑑)) ∈ ℂ)
7068rpne0d 12962 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘(𝑚 · 𝑑)) ≠ 0)
7160, 69, 70divcld 11931 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) ∈ ℂ)
7255, 71fsumcl 15618 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) ∈ ℂ)
7354, 72fsumcl 15618 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) ∈ ℂ)
7473abscld 15321 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ ℝ)
7574adantrr 715 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ ℝ)
7662adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
7776nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
7877rprege0d 12964 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚))
7964adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → 𝑑 ∈ ℕ)
8079nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
8180rprege0d 12964 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑))
82 sqrtmul 15144 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑)) → (√‘(𝑚 · 𝑑)) = ((√‘𝑚) · (√‘𝑑)))
8378, 81, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘(𝑚 · 𝑑)) = ((√‘𝑚) · (√‘𝑑)))
8483oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / ((√‘𝑚) · (√‘𝑑))))
8577rpsqrtcld 15296 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
8685rpcnne0d 12966 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0))
8780rpsqrtcld 15296 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘𝑑) ∈ ℝ+)
8887rpcnne0d 12966 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0))
89 divdiv1 11866 . . . . . . . . . 10 (((𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0)) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / ((√‘𝑚) · (√‘𝑑))))
9060, 86, 88, 89syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / ((√‘𝑚) · (√‘𝑑))))
9184, 90eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
9291sumeq2dv 15588 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
9392sumeq2dv 15588 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
9493adantrr 715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
95 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9695rpred 12957 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
97 reflcl 13701 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9998ltp1d 12085 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) < ((⌊‘𝑥) + 1))
100 fzdisj 13468 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝑥) < ((⌊‘𝑥) + 1) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))) = ∅)
10199, 100syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))) = ∅)
102101adantrr 715 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))) = ∅)
10395rprege0d 12964 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
104 flge0nn0 13725 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
105 nn0p1nn 12452 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
106103, 104, 1053syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
107 nnuz 12806 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
108106, 107eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1))
109108adantrr 715 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1))
11096adantrr 715 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111 2z 12535 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
112 rpexpcl 13986 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
11395, 111, 112sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
114113adantrr 715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
115114rpred 12957 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
116110recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
117116mulid1d 11172 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
118 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
119 1red 11156 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ ℝ)
120 rpregt0 12929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
121120ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
122 lemul2 12008 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
123119, 110, 121, 122syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
124118, 123mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑥))
125117, 124eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ≤ (𝑥 · 𝑥))
126116sqvald 14048 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
127125, 126breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ≤ (𝑥↑2))
128 flword2 13718 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑥↑2)) → (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥)))
129110, 115, 127, 128syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥)))
130 fzsplit2 13466 . . . . . . 7 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥↑2))) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))))
131109, 129, 130syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘(𝑥↑2))) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))))
132 fzfid 13878 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘(𝑥↑2))) ∈ Fin)
13392, 72eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
134133adantlrr 719 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
135102, 131, 132, 134fsumsplit 15626 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) + Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
13694, 135eqtrd 2776 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) + Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
137136fveq2d 6846 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) + Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))))
13875, 137eqled 11258 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ≤ (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) + Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))))
1391, 52, 53, 73, 138o1le 15537 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  [,)cico 13266  ...cfz 13424  cfl 13695  seqcseq 13906  cexp 13967  csqrt 15118  abscabs 15119  cli 15366  𝑟 crli 15367  𝑂(1)co1 15368  Σcsu 15570  Basecbs 17083  0gc0g 17321  ℤRHomczrh 20900  ℤ/nczn 20903  DChrcdchr 26580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-o1 15372  df-lo1 15373  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-phi 16638  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-qus 17391  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-nsg 18926  df-eqg 18927  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-od 19310  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-2idl 20702  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zn 20907  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-dchr 26581
This theorem is referenced by:  dchrisum0  26868
  Copyright terms: Public domain W3C validator