MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem3 26424
Description: Lemma for dchrisum0 26425. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
dchrisum0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑆,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑚,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑆(𝑎)   1 (𝑎,𝑑)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem3
Dummy variables 𝑐 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10859 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 sumex 15276 . . . 4 Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ V
32a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ V)
4 sumex 15276 . . . 4 Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ V
54a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ V)
6 rpvmasum.z . . . . 5 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7 rpvmasum.l . . . . 5 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
8 rpvmasum.a . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
9 rpvmasum2.g . . . . 5 𝐺 = (DChr‘𝑁)
10 rpvmasum2.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐺)
11 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0g𝐺)
12 rpvmasum2.w . . . . . . . 8 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
1312ssrab3 4010 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
14 difss 4061 . . . . . . 7 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
1513, 14sstri 3925 . . . . . 6 𝑊𝐷
16 dchrisum0.b . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑊)
1715, 16sselid 3913 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐷)
1813, 16sselid 3913 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
19 eldifsni 4718 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋1 )
2018, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋1 )
21 eqid 2738 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
226, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 20, 21dchrmusumlema 26398 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
238adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
2416adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋𝑊)
25 dchrisum0lem1.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
26 dchrisum0.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
2726adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
28 dchrisum0.s . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
2928adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
30 dchrisum0.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
3130adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
32 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
3332divsqrsum 25888 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))) ∈ dom ⇝𝑟
3432divsqrsumf 25887 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))):ℝ+⟶ℝ
35 ax-resscn 10811 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
36 fss 6581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))):ℝ+⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))):ℝ+⟶ℂ)
3734, 35, 36mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))):ℝ+⟶ℂ
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))):ℝ+⟶ℂ)
39 rpsup 13464 . . . . . . . . . . 11 sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞)
4138, 40rlimdm 15137 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))) ∈ dom ⇝𝑟 ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))))))
4233, 41mpbii 236 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))))
4342adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦)))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))))
44 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
45 simprrl 781 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
46 simprrr 782 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
476, 7, 23, 9, 10, 11, 12, 24, 25, 27, 29, 31, 32, 43, 21, 44, 45, 46dchrisum0lem2 26423 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
4847rexlimdvaa 3212 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1)))
4948exlimdv 1941 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1)))
5022, 49mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
516, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 25, 26, 28, 30dchrisum0lem1 26421 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
523, 5, 50, 51o1add2 15210 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) + Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
53 ovexd 7267 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) + Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ V)
54 fzfid 13571 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘(𝑥↑2))) ∈ Fin)
55 fzfid 13571 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ Fin)
5617ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → 𝑋𝐷)
57 elfzelz 13137 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2))) → 𝑚 ∈ ℤ)
5857adantl 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
599, 6, 10, 7, 56, 58dchrzrhcl 26150 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
6059adantr 484 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
61 elfznn 13166 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2))) → 𝑚 ∈ ℕ)
6261adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
6362nnrpd 12651 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
64 elfznn 13166 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) → 𝑑 ∈ ℕ)
6564nnrpd 12651 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
66 rpmulcl 12634 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑚 · 𝑑) ∈ ℝ+)
6763, 65, 66syl2an 599 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑚 · 𝑑) ∈ ℝ+)
6867rpsqrtcld 15000 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘(𝑚 · 𝑑)) ∈ ℝ+)
6968rpcnd 12655 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘(𝑚 · 𝑑)) ∈ ℂ)
7068rpne0d 12658 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘(𝑚 · 𝑑)) ≠ 0)
7160, 69, 70divcld 11633 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) ∈ ℂ)
7255, 71fsumcl 15322 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) ∈ ℂ)
7354, 72fsumcl 15322 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) ∈ ℂ)
7473abscld 15025 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ ℝ)
7574adantrr 717 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ ℝ)
7662adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
7776nnrpd 12651 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
7877rprege0d 12660 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚))
7964adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → 𝑑 ∈ ℕ)
8079nnrpd 12651 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
8180rprege0d 12660 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑))
82 sqrtmul 14848 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑑)) → (√‘(𝑚 · 𝑑)) = ((√‘𝑚) · (√‘𝑑)))
8378, 81, 82syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘(𝑚 · 𝑑)) = ((√‘𝑚) · (√‘𝑑)))
8483oveq2d 7248 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / ((√‘𝑚) · (√‘𝑑))))
8577rpsqrtcld 15000 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
8685rpcnne0d 12662 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0))
8780rpsqrtcld 15000 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘𝑑) ∈ ℝ+)
8887rpcnne0d 12662 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0))
89 divdiv1 11568 . . . . . . . . . 10 (((𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0)) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / ((√‘𝑚) · (√‘𝑑))))
9060, 86, 88, 89syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / ((√‘𝑚) · (√‘𝑑))))
9184, 90eqtr4d 2781 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
9291sumeq2dv 15292 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
9392sumeq2dv 15292 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
9493adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))
95 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
9695rpred 12653 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
97 reflcl 13396 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) ∈ ℝ)
9998ltp1d 11787 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘𝑥) < ((⌊‘𝑥) + 1))
100 fzdisj 13164 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝑥) < ((⌊‘𝑥) + 1) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))) = ∅)
10199, 100syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))) = ∅)
102101adantrr 717 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))) = ∅)
10395rprege0d 12660 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
104 flge0nn0 13420 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ0)
105 nn0p1nn 12154 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘𝑥) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
106103, 104, 1053syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ ℕ)
107 nnuz 12502 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℤ‘1)
108106, 107eleqtrdi 2849 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1))
109108adantrr 717 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1))
11096adantrr 717 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
111 2z 12234 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
112 rpexpcl 13679 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
11395, 111, 112sylancl 589 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
114113adantrr 717 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
115114rpred 12653 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
116110recnd 10886 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
117116mulid1d 10875 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
118 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
119 1red 10859 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ ℝ)
120 rpregt0 12625 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
121120ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
122 lemul2 11710 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
123119, 110, 121, 122syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (𝑥 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑥)))
124118, 123mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑥))
125117, 124eqbrtrrd 5092 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ≤ (𝑥 · 𝑥))
126116sqvald 13738 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
127125, 126breqtrrd 5096 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ≤ (𝑥↑2))
128 flword2 13413 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ (𝑥↑2)) → (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥)))
129110, 115, 127, 128syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥)))
130 fzsplit2 13162 . . . . . . 7 ((((⌊‘𝑥) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘(𝑥↑2)) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥↑2))) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))))
131109, 129, 130syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘(𝑥↑2))) = ((1...(⌊‘𝑥)) ∪ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))))
132 fzfid 13571 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘(𝑥↑2))) ∈ Fin)
13392, 72eqeltrrd 2840 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
134133adantlrr 721 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
135102, 131, 132, 134fsumsplit 15330 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) + Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
13694, 135eqtrd 2778 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) + Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))))
137136fveq2d 6740 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) = (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) + Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))))
13875, 137eqled 10960 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ≤ (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) + Σ𝑚 ∈ (((⌊‘𝑥) + 1)...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)))))
1391, 52, 53, 73, 138o1le 15241 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘(𝑚 · 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2111  wne 2941  wral 3062  wrex 3063  {crab 3066  Vcvv 3421  cdif 3878  cun 3879  cin 3880  wss 3881  c0 4252  {csn 4556   class class class wbr 5068  cmpt 5150  dom cdm 5566  wf 6394  cfv 6398  (class class class)co 7232  supcsup 9081  cc 10752  cr 10753  0cc0 10754  1c1 10755   + caddc 10757   · cmul 10759  +∞cpnf 10889  *cxr 10891   < clt 10892  cle 10893  cmin 11087   / cdiv 11514  cn 11855  2c2 11910  0cn0 12115  cz 12201  cuz 12463  +crp 12611  [,)cico 12962  ...cfz 13120  cfl 13390  seqcseq 13599  cexp 13660  csqrt 14821  abscabs 14822  cli 15070  𝑟 crli 15071  𝑂(1)co1 15072  Σcsu 15274  Basecbs 16785  0gc0g 16969  ℤRHomczrh 20491  ℤ/nczn 20494  DChrcdchr 26137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-inf2 9281  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831  ax-pre-sup 10832  ax-addf 10833  ax-mulf 10834
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-int 4875  df-iun 4921  df-iin 4922  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-se 5525  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-isom 6407  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-of 7488  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-supp 7925  df-tpos 7989  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-2o 8224  df-oadd 8227  df-omul 8228  df-er 8412  df-ec 8414  df-qs 8418  df-map 8531  df-pm 8532  df-ixp 8600  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-fsupp 9011  df-fi 9052  df-sup 9083  df-inf 9084  df-oi 9151  df-card 9580  df-acn 9583  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-div 11515  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-4 11920  df-5 11921  df-6 11922  df-7 11923  df-8 11924  df-9 11925  df-n0 12116  df-xnn0 12188  df-z 12202  df-dec 12319  df-uz 12464  df-q 12570  df-rp 12612  df-xneg 12729  df-xadd 12730  df-xmul 12731  df-ioo 12964  df-ioc 12965  df-ico 12966  df-icc 12967  df-fz 13121  df-fzo 13264  df-fl 13392  df-mod 13468  df-seq 13600  df-exp 13661  df-fac 13865  df-bc 13894  df-hash 13922  df-shft 14655  df-cj 14687  df-re 14688  df-im 14689  df-sqrt 14823  df-abs 14824  df-limsup 15057  df-clim 15074  df-rlim 15075  df-o1 15076  df-lo1 15077  df-sum 15275  df-ef 15654  df-sin 15656  df-cos 15657  df-pi 15659  df-dvds 15841  df-gcd 16079  df-phi 16344  df-struct 16725  df-sets 16742  df-slot 16760  df-ndx 16770  df-base 16786  df-ress 16810  df-plusg 16840  df-mulr 16841  df-starv 16842  df-sca 16843  df-vsca 16844  df-ip 16845  df-tset 16846  df-ple 16847  df-ds 16849  df-unif 16850  df-hom 16851  df-cco 16852  df-rest 16952  df-topn 16953  df-0g 16971  df-gsum 16972  df-topgen 16973  df-pt 16974  df-prds 16977  df-xrs 17032  df-qtop 17037  df-imas 17038  df-qus 17039  df-xps 17040  df-mre 17114  df-mrc 17115  df-acs 17117  df-mgm 18139  df-sgrp 18188  df-mnd 18199  df-mhm 18243  df-submnd 18244  df-grp 18393  df-minusg 18394  df-sbg 18395  df-mulg 18514  df-subg 18565  df-nsg 18566  df-eqg 18567  df-ghm 18645  df-cntz 18736  df-od 18945  df-cmn 19197  df-abl 19198  df-mgp 19530  df-ur 19542  df-ring 19589  df-cring 19590  df-oppr 19666  df-dvdsr 19684  df-unit 19685  df-invr 19715  df-dvr 19726  df-rnghom 19760  df-drng 19794  df-subrg 19823  df-lmod 19926  df-lss 19994  df-lsp 20034  df-sra 20234  df-rgmod 20235  df-lidl 20236  df-rsp 20237  df-2idl 20295  df-psmet 20380  df-xmet 20381  df-met 20382  df-bl 20383  df-mopn 20384  df-fbas 20385  df-fg 20386  df-cnfld 20389  df-zring 20461  df-zrh 20495  df-zn 20498  df-top 21815  df-topon 21832  df-topsp 21854  df-bases 21867  df-cld 21940  df-ntr 21941  df-cls 21942  df-nei 22019  df-lp 22057  df-perf 22058  df-cn 22148  df-cnp 22149  df-haus 22236  df-cmp 22308  df-tx 22483  df-hmeo 22676  df-fil 22767  df-fm 22859  df-flim 22860  df-flf 22861  df-xms 23242  df-ms 23243  df-tms 23244  df-cncf 23799  df-limc 24787  df-dv 24788  df-log 25469  df-cxp 25470  df-dchr 26138
This theorem is referenced by:  dchrisum0  26425
  Copyright terms: Public domain W3C validator