MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem3 26883
Description: Lemma for dchrisum0 26884. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
rpvmasum2.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
dchrisum0.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
dchrisum0.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦, 1   π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐢   𝐹,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑆,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘Š   π‘š,𝑍,π‘₯,𝑦   𝐷,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž,𝑑)   𝑆(π‘Ž)   1 (π‘Ž,𝑑)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝑁(π‘Ž,𝑑)   π‘Š(𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝑍(π‘Ž,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem3
Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 11163 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
2 sumex 15579 . . . 4 Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ V
32a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ V)
4 sumex 15579 . . . 4 Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ V
54a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ V)
6 rpvmasum.z . . . . 5 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
7 rpvmasum.l . . . . 5 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
8 rpvmasum.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9 rpvmasum2.g . . . . 5 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
10 rpvmasum2.d . . . . 5 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
11 rpvmasum2.1 . . . . 5 1 = (0gβ€˜πΊ)
12 rpvmasum2.w . . . . . . . 8 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
1312ssrab3 4045 . . . . . . 7 π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 })
14 difss 4096 . . . . . . 7 (𝐷 βˆ– { 1 }) βŠ† 𝐷
1513, 14sstri 3958 . . . . . 6 π‘Š βŠ† 𝐷
16 dchrisum0.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
1715, 16sselid 3947 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1813, 16sselid 3947 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }))
19 eldifsni 4755 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) β†’ 𝑋 β‰  1 )
2018, 19syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
21 eqid 2737 . . . . 5 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)) = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
226, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 20, 21dchrmusumlema 26857 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))
238adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2416adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
25 dchrisum0lem1.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
26 dchrisum0.c . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
2726adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
28 dchrisum0.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
2928adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
30 dchrisum0.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
32 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)))) = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))
3332divsqrsum 26347 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)))) ∈ dom β‡π‘Ÿ
3432divsqrsumf 26346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)))):ℝ+βŸΆβ„
35 ax-resscn 11115 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† β„‚
36 fss 6690 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)))):ℝ+βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)))):ℝ+βŸΆβ„‚)
3734, 35, 36mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)))):ℝ+βŸΆβ„‚
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)))):ℝ+βŸΆβ„‚)
39 rpsup 13778 . . . . . . . . . . 11 sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ sup(ℝ+, ℝ*, < ) = +∞)
4138, 40rlimdm 15440 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)))) ∈ dom β‡π‘Ÿ ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)))) β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)))))))
4233, 41mpbii 232 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)))) β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))))
4342adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)))) β‡π‘Ÿ ( β‡π‘Ÿ β€˜(𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))))
44 simprl 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
45 simprrl 780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑)
46 simprrr 781 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦))
476, 7, 23, 9, 10, 11, 12, 24, 25, 27, 29, 31, 32, 43, 21, 44, 45, 46dchrisum0lem2 26882 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
4847rexlimdvaa 3154 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1)))
4948exlimdv 1937 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)))β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1)))
5022, 49mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
516, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 25, 26, 28, 30dchrisum0lem1 26880 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
523, 5, 50, 51o1add2 15513 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) + Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)))) ∈ 𝑂(1))
53 ovexd 7397 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) + Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ V)
54 fzfid 13885 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) ∈ Fin)
55 fzfid 13885 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ Fin)
5617ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
57 elfzelz 13448 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) β†’ π‘š ∈ β„€)
5857adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
599, 6, 10, 7, 56, 58dchrzrhcl 26609 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
6059adantr 482 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
61 elfznn 13477 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) β†’ π‘š ∈ β„•)
6261adantl 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
6362nnrpd 12962 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
64 elfznn 13477 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
6564nnrpd 12962 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
66 rpmulcl 12945 . . . . . . . 8 ((π‘š ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (π‘š Β· 𝑑) ∈ ℝ+)
6763, 65, 66syl2an 597 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (π‘š Β· 𝑑) ∈ ℝ+)
6867rpsqrtcld 15303 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑)) ∈ ℝ+)
6968rpcnd 12966 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑)) ∈ β„‚)
7068rpne0d 12969 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑)) β‰  0)
7160, 69, 70divcld 11938 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑))) ∈ β„‚)
7255, 71fsumcl 15625 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑))) ∈ β„‚)
7354, 72fsumcl 15625 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑))) ∈ β„‚)
7473abscld 15328 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑)))) ∈ ℝ)
7574adantrr 716 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑)))) ∈ ℝ)
7662adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
7776nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
7877rprege0d 12971 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š))
7964adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
8079nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
8180rprege0d 12971 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑑))
82 sqrtmul 15151 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑑)) β†’ (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑)) = ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘‘)))
8378, 81, 82syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑)) = ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘‘)))
8483oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘‘))))
8577rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
8685rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0))
8780rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) ∈ ℝ+)
8887rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0))
89 divdiv1 11873 . . . . . . . . . 10 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0) ∧ ((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0)) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘‘))))
9060, 86, 88, 89syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘‘))))
9184, 90eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)))
9291sumeq2dv 15595 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)))
9392sumeq2dv 15595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)))
9493adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)))
95 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
9695rpred 12964 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
97 reflcl 13708 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
9896, 97syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
9998ltp1d 12092 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) < ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1))
100 fzdisj 13475 . . . . . . . 8 ((βŒŠβ€˜π‘₯) < ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) = βˆ…)
10199, 100syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) = βˆ…)
102101adantrr 716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) = βˆ…)
10395rprege0d 12971 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
104 flge0nn0 13732 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0)
105 nn0p1nn 12459 . . . . . . . . . 10 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•0 β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•)
106103, 104, 1053syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ β„•)
107 nnuz 12813 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
108106, 107eleqtrdi 2848 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
109108adantrr 716 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
11096adantrr 716 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
111 2z 12542 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
112 rpexpcl 13993 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
11395, 111, 112sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
114113adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
115114rpred 12964 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ)
116110recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
117116mulid1d 11179 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ Β· 1) = π‘₯)
118 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
119 1red 11163 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ∈ ℝ)
120 rpregt0 12936 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
121120ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
122 lemul2 12015 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ (1 ≀ π‘₯ ↔ (π‘₯ Β· 1) ≀ (π‘₯ Β· π‘₯)))
123119, 110, 121, 122syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1 ≀ π‘₯ ↔ (π‘₯ Β· 1) ≀ (π‘₯ Β· π‘₯)))
124118, 123mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ Β· 1) ≀ (π‘₯ Β· π‘₯))
125117, 124eqbrtrrd 5134 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ≀ (π‘₯ Β· π‘₯))
126116sqvald 14055 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯↑2) = (π‘₯ Β· π‘₯))
127125, 126breqtrrd 5138 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ≀ (π‘₯↑2))
128 flword2 13725 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ≀ (π‘₯↑2)) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
129110, 115, 127, 128syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
130 fzsplit2 13473 . . . . . . 7 ((((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) ∧ (βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)) ∈ (β„€β‰₯β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆͺ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))))
131109, 129, 130syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) = ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆͺ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))))
132 fzfid 13885 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2))) ∈ Fin)
13392, 72eqeltrrd 2839 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
134133adantlrr 720 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
135102, 131, 132, 134fsumsplit 15633 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) + Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))))
13694, 135eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) + Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))))
137136fveq2d 6851 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑)))) = (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) + Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)))))
13875, 137eqled 11265 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑)))) ≀ (absβ€˜(Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) + Ξ£π‘š ∈ (((βŒŠβ€˜π‘₯) + 1)...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)))))
1391, 52, 53, 73, 138o1le 15544 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯↑2)))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜(π‘š Β· 𝑑)))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  [,)cico 13273  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  βˆšcsqrt 15125  abscabs 15126   ⇝ cli 15373   β‡π‘Ÿ crli 15374  π‘‚(1)co1 15375  Ξ£csu 15577  Basecbs 17090  0gc0g 17328  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-phi 16645  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-od 19317  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrisum0  26884
  Copyright terms: Public domain W3C validator