MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicbnd4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonicbnd4 27054
Description: The asymptotic behavior of Σ𝑚𝐴, 1 / 𝑚 = log𝐴 + γ + 𝑂(1 / 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − ((log‘𝐴) + γ))) ≤ (1 / 𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑚

Proof of Theorem harmonicbnd4
StepHypRef Expression
1 fzfid 14014 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
2 elfznn 13593 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
32adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
43nnrecred 12317 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
51, 4fsumrecl 15770 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
65recnd 11289 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
7 relogcl 26617 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
87recnd 11289 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
9 emre 27049 . . . . . 6 γ ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → γ ∈ ℝ)
1110recnd 11289 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → γ ∈ ℂ)
126, 8, 11subsub4d 11651 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − γ) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − ((log‘𝐴) + γ)))
1312fveq2d 6910 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − γ)) = (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − ((log‘𝐴) + γ))))
14 rpreccl 13061 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
1514rpred 13077 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
16 resubcl 11573 . . . . 5 ((γ ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (γ − (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
179, 15, 16sylancr 587 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (γ − (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
18 rprege0 13050 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
19 flge0nn0 13860 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
21 nn0p1nn 12565 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℕ)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℕ)
2322nnrpd 13075 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
24 relogcl 26617 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+ → (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
265, 25resubcld 11691 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ ℝ)
275, 7resubcld 11691 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
2822nnrecred 12317 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
29 fzfid 14014 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1...((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ Fin)
30 elfznn 13593 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
3130adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3231nnrecred 12317 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
3329, 32fsumrecl 15770 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
3433, 25resubcld 11691 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ ℝ)
35 harmonicbnd 27047 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (γ[,]1))
3622, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (γ[,]1))
37 1re 11261 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
389, 37elicc2i 13453 . . . . . . . 8 ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∧ (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ≤ 1))
3938simp2bi 1147 . . . . . . 7 ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (γ[,]1) → γ ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
4036, 39syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → γ ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
41 rpre 13043 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
42 fllep1 13841 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
44 rpregt0 13049 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4522nnred 12281 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
4622nngt0d 12315 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < ((⌊‘𝐴) + 1))
47 lerec 12151 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘𝐴) + 1))) → (𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ (1 / 𝐴)))
4844, 45, 46, 47syl12anc 837 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ (1 / 𝐴)))
4943, 48mpbid 232 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ (1 / 𝐴))
5010, 28, 34, 15, 40, 49le2subd 11883 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (γ − (1 / 𝐴)) ≤ ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))))
5133recnd 11289 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
5225recnd 11289 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℂ)
5328recnd 11289 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℂ)
5451, 52, 53sub32d 11652 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) = ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
55 nnuz 12921 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
5622, 55eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ (ℤ‘1))
5732recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
58 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = ((⌊‘𝐴) + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / ((⌊‘𝐴) + 1)))
5956, 57, 58fsumm1 15787 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (1...(((⌊‘𝐴) + 1) − 1))(1 / 𝑚) + (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))))
6020nn0cnd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
61 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
62 pncan 11514 . . . . . . . . . . . . 13 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝐴) + 1) − 1) = (⌊‘𝐴))
6360, 61, 62sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) + 1) − 1) = (⌊‘𝐴))
6463oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1...(((⌊‘𝐴) + 1) − 1)) = (1...(⌊‘𝐴)))
6564sumeq1d 15736 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...(((⌊‘𝐴) + 1) − 1))(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚))
6665oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(((⌊‘𝐴) + 1) − 1))(1 / 𝑚) + (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) + (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))))
6759, 66eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) + (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))))
686, 53, 67mvrraddd 11675 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚))
6968oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
7054, 69eqtrd 2777 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
7150, 70breqtrd 5169 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (γ − (1 / 𝐴)) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
72 logleb 26645 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ (log‘𝐴) ≤ (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
7323, 72mpdan 687 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ (log‘𝐴) ≤ (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
7443, 73mpbid 232 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ≤ (log‘((⌊‘𝐴) + 1)))
757, 25, 5, 74lesub2dd 11880 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)))
7617, 26, 27, 71, 75letrd 11418 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (γ − (1 / 𝐴)) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)))
7727, 15resubcld 11691 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
7815recnd 11289 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
796, 8, 78subsub4d 11651 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − (1 / 𝐴)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − ((log‘𝐴) + (1 / 𝐴))))
807, 15readdcld 11290 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
81 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+)
8223, 81relogdivd 26668 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴)) = ((log‘((⌊‘𝐴) + 1)) − (log‘𝐴)))
83 rerpdivcl 13065 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ∈ ℝ)
8445, 83mpancom 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ∈ ℝ)
8537a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
8685, 15readdcld 11290 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
8715reefcld 16124 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
8861a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
89 rpcnne0 13053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
90 divdir 11947 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) = (((⌊‘𝐴) / 𝐴) + (1 / 𝐴)))
9160, 88, 89, 90syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) = (((⌊‘𝐴) / 𝐴) + (1 / 𝐴)))
92 reflcl 13836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
9341, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
94 rerpdivcl 13065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
9593, 94mpancom 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
96 flle 13839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
9741, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
98 rpcn 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
9998mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
10097, 99breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
101 ledivmul 12144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((⌊‘𝐴) / 𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ (𝐴 · 1)))
10293, 85, 44, 101syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) / 𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ (𝐴 · 1)))
103100, 102mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) / 𝐴) ≤ 1)
10495, 85, 15, 103leadd1dd 11877 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) / 𝐴) + (1 / 𝐴)) ≤ (1 + (1 / 𝐴)))
10591, 104eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ≤ (1 + (1 / 𝐴)))
106 efgt1p 16151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 𝐴) ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) < (exp‘(1 / 𝐴)))
10714, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) < (exp‘(1 / 𝐴)))
10886, 87, 107ltled 11409 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ≤ (exp‘(1 / 𝐴)))
10984, 86, 87, 105, 108letrd 11418 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ≤ (exp‘(1 / 𝐴)))
110 rpdivcl 13060 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ∈ ℝ+)
11123, 110mpancom 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ∈ ℝ+)
11215rpefcld 16141 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / 𝐴)) ∈ ℝ+)
113111, 112logled 26669 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ≤ (exp‘(1 / 𝐴)) ↔ (log‘(((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴)) ≤ (log‘(exp‘(1 / 𝐴)))))
114109, 113mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴)) ≤ (log‘(exp‘(1 / 𝐴))))
11515relogefd 26670 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘(1 / 𝐴))) = (1 / 𝐴))
116114, 115breqtrd 5169 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴)) ≤ (1 / 𝐴))
11782, 116eqbrtrrd 5167 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘((⌊‘𝐴) + 1)) − (log‘𝐴)) ≤ (1 / 𝐴))
11825, 7, 15lesubadd2d 11862 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((log‘((⌊‘𝐴) + 1)) − (log‘𝐴)) ≤ (1 / 𝐴) ↔ (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((log‘𝐴) + (1 / 𝐴))))
119117, 118mpbid 232 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((log‘𝐴) + (1 / 𝐴)))
12025, 80, 5, 119lesub2dd 11880 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − ((log‘𝐴) + (1 / 𝐴))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
12179, 120eqbrtrd 5165 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − (1 / 𝐴)) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
122 harmonicbnd3 27051 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (0[,]γ))
12320, 122syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (0[,]γ))
124 0re 11263 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
125124, 9elicc2i 13453 . . . . . . 7 ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (0[,]γ) ↔ ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∧ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ≤ γ))
126125simp3bi 1148 . . . . . 6 ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (0[,]γ) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ≤ γ)
127123, 126syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ≤ γ)
12877, 26, 10, 121, 127letrd 11418 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − (1 / 𝐴)) ≤ γ)
12927, 15, 10lesubaddd 11860 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − (1 / 𝐴)) ≤ γ ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) ≤ (γ + (1 / 𝐴))))
130128, 129mpbid 232 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) ≤ (γ + (1 / 𝐴)))
13127, 10, 15absdifled 15473 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((abs‘((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − γ)) ≤ (1 / 𝐴) ↔ ((γ − (1 / 𝐴)) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) ∧ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) ≤ (γ + (1 / 𝐴)))))
13276, 130, 131mpbir2and 713 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − γ)) ≤ (1 / 𝐴))
13313, 132eqbrtrrd 5167 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − ((log‘𝐴) + γ))) ≤ (1 / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cuz 12878  +crp 13034  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  cfl 13830  abscabs 15273  Σcsu 15722  expce 16097  logclog 26596  γcem 27035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420  df-log 26598  df-atan 26910  df-em 27036
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  27575  mulog2sumlem1  27578
  Copyright terms: Public domain W3C validator