MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicbnd4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonicbnd4 26751
Description: The asymptotic behavior of ฮฃ๐‘š โ‰ค ๐ด, 1 / ๐‘š = log๐ด + ฮณ + ๐‘‚(1 / ๐ด). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + ฮณ))) โ‰ค (1 / ๐ด))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘š

Proof of Theorem harmonicbnd4
StepHypRef Expression
1 fzfid 13942 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
2 elfznn 13534 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
32adantl 480 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
43nnrecred 12267 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1 / ๐‘š) โˆˆ โ„)
51, 4fsumrecl 15684 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆˆ โ„)
65recnd 11246 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
7 relogcl 26320 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
87recnd 11246 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 emre 26746 . . . . . 6 ฮณ โˆˆ โ„
109a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮณ โˆˆ โ„)
1110recnd 11246 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮณ โˆˆ โ„‚)
126, 8, 11subsub4d 11606 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฮณ) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + ฮณ)))
1312fveq2d 6894 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฮณ)) = (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + ฮณ))))
14 rpreccl 13004 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„+)
1514rpred 13020 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
16 resubcl 11528 . . . . 5 ((ฮณ โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
179, 15, 16sylancr 585 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
18 rprege0 12993 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
19 flge0nn0 13789 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
21 nn0p1nn 12515 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„•)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„•)
2322nnrpd 13018 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„+)
24 relogcl 26320 . . . . . 6 (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„)
265, 25resubcld 11646 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ โ„)
275, 7resubcld 11646 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
2822nnrecred 12267 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„)
29 fzfid 13942 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ Fin)
30 elfznn 13534 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
3130adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
3231nnrecred 12267 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (1 / ๐‘š) โˆˆ โ„)
3329, 32fsumrecl 15684 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆˆ โ„)
3433, 25resubcld 11646 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ โ„)
35 harmonicbnd 26744 . . . . . . . 8 (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
3622, 35syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
37 1re 11218 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
389, 37elicc2i 13394 . . . . . . . 8 ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†” ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆง (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค 1))
3938simp2bi 1144 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†’ ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
4036, 39syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
41 rpre 12986 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
42 fllep1 13770 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))
44 rpregt0 12992 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
4522nnred 12231 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„)
4622nngt0d 12265 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))
47 lerec 12101 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†” (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค (1 / ๐ด)))
4844, 45, 46, 47syl12anc 833 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†” (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค (1 / ๐ด)))
4943, 48mpbid 231 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค (1 / ๐ด))
5010, 28, 34, 15, 40, 49le2subd 11838 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
5133recnd 11246 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
5225recnd 11246 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„‚)
5328recnd 11246 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„‚)
5451, 52, 53sub32d 11607 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
55 nnuz 12869 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
5622, 55eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5732recnd 11246 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (1 / ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
58 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†’ (1 / ๐‘š) = (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)))
5956, 57, 58fsumm1 15701 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘š) + (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
6020nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
61 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
62 pncan 11470 . . . . . . . . . . . . 13 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐ด))
6360, 61, 62sylancl 584 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐ด))
6463oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1...(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1)) = (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
6564sumeq1d 15651 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘š) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š))
6665oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘š) + (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) + (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
6759, 66eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) + (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
686, 53, 67mvrraddd 11630 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š))
6968oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
7054, 69eqtrd 2770 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
7150, 70breqtrd 5173 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
72 logleb 26347 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†” (logโ€˜๐ด) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
7323, 72mpdan 683 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†” (logโ€˜๐ด) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
7443, 73mpbid 231 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)))
757, 25, 5, 74lesub2dd 11835 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
7617, 26, 27, 71, 75letrd 11375 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
7727, 15resubcld 11646 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
7815recnd 11246 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
796, 8, 78subsub4d 11606 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด))))
807, 15readdcld 11247 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
81 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
8223, 81relogdivd 26370 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด)) = ((logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
83 rerpdivcl 13008 . . . . . . . . . . . . 13 ((((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โˆˆ โ„)
8445, 83mpancom 684 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โˆˆ โ„)
8537a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8685, 15readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
8715reefcld 16035 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
8861a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
89 rpcnne0 12996 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0))
90 divdir 11901 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) = (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) + (1 / ๐ด)))
9160, 88, 89, 90syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) = (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) + (1 / ๐ด)))
92 reflcl 13765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
9341, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
94 rerpdivcl 13008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โˆˆ โ„)
9593, 94mpancom 684 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โˆˆ โ„)
96 flle 13768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค ๐ด)
9741, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค ๐ด)
98 rpcn 12988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9998mulridd 11235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
10097, 99breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค (๐ด ยท 1))
101 ledivmul 12094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โ‰ค 1 โ†” (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค (๐ด ยท 1)))
10293, 85, 44, 101syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โ‰ค 1 โ†” (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค (๐ด ยท 1)))
103100, 102mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โ‰ค 1)
10495, 85, 15, 103leadd1dd 11832 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) + (1 / ๐ด)) โ‰ค (1 + (1 / ๐ด)))
10591, 104eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โ‰ค (1 + (1 / ๐ด)))
106 efgt1p 16062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + (1 / ๐ด)) < (expโ€˜(1 / ๐ด)))
10714, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + (1 / ๐ด)) < (expโ€˜(1 / ๐ด)))
10886, 87, 107ltled 11366 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + (1 / ๐ด)) โ‰ค (expโ€˜(1 / ๐ด)))
10984, 86, 87, 105, 108letrd 11375 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โ‰ค (expโ€˜(1 / ๐ด)))
110 rpdivcl 13003 . . . . . . . . . . . . 13 ((((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โˆˆ โ„+)
11123, 110mpancom 684 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โˆˆ โ„+)
11215rpefcld 16052 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(1 / ๐ด)) โˆˆ โ„+)
113111, 112logled 26371 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โ‰ค (expโ€˜(1 / ๐ด)) โ†” (logโ€˜(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด)) โ‰ค (logโ€˜(expโ€˜(1 / ๐ด)))))
114109, 113mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด)) โ‰ค (logโ€˜(expโ€˜(1 / ๐ด))))
11515relogefd 26372 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(expโ€˜(1 / ๐ด))) = (1 / ๐ด))
116114, 115breqtrd 5173 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด)) โ‰ค (1 / ๐ด))
11782, 116eqbrtrrd 5171 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (1 / ๐ด))
11825, 7, 15lesubadd2d 11817 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (1 / ๐ด) โ†” (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด))))
119117, 118mpbid 231 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด)))
12025, 80, 5, 119lesub2dd 11835 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด))) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
12179, 120eqbrtrd 5169 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
122 harmonicbnd3 26748 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ))
12320, 122syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ))
124 0re 11220 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
125124, 9elicc2i 13394 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ) โ†” ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆง (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค ฮณ))
126125simp3bi 1145 . . . . . 6 ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ) โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค ฮณ)
127123, 126syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค ฮณ)
12877, 26, 10, 121, 127letrd 11375 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค ฮณ)
12927, 15, 10lesubaddd 11815 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค ฮณ โ†” (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฮณ + (1 / ๐ด))))
130128, 129mpbid 231 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฮณ + (1 / ๐ด)))
13127, 10, 15absdifled 15385 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((absโ€˜((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฮณ)) โ‰ค (1 / ๐ด) โ†” ((ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆง (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฮณ + (1 / ๐ด)))))
13276, 130, 131mpbir2and 709 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฮณ)) โ‰ค (1 / ๐ด))
13313, 132eqbrtrrd 5171 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + ฮณ))) โ‰ค (1 / ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12978  [,]cicc 13331  ...cfz 13488  โŒŠcfl 13759  abscabs 15185  ฮฃcsu 15636  expce 16009  logclog 26299  ฮณcem 26732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-e 16016  df-sin 16017  df-cos 16018  df-tan 16019  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-ulm 26125  df-log 26301  df-atan 26608  df-em 26733
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  27270  mulog2sumlem1  27273
  Copyright terms: Public domain W3C validator