MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicbnd4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonicbnd4 24957
Description: The asymptotic behavior of Σ𝑚𝐴, 1 / 𝑚 = log𝐴 + γ + 𝑂(1 / 𝐴). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − ((log‘𝐴) + γ))) ≤ (1 / 𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑚

Proof of Theorem harmonicbnd4
StepHypRef Expression
1 fzfid 12999 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝐴)) ∈ Fin)
2 elfznn 12596 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴)) → 𝑚 ∈ ℕ)
32adantl 469 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
43nnrecred 11355 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
51, 4fsumrecl 14691 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
65recnd 10356 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
7 relogcl 24542 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
87recnd 10356 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
9 emre 24952 . . . . . 6 γ ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → γ ∈ ℝ)
1110recnd 10356 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → γ ∈ ℂ)
126, 8, 11subsub4d 10711 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − γ) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − ((log‘𝐴) + γ)))
1312fveq2d 6415 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − γ)) = (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − ((log‘𝐴) + γ))))
14 rpreccl 12074 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
1514rpred 12089 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
16 resubcl 10633 . . . . 5 ((γ ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ) → (γ − (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
179, 15, 16sylancr 577 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (γ − (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
18 rprege0 12064 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
19 flge0nn0 12848 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℕ0)
21 nn0p1nn 11601 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℕ)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℕ)
2322nnrpd 12087 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+)
24 relogcl 24542 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+ → (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
265, 25resubcld 10746 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ ℝ)
275, 7resubcld 10746 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
2822nnrecred 11355 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
29 fzfid 12999 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1...((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ Fin)
30 elfznn 12596 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
3130adantl 469 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3231nnrecred 11355 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
3329, 32fsumrecl 14691 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
3433, 25resubcld 10746 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ ℝ)
35 harmonicbnd 24950 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (γ[,]1))
3622, 35syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (γ[,]1))
37 1re 10328 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
389, 37elicc2i 12460 . . . . . . . 8 ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (γ[,]1) ↔ ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ ℝ ∧ γ ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∧ (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ≤ 1))
3938simp2bi 1169 . . . . . . 7 ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (γ[,]1) → γ ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
4036, 39syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → γ ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
41 rpre 12056 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
42 fllep1 12829 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1))
44 rpregt0 12063 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4522nnred 11323 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
4622nngt0d 11353 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < ((⌊‘𝐴) + 1))
47 lerec 11194 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((⌊‘𝐴) + 1))) → (𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ (1 / 𝐴)))
4844, 45, 46, 47syl12anc 856 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ (1 / 𝐴)))
4943, 48mpbid 223 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ (1 / 𝐴))
5010, 28, 34, 15, 40, 49le2subd 10935 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (γ − (1 / 𝐴)) ≤ ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))))
5133recnd 10356 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
5225recnd 10356 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℂ)
5328recnd 10356 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℂ)
5451, 52, 53sub32d 10712 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) = ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
55 nnuz 11944 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
5622, 55syl6eleq 2902 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ (ℤ‘1))
5732recnd 10356 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
58 oveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = ((⌊‘𝐴) + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / ((⌊‘𝐴) + 1)))
5956, 57, 58fsumm1 14706 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (1...(((⌊‘𝐴) + 1) − 1))(1 / 𝑚) + (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))))
6020nn0cnd 11622 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
61 ax-1cn 10282 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
62 pncan 10575 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝐴) + 1) − 1) = (⌊‘𝐴))
6360, 61, 62sylancl 576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) + 1) − 1) = (⌊‘𝐴))
6463oveq2d 6893 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1...(((⌊‘𝐴) + 1) − 1)) = (1...(⌊‘𝐴)))
6564sumeq1d 14657 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...(((⌊‘𝐴) + 1) − 1))(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚))
6665oveq1d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(((⌊‘𝐴) + 1) − 1))(1 / 𝑚) + (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) + (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))))
6759, 66eqtrd 2847 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) + (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))))
6867oveq1d 6892 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) = ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) + (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))))
696, 53pncand 10681 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) + (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚))
7068, 69eqtrd 2847 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚))
7170oveq1d 6892 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
7254, 71eqtrd 2847 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...((⌊‘𝐴) + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) − (1 / ((⌊‘𝐴) + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
7350, 72breqtrd 4877 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (γ − (1 / 𝐴)) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
74 logleb 24569 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ (log‘𝐴) ≤ (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
7523, 74mpdan 670 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ≤ ((⌊‘𝐴) + 1) ↔ (log‘𝐴) ≤ (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
7643, 75mpbid 223 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ≤ (log‘((⌊‘𝐴) + 1)))
777, 25, 5, 76lesub2dd 10932 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)))
7817, 26, 27, 73, 77letrd 10482 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (γ − (1 / 𝐴)) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)))
7927, 15resubcld 10746 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
8015recnd 10356 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
816, 8, 80subsub4d 10711 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − (1 / 𝐴)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − ((log‘𝐴) + (1 / 𝐴))))
827, 15readdcld 10357 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
83 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+)
8423, 83relogdivd 24592 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴)) = ((log‘((⌊‘𝐴) + 1)) − (log‘𝐴)))
85 rerpdivcl 12078 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ∈ ℝ)
8645, 85mpancom 671 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ∈ ℝ)
8737a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
8887, 15readdcld 10357 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
8915reefcld 15041 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / 𝐴)) ∈ ℝ)
9061a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℂ)
91 rpcnne0 12067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
92 divdir 10998 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) = (((⌊‘𝐴) / 𝐴) + (1 / 𝐴)))
9360, 90, 91, 92syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) = (((⌊‘𝐴) / 𝐴) + (1 / 𝐴)))
94 reflcl 12824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
9541, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
96 rerpdivcl 12078 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((⌊‘𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
9795, 96mpancom 671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
98 flle 12827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
9941, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ≤ 𝐴)
100 rpcn 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
101100mulid1d 10345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
10299, 101breqtrrd 4879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘𝐴) ≤ (𝐴 · 1))
103 ledivmul 11187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (((⌊‘𝐴) / 𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ (𝐴 · 1)))
10495, 87, 44, 103syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) / 𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) ≤ (𝐴 · 1)))
105102, 104mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘𝐴) / 𝐴) ≤ 1)
10697, 87, 15, 105leadd1dd 10929 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) / 𝐴) + (1 / 𝐴)) ≤ (1 + (1 / 𝐴)))
10793, 106eqbrtrd 4873 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ≤ (1 + (1 / 𝐴)))
108 efgt1p 15068 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 𝐴) ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) < (exp‘(1 / 𝐴)))
10914, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) < (exp‘(1 / 𝐴)))
11088, 89, 109ltled 10473 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 + (1 / 𝐴)) ≤ (exp‘(1 / 𝐴)))
11186, 88, 89, 107, 110letrd 10482 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ≤ (exp‘(1 / 𝐴)))
112 rpdivcl 12073 . . . . . . . . . . . . 13 ((((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ∈ ℝ+)
11323, 112mpancom 671 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ∈ ℝ+)
11415rpefcld 15058 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(1 / 𝐴)) ∈ ℝ+)
115113, 114logled 24593 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴) ≤ (exp‘(1 / 𝐴)) ↔ (log‘(((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴)) ≤ (log‘(exp‘(1 / 𝐴)))))
116111, 115mpbid 223 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴)) ≤ (log‘(exp‘(1 / 𝐴))))
11715relogefd 24594 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(exp‘(1 / 𝐴))) = (1 / 𝐴))
118116, 117breqtrd 4877 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘(((⌊‘𝐴) + 1) / 𝐴)) ≤ (1 / 𝐴))
11984, 118eqbrtrrd 4875 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘((⌊‘𝐴) + 1)) − (log‘𝐴)) ≤ (1 / 𝐴))
12025, 7, 15lesubadd2d 10914 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((log‘((⌊‘𝐴) + 1)) − (log‘𝐴)) ≤ (1 / 𝐴) ↔ (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((log‘𝐴) + (1 / 𝐴))))
121119, 120mpbid 223 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((log‘𝐴) + (1 / 𝐴)))
12225, 82, 5, 121lesub2dd 10932 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − ((log‘𝐴) + (1 / 𝐴))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
12381, 122eqbrtrd 4873 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − (1 / 𝐴)) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))))
124 harmonicbnd3 24954 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ∈ ℕ0 → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (0[,]γ))
12520, 124syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (0[,]γ))
126 0re 10330 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
127126, 9elicc2i 12460 . . . . . . 7 ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (0[,]γ) ↔ ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∧ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ≤ γ))
128127simp3bi 1170 . . . . . 6 ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ∈ (0[,]γ) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ≤ γ)
129125, 128syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘((⌊‘𝐴) + 1))) ≤ γ)
13079, 26, 10, 123, 129letrd 10482 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − (1 / 𝐴)) ≤ γ)
13127, 15, 10lesubaddd 10912 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − (1 / 𝐴)) ≤ γ ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) ≤ (γ + (1 / 𝐴))))
132130, 131mpbid 223 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) ≤ (γ + (1 / 𝐴)))
13327, 10, 15absdifled 14399 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((abs‘((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − γ)) ≤ (1 / 𝐴) ↔ ((γ − (1 / 𝐴)) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) ∧ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) ≤ (γ + (1 / 𝐴)))))
13478, 132, 133mpbir2and 695 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘((Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − (log‘𝐴)) − γ)) ≤ (1 / 𝐴))
13513, 134eqbrtrrd 4875 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (abs‘(Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝐴))(1 / 𝑚) − ((log‘𝐴) + γ))) ≤ (1 / 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985   class class class wbr 4851  cfv 6104  (class class class)co 6877  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227   · cmul 10229   < clt 10362  cle 10363  cmin 10554   / cdiv 10972  cn 11308  0cn0 11562  cuz 11907  +crp 12049  [,]cicc 12399  ...cfz 12552  cfl 12818  abscabs 14200  Σcsu 14642  expce 15015  logclog 24521  γcem 24938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-iin 4722  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-of 7130  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-9 11374  df-n0 11563  df-z 11647  df-dec 11763  df-uz 11908  df-q 12011  df-rp 12050  df-xneg 12165  df-xadd 12166  df-xmul 12167  df-ioo 12400  df-ioc 12401  df-ico 12402  df-icc 12403  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-mod 12896  df-seq 13028  df-exp 13087  df-fac 13284  df-bc 13313  df-hash 13341  df-shft 14033  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-limsup 14428  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-ef 15021  df-e 15022  df-sin 15023  df-cos 15024  df-pi 15026  df-struct 16073  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-starv 16171  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-tset 16175  df-ple 16176  df-ds 16178  df-unif 16179  df-hom 16180  df-cco 16181  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17954  df-cmn 18399  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-fbas 19954  df-fg 19955  df-cnfld 19958  df-top 20916  df-topon 20933  df-topsp 20955  df-bases 20968  df-cld 21041  df-ntr 21042  df-cls 21043  df-nei 21120  df-lp 21158  df-perf 21159  df-cn 21249  df-cnp 21250  df-haus 21337  df-tx 21583  df-hmeo 21776  df-fil 21867  df-fm 21959  df-flim 21960  df-flf 21961  df-xms 22342  df-ms 22343  df-tms 22344  df-cncf 22898  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24523  df-em 24939
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  25440  mulog2sumlem1  25443
  Copyright terms: Public domain W3C validator