MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicbnd4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonicbnd4 26344
Description: The asymptotic behavior of ฮฃ๐‘š โ‰ค ๐ด, 1 / ๐‘š = log๐ด + ฮณ + ๐‘‚(1 / ๐ด). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + ฮณ))) โ‰ค (1 / ๐ด))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘š

Proof of Theorem harmonicbnd4
StepHypRef Expression
1 fzfid 13870 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
2 elfznn 13462 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
32adantl 482 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
43nnrecred 12200 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1 / ๐‘š) โˆˆ โ„)
51, 4fsumrecl 15611 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆˆ โ„)
65recnd 11179 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
7 relogcl 25915 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
87recnd 11179 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 emre 26339 . . . . . 6 ฮณ โˆˆ โ„
109a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮณ โˆˆ โ„)
1110recnd 11179 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮณ โˆˆ โ„‚)
126, 8, 11subsub4d 11539 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฮณ) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + ฮณ)))
1312fveq2d 6843 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฮณ)) = (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + ฮณ))))
14 rpreccl 12933 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„+)
1514rpred 12949 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
16 resubcl 11461 . . . . 5 ((ฮณ โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
179, 15, 16sylancr 587 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
18 rprege0 12922 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
19 flge0nn0 13717 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
21 nn0p1nn 12448 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„•)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„•)
2322nnrpd 12947 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„+)
24 relogcl 25915 . . . . . 6 (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„)
265, 25resubcld 11579 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ โ„)
275, 7resubcld 11579 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
2822nnrecred 12200 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„)
29 fzfid 13870 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ Fin)
30 elfznn 13462 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
3231nnrecred 12200 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (1 / ๐‘š) โˆˆ โ„)
3329, 32fsumrecl 15611 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆˆ โ„)
3433, 25resubcld 11579 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ โ„)
35 harmonicbnd 26337 . . . . . . . 8 (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
3622, 35syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
37 1re 11151 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
389, 37elicc2i 13322 . . . . . . . 8 ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†” ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆง (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค 1))
3938simp2bi 1146 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†’ ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
4036, 39syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
41 rpre 12915 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
42 fllep1 13698 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))
44 rpregt0 12921 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
4522nnred 12164 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„)
4622nngt0d 12198 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))
47 lerec 12034 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†” (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค (1 / ๐ด)))
4844, 45, 46, 47syl12anc 835 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†” (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค (1 / ๐ด)))
4943, 48mpbid 231 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค (1 / ๐ด))
5010, 28, 34, 15, 40, 49le2subd 11771 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
5133recnd 11179 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
5225recnd 11179 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„‚)
5328recnd 11179 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„‚)
5451, 52, 53sub32d 11540 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
55 nnuz 12798 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
5622, 55eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5732recnd 11179 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (1 / ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
58 oveq2 7361 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†’ (1 / ๐‘š) = (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)))
5956, 57, 58fsumm1 15628 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘š) + (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
6020nn0cnd 12471 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
61 ax-1cn 11105 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
62 pncan 11403 . . . . . . . . . . . . 13 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐ด))
6360, 61, 62sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐ด))
6463oveq2d 7369 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1...(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1)) = (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
6564sumeq1d 15578 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘š) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š))
6665oveq1d 7368 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘š) + (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) + (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
6759, 66eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) + (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
686, 53, 67mvrraddd 11563 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š))
6968oveq1d 7368 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
7054, 69eqtrd 2776 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
7150, 70breqtrd 5129 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
72 logleb 25942 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†” (logโ€˜๐ด) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
7323, 72mpdan 685 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†” (logโ€˜๐ด) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
7443, 73mpbid 231 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)))
757, 25, 5, 74lesub2dd 11768 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
7617, 26, 27, 71, 75letrd 11308 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
7727, 15resubcld 11579 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
7815recnd 11179 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
796, 8, 78subsub4d 11539 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด))))
807, 15readdcld 11180 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
81 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
8223, 81relogdivd 25965 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด)) = ((logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
83 rerpdivcl 12937 . . . . . . . . . . . . 13 ((((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โˆˆ โ„)
8445, 83mpancom 686 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โˆˆ โ„)
8537a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8685, 15readdcld 11180 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
8715reefcld 15962 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
8861a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
89 rpcnne0 12925 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0))
90 divdir 11834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) = (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) + (1 / ๐ด)))
9160, 88, 89, 90syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) = (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) + (1 / ๐ด)))
92 reflcl 13693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
9341, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
94 rerpdivcl 12937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โˆˆ โ„)
9593, 94mpancom 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โˆˆ โ„)
96 flle 13696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค ๐ด)
9741, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค ๐ด)
98 rpcn 12917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9998mulid1d 11168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
10097, 99breqtrrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค (๐ด ยท 1))
101 ledivmul 12027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โ‰ค 1 โ†” (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค (๐ด ยท 1)))
10293, 85, 44, 101syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โ‰ค 1 โ†” (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค (๐ด ยท 1)))
103100, 102mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โ‰ค 1)
10495, 85, 15, 103leadd1dd 11765 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) + (1 / ๐ด)) โ‰ค (1 + (1 / ๐ด)))
10591, 104eqbrtrd 5125 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โ‰ค (1 + (1 / ๐ด)))
106 efgt1p 15989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + (1 / ๐ด)) < (expโ€˜(1 / ๐ด)))
10714, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + (1 / ๐ด)) < (expโ€˜(1 / ๐ด)))
10886, 87, 107ltled 11299 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + (1 / ๐ด)) โ‰ค (expโ€˜(1 / ๐ด)))
10984, 86, 87, 105, 108letrd 11308 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โ‰ค (expโ€˜(1 / ๐ด)))
110 rpdivcl 12932 . . . . . . . . . . . . 13 ((((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โˆˆ โ„+)
11123, 110mpancom 686 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โˆˆ โ„+)
11215rpefcld 15979 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(1 / ๐ด)) โˆˆ โ„+)
113111, 112logled 25966 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โ‰ค (expโ€˜(1 / ๐ด)) โ†” (logโ€˜(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด)) โ‰ค (logโ€˜(expโ€˜(1 / ๐ด)))))
114109, 113mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด)) โ‰ค (logโ€˜(expโ€˜(1 / ๐ด))))
11515relogefd 25967 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(expโ€˜(1 / ๐ด))) = (1 / ๐ด))
116114, 115breqtrd 5129 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด)) โ‰ค (1 / ๐ด))
11782, 116eqbrtrrd 5127 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (1 / ๐ด))
11825, 7, 15lesubadd2d 11750 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (1 / ๐ด) โ†” (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด))))
119117, 118mpbid 231 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด)))
12025, 80, 5, 119lesub2dd 11768 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด))) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
12179, 120eqbrtrd 5125 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
122 harmonicbnd3 26341 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ))
12320, 122syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ))
124 0re 11153 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
125124, 9elicc2i 13322 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ) โ†” ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆง (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค ฮณ))
126125simp3bi 1147 . . . . . 6 ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ) โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค ฮณ)
127123, 126syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค ฮณ)
12877, 26, 10, 121, 127letrd 11308 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค ฮณ)
12927, 15, 10lesubaddd 11748 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค ฮณ โ†” (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฮณ + (1 / ๐ด))))
130128, 129mpbid 231 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฮณ + (1 / ๐ด)))
13127, 10, 15absdifled 15311 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((absโ€˜((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฮณ)) โ‰ค (1 / ๐ด) โ†” ((ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆง (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฮณ + (1 / ๐ด)))))
13276, 130, 131mpbir2and 711 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฮณ)) โ‰ค (1 / ๐ด))
13313, 132eqbrtrrd 5127 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + ฮณ))) โ‰ค (1 / ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5103  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  โ„‚cc 11045  โ„cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050   ยท cmul 11052   < clt 11185   โ‰ค cle 11186   โˆ’ cmin 11381   / cdiv 11808  โ„•cn 12149  โ„•0cn0 12409  โ„คโ‰ฅcuz 12759  โ„+crp 12907  [,]cicc 13259  ...cfz 13416  โŒŠcfl 13687  abscabs 15111  ฮฃcsu 15562  expce 15936  logclog 25894  ฮณcem 26325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-oadd 8412  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-xnn0 12482  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ioc 13261  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-mod 13767  df-seq 13899  df-exp 13960  df-fac 14166  df-bc 14195  df-hash 14223  df-shft 14944  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-limsup 15345  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-ef 15942  df-e 15943  df-sin 15944  df-cos 15945  df-tan 15946  df-pi 15947  df-dvds 16129  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-lp 22471  df-perf 22472  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-haus 22650  df-cmp 22722  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cncf 24225  df-limc 25214  df-dv 25215  df-ulm 25720  df-log 25896  df-atan 26201  df-em 26326
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  26863  mulog2sumlem1  26866
  Copyright terms: Public domain W3C validator