MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  harmonicbnd4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem harmonicbnd4 26748
Description: The asymptotic behavior of ฮฃ๐‘š โ‰ค ๐ด, 1 / ๐‘š = log๐ด + ฮณ + ๐‘‚(1 / ๐ด). (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
harmonicbnd4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + ฮณ))) โ‰ค (1 / ๐ด))
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘š

Proof of Theorem harmonicbnd4
StepHypRef Expression
1 fzfid 13943 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โˆˆ Fin)
2 elfznn 13535 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
32adantl 481 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
43nnrecred 12268 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))) โ†’ (1 / ๐‘š) โˆˆ โ„)
51, 4fsumrecl 15685 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆˆ โ„)
65recnd 11247 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
7 relogcl 26317 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
87recnd 11247 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
9 emre 26743 . . . . . 6 ฮณ โˆˆ โ„
109a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮณ โˆˆ โ„)
1110recnd 11247 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮณ โˆˆ โ„‚)
126, 8, 11subsub4d 11607 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฮณ) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + ฮณ)))
1312fveq2d 6896 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฮณ)) = (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + ฮณ))))
14 rpreccl 13005 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„+)
1514rpred 13021 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
16 resubcl 11529 . . . . 5 ((ฮณ โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
179, 15, 16sylancr 586 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
18 rprege0 12994 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
19 flge0nn0 13790 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
21 nn0p1nn 12516 . . . . . . . 8 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„•)
2220, 21syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„•)
2322nnrpd 13019 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„+)
24 relogcl 26317 . . . . . 6 (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„)
2523, 24syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„)
265, 25resubcld 11647 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ โ„)
275, 7resubcld 11647 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
2822nnrecred 12268 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„)
29 fzfid 13943 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ Fin)
30 elfznn 13535 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
3130adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
3231nnrecred 12268 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (1 / ๐‘š) โˆˆ โ„)
3329, 32fsumrecl 15685 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆˆ โ„)
3433, 25resubcld 11647 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ โ„)
35 harmonicbnd 26741 . . . . . . . 8 (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„• โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
3622, 35syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1))
37 1re 11219 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„
389, 37elicc2i 13395 . . . . . . . 8 ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†” ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆง (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค 1))
3938simp2bi 1145 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (ฮณ[,]1) โ†’ ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
4036, 39syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮณ โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
41 rpre 12987 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
42 fllep1 13771 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))
4341, 42syl 17 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))
44 rpregt0 12993 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
4522nnred 12232 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„)
4622nngt0d 12266 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 0 < ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))
47 lerec 12102 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†” (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค (1 / ๐ด)))
4844, 45, 46, 47syl12anc 834 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†” (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค (1 / ๐ด)))
4943, 48mpbid 231 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค (1 / ๐ด))
5010, 28, 34, 15, 40, 49le2subd 11839 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
5133recnd 11247 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
5225recnd 11247 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„‚)
5328recnd 11247 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆˆ โ„‚)
5451, 52, 53sub32d 11608 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
55 nnuz 12870 . . . . . . . . . . 11 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
5622, 55eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5732recnd 11247 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ†’ (1 / ๐‘š) โˆˆ โ„‚)
58 oveq2 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†’ (1 / ๐‘š) = (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)))
5956, 57, 58fsumm1 15702 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘š) + (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
6020nn0cnd 12539 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
61 ax-1cn 11171 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
62 pncan 11471 . . . . . . . . . . . . 13 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐ด))
6360, 61, 62sylancl 585 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1) = (โŒŠโ€˜๐ด))
6463oveq2d 7428 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1...(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1)) = (1...(โŒŠโ€˜๐ด)))
6564sumeq1d 15652 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘š) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š))
6665oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆ’ 1))(1 / ๐‘š) + (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) + (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
6759, 66eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) + (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
686, 53, 67mvrraddd 11631 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š))
6968oveq1d 7427 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
7054, 69eqtrd 2771 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆ’ (1 / ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
7150, 70breqtrd 5175 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
72 logleb 26344 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†” (logโ€˜๐ด) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
7323, 72mpdan 684 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โ‰ค ((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โ†” (logโ€˜๐ด) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
7443, 73mpbid 231 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โ‰ค (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)))
757, 25, 5, 74lesub2dd 11836 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
7617, 26, 27, 71, 75letrd 11376 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
7727, 15resubcld 11647 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
7815recnd 11247 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„‚)
796, 8, 78subsub4d 11607 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) = (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด))))
807, 15readdcld 11248 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
81 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
8223, 81relogdivd 26367 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด)) = ((logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)))
83 rerpdivcl 13009 . . . . . . . . . . . . 13 ((((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โˆˆ โ„)
8445, 83mpancom 685 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โˆˆ โ„)
8537a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
8685, 15readdcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + (1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
8715reefcld 16036 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(1 / ๐ด)) โˆˆ โ„)
8861a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
89 rpcnne0 12997 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0))
90 divdir 11902 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) = (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) + (1 / ๐ด)))
9160, 88, 89, 90syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) = (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) + (1 / ๐ด)))
92 reflcl 13766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
9341, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
94 rerpdivcl 13009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โˆˆ โ„)
9593, 94mpancom 685 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โˆˆ โ„)
96 flle 13769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค ๐ด)
9741, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค ๐ด)
98 rpcn 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9998mulridd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด ยท 1) = ๐ด)
10097, 99breqtrrd 5177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค (๐ด ยท 1))
101 ledivmul 12095 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โ‰ค 1 โ†” (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค (๐ด ยท 1)))
10293, 85, 44, 101syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โ‰ค 1 โ†” (โŒŠโ€˜๐ด) โ‰ค (๐ด ยท 1)))
103100, 102mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) โ‰ค 1)
10495, 85, 15, 103leadd1dd 11833 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) / ๐ด) + (1 / ๐ด)) โ‰ค (1 + (1 / ๐ด)))
10591, 104eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โ‰ค (1 + (1 / ๐ด)))
106 efgt1p 16063 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / ๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + (1 / ๐ด)) < (expโ€˜(1 / ๐ด)))
10714, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + (1 / ๐ด)) < (expโ€˜(1 / ๐ด)))
10886, 87, 107ltled 11367 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (1 + (1 / ๐ด)) โ‰ค (expโ€˜(1 / ๐ด)))
10984, 86, 87, 105, 108letrd 11376 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โ‰ค (expโ€˜(1 / ๐ด)))
110 rpdivcl 13004 . . . . . . . . . . . . 13 ((((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ โ„+) โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โˆˆ โ„+)
11123, 110mpancom 685 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โˆˆ โ„+)
11215rpefcld 16053 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(1 / ๐ด)) โˆˆ โ„+)
113111, 112logled 26368 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด) โ‰ค (expโ€˜(1 / ๐ด)) โ†” (logโ€˜(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด)) โ‰ค (logโ€˜(expโ€˜(1 / ๐ด)))))
114109, 113mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด)) โ‰ค (logโ€˜(expโ€˜(1 / ๐ด))))
11515relogefd 26369 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(expโ€˜(1 / ๐ด))) = (1 / ๐ด))
116114, 115breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(((โŒŠโ€˜๐ด) + 1) / ๐ด)) โ‰ค (1 / ๐ด))
11782, 116eqbrtrrd 5173 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (1 / ๐ด))
11825, 7, 15lesubadd2d 11818 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (1 / ๐ด) โ†” (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด))))
119117, 118mpbid 231 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1)) โ‰ค ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด)))
12025, 80, 5, 119lesub2dd 11836 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + (1 / ๐ด))) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
12179, 120eqbrtrd 5171 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))))
122 harmonicbnd3 26745 . . . . . . 7 ((โŒŠโ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ))
12320, 122syl 17 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ))
124 0re 11221 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
125124, 9elicc2i 13395 . . . . . . 7 ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ) โ†” ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆง (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค ฮณ))
126125simp3bi 1146 . . . . . 6 ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โˆˆ (0[,]ฮณ) โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค ฮณ)
127123, 126syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜((โŒŠโ€˜๐ด) + 1))) โ‰ค ฮณ)
12877, 26, 10, 121, 127letrd 11376 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค ฮณ)
12927, 15, 10lesubaddd 11816 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค ฮณ โ†” (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฮณ + (1 / ๐ด))))
130128, 129mpbid 231 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฮณ + (1 / ๐ด)))
13127, 10, 15absdifled 15386 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((absโ€˜((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฮณ)) โ‰ค (1 / ๐ด) โ†” ((ฮณ โˆ’ (1 / ๐ด)) โ‰ค (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆง (ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โ‰ค (ฮณ + (1 / ๐ด)))))
13276, 130, 131mpbir2and 710 . 2 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜((ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ (logโ€˜๐ด)) โˆ’ ฮณ)) โ‰ค (1 / ๐ด))
13313, 132eqbrtrrd 5173 1 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘š โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐ด))(1 / ๐‘š) โˆ’ ((logโ€˜๐ด) + ฮณ))) โ‰ค (1 / ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„คโ‰ฅcuz 12827  โ„+crp 12979  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  โŒŠcfl 13760  abscabs 15186  ฮฃcsu 15637  expce 16010  logclog 26296  ฮณcem 26729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-tan 16020  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-ulm 26122  df-log 26298  df-atan 26605  df-em 26730
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  27267  mulog2sumlem1  27270
  Copyright terms: Public domain W3C validator