Theorem rpge0 13056

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13051	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 13055	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11234	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11322	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11123  0cc0 11124   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℝ⁺crp 13042

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-addrcl 11185  ax-rnegex 11195  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-rp 13043

This theorem is used by:  rprege0  13058  rpge0d  13090  xralrple  13257  xlemul1  13342  infmrp1  13397  01sqrexlem1  15329  rpsqrtcl  15351  divrcnv  15941  ef01bndlem  16272  stdbdmet  24742  reconnlem2  25054  cphsqrtcl3  25415  iscmet3lem3  25518  minveclem3  25657  itg2const2  25969  itg2mulclem  25974  aalioulem2  26569  pige3ALT  26757  argregt0  26847  argrege0  26848  2irrexpq  26968  cxpcn3  26985  cxplim  27208  cxp2lim  27213  divsqrtsumlem  27216  logdiflbnd  27231  basellem4  27320  ppiltx  27413  bposlem8  27527  bposlem9  27528  chebbnd1  27708  mulog2sumlem2  27771  selbergb  27785  selberg2b  27788  nmcexi  32507  nmcopexi  32508  nmcfnexi  32532  sqsscirc1  34418  divsqrtid  35102  logdivsqrle  35158  hgt750lem2  35160  subfacval3  35768  ptrecube  38369  heicant  38404  itg2addnclem  38420  itg2gt0cn  38424  areacirclem1  38457  areacirclem4  38460  areacirc  38462  cntotbnd  38546  rpabsid  43196  xralrple4  46202  xralrple3  46203  fourierdlem103  47037  blenre  49504  itscnhlinecirc02plem3  49714  itscnhlinecirc02p  49715