Theorem rpge0 13049

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13044	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 13048	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11264	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11350	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ℝcr 11155  0cc0 11156   < clt 11296   ≤ cle 11297  ℝ⁺crp 13035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-addrcl 11217  ax-rnegex 11227  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-rp 13036

This theorem is referenced by:  rprege0  13051  rpge0d  13082  xralrple  13248  xlemul1  13333  infmrp1  13387  01sqrexlem1  15282  rpsqrtcl  15304  divrcnv  15889  ef01bndlem  16221  stdbdmet  24530  reconnlem2  24850  cphsqrtcl3  25222  iscmet3lem3  25325  minveclem3  25464  itg2const2  25777  itg2mulclem  25782  aalioulem2  26376  pige3ALT  26563  argregt0  26653  argrege0  26654  2irrexpq  26774  cxpcn3  26792  cxplim  27016  cxp2lim  27021  divsqrtsumlem  27024  logdiflbnd  27039  basellem4  27128  ppiltx  27221  bposlem8  27336  bposlem9  27337  chebbnd1  27517  mulog2sumlem2  27580  selbergb  27594  selberg2b  27597  nmcexi  32046  nmcopexi  32047  nmcfnexi  32071  sqsscirc1  33908  divsqrtid  34610  logdivsqrle  34666  hgt750lem2  34668  subfacval3  35195  ptrecube  37628  heicant  37663  itg2addnclem  37679  itg2gt0cn  37683  areacirclem1  37716  areacirclem4  37719  areacirc  37721  cntotbnd  37804  rpabsid  42361  xralrple4  45389  xralrple3  45390  fourierdlem103  46229  blenre  48500  itscnhlinecirc02plem3  48710  itscnhlinecirc02p  48711