Theorem rpge0 13027

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13022	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 13026	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11242	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11328	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ℝcr 11133  0cc0 11134   < clt 11274   ≤ cle 11275  ℝ⁺crp 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-addrcl 11195  ax-rnegex 11205  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-rp 13014

This theorem is referenced by:  rprege0  13029  rpge0d  13060  xralrple  13226  xlemul1  13311  infmrp1  13366  01sqrexlem1  15266  rpsqrtcl  15288  divrcnv  15873  ef01bndlem  16207  stdbdmet  24460  reconnlem2  24772  cphsqrtcl3  25144  iscmet3lem3  25247  minveclem3  25386  itg2const2  25699  itg2mulclem  25704  aalioulem2  26298  pige3ALT  26486  argregt0  26576  argrege0  26577  2irrexpq  26697  cxpcn3  26715  cxplim  26939  cxp2lim  26944  divsqrtsumlem  26947  logdiflbnd  26962  basellem4  27051  ppiltx  27144  bposlem8  27259  bposlem9  27260  chebbnd1  27440  mulog2sumlem2  27503  selbergb  27517  selberg2b  27520  nmcexi  32012  nmcopexi  32013  nmcfnexi  32037  sqsscirc1  33944  divsqrtid  34631  logdivsqrle  34687  hgt750lem2  34689  subfacval3  35216  ptrecube  37649  heicant  37684  itg2addnclem  37700  itg2gt0cn  37704  areacirclem1  37737  areacirclem4  37740  areacirc  37742  cntotbnd  37825  rpabsid  42337  xralrple4  45367  xralrple3  45368  fourierdlem103  46205  blenre  48521  itscnhlinecirc02plem3  48731  itscnhlinecirc02p  48732