Theorem rpge0 12910

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12905	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11125	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11212	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ℝcr 11016  0cc0 11017   < clt 11157   ≤ cle 11158  ℝ⁺crp 12896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-addrcl 11078  ax-rnegex 11088  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-rp 12897

This theorem is referenced by:  rprege0  12912  rpge0d  12944  xralrple  13111  xlemul1  13196  infmrp1  13251  01sqrexlem1  15156  rpsqrtcl  15178  divrcnv  15766  ef01bndlem  16100  stdbdmet  24451  reconnlem2  24763  cphsqrtcl3  25134  iscmet3lem3  25237  minveclem3  25376  itg2const2  25689  itg2mulclem  25694  aalioulem2  26288  pige3ALT  26476  argregt0  26566  argrege0  26567  2irrexpq  26687  cxpcn3  26705  cxplim  26929  cxp2lim  26934  divsqrtsumlem  26937  logdiflbnd  26952  basellem4  27041  ppiltx  27134  bposlem8  27249  bposlem9  27250  chebbnd1  27430  mulog2sumlem2  27493  selbergb  27507  selberg2b  27510  nmcexi  32027  nmcopexi  32028  nmcfnexi  32052  sqsscirc1  33993  divsqrtid  34679  logdivsqrle  34735  hgt750lem2  34737  subfacval3  35305  ptrecube  37733  heicant  37768  itg2addnclem  37784  itg2gt0cn  37788  areacirclem1  37821  areacirclem4  37824  areacirc  37826  cntotbnd  37909  rpabsid  42491  xralrple4  45533  xralrple3  45534  fourierdlem103  46369  blenre  48736  itscnhlinecirc02plem3  48946  itscnhlinecirc02p  48947