Theorem rpge0 13025

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13020	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 13024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11205	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11293	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ℝcr 11094  0cc0 11095   < clt 11238   ≤ cle 11239  ℝ⁺crp 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-addrcl 11156  ax-rnegex 11166  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-rp 13012

This theorem is referenced by:  rprege0  13027  rpge0d  13059  xralrple  13226  xlemul1  13311  infmrp1  13366  01sqrexlem1  15289  rpsqrtcl  15311  divrcnv  15902  ef01bndlem  16235  stdbdmet  24673  reconnlem2  24985  cphsqrtcl3  25346  iscmet3lem3  25449  minveclem3  25588  itg2const2  25900  itg2mulclem  25905  aalioulem2  26496  pige3ALT  26685  argregt0  26775  argrege0  26776  2irrexpq  26896  cxpcn3  26913  cxplim  27136  cxp2lim  27141  divsqrtsumlem  27144  logdiflbnd  27159  basellem4  27248  ppiltx  27341  bposlem8  27455  bposlem9  27456  chebbnd1  27636  mulog2sumlem2  27699  selbergb  27713  selberg2b  27716  nmcexi  32378  nmcopexi  32379  nmcfnexi  32403  sqsscirc1  34298  divsqrtid  34981  logdivsqrle  35037  hgt750lem2  35039  subfacval3  35681  ptrecube  38271  heicant  38306  itg2addnclem  38322  itg2gt0cn  38326  areacirclem1  38359  areacirclem4  38362  areacirc  38364  cntotbnd  38447  rpabsid  43082  xralrple4  46088  xralrple3  46089  fourierdlem103  46923  blenre  49354  itscnhlinecirc02plem3  49564  itscnhlinecirc02p  49565