Theorem rpge0 12931

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12926	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12930	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11146	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11233	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178   ≤ cle 11179  ℝ⁺crp 12917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-rp 12918

This theorem is referenced by:  rprege0  12933  rpge0d  12965  xralrple  13132  xlemul1  13217  infmrp1  13272  01sqrexlem1  15177  rpsqrtcl  15199  divrcnv  15787  ef01bndlem  16121  stdbdmet  24472  reconnlem2  24784  cphsqrtcl3  25155  iscmet3lem3  25258  minveclem3  25397  itg2const2  25710  itg2mulclem  25715  aalioulem2  26309  pige3ALT  26497  argregt0  26587  argrege0  26588  2irrexpq  26708  cxpcn3  26726  cxplim  26950  cxp2lim  26955  divsqrtsumlem  26958  logdiflbnd  26973  basellem4  27062  ppiltx  27155  bposlem8  27270  bposlem9  27271  chebbnd1  27451  mulog2sumlem2  27514  selbergb  27528  selberg2b  27531  nmcexi  32114  nmcopexi  32115  nmcfnexi  32139  sqsscirc1  34086  divsqrtid  34772  logdivsqrle  34828  hgt750lem2  34830  subfacval3  35405  ptrecube  37871  heicant  37906  itg2addnclem  37922  itg2gt0cn  37926  areacirclem1  37959  areacirclem4  37962  areacirc  37964  cntotbnd  38047  rpabsid  42691  xralrple4  45731  xralrple3  45732  fourierdlem103  46567  blenre  48934  itscnhlinecirc02plem3  49144  itscnhlinecirc02p  49145