Theorem rpge0 12919

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12914	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12918	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11134	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11221	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11025  0cc0 11026   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  rprege0  12921  rpge0d  12953  xralrple  13120  xlemul1  13205  infmrp1  13260  01sqrexlem1  15165  rpsqrtcl  15187  divrcnv  15775  ef01bndlem  16109  stdbdmet  24460  reconnlem2  24772  cphsqrtcl3  25143  iscmet3lem3  25246  minveclem3  25385  itg2const2  25698  itg2mulclem  25703  aalioulem2  26297  pige3ALT  26485  argregt0  26575  argrege0  26576  2irrexpq  26696  cxpcn3  26714  cxplim  26938  cxp2lim  26943  divsqrtsumlem  26946  logdiflbnd  26961  basellem4  27050  ppiltx  27143  bposlem8  27258  bposlem9  27259  chebbnd1  27439  mulog2sumlem2  27502  selbergb  27516  selberg2b  27519  nmcexi  32101  nmcopexi  32102  nmcfnexi  32126  sqsscirc1  34065  divsqrtid  34751  logdivsqrle  34807  hgt750lem2  34809  subfacval3  35383  ptrecube  37821  heicant  37856  itg2addnclem  37872  itg2gt0cn  37876  areacirclem1  37909  areacirclem4  37912  areacirc  37914  cntotbnd  37997  rpabsid  42576  xralrple4  45617  xralrple3  45618  fourierdlem103  46453  blenre  48820  itscnhlinecirc02plem3  49030  itscnhlinecirc02p  49031