Theorem rpge0 12899

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12894	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12898	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11109	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11196	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ℝcr 11000  0cc0 11001   < clt 11141   ≤ cle 11142  ℝ⁺crp 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-addrcl 11062  ax-rnegex 11072  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-rp 12886

This theorem is referenced by:  rprege0  12901  rpge0d  12933  xralrple  13099  xlemul1  13184  infmrp1  13239  01sqrexlem1  15144  rpsqrtcl  15166  divrcnv  15754  ef01bndlem  16088  stdbdmet  24426  reconnlem2  24738  cphsqrtcl3  25109  iscmet3lem3  25212  minveclem3  25351  itg2const2  25664  itg2mulclem  25669  aalioulem2  26263  pige3ALT  26451  argregt0  26541  argrege0  26542  2irrexpq  26662  cxpcn3  26680  cxplim  26904  cxp2lim  26909  divsqrtsumlem  26912  logdiflbnd  26927  basellem4  27016  ppiltx  27109  bposlem8  27224  bposlem9  27225  chebbnd1  27405  mulog2sumlem2  27468  selbergb  27482  selberg2b  27485  nmcexi  31998  nmcopexi  31999  nmcfnexi  32023  sqsscirc1  33913  divsqrtid  34599  logdivsqrle  34655  hgt750lem2  34657  subfacval3  35225  ptrecube  37660  heicant  37695  itg2addnclem  37711  itg2gt0cn  37715  areacirclem1  37748  areacirclem4  37751  areacirc  37753  cntotbnd  37836  rpabsid  42354  xralrple4  45411  xralrple3  45412  fourierdlem103  46247  blenre  48606  itscnhlinecirc02plem3  48816  itscnhlinecirc02p  48817