Theorem rpge0 13070

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13065	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 13069	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11292	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11378	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  rprege0  13072  rpge0d  13103  xralrple  13267  xlemul1  13352  infmrp1  13406  01sqrexlem1  15291  rpsqrtcl  15313  divrcnv  15900  ef01bndlem  16232  stdbdmet  24550  reconnlem2  24868  cphsqrtcl3  25240  iscmet3lem3  25343  minveclem3  25482  itg2const2  25796  itg2mulclem  25801  aalioulem2  26393  pige3ALT  26580  argregt0  26670  argrege0  26671  2irrexpq  26791  cxpcn3  26809  cxplim  27033  cxp2lim  27038  divsqrtsumlem  27041  logdiflbnd  27056  basellem4  27145  ppiltx  27238  bposlem8  27353  bposlem9  27354  chebbnd1  27534  mulog2sumlem2  27597  selbergb  27611  selberg2b  27614  nmcexi  32058  nmcopexi  32059  nmcfnexi  32083  sqsscirc1  33854  divsqrtid  34571  logdivsqrle  34627  hgt750lem2  34629  subfacval3  35157  ptrecube  37580  heicant  37615  itg2addnclem  37631  itg2gt0cn  37635  areacirclem1  37668  areacirclem4  37671  areacirc  37673  cntotbnd  37756  xralrple4  45288  xralrple3  45289  fourierdlem103  46130  blenre  48308  itscnhlinecirc02plem3  48518  itscnhlinecirc02p  48519