Theorem rpge0 13139

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 13138	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11315	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11403	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11204  0cc0 11205   < clt 11348   ≤ cle 11349  ℝ⁺crp 13125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-addrcl 11266  ax-rnegex 11276  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-rp 13126

This theorem is used by:  rprege0  13141  rpge0d  13173  xralrple  13340  xlemul1  13425  infmrp1  13480  01sqrexlem1  15416  rpsqrtcl  15438  divrcnv  16028  ef01bndlem  16359  stdbdmet  24842  reconnlem2  25154  cphsqrtcl3  25515  iscmet3lem3  25618  minveclem3  25757  itg2const2  26069  itg2mulclem  26074  aalioulem2  26667  pige3ALT  26855  argregt0  26945  argrege0  26946  2irrexpq  27066  cxpcn3  27083  cxplim  27306  cxp2lim  27311  divsqrtsumlem  27314  logdiflbnd  27329  basellem4  27418  ppiltx  27511  bposlem8  27625  bposlem9  27626  chebbnd1  27806  mulog2sumlem2  27869  selbergb  27883  selberg2b  27886  nmcexi  32635  nmcopexi  32636  nmcfnexi  32660  sqsscirc1  34588  divsqrtid  35271  logdivsqrle  35327  hgt750lem2  35329  subfacval3  36042  ptrecube  38645  heicant  38680  itg2addnclem  38696  itg2gt0cn  38700  areacirclem1  38733  areacirclem4  38736  areacirc  38738  cntotbnd  38837  rpabsid  43485  xralrple4  46491  xralrple3  46492  fourierdlem103  47326  blenre  49793  itscnhlinecirc02plem3  50003  itscnhlinecirc02p  50004