Theorem rpge0 12987

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12982	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12986	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11216	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11302	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109  0cc0 11110   < clt 11248   ≤ cle 11249  ℝ⁺crp 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-rp 12975

This theorem is referenced by:  rprege0  12989  rpge0d  13020  xralrple  13184  xlemul1  13269  infmrp1  13323  01sqrexlem1  15189  rpsqrtcl  15211  divrcnv  15798  ef01bndlem  16127  stdbdmet  24025  reconnlem2  24343  cphsqrtcl3  24704  iscmet3lem3  24807  minveclem3  24946  itg2const2  25259  itg2mulclem  25264  aalioulem2  25846  pige3ALT  26029  argregt0  26118  argrege0  26119  2irrexpq  26239  cxpcn3  26256  cxplim  26476  cxp2lim  26481  divsqrtsumlem  26484  logdiflbnd  26499  basellem4  26588  ppiltx  26681  bposlem8  26794  bposlem9  26795  chebbnd1  26975  mulog2sumlem2  27038  selbergb  27052  selberg2b  27055  nmcexi  31279  nmcopexi  31280  nmcfnexi  31304  sqsscirc1  32888  divsqrtid  33606  logdivsqrle  33662  hgt750lem2  33664  subfacval3  34180  ptrecube  36488  heicant  36523  itg2addnclem  36539  itg2gt0cn  36543  areacirclem1  36576  areacirclem4  36579  areacirc  36581  cntotbnd  36664  xralrple4  44083  xralrple3  44084  fourierdlem103  44925  blenre  47260  itscnhlinecirc02plem3  47470  itscnhlinecirc02p  47471