Theorem rpge0 12972

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12967	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12971	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11183	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11269	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ℝcr 11074  0cc0 11075   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℝ⁺crp 12958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-rp 12959

This theorem is referenced by:  rprege0  12974  rpge0d  13006  xralrple  13172  xlemul1  13257  infmrp1  13312  01sqrexlem1  15215  rpsqrtcl  15237  divrcnv  15825  ef01bndlem  16159  stdbdmet  24411  reconnlem2  24723  cphsqrtcl3  25094  iscmet3lem3  25197  minveclem3  25336  itg2const2  25649  itg2mulclem  25654  aalioulem2  26248  pige3ALT  26436  argregt0  26526  argrege0  26527  2irrexpq  26647  cxpcn3  26665  cxplim  26889  cxp2lim  26894  divsqrtsumlem  26897  logdiflbnd  26912  basellem4  27001  ppiltx  27094  bposlem8  27209  bposlem9  27210  chebbnd1  27390  mulog2sumlem2  27453  selbergb  27467  selberg2b  27470  nmcexi  31962  nmcopexi  31963  nmcfnexi  31987  sqsscirc1  33905  divsqrtid  34592  logdivsqrle  34648  hgt750lem2  34650  subfacval3  35183  ptrecube  37621  heicant  37656  itg2addnclem  37672  itg2gt0cn  37676  areacirclem1  37709  areacirclem4  37712  areacirc  37714  cntotbnd  37797  rpabsid  42316  xralrple4  45376  xralrple3  45377  fourierdlem103  46214  blenre  48567  itscnhlinecirc02plem3  48777  itscnhlinecirc02p  48778