MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpge0 12935
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpge0 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0
StepHypRef Expression
1 rpre 12930 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgt0 12934 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3 0re 11164 . . 3 0 ∈ ℝ
4 ltle 11250 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
53, 4mpan 689 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
61, 2, 5sylc 65 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5110  cr 11057  0cc0 11058   < clt 11196  cle 11197  +crp 12922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-addrcl 11119  ax-rnegex 11129  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-rp 12923
This theorem is referenced by:  rprege0  12937  rpge0d  12968  xralrple  13131  xlemul1  13216  infmrp1  13270  01sqrexlem1  15134  rpsqrtcl  15156  divrcnv  15744  ef01bndlem  16073  stdbdmet  23888  reconnlem2  24206  cphsqrtcl3  24567  iscmet3lem3  24670  minveclem3  24809  itg2const2  25122  itg2mulclem  25127  aalioulem2  25709  pige3ALT  25892  argregt0  25981  argrege0  25982  2irrexpq  26101  cxpcn3  26117  cxplim  26337  cxp2lim  26342  divsqrtsumlem  26345  logdiflbnd  26360  basellem4  26449  ppiltx  26542  bposlem8  26655  bposlem9  26656  chebbnd1  26836  mulog2sumlem2  26899  selbergb  26913  selberg2b  26916  nmcexi  31010  nmcopexi  31011  nmcfnexi  31035  sqsscirc1  32529  divsqrtid  33247  logdivsqrle  33303  hgt750lem2  33305  subfacval3  33823  ptrecube  36107  heicant  36142  itg2addnclem  36158  itg2gt0cn  36162  areacirclem1  36195  areacirclem4  36198  areacirc  36200  cntotbnd  36284  xralrple4  43681  xralrple3  43682  fourierdlem103  44524  blenre  46734  itscnhlinecirc02plem3  46944  itscnhlinecirc02p  46945
  Copyright terms: Public domain W3C validator