Theorem rpge0 12405

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12400	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12404	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 10645	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 10731	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5068  ℝcr 10538  0cc0 10539   < clt 10677   ≤ cle 10678  ℝ⁺crp 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-addrcl 10600  ax-rnegex 10610  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-rp 12393

This theorem is referenced by:  rprege0  12407  rpge0d  12438  xralrple  12601  xlemul1  12686  infmrp1  12740  sqrlem1  14604  rpsqrtcl  14626  divrcnv  15209  ef01bndlem  15539  stdbdmet  23128  reconnlem2  23437  cphsqrtcl3  23793  iscmet3lem3  23895  minveclem3  24034  itg2const2  24344  itg2mulclem  24349  aalioulem2  24924  pige3ALT  25107  argregt0  25195  argrege0  25196  2irrexpq  25315  cxpcn3  25331  cxplim  25551  cxp2lim  25556  divsqrtsumlem  25559  logdiflbnd  25574  basellem4  25663  ppiltx  25756  bposlem8  25869  bposlem9  25870  chebbnd1  26050  mulog2sumlem2  26113  selbergb  26127  selberg2b  26130  nmcexi  29805  nmcopexi  29806  nmcfnexi  29830  sqsscirc1  31153  divsqrtid  31867  logdivsqrle  31923  hgt750lem2  31925  subfacval3  32438  ptrecube  34894  heicant  34929  itg2addnclem  34945  itg2gt0cn  34949  areacirclem1  34984  areacirclem4  34987  areacirc  34989  cntotbnd  35076  xralrple4  41648  xralrple3  41649  fourierdlem103  42501  blenre  44641  itscnhlinecirc02plem3  44778  itscnhlinecirc02p  44779