Theorem rpge0 13026

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13021	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 13025	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11206	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11294	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ℝcr 11095  0cc0 11096   < clt 11239   ≤ cle 11240  ℝ⁺crp 13012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-addrcl 11157  ax-rnegex 11167  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-rp 13013

This theorem is referenced by:  rprege0  13028  rpge0d  13060  xralrple  13227  xlemul1  13312  infmrp1  13367  01sqrexlem1  15289  rpsqrtcl  15311  divrcnv  15902  ef01bndlem  16236  stdbdmet  24638  reconnlem2  24950  cphsqrtcl3  25311  iscmet3lem3  25414  minveclem3  25553  itg2const2  25865  itg2mulclem  25870  aalioulem2  26459  pige3ALT  26647  argregt0  26737  argrege0  26738  2irrexpq  26858  cxpcn3  26875  cxplim  27098  cxp2lim  27103  divsqrtsumlem  27106  logdiflbnd  27121  basellem4  27210  ppiltx  27303  bposlem8  27417  bposlem9  27418  chebbnd1  27598  mulog2sumlem2  27661  selbergb  27675  selberg2b  27678  nmcexi  32315  nmcopexi  32316  nmcfnexi  32340  sqsscirc1  34239  divsqrtid  34922  logdivsqrle  34978  hgt750lem2  34980  subfacval3  35576  ptrecube  38154  heicant  38189  itg2addnclem  38205  itg2gt0cn  38209  areacirclem1  38242  areacirclem4  38245  areacirc  38247  cntotbnd  38330  rpabsid  42967  xralrple4  45975  xralrple3  45976  fourierdlem103  46810  blenre  49234  itscnhlinecirc02plem3  49444  itscnhlinecirc02p  49445