Theorem rpge0 13174

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13169	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 13173	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11349	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11437	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℝ⁺crp 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-addrcl 11300  ax-rnegex 11310  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-rp 13161

This theorem is used by:  rprege0  13176  rpge0d  13208  xralrple  13375  xlemul1  13460  infmrp1  13515  01sqrexlem1  15452  rpsqrtcl  15474  divrcnv  16065  ef01bndlem  16396  stdbdmet  24890  reconnlem2  25202  cphsqrtcl3  25563  iscmet3lem3  25666  minveclem3  25805  itg2const2  26117  itg2mulclem  26122  aalioulem2  26717  pige3ALT  26905  argregt0  26995  argrege0  26996  2irrexpq  27116  cxpcn3  27133  cxplim  27356  cxp2lim  27361  divsqrtsumlem  27364  logdiflbnd  27379  basellem4  27468  ppiltx  27561  bposlem8  27675  bposlem9  27676  chebbnd1  27856  mulog2sumlem2  27919  selbergb  27933  selberg2b  27936  nmcexi  32685  nmcopexi  32686  nmcfnexi  32710  sqsscirc1  34651  divsqrtid  35334  logdivsqrle  35390  hgt750lem2  35392  subfacval3  36162  ptrecube  38806  heicant  38841  itg2addnclem  38857  itg2gt0cn  38861  areacirclem1  38894  areacirclem4  38897  areacirc  38899  cntotbnd  38996  rpabsid  43644  xralrple4  46657  xralrple3  46658  fourierdlem103  47492  blenre  50017  itscnhlinecirc02plem3  50227  itscnhlinecirc02p  50228