Theorem rpge0 12926

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12921	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12925	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11136	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11223	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝcr 11027  0cc0 11028   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℝ⁺crp 12912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-addrcl 11089  ax-rnegex 11099  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-rp 12913

This theorem is referenced by:  rprege0  12928  rpge0d  12960  xralrple  13126  xlemul1  13211  infmrp1  13266  01sqrexlem1  15168  rpsqrtcl  15190  divrcnv  15778  ef01bndlem  16112  stdbdmet  24421  reconnlem2  24733  cphsqrtcl3  25104  iscmet3lem3  25207  minveclem3  25346  itg2const2  25659  itg2mulclem  25664  aalioulem2  26258  pige3ALT  26446  argregt0  26536  argrege0  26537  2irrexpq  26657  cxpcn3  26675  cxplim  26899  cxp2lim  26904  divsqrtsumlem  26907  logdiflbnd  26922  basellem4  27011  ppiltx  27104  bposlem8  27219  bposlem9  27220  chebbnd1  27400  mulog2sumlem2  27463  selbergb  27477  selberg2b  27480  nmcexi  31989  nmcopexi  31990  nmcfnexi  32014  sqsscirc1  33894  divsqrtid  34581  logdivsqrle  34637  hgt750lem2  34639  subfacval3  35181  ptrecube  37619  heicant  37654  itg2addnclem  37670  itg2gt0cn  37674  areacirclem1  37707  areacirclem4  37710  areacirc  37712  cntotbnd  37795  rpabsid  42314  xralrple4  45372  xralrple3  45373  fourierdlem103  46210  blenre  48579  itscnhlinecirc02plem3  48789  itscnhlinecirc02p  48790