Theorem rpge0 12564

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12559	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12563	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 10800	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 10886	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  ℝcr 10693  0cc0 10694   < clt 10832   ≤ cle 10833  ℝ⁺crp 12551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-addrcl 10755  ax-rnegex 10765  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-rp 12552

This theorem is referenced by:  rprege0  12566  rpge0d  12597  xralrple  12760  xlemul1  12845  infmrp1  12899  sqrlem1  14771  rpsqrtcl  14793  divrcnv  15379  ef01bndlem  15708  stdbdmet  23368  reconnlem2  23678  cphsqrtcl3  24038  iscmet3lem3  24141  minveclem3  24280  itg2const2  24593  itg2mulclem  24598  aalioulem2  25180  pige3ALT  25363  argregt0  25452  argrege0  25453  2irrexpq  25572  cxpcn3  25588  cxplim  25808  cxp2lim  25813  divsqrtsumlem  25816  logdiflbnd  25831  basellem4  25920  ppiltx  26013  bposlem8  26126  bposlem9  26127  chebbnd1  26307  mulog2sumlem2  26370  selbergb  26384  selberg2b  26387  nmcexi  30061  nmcopexi  30062  nmcfnexi  30086  sqsscirc1  31526  divsqrtid  32240  logdivsqrle  32296  hgt750lem2  32298  subfacval3  32818  ptrecube  35463  heicant  35498  itg2addnclem  35514  itg2gt0cn  35518  areacirclem1  35551  areacirclem4  35554  areacirc  35556  cntotbnd  35640  xralrple4  42526  xralrple3  42527  fourierdlem103  43368  blenre  45536  itscnhlinecirc02plem3  45746  itscnhlinecirc02p  45747