Theorem rpge0 12956

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12951	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12955	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11146	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11234	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℝ⁺crp 12942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-rp 12943

This theorem is referenced by:  rprege0  12958  rpge0d  12990  xralrple  13157  xlemul1  13242  infmrp1  13297  01sqrexlem1  15204  rpsqrtcl  15226  divrcnv  15817  ef01bndlem  16151  stdbdmet  24481  reconnlem2  24793  cphsqrtcl3  25154  iscmet3lem3  25257  minveclem3  25396  itg2const2  25708  itg2mulclem  25713  aalioulem2  26299  pige3ALT  26484  argregt0  26574  argrege0  26575  2irrexpq  26695  cxpcn3  26712  cxplim  26935  cxp2lim  26940  divsqrtsumlem  26943  logdiflbnd  26958  basellem4  27047  ppiltx  27140  bposlem8  27254  bposlem9  27255  chebbnd1  27435  mulog2sumlem2  27498  selbergb  27512  selberg2b  27515  nmcexi  32097  nmcopexi  32098  nmcfnexi  32122  sqsscirc1  34052  divsqrtid  34738  logdivsqrle  34794  hgt750lem2  34796  subfacval3  35371  ptrecube  37941  heicant  37976  itg2addnclem  37992  itg2gt0cn  37996  areacirclem1  38029  areacirclem4  38032  areacirc  38034  cntotbnd  38117  rpabsid  42753  xralrple4  45802  xralrple3  45803  fourierdlem103  46637  blenre  49050  itscnhlinecirc02plem3  49260  itscnhlinecirc02p  49261