MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpge0 12394
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpge0 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0
StepHypRef Expression
1 rpre 12389 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rpgt0 12393 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3 0re 10636 . . 3 0 ∈ ℝ
4 ltle 10722 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
53, 4mpan 689 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
61, 2, 5sylc 65 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112   class class class wbr 5033  cr 10529  0cc0 10530   < clt 10668  cle 10669  +crp 12381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-addrcl 10591  ax-rnegex 10601  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-rp 12382
This theorem is referenced by:  rprege0  12396  rpge0d  12427  xralrple  12590  xlemul1  12675  infmrp1  12729  sqrlem1  14598  rpsqrtcl  14620  divrcnv  15203  ef01bndlem  15533  stdbdmet  23127  reconnlem2  23436  cphsqrtcl3  23796  iscmet3lem3  23898  minveclem3  24037  itg2const2  24349  itg2mulclem  24354  aalioulem2  24933  pige3ALT  25116  argregt0  25205  argrege0  25206  2irrexpq  25325  cxpcn3  25341  cxplim  25561  cxp2lim  25566  divsqrtsumlem  25569  logdiflbnd  25584  basellem4  25673  ppiltx  25766  bposlem8  25879  bposlem9  25880  chebbnd1  26060  mulog2sumlem2  26123  selbergb  26137  selberg2b  26140  nmcexi  29813  nmcopexi  29814  nmcfnexi  29838  sqsscirc1  31265  divsqrtid  31979  logdivsqrle  32035  hgt750lem2  32037  subfacval3  32550  ptrecube  35056  heicant  35091  itg2addnclem  35107  itg2gt0cn  35111  areacirclem1  35144  areacirclem4  35147  areacirc  35149  cntotbnd  35233  xralrple4  42002  xralrple3  42003  fourierdlem103  42848  blenre  44985  itscnhlinecirc02plem3  45195  itscnhlinecirc02p  45196
  Copyright terms: Public domain W3C validator