Theorem rpge0 12672

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12667	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12671	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 10908	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 10994	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 686	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ℝcr 10801  0cc0 10802   < clt 10940   ≤ cle 10941  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-addrcl 10863  ax-rnegex 10873  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  rprege0  12674  rpge0d  12705  xralrple  12868  xlemul1  12953  infmrp1  13007  sqrlem1  14882  rpsqrtcl  14904  divrcnv  15492  ef01bndlem  15821  stdbdmet  23578  reconnlem2  23896  cphsqrtcl3  24256  iscmet3lem3  24359  minveclem3  24498  itg2const2  24811  itg2mulclem  24816  aalioulem2  25398  pige3ALT  25581  argregt0  25670  argrege0  25671  2irrexpq  25790  cxpcn3  25806  cxplim  26026  cxp2lim  26031  divsqrtsumlem  26034  logdiflbnd  26049  basellem4  26138  ppiltx  26231  bposlem8  26344  bposlem9  26345  chebbnd1  26525  mulog2sumlem2  26588  selbergb  26602  selberg2b  26605  nmcexi  30289  nmcopexi  30290  nmcfnexi  30314  sqsscirc1  31760  divsqrtid  32474  logdivsqrle  32530  hgt750lem2  32532  subfacval3  33051  ptrecube  35704  heicant  35739  itg2addnclem  35755  itg2gt0cn  35759  areacirclem1  35792  areacirclem4  35795  areacirc  35797  cntotbnd  35881  xralrple4  42802  xralrple3  42803  fourierdlem103  43640  blenre  45808  itscnhlinecirc02plem3  46018  itscnhlinecirc02p  46019