Theorem rpge0 12993

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12988	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12992	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11169	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11257	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 698	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2132   class class class wbr 5090  ℝcr 11058  0cc0 11059   < clt 11202   ≤ cle 11203  ℝ⁺crp 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-addrcl 11120  ax-rnegex 11130  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-rp 12980

This theorem is referenced by:  rprege0  12995  rpge0d  13027  xralrple  13194  xlemul1  13279  infmrp1  13334  01sqrexlem1  15241  rpsqrtcl  15263  divrcnv  15854  ef01bndlem  16188  stdbdmet  24545  reconnlem2  24857  cphsqrtcl3  25218  iscmet3lem3  25321  minveclem3  25460  itg2const2  25772  itg2mulclem  25777  aalioulem2  26363  pige3ALT  26551  argregt0  26641  argrege0  26642  2irrexpq  26762  cxpcn3  26779  cxplim  27002  cxp2lim  27007  divsqrtsumlem  27010  logdiflbnd  27025  basellem4  27114  ppiltx  27207  bposlem8  27321  bposlem9  27322  chebbnd1  27502  mulog2sumlem2  27565  selbergb  27579  selberg2b  27582  nmcexi  32164  nmcopexi  32165  nmcfnexi  32189  sqsscirc1  34149  divsqrtid  34835  logdivsqrle  34891  hgt750lem2  34893  subfacval3  35477  ptrecube  38057  heicant  38092  itg2addnclem  38108  itg2gt0cn  38112  areacirclem1  38145  areacirclem4  38148  areacirc  38150  cntotbnd  38233  rpabsid  42868  xralrple4  45886  xralrple3  45887  fourierdlem103  46721  blenre  49134  itscnhlinecirc02plem3  49344  itscnhlinecirc02p  49345