Theorem rpge0 13046

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13041	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 13045	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11261	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11347	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293   ≤ cle 11294  ℝ⁺crp 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-rp 13033

This theorem is referenced by:  rprege0  13048  rpge0d  13079  xralrple  13244  xlemul1  13329  infmrp1  13383  01sqrexlem1  15278  rpsqrtcl  15300  divrcnv  15885  ef01bndlem  16217  stdbdmet  24545  reconnlem2  24863  cphsqrtcl3  25235  iscmet3lem3  25338  minveclem3  25477  itg2const2  25791  itg2mulclem  25796  aalioulem2  26390  pige3ALT  26577  argregt0  26667  argrege0  26668  2irrexpq  26788  cxpcn3  26806  cxplim  27030  cxp2lim  27035  divsqrtsumlem  27038  logdiflbnd  27053  basellem4  27142  ppiltx  27235  bposlem8  27350  bposlem9  27351  chebbnd1  27531  mulog2sumlem2  27594  selbergb  27608  selberg2b  27611  nmcexi  32055  nmcopexi  32056  nmcfnexi  32080  sqsscirc1  33869  divsqrtid  34588  logdivsqrle  34644  hgt750lem2  34646  subfacval3  35174  ptrecube  37607  heicant  37642  itg2addnclem  37658  itg2gt0cn  37662  areacirclem1  37695  areacirclem4  37698  areacirc  37700  cntotbnd  37783  rpabsid  42335  xralrple4  45323  xralrple3  45324  fourierdlem103  46165  blenre  48424  itscnhlinecirc02plem3  48634  itscnhlinecirc02p  48635