Theorem rpge0 13046

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13041	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 13045	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11225	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11313	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝcr 11114  0cc0 11115   < clt 11258   ≤ cle 11259  ℝ⁺crp 13032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-addrcl 11176  ax-rnegex 11186  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-rp 13033

This theorem is used by:  rprege0  13048  rpge0d  13080  xralrple  13247  xlemul1  13332  infmrp1  13387  01sqrexlem1  15317  rpsqrtcl  15339  divrcnv  15929  ef01bndlem  16262  stdbdmet  24724  reconnlem2  25036  cphsqrtcl3  25397  iscmet3lem3  25500  minveclem3  25639  itg2const2  25951  itg2mulclem  25956  aalioulem2  26547  pige3ALT  26736  argregt0  26826  argrege0  26827  2irrexpq  26947  cxpcn3  26964  cxplim  27187  cxp2lim  27192  divsqrtsumlem  27195  logdiflbnd  27210  basellem4  27299  ppiltx  27392  bposlem8  27506  bposlem9  27507  chebbnd1  27687  mulog2sumlem2  27750  selbergb  27764  selberg2b  27767  nmcexi  32449  nmcopexi  32450  nmcfnexi  32474  sqsscirc1  34362  divsqrtid  35046  logdivsqrle  35102  hgt750lem2  35104  subfacval3  35718  ptrecube  38328  heicant  38363  itg2addnclem  38379  itg2gt0cn  38383  areacirclem1  38416  areacirclem4  38419  areacirc  38421  cntotbnd  38505  rpabsid  43140  xralrple4  46146  xralrple3  46147  fourierdlem103  46981  blenre  49411  itscnhlinecirc02plem3  49621  itscnhlinecirc02p  49622