Theorem rpge0 12965

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12964	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11176	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11262	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067  0cc0 11068   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  rprege0  12967  rpge0d  12999  xralrple  13165  xlemul1  13250  infmrp1  13305  01sqrexlem1  15208  rpsqrtcl  15230  divrcnv  15818  ef01bndlem  16152  stdbdmet  24404  reconnlem2  24716  cphsqrtcl3  25087  iscmet3lem3  25190  minveclem3  25329  itg2const2  25642  itg2mulclem  25647  aalioulem2  26241  pige3ALT  26429  argregt0  26519  argrege0  26520  2irrexpq  26640  cxpcn3  26658  cxplim  26882  cxp2lim  26887  divsqrtsumlem  26890  logdiflbnd  26905  basellem4  26994  ppiltx  27087  bposlem8  27202  bposlem9  27203  chebbnd1  27383  mulog2sumlem2  27446  selbergb  27460  selberg2b  27463  nmcexi  31955  nmcopexi  31956  nmcfnexi  31980  sqsscirc1  33898  divsqrtid  34585  logdivsqrle  34641  hgt750lem2  34643  subfacval3  35176  ptrecube  37614  heicant  37649  itg2addnclem  37665  itg2gt0cn  37669  areacirclem1  37702  areacirclem4  37705  areacirc  37707  cntotbnd  37790  rpabsid  42309  xralrple4  45369  xralrple3  45370  fourierdlem103  46207  blenre  48560  itscnhlinecirc02plem3  48770  itscnhlinecirc02p  48771