Theorem rpge0 12219

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12212	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 10441	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 10529	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 677	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4929  ℝcr 10334  0cc0 10335   < clt 10474   ≤ cle 10475  ℝ⁺crp 12204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-addrcl 10396  ax-rnegex 10406  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-rp 12205

This theorem is referenced by:  rprege0  12221  rpge0d  12252  xralrple  12415  xlemul1  12499  infmrp1  12553  sqrlem1  14463  rpsqrtcl  14485  divrcnv  15067  ef01bndlem  15397  stdbdmet  22829  reconnlem2  23138  cphsqrtcl3  23494  iscmet3lem3  23596  minveclem3  23735  itg2const2  24045  itg2mulclem  24050  aalioulem2  24625  pige3ALT  24808  argregt0  24894  argrege0  24895  2irrexpq  25014  cxpcn3  25030  cxplim  25251  cxp2lim  25256  divsqrtsumlem  25259  logdiflbnd  25274  basellem4  25363  ppiltx  25456  bposlem8  25569  bposlem9  25570  chebbnd1  25750  mulog2sumlem2  25813  selbergb  25827  selberg2b  25830  nmcexi  29584  nmcopexi  29585  nmcfnexi  29609  sqsscirc1  30801  divsqrtid  31519  logdivsqrle  31575  hgt750lem2  31577  subfacval3  32027  ptrecube  34339  heicant  34374  itg2addnclem  34390  itg2gt0cn  34394  areacirclem1  34429  areacirclem4  34432  areacirc  34434  cntotbnd  34522  xralrple4  41076  xralrple3  41077  fourierdlem103  41931  blenre  44008  itscnhlinecirc02plem3  44145  itscnhlinecirc02p  44146