Theorem rpge0 12983

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12978	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12982	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11212	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11298	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 688	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℝ⁺crp 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-addrcl 11167  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-rp 12971

This theorem is referenced by:  rprege0  12985  rpge0d  13016  xralrple  13180  xlemul1  13265  infmrp1  13319  01sqrexlem1  15185  rpsqrtcl  15207  divrcnv  15794  ef01bndlem  16123  stdbdmet  24016  reconnlem2  24334  cphsqrtcl3  24695  iscmet3lem3  24798  minveclem3  24937  itg2const2  25250  itg2mulclem  25255  aalioulem2  25837  pige3ALT  26020  argregt0  26109  argrege0  26110  2irrexpq  26229  cxpcn3  26245  cxplim  26465  cxp2lim  26470  divsqrtsumlem  26473  logdiflbnd  26488  basellem4  26577  ppiltx  26670  bposlem8  26783  bposlem9  26784  chebbnd1  26964  mulog2sumlem2  27027  selbergb  27041  selberg2b  27044  nmcexi  31266  nmcopexi  31267  nmcfnexi  31291  sqsscirc1  32876  divsqrtid  33594  logdivsqrle  33650  hgt750lem2  33652  subfacval3  34168  ptrecube  36476  heicant  36511  itg2addnclem  36527  itg2gt0cn  36531  areacirclem1  36564  areacirclem4  36567  areacirc  36569  cntotbnd  36652  xralrple4  44069  xralrple3  44070  fourierdlem103  44911  blenre  47213  itscnhlinecirc02plem3  47423  itscnhlinecirc02p  47424