Theorem rpge0 12941

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12936	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12940	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11152	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11238	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ℝcr 11043  0cc0 11044   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  rprege0  12943  rpge0d  12975  xralrple  13141  xlemul1  13226  infmrp1  13281  01sqrexlem1  15184  rpsqrtcl  15206  divrcnv  15794  ef01bndlem  16128  stdbdmet  24380  reconnlem2  24692  cphsqrtcl3  25063  iscmet3lem3  25166  minveclem3  25305  itg2const2  25618  itg2mulclem  25623  aalioulem2  26217  pige3ALT  26405  argregt0  26495  argrege0  26496  2irrexpq  26616  cxpcn3  26634  cxplim  26858  cxp2lim  26863  divsqrtsumlem  26866  logdiflbnd  26881  basellem4  26970  ppiltx  27063  bposlem8  27178  bposlem9  27179  chebbnd1  27359  mulog2sumlem2  27422  selbergb  27436  selberg2b  27439  nmcexi  31928  nmcopexi  31929  nmcfnexi  31953  sqsscirc1  33871  divsqrtid  34558  logdivsqrle  34614  hgt750lem2  34616  subfacval3  35149  ptrecube  37587  heicant  37622  itg2addnclem  37638  itg2gt0cn  37642  areacirclem1  37675  areacirclem4  37678  areacirc  37680  cntotbnd  37763  rpabsid  42282  xralrple4  45342  xralrple3  45343  fourierdlem103  46180  blenre  48536  itscnhlinecirc02plem3  48746  itscnhlinecirc02p  48747