Theorem rpge0 13127

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 13126	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11303	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11391	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 66	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11192  0cc0 11193   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℝ⁺crp 13113

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-addrcl 11254  ax-rnegex 11264  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-rp 13114

This theorem is used by:  rprege0  13129  rpge0d  13161  xralrple  13328  xlemul1  13413  infmrp1  13468  01sqrexlem1  15402  rpsqrtcl  15424  divrcnv  16014  ef01bndlem  16345  stdbdmet  24828  reconnlem2  25140  cphsqrtcl3  25501  iscmet3lem3  25604  minveclem3  25743  itg2const2  26055  itg2mulclem  26060  aalioulem2  26653  pige3ALT  26841  argregt0  26931  argrege0  26932  2irrexpq  27052  cxpcn3  27069  cxplim  27292  cxp2lim  27297  divsqrtsumlem  27300  logdiflbnd  27315  basellem4  27404  ppiltx  27497  bposlem8  27611  bposlem9  27612  chebbnd1  27792  mulog2sumlem2  27855  selbergb  27869  selberg2b  27872  nmcexi  32621  nmcopexi  32622  nmcfnexi  32646  sqsscirc1  34533  divsqrtid  35216  logdivsqrle  35272  hgt750lem2  35274  subfacval3  35933  ptrecube  38518  heicant  38553  itg2addnclem  38569  itg2gt0cn  38573  areacirclem1  38606  areacirclem4  38609  areacirc  38611  cntotbnd  38710  rpabsid  43358  xralrple4  46353  xralrple3  46354  fourierdlem103  47188  blenre  49655  itscnhlinecirc02plem3  49865  itscnhlinecirc02p  49866