Theorem rpge0 12743

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12738	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12742	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 10977	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11063	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ℝcr 10870  0cc0 10871   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℝ⁺crp 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-addrcl 10932  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-rp 12731

This theorem is referenced by:  rprege0  12745  rpge0d  12776  xralrple  12939  xlemul1  13024  infmrp1  13078  sqrlem1  14954  rpsqrtcl  14976  divrcnv  15564  ef01bndlem  15893  stdbdmet  23672  reconnlem2  23990  cphsqrtcl3  24351  iscmet3lem3  24454  minveclem3  24593  itg2const2  24906  itg2mulclem  24911  aalioulem2  25493  pige3ALT  25676  argregt0  25765  argrege0  25766  2irrexpq  25885  cxpcn3  25901  cxplim  26121  cxp2lim  26126  divsqrtsumlem  26129  logdiflbnd  26144  basellem4  26233  ppiltx  26326  bposlem8  26439  bposlem9  26440  chebbnd1  26620  mulog2sumlem2  26683  selbergb  26697  selberg2b  26700  nmcexi  30388  nmcopexi  30389  nmcfnexi  30413  sqsscirc1  31858  divsqrtid  32574  logdivsqrle  32630  hgt750lem2  32632  subfacval3  33151  ptrecube  35777  heicant  35812  itg2addnclem  35828  itg2gt0cn  35832  areacirclem1  35865  areacirclem4  35868  areacirc  35870  cntotbnd  35954  xralrple4  42912  xralrple3  42913  fourierdlem103  43750  blenre  45920  itscnhlinecirc02plem3  46130  itscnhlinecirc02p  46131