Theorem rpge0 12947

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12946	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 11137	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 11225	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℝ⁺crp 12933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-addrcl 11090  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-rp 12934

This theorem is referenced by:  rprege0  12949  rpge0d  12981  xralrple  13148  xlemul1  13233  infmrp1  13288  01sqrexlem1  15195  rpsqrtcl  15217  divrcnv  15808  ef01bndlem  16142  stdbdmet  24499  reconnlem2  24811  cphsqrtcl3  25172  iscmet3lem3  25275  minveclem3  25414  itg2const2  25726  itg2mulclem  25731  aalioulem2  26317  pige3ALT  26502  argregt0  26592  argrege0  26593  2irrexpq  26713  cxpcn3  26730  cxplim  26953  cxp2lim  26958  divsqrtsumlem  26961  logdiflbnd  26976  basellem4  27065  ppiltx  27158  bposlem8  27272  bposlem9  27273  chebbnd1  27453  mulog2sumlem2  27516  selbergb  27530  selberg2b  27533  nmcexi  32115  nmcopexi  32116  nmcfnexi  32140  sqsscirc1  34092  divsqrtid  34778  logdivsqrle  34834  hgt750lem2  34836  subfacval3  35417  ptrecube  37987  heicant  38022  itg2addnclem  38038  itg2gt0cn  38042  areacirclem1  38075  areacirclem4  38078  areacirc  38080  cntotbnd  38163  rpabsid  42798  xralrple4  45817  xralrple3  45818  fourierdlem103  46652  blenre  49065  itscnhlinecirc02plem3  49275  itscnhlinecirc02p  49276