MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmuladdnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmuladdnn0 13880
Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmuladdnn0 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€

Proof of Theorem modmuladdnn0
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
21adantr 482 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
3 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) = ๐ด)
4 nn0cn 12482 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 nn0re 12481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8 modcl 13838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
97, 8sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
109recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1110adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
12 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ต โˆˆ โ„‚))
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ต โˆˆ โ„‚))
1411, 13mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
16 zcn 12563 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
1716adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
18 rpcn 12984 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1918adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2117, 20mulcld 11234 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
226, 15, 21subadd2d 11590 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€) โ†” ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) = ๐ด))
233, 22bitr4id 290 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
244ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2524, 14subcld 11571 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2625adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
27 rpcnne0 12992 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
2827adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
30 divmul3 11877 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0)) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
3126, 17, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
32 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)))
3332oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
3433eqcoms 2741 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
3534adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
3635adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
37 moddiffl 13847 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
387, 37sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
4036, 39eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
4140eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘–))
4223, 31, 413bitr2d 307 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘–))
43 nn0ge0 12497 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
447, 43jca 513 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
45 rpregt0 12988 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘€))
46 divge0 12083 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€))
4744, 45, 46syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€))
487adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
49 rpre 12982 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
5049adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
51 rpne0 12990 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
5251adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
5348, 50, 52redivcld 12042 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„)
54 0z 12569 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„ค
55 flge 13770 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€))))
5653, 54, 55sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€))))
5747, 56mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
58 breq2 5153 . . . . . . . . 9 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ (0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โ†” 0 โ‰ค ๐‘–))
5957, 58syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6059ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6142, 60sylbid 239 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6261imp 408 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–)
63 elnn0z 12571 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘–))
642, 62, 63sylanbrc 584 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
65 oveq1 7416 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘€) = (๐‘– ยท ๐‘€))
6665oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
6766eqeq2d 2744 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
6867adantl 483 . . . 4 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โˆง ๐‘˜ = ๐‘–) โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
69 simpr 486 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
7064, 68, 69rspcedvd 3615 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต))
71 nn0z 12583 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
72 modmuladdim 13879 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
7371, 72sylan 581 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
7473imp 408 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
7570, 74r19.29a 3163 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต))
7675ex 414 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  โŒŠcfl 13755   mod cmo 13834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fl 13757  df-mod 13835
This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  26903  2lgslem3b1  26904  2lgslem3c1  26905  2lgslem3d1  26906
  Copyright terms: Public domain W3C validator