MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmuladdnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmuladdnn0 13904
Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmuladdnn0 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€

Proof of Theorem modmuladdnn0
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
21adantr 480 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
3 eqcom 2734 . . . . . . . . 9 (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) = ๐ด)
4 nn0cn 12504 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 nn0re 12503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8 modcl 13862 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
97, 8sylan 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
109recnd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
12 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ต โˆˆ โ„‚))
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ต โˆˆ โ„‚))
1411, 13mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
16 zcn 12585 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
18 rpcn 13008 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2117, 20mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
226, 15, 21subadd2d 11612 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€) โ†” ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) = ๐ด))
233, 22bitr4id 290 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
244ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2524, 14subcld 11593 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2625adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
27 rpcnne0 13016 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
2827adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
30 divmul3 11899 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0)) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
3126, 17, 29, 30syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
32 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)))
3332oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
3433eqcoms 2735 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
3534adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
3635adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
37 moddiffl 13871 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
387, 37sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
4036, 39eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
4140eqeq1d 2729 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘–))
4223, 31, 413bitr2d 307 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘–))
43 nn0ge0 12519 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
447, 43jca 511 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
45 rpregt0 13012 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘€))
46 divge0 12105 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€))
4744, 45, 46syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€))
487adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
49 rpre 13006 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
51 rpne0 13014 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
5348, 50, 52redivcld 12064 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„)
54 0z 12591 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„ค
55 flge 13794 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€))))
5653, 54, 55sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€))))
5747, 56mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
58 breq2 5146 . . . . . . . . 9 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ (0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โ†” 0 โ‰ค ๐‘–))
5957, 58syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6059ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6142, 60sylbid 239 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6261imp 406 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–)
63 elnn0z 12593 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘–))
642, 62, 63sylanbrc 582 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
65 oveq1 7421 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘€) = (๐‘– ยท ๐‘€))
6665oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
6766eqeq2d 2738 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
6867adantl 481 . . . 4 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โˆง ๐‘˜ = ๐‘–) โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
69 simpr 484 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
7064, 68, 69rspcedvd 3609 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต))
71 nn0z 12605 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
72 modmuladdim 13903 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
7371, 72sylan 579 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
7473imp 406 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
7570, 74r19.29a 3157 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต))
7675ex 412 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130   + caddc 11133   ยท cmul 11135   < clt 11270   โ‰ค cle 11271   โˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  โ„•0cn0 12494  โ„คcz 12580  โ„+crp 12998  โŒŠcfl 13779   mod cmo 13858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-fl 13781  df-mod 13859
This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  27320  2lgslem3b1  27321  2lgslem3c1  27322  2lgslem3d1  27323
  Copyright terms: Public domain W3C validator