Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | oveq1 7455 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀)) |
2 | 1 | oveq1d 7463 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) |
3 | 2 | eqeq2d 2751 |
. . . 4
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))) |
4 | | simpr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ) |
5 | 4 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ) |
6 | | eqcom 2747 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴) |
7 | | nn0cn 12563 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
→ 𝐴 ∈
ℂ) |
8 | 7 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ) |
9 | 8 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ) |
10 | | nn0re 12562 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
→ 𝐴 ∈
ℝ) |
11 | | modcl 13924 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)
→ (𝐴 mod 𝑀) ∈
ℝ) |
12 | 10, 11 | sylan 579 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ) |
13 | 12 | recnd 11318 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ) |
14 | 13 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ) |
15 | | eleq1 2832 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ)) |
16 | 15 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ)) |
17 | 14, 16 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ) |
18 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ) |
19 | | zcn 12644 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈
ℂ) |
20 | 19 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ) |
21 | | rpcn 13067 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ ℝ+
→ 𝑀 ∈
ℂ) |
22 | 21 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ) |
23 | 22 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ) |
24 | 20, 23 | mulcld 11310 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ) |
25 | 9, 18, 24 | subadd2d 11666 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)) |
26 | 6, 25 | bitr4id 290 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀))) |
27 | 7 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ) |
28 | 27, 17 | subcld 11647 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
29 | 28 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
30 | | rpcnne0 13075 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ ℝ+
→ (𝑀 ∈ ℂ
∧ 𝑀 ≠
0)) |
31 | 30 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) |
32 | 31 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) |
33 | | divmul3 11954 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀))) |
34 | 29, 20, 32, 33 | syl3anc 1371 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀))) |
35 | | oveq2 7456 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀))) |
36 | 35 | oveq1d 7463 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀)) |
37 | 36 | eqcoms 2748 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀)) |
38 | 37 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀)) |
39 | 38 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀)) |
40 | | moddiffl 13933 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)
→ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) |
41 | 10, 40 | sylan 579 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) |
42 | 41 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) |
43 | 39, 42 | eqtrd 2780 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) |
44 | 43 | eqeq1d 2742 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖)) |
45 | 26, 34, 44 | 3bitr2d 307 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖)) |
46 | | nn0ge0 12578 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
→ 0 ≤ 𝐴) |
47 | 10, 46 | jca 511 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
→ (𝐴 ∈ ℝ
∧ 0 ≤ 𝐴)) |
48 | | rpregt0 13071 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ ℝ+
→ (𝑀 ∈ ℝ
∧ 0 < 𝑀)) |
49 | | divge0 12164 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀)) |
50 | 47, 48, 49 | syl2an 595 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀)) |
51 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ) |
52 | | rpre 13065 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ ℝ+
→ 𝑀 ∈
ℝ) |
53 | 52 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ) |
54 | | rpne0 13073 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ ℝ+
→ 𝑀 ≠
0) |
55 | 54 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 𝑀 ≠ 0) |
56 | 51, 53, 55 | redivcld 12122 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ) |
57 | | 0z 12650 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 ∈
ℤ |
58 | | flge 13856 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ)
→ (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤
(⌊‘(𝐴 / 𝑀)))) |
59 | 56, 57, 58 | sylancl 585 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))) |
60 | 50, 59 | mpbid 232 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) |
61 | | breq2 5170 |
. . . . . . . . 9
⊢
((⌊‘(𝐴 /
𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖)) |
62 | 60, 61 | syl5ibcom 245 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖)) |
63 | 62 | ad2antrr 725 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) →
((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖)) |
64 | 45, 63 | sylbid 240 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖)) |
65 | 64 | imp 406 |
. . . . 5
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖) |
66 | | elnn0z 12652 |
. . . . 5
⊢ (𝑖 ∈ ℕ0
↔ (𝑖 ∈ ℤ
∧ 0 ≤ 𝑖)) |
67 | 5, 65, 66 | sylanbrc 582 |
. . . 4
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0) |
68 | | simpr 484 |
. . . 4
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) |
69 | 3, 67, 68 | rspcedvdw 3638 |
. . 3
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) |
70 | | nn0z 12664 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
→ 𝐴 ∈
ℤ) |
71 | | modmuladdim 13965 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)
→ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))) |
72 | 70, 71 | sylan 579 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))) |
73 | 72 | imp 406 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) |
74 | 69, 73 | r19.29a 3168 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) |
75 | 74 | ex 412 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))) |