MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmuladdnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmuladdnn0 13879
Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmuladdnn0 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€

Proof of Theorem modmuladdnn0
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
21adantr 481 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
3 eqcom 2739 . . . . . . . . 9 (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) = ๐ด)
4 nn0cn 12481 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 nn0re 12480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8 modcl 13837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
97, 8sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
109recnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1110adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
12 eleq1 2821 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ต โˆˆ โ„‚))
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ต โˆˆ โ„‚))
1411, 13mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
16 zcn 12562 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
18 rpcn 12983 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2117, 20mulcld 11233 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
226, 15, 21subadd2d 11589 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€) โ†” ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) = ๐ด))
233, 22bitr4id 289 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
244ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2524, 14subcld 11570 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2625adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
27 rpcnne0 12991 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
2827adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
2928ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
30 divmul3 11876 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0)) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
3126, 17, 29, 30syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
32 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)))
3332oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
3433eqcoms 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
3534adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
3635adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
37 moddiffl 13846 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
387, 37sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
3938ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
4036, 39eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
4140eqeq1d 2734 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘–))
4223, 31, 413bitr2d 306 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘–))
43 nn0ge0 12496 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
447, 43jca 512 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
45 rpregt0 12987 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘€))
46 divge0 12082 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€))
4744, 45, 46syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€))
487adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
49 rpre 12981 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
51 rpne0 12989 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
5348, 50, 52redivcld 12041 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„)
54 0z 12568 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„ค
55 flge 13769 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€))))
5653, 54, 55sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€))))
5747, 56mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
58 breq2 5152 . . . . . . . . 9 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ (0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โ†” 0 โ‰ค ๐‘–))
5957, 58syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6059ad2antrr 724 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6142, 60sylbid 239 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6261imp 407 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–)
63 elnn0z 12570 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘–))
642, 62, 63sylanbrc 583 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
65 oveq1 7415 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘€) = (๐‘– ยท ๐‘€))
6665oveq1d 7423 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
6766eqeq2d 2743 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
6867adantl 482 . . . 4 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โˆง ๐‘˜ = ๐‘–) โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
69 simpr 485 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
7064, 68, 69rspcedvd 3614 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต))
71 nn0z 12582 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
72 modmuladdim 13878 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
7371, 72sylan 580 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
7473imp 407 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
7570, 74r19.29a 3162 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต))
7675ex 413 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   โˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„+crp 12973  โŒŠcfl 13754   mod cmo 13833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-fl 13756  df-mod 13834
This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  26900  2lgslem3b1  26901  2lgslem3c1  26902  2lgslem3d1  26903
  Copyright terms: Public domain W3C validator