MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmuladdnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmuladdnn0 13956
Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmuladdnn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modmuladdnn0
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀))
21oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
32eqeq2d 2748 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
4 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
54adantr 480 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
6 eqcom 2744 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)
7 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
87adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
98ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 nn0re 12535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
11 modcl 13913 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
1210, 11sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
1312recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
15 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1714, 16mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
19 zcn 12618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
21 rpcn 13045 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℂ)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
2322ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2420, 23mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ)
259, 18, 24subadd2d 11639 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴))
266, 25bitr4id 290 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
277ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
2827, 17subcld 11620 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
2928adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
30 rpcnne0 13053 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
3130adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
3231ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
33 divmul3 11927 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
3429, 20, 32, 33syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
35 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)))
3635oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
3736eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
40 moddiffl 13922 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4110, 40sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4241ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4339, 42eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4443eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
4526, 34, 443bitr2d 307 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
46 nn0ge0 12551 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
4710, 46jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
48 rpregt0 13049 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
49 divge0 12137 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
5047, 48, 49syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
5110adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
52 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℝ)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
54 rpne0 13051 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ≠ 0)
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
5651, 53, 55redivcld 12095 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ)
57 0z 12624 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
58 flge 13845 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
5956, 57, 58sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
6050, 59mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
61 breq2 5147 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖))
6260, 61syl5ibcom 245 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6362ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6445, 63sylbid 240 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖))
6564imp 406 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖)
66 elnn0z 12626 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
675, 65, 66sylanbrc 583 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
68 simpr 484 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
693, 67, 68rspcedvdw 3625 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
70 nn0z 12638 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
71 modmuladdim 13955 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7270, 71sylan 580 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7372imp 406 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7469, 73r19.29a 3162 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
7574ex 412 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  cfl 13830   mod cmo 13909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fl 13832  df-mod 13910
This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  27444  2lgslem3b1  27445  2lgslem3c1  27446  2lgslem3d1  27447
  Copyright terms: Public domain W3C validator