MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmuladdnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmuladdnn0 12922
Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmuladdnn0 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modmuladdnn0
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
21adantr 466 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
3 nn0cn 11504 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
54ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 nn0re 11503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
7 modcl 12880 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
86, 7sylan 569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
98recnd 10270 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
109adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
11 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1211adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
1310, 12mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
15 zcn 11584 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
1615adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
17 rpcn 12044 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℂ)
1817adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
1918ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
2016, 19mulcld 10262 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ)
215, 14, 20subadd2d 10613 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴))
22 eqcom 2778 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)
2321, 22syl6rbbr 279 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
243ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
2524, 13subcld 10594 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
2625adantr 466 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
27 rpcnne0 12053 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
2827adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
2928ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
30 divmul3 10892 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
3126, 16, 29, 30syl3anc 1476 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
32 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)))
3332oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
3433eqcoms 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
3534adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
3635adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
37 moddiffl 12889 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
386, 37sylan 569 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
3938ad2antrr 705 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4036, 39eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
4140eqeq1d 2773 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
4223, 31, 413bitr2d 296 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
43 nn0ge0 11520 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
446, 43jca 501 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
45 rpregt0 12049 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
46 divge0 11094 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
4744, 45, 46syl2an 583 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
486adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
49 rpre 12042 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℝ)
5049adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
51 rpne0 12051 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ≠ 0)
5251adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
5348, 50, 52redivcld 11055 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ)
54 0z 11590 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
55 flge 12814 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
5653, 54, 55sylancl 574 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
5747, 56mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
58 breq2 4790 . . . . . . . . 9 ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖))
5957, 58syl5ibcom 235 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6059ad2antrr 705 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
6142, 60sylbid 230 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖))
6261imp 393 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖)
63 elnn0z 11592 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
642, 62, 63sylanbrc 572 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
65 oveq1 6800 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀))
6665oveq1d 6808 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
6766eqeq2d 2781 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
6867adantl 467 . . . 4 ((((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
69 simpr 471 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7064, 68, 69rspcedvd 3467 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
71 nn0z 11602 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
72 modmuladdim 12921 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7371, 72sylan 569 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
7473imp 393 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
7570, 74r19.29a 3226 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
7675ex 397 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  0cn0 11494  cz 11579  +crp 12035  cfl 12799   mod cmo 12876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fl 12801  df-mod 12877
This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  25346  2lgslem3b1  25347  2lgslem3c1  25348  2lgslem3d1  25349
  Copyright terms: Public domain W3C validator