Theorem modmuladdnn0 13983

Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmuladdnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modmuladdnn0

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀))
2	1	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
3	2	eqeq2d 2773	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
4		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
6		eqcom 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)
7		nn0cn 12542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		nn0re 12541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
11		modcl 13938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
12	10, 11	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
15		eleq1 2850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
16	15	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
17	14, 16	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		zcn 12624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
20	19	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
21		rpcn 13057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
23	22	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
24	20, 23	mulcld 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ)
25	9, 18, 24	subadd2d 11616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴))
26	6, 25	bitr4id 293	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
27	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27, 17	subcld 11597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
30		rpcnne0 13065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
31	30	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
32	31	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
33		divmul3 11905	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
34	29, 20, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
35		oveq2 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)))
36	35	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
37	36	eqcoms 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
38	37	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
39	38	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
40		moddiffl 13947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
41	10, 40	sylan 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
43	39, 42	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
44	43	eqeq1d 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
45	26, 34, 44	3bitr2d 310	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
46		nn0ge0 12557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
47	10, 46	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
48		rpregt0 13061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
49		divge0 12112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
50	47, 48, 49	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
51	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
52		rpre 13055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
53	52	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
54		rpne0 13063	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ≠ 0)
55	54	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
56	51, 53, 55	redivcld 12071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ)
57		0z 12630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
58		flge 13870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
59	56, 57, 58	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
60	50, 59	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
61		breq2 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖))
62	60, 61	syl5ibcom 248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
63	62	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
64	45, 63	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖))
65	64	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖)
66		elnn0z 12632	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
67	5, 65, 66	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
68		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
69	3, 67, 68	rspcedvdw 3582	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
70		nn0z 12643	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
71		modmuladdim 13982	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
72	70, 71	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
73	72	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
74	69, 73	r19.29a 3172	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
75	74	ex 418	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128   + caddc 11131   · cmul 11133   < clt 11271   ≤ cle 11272   − cmin 11469   / cdiv 11899  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  ℝ⁺crp 13046  ⌊cfl 13855   mod cmo 13934

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-fl 13857  df-mod 13935

This theorem is used by:  2lgslem3a1  27644  2lgslem3b1  27645  2lgslem3c1  27646  2lgslem3d1  27647