Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpr 477 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ) |
2 | 1 | adantr 473 |
. . . . 5
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ) |
3 | | nn0cn 11717 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
→ 𝐴 ∈
ℂ) |
4 | 3 | adantr 473 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ) |
5 | 4 | ad2antrr 714 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ) |
6 | | nn0re 11716 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
→ 𝐴 ∈
ℝ) |
7 | | modcl 13055 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)
→ (𝐴 mod 𝑀) ∈
ℝ) |
8 | 6, 7 | sylan 572 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ) |
9 | 8 | recnd 10467 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ) |
10 | 9 | adantr 473 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ) |
11 | | eleq1 2848 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ)) |
12 | 11 | adantl 474 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ)) |
13 | 10, 12 | mpbid 224 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ) |
14 | 13 | adantr 473 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ) |
15 | | zcn 11797 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈
ℂ) |
16 | 15 | adantl 474 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ) |
17 | | rpcn 12215 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ ℝ+
→ 𝑀 ∈
ℂ) |
18 | 17 | adantl 474 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ) |
19 | 18 | ad2antrr 714 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ) |
20 | 16, 19 | mulcld 10459 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ) |
21 | 5, 14, 20 | subadd2d 10816 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)) |
22 | | eqcom 2780 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴) |
23 | 21, 22 | syl6rbbr 282 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀))) |
24 | 3 | ad2antrr 714 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ) |
25 | 24, 13 | subcld 10797 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
26 | 25 | adantr 473 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ) |
27 | | rpcnne0 12223 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ ℝ+
→ (𝑀 ∈ ℂ
∧ 𝑀 ≠
0)) |
28 | 27 | adantl 474 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) |
29 | 28 | ad2antrr 714 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) |
30 | | divmul3 11103 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀))) |
31 | 26, 16, 29, 30 | syl3anc 1352 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀))) |
32 | | oveq2 6983 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀))) |
33 | 32 | oveq1d 6990 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀)) |
34 | 33 | eqcoms 2781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀)) |
35 | 34 | adantl 474 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀)) |
36 | 35 | adantr 473 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀)) |
37 | | moddiffl 13064 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)
→ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) |
38 | 6, 37 | sylan 572 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) |
39 | 38 | ad2antrr 714 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) |
40 | 36, 39 | eqtrd 2809 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) |
41 | 40 | eqeq1d 2775 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖)) |
42 | 23, 31, 41 | 3bitr2d 299 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖)) |
43 | | nn0ge0 11733 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
→ 0 ≤ 𝐴) |
44 | 6, 43 | jca 504 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
→ (𝐴 ∈ ℝ
∧ 0 ≤ 𝐴)) |
45 | | rpregt0 12219 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ ℝ+
→ (𝑀 ∈ ℝ
∧ 0 < 𝑀)) |
46 | | divge0 11309 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀)) |
47 | 44, 45, 46 | syl2an 587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀)) |
48 | 6 | adantr 473 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ) |
49 | | rpre 12211 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ ℝ+
→ 𝑀 ∈
ℝ) |
50 | 49 | adantl 474 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ) |
51 | | rpne0 12221 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ ℝ+
→ 𝑀 ≠
0) |
52 | 51 | adantl 474 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 𝑀 ≠ 0) |
53 | 48, 50, 52 | redivcld 11268 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ) |
54 | | 0z 11803 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 0 ∈
ℤ |
55 | | flge 12989 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ)
→ (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤
(⌊‘(𝐴 / 𝑀)))) |
56 | 53, 54, 55 | sylancl 578 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))) |
57 | 47, 56 | mpbid 224 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))) |
58 | | breq2 4930 |
. . . . . . . . 9
⊢
((⌊‘(𝐴 /
𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖)) |
59 | 57, 58 | syl5ibcom 237 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖)) |
60 | 59 | ad2antrr 714 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) →
((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖)) |
61 | 42, 60 | sylbid 232 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖)) |
62 | 61 | imp 398 |
. . . . 5
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖) |
63 | | elnn0z 11805 |
. . . . 5
⊢ (𝑖 ∈ ℕ0
↔ (𝑖 ∈ ℤ
∧ 0 ≤ 𝑖)) |
64 | 2, 62, 63 | sylanbrc 575 |
. . . 4
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0) |
65 | | oveq1 6982 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀)) |
66 | 65 | oveq1d 6990 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) |
67 | 66 | eqeq2d 2783 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))) |
68 | 67 | adantl 474 |
. . . 4
⊢
((((((𝐴 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) ∧ 𝑘 = 𝑖) → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))) |
69 | | simpr 477 |
. . . 4
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) |
70 | 64, 68, 69 | rspcedvd 3537 |
. . 3
⊢
(((((𝐴 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) |
71 | | nn0z 11817 |
. . . . 5
⊢ (𝐴 ∈ ℕ0
→ 𝐴 ∈
ℤ) |
72 | | modmuladdim 13096 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)
→ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))) |
73 | 71, 72 | sylan 572 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))) |
74 | 73 | imp 398 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) |
75 | 70, 74 | r19.29a 3229 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)) |
76 | 75 | ex 405 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ∈
ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))) |