MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmuladdnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmuladdnn0 13884
Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmuladdnn0 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€

Proof of Theorem modmuladdnn0
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
21adantr 479 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
3 eqcom 2737 . . . . . . . . 9 (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) = ๐ด)
4 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 nn0re 12485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
8 modcl 13842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
97, 8sylan 578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„)
109recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
1110adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
12 eleq1 2819 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ต โˆˆ โ„‚))
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ต โˆˆ โ„‚))
1411, 13mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1514adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
16 zcn 12567 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
1716adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
18 rpcn 12988 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1918adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2019ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
2117, 20mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘– ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
226, 15, 21subadd2d 11594 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€) โ†” ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) = ๐ด))
233, 22bitr4id 289 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
244ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2524, 14subcld 11575 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
2625adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
27 rpcnne0 12996 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
2827adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
2928ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0))
30 divmul3 11881 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘– โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โ‰  0)) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
3126, 17, 29, 30syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐‘– ยท ๐‘€)))
32 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)))
3332oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต = (๐ด mod ๐‘€) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
3433eqcoms 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
3534adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
3635adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€))
37 moddiffl 13851 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
387, 37sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
3938ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ (๐ด mod ๐‘€)) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
4036, 39eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
4140eqeq1d 2732 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ด โˆ’ ๐ต) / ๐‘€) = ๐‘– โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘–))
4223, 31, 413bitr2d 306 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘–))
43 nn0ge0 12501 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
447, 43jca 510 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
45 rpregt0 12992 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘€))
46 divge0 12087 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘€)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€))
4744, 45, 46syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€))
487adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
49 rpre 12986 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
5049adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
51 rpne0 12994 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
5251adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โ‰  0)
5348, 50, 52redivcld 12046 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„)
54 0z 12573 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„ค
55 flge 13774 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด / ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€))))
5653, 54, 55sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด / ๐‘€) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€))))
5747, 56mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)))
58 breq2 5151 . . . . . . . . 9 ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ (0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) โ†” 0 โ‰ค ๐‘–))
5957, 58syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6059ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ ((โŒŠโ€˜(๐ด / ๐‘€)) = ๐‘– โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6142, 60sylbid 239 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–))
6261imp 405 . . . . 5 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘–)
63 elnn0z 12575 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘– โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค ๐‘–))
642, 62, 63sylanbrc 581 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„•0)
65 oveq1 7418 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘€) = (๐‘– ยท ๐‘€))
6665oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
6766eqeq2d 2741 . . . . 5 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
6867adantl 480 . . . 4 ((((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โˆง ๐‘˜ = ๐‘–) โ†’ (๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต) โ†” ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
69 simpr 483 . . . 4 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
7064, 68, 69rspcedvd 3613 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โˆง ๐‘– โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต))
71 nn0z 12587 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
72 modmuladdim 13883 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
7371, 72sylan 578 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต)))
7473imp 405 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„ค ๐ด = ((๐‘– ยท ๐‘€) + ๐ต))
7570, 74r19.29a 3160 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด mod ๐‘€) = ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต))
7675ex 411 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = ((๐‘˜ ยท ๐‘€) + ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆƒwrex 3068   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„+crp 12978  โŒŠcfl 13759   mod cmo 13838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fl 13761  df-mod 13839
This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  27139  2lgslem3b1  27140  2lgslem3c1  27141  2lgslem3d1  27142
  Copyright terms: Public domain W3C validator