Theorem modmuladdnn0 13819

Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmuladdnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modmuladdnn0

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7353	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀))
2	1	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
3	2	eqeq2d 2742	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
6		eqcom 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)
7		nn0cn 12388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		nn0re 12387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
11		modcl 13774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
12	10, 11	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
15		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
17	14, 16	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		zcn 12470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
21		rpcn 12898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
23	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
24	20, 23	mulcld 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ)
25	9, 18, 24	subadd2d 11488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴))
26	6, 25	bitr4id 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
27	7	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27, 17	subcld 11469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
30		rpcnne0 12906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
32	31	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
33		divmul3 11778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
34	29, 20, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
35		oveq2 7354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)))
36	35	oveq1d 7361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
37	36	eqcoms 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
40		moddiffl 13783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
41	10, 40	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
43	39, 42	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
44	43	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
45	26, 34, 44	3bitr2d 307	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
46		nn0ge0 12403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
47	10, 46	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
48		rpregt0 12902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
49		divge0 11988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
50	47, 48, 49	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
51	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
52		rpre 12896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
54		rpne0 12904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ≠ 0)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
56	51, 53, 55	redivcld 11946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ)
57		0z 12476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
58		flge 13706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
59	56, 57, 58	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
60	50, 59	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
61		breq2 5095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖))
62	60, 61	syl5ibcom 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
63	62	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
64	45, 63	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖))
65	64	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖)
66		elnn0z 12478	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
67	5, 65, 66	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
68		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
69	3, 67, 68	rspcedvdw 3580	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
70		nn0z 12490	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
71		modmuladdim 13818	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
72	70, 71	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
73	72	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
74	69, 73	r19.29a 3140	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
75	74	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003   + caddc 11006   · cmul 11008   < clt 11143   ≤ cle 11144   − cmin 11341   / cdiv 11771  ℕ₀cn0 12378  ℤcz 12465  ℝ⁺crp 12887  ⌊cfl 13691   mod cmo 13770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-ico 13248  df-fl 13693  df-mod 13771

This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  27336  2lgslem3b1  27337  2lgslem3c1  27338  2lgslem3d1  27339