Theorem modmuladdnn0 13850

Description: Implication of a decomposition of a nonnegative integer into a multiple of a modulus and a remainder. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmuladdnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem modmuladdnn0

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑀) = (𝑖 · 𝑀))
2	1	oveq1d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
3	2	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵) ↔ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℤ)
6		eqcom 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴)
7		nn0cn 12423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		nn0re 12422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
11		modcl 13805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
12	10, 11	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ)
15		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 mod 𝑀) ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
17	14, 16	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
19		zcn 12505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℂ)
21		rpcn 12928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℂ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℂ)
23	22	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
24	20, 23	mulcld 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 · 𝑀) ∈ ℂ)
25	9, 18, 24	subadd2d 11523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀) ↔ ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) = 𝐴))
26	6, 25	bitr4id 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
27	7	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
28	27, 17	subcld 11504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
30		rpcnne0 12936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
32	31	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
33		divmul3 11813	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
34	29, 20, 32, 33	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝑖 · 𝑀)))
35		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)))
36	35	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 = (𝐴 mod 𝑀) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
37	36	eqcoms 2745	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀))
40		moddiffl 13814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
41	10, 40	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
42	41	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝑀)) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
43	39, 42	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
44	43	eqeq1d 2739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (((𝐴 − 𝐵) / 𝑀) = 𝑖 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
45	26, 34, 44	3bitr2d 307	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖))
46		nn0ge0 12438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
47	10, 46	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
48		rpregt0 12932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
49		divge0 12023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
50	47, 48, 49	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝑀))
51	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
52		rpre 12926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
54		rpne0 12934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ≠ 0)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≠ 0)
56	51, 53, 55	redivcld 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ)
57		0z 12511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
58		flge 13737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
59	56, 57, 58	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐴 / 𝑀) ↔ 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀))))
60	50, 59	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)))
61		breq2 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → (0 ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝑀)) ↔ 0 ≤ 𝑖))
62	60, 61	syl5ibcom 245	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
63	62	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝑀)) = 𝑖 → 0 ≤ 𝑖))
64	45, 63	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵) → 0 ≤ 𝑖))
65	64	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 0 ≤ 𝑖)
66		elnn0z 12513	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑖))
67	5, 65, 66	sylanbrc 584	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
68		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
69	3, 67, 68	rspcedvdw 3581	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
70		nn0z 12524	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
71		modmuladdim 13849	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
72	70, 71	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵)))
73	72	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑖 · 𝑀) + 𝐵))
74	69, 73	r19.29a 3146	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 mod 𝑀) = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵))
75	74	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod 𝑀) = 𝐵 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝐴 = ((𝑘 · 𝑀) + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376   / cdiv 11806  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917  ⌊cfl 13722   mod cmo 13801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fl 13724  df-mod 13802

This theorem is referenced by:  2lgslem3a1  27379  2lgslem3b1  27380  2lgslem3c1  27381  2lgslem3d1  27382