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Theorem dchrisum0lem2 27254
Description: Lemma for dchrisum0 27256. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
rpvmasum2.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
dchrisum0.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
dchrisum0.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
dchrisum0lem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))
dchrisum0lem2.u (πœ‘ β†’ 𝐻 β‡π‘Ÿ π‘ˆ)
dchrisum0lem2.k 𝐾 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
dchrisum0lem2.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0lem2.t (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
dchrisum0lem2.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦, 1   π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐢   𝐹,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐸,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐾,𝑦   π‘š,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑇,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘š,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘š,𝑍,π‘₯,𝑦   𝐷,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž,𝑑)   𝑆(π‘Ž)   𝑇(π‘Ž)   π‘ˆ(𝑦,π‘Ž,𝑑)   1 (π‘Ž,𝑑)   𝐸(π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝐾(π‘₯,π‘Ž,𝑑)   𝑁(π‘Ž,𝑑)   π‘Š(𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝑍(π‘Ž,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem2
StepHypRef Expression
1 2cnd 12295 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
2 rpcn 12989 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
32adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4 fzfid 13943 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
5 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
6 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
7 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
8 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
9 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
109ssrab3 4081 . . . . . . . . . 10 π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 })
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
1210, 11sselid 3981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }))
1312eldifad 3961 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1413ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
15 elfzelz 13506 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ β„€)
1615adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„€)
175, 6, 7, 8, 14, 16dchrzrhcl 26981 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
18 elfznn 13535 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ β„•)
1918nnrpd 13019 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
2019adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
2120rpcnd 13023 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
2220rpne0d 13026 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š β‰  0)
2317, 21, 22divcld 11995 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
244, 23fsumcl 15684 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
253, 24mulcld 11239 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
26 rpssre 12986 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
27 2cn 12292 . . . . 5 2 ∈ β„‚
28 o1const 15569 . . . . 5 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
2926, 27, 28mp2an 689 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
3029a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
3126a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
32 1red 11220 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
33 dchrisum0lem2.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
34 elrege0 13436 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐸))
3534simplbi 497 . . . . 5 (𝐸 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
3633, 35syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
373, 24absmuld 15406 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
38 rprege0 12994 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
3938adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
40 absid 15248 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
4241oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
4337, 42eqtrd 2771 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
4443adantrr 714 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
4524adantrr 714 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
4645subid1d 11565 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) βˆ’ 0) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
4718adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„•)
48 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘š β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘š β†’ π‘Ž = π‘š)
5048, 49oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = π‘š β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
51 dchrisum0lem2.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
52 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt3i 7004 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
5447, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
5554adantlrr 718 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
56 rpregt0 12993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
5756ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
5857simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
59 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
60 flge1nn 13791 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
6158, 59, 60syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
62 nnuz 12870 . . . . . . . . . . . 12 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
6361, 62eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
6423adantlrr 718 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
6555, 63, 64fsumser 15681 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
66 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
67 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0gβ€˜πΊ)
68 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) β†’ 𝑋 β‰  1 )
6912, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
70 dchrisum0lem2.t . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
71 dchrisum0lem2.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦))
726, 8, 66, 5, 7, 67, 13, 69, 51, 33, 70, 71, 9dchrvmaeq0 27240 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ 𝑇 = 0))
7311, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 = 0)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑇 = 0)
7574eqcomd 2737 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 0 = 𝑇)
7665, 75oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) βˆ’ 0) = ((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇))
7746, 76eqtr3d 2773 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = ((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇))
7877fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)))
79 2fveq3 6897 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
8079fvoveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)))
81 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐸 / 𝑦) = (𝐸 / π‘₯))
8280, 81breq12d 5162 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦) ↔ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / π‘₯)))
8371adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦))
84 1re 11219 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
85 elicopnf 13427 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)))
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯))
8758, 59, 86sylanbrc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (1[,)+∞))
8882, 83, 87rspcdva 3614 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / π‘₯))
8978, 88eqbrtrd 5171 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ≀ (𝐸 / π‘₯))
9045abscld 15388 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ ℝ)
9136adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
92 lemuldiv2 12100 . . . . . . 7 (((absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ≀ (𝐸 / π‘₯)))
9390, 91, 57, 92syl3anc 1370 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ≀ (𝐸 / π‘₯)))
9489, 93mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸)
9544, 94eqbrtrd 5171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸)
9631, 25, 32, 36, 95elo1d 15485 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ∈ 𝑂(1))
971, 25, 30, 96o1mul2 15574 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1))
98 fzfid 13943 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ Fin)
9920rpsqrtcld 15363 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
10099rpcnd 13023 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
10199rpne0d 13026 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)
10217, 100, 101divcld 11995 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
103102adantr 480 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
104 elfznn 13535 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
105104adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
106105nnrpd 13019 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
107106rpsqrtcld 15363 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) ∈ ℝ+)
108107rpcnd 13023 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
109107rpne0d 13026 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0)
110103, 108, 109divcld 11995 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
11198, 110fsumcl 15684 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
1124, 111fsumcl 15684 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
113 mulcl 11197 . . . 4 ((2 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ∈ β„‚)
11427, 25, 113sylancr 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ∈ β„‚)
115 2re 12291 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
116 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
117 2z 12599 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„€
118 rpexpcl 14051 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
119116, 117, 118sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
120 rpdivcl 13004 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯↑2) ∈ ℝ+ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+)
121119, 19, 120syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+)
122121rpsqrtcld 15363 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ+)
123122rpred 13021 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ)
124 remulcl 11198 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ ℝ)
125115, 123, 124sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ ℝ)
126125recnd 11247 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ β„‚)
127102, 126mulcld 11239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) ∈ β„‚)
1284, 111, 127fsumsub 15739 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
129107rpcnne0d 13030 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0))
130 reccl 11884 . . . . . . . . . . 11 (((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
13298, 131fsumcl 15684 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
133102, 132, 126subdid 11675 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
134 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (βŒŠβ€˜π‘¦) = (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))
135134oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))
136135sumeq1d 15652 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)))
137 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))
138137oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)) = (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))
139136, 138oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
140 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))
141 ovex 7445 . . . . . . . . . . 11 (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))) ∈ V
142139, 140, 141fvmpt3i 7004 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+ β†’ (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
143121, 142syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
144143oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
145103, 108, 109divrecd 11998 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
146145sumeq2dv 15654 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
14798, 102, 131fsummulc2 15735 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
148146, 147eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
149148oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
150133, 144, 1493eqtr4d 2781 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
151150sumeq2dv 15654 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
152 mulcl 11197 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
15327, 3, 152sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
1544, 153, 23fsummulc2 15735 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
1551, 3, 24mulassd 11242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
156153adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
157156, 102, 100, 101div12d 12031 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š))))
15899rpcnne0d 13030 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0))
159 divdiv1 11930 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0) ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š))))
16017, 158, 158, 159syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š))))
16120rprege0d 13028 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š))
162 remsqsqrt 15208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š)) = π‘š)
163161, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š)) = π‘š)
164163oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
165160, 164eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
166165oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = ((2 Β· π‘₯) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))))
167119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
168167rprege0d 13028 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯↑2)))
169 sqrtdiv 15217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯↑2)) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
170168, 20, 169syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
17138ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
172 sqrtsq 15221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) = π‘₯)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) = π‘₯)
174173oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š)))
175170, 174eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š)))
176175oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (2 Β· (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
177 2cnd 12295 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 2 ∈ β„‚)
1783adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
179 divass 11895 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)) β†’ ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (2 Β· (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
180177, 178, 158, 179syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (2 Β· (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
181176, 180eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š)))
182181oveq2d 7428 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š))))
183157, 166, 1823eqtr4d 2781 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
184183sumeq2dv 15654 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
185154, 155, 1843eqtr3d 2779 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
186185oveq2d 7428 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
187128, 151, 1863eqtr4d 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))))
188187mpteq2dva 5249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))))
189 dchrisum0lem1.f . . . . 5 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
190 dchrisum0.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
191 dchrisum0.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
192 dchrisum0.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
193 dchrisum0lem2.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‡π‘Ÿ π‘ˆ)
1946, 8, 66, 5, 7, 67, 9, 11, 189, 190, 191, 192, 140, 193dchrisum0lem2a 27253 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1))
195188, 194eqeltrrd 2833 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))) ∈ 𝑂(1))
196112, 114, 195o1dif 15579 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1)))
19797, 196mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  {crab 3431   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   Β· cmul 11118  +∞cpnf 11250   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  [,)cico 13331  ...cfz 13489  βŒŠcfl 13760  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  βˆšcsqrt 15185  abscabs 15186   ⇝ cli 15433   β‡π‘Ÿ crli 15434  π‘‚(1)co1 15435  Ξ£csu 15637  Basecbs 17149  0gc0g 17390  β„€RHomczrh 21269  β„€/nβ„€czn 21272  DChrcdchr 26968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-ec 8708  df-qs 8712  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-o1 15439  df-lo1 15440  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-qus 17460  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-nsg 19041  df-eqg 19042  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-od 19438  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-lidl 20933  df-rsp 20934  df-2idl 21007  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-zrh 21273  df-zn 21276  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26298  df-cxp 26299  df-dchr 26969
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  27255
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