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Theorem dchrisum0lem2 27028
Description: Lemma for dchrisum0 27030. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
rpvmasum2.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
dchrisum0.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
dchrisum0.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
dchrisum0lem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))
dchrisum0lem2.u (πœ‘ β†’ 𝐻 β‡π‘Ÿ π‘ˆ)
dchrisum0lem2.k 𝐾 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
dchrisum0lem2.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0lem2.t (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
dchrisum0lem2.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦, 1   π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐢   𝐹,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐸,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐾,𝑦   π‘š,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑇,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘š,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘š,𝑍,π‘₯,𝑦   𝐷,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž,𝑑)   𝑆(π‘Ž)   𝑇(π‘Ž)   π‘ˆ(𝑦,π‘Ž,𝑑)   1 (π‘Ž,𝑑)   𝐸(π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝐾(π‘₯,π‘Ž,𝑑)   𝑁(π‘Ž,𝑑)   π‘Š(𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝑍(π‘Ž,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem2
StepHypRef Expression
1 2cnd 12292 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
2 rpcn 12986 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
32adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4 fzfid 13940 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
5 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
6 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
7 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
8 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
9 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
109ssrab3 4080 . . . . . . . . . 10 π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 })
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
1210, 11sselid 3980 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }))
1312eldifad 3960 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1413ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
15 elfzelz 13503 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ β„€)
1615adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„€)
175, 6, 7, 8, 14, 16dchrzrhcl 26755 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
18 elfznn 13532 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ β„•)
1918nnrpd 13016 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
2019adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
2120rpcnd 13020 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
2220rpne0d 13023 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š β‰  0)
2317, 21, 22divcld 11992 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
244, 23fsumcl 15681 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
253, 24mulcld 11236 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
26 rpssre 12983 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
27 2cn 12289 . . . . 5 2 ∈ β„‚
28 o1const 15566 . . . . 5 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
2926, 27, 28mp2an 690 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
3029a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
3126a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
32 1red 11217 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
33 dchrisum0lem2.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
34 elrege0 13433 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐸))
3534simplbi 498 . . . . 5 (𝐸 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
3633, 35syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
373, 24absmuld 15403 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
38 rprege0 12991 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
3938adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
40 absid 15245 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
4241oveq1d 7426 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
4337, 42eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
4443adantrr 715 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
4524adantrr 715 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
4645subid1d 11562 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) βˆ’ 0) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
4718adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„•)
48 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘š β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘š β†’ π‘Ž = π‘š)
5048, 49oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = π‘š β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
51 dchrisum0lem2.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
52 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt3i 7003 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
5447, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
5554adantlrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
56 rpregt0 12990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
5756ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
5857simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
59 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
60 flge1nn 13788 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
6158, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
62 nnuz 12867 . . . . . . . . . . . 12 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
6361, 62eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
6423adantlrr 719 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
6555, 63, 64fsumser 15678 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
66 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
67 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0gβ€˜πΊ)
68 eldifsni 4793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) β†’ 𝑋 β‰  1 )
6912, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
70 dchrisum0lem2.t . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
71 dchrisum0lem2.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦))
726, 8, 66, 5, 7, 67, 13, 69, 51, 33, 70, 71, 9dchrvmaeq0 27014 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ 𝑇 = 0))
7311, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 = 0)
7473adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑇 = 0)
7574eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 0 = 𝑇)
7665, 75oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) βˆ’ 0) = ((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇))
7746, 76eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = ((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇))
7877fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)))
79 2fveq3 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
8079fvoveq1d 7433 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)))
81 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐸 / 𝑦) = (𝐸 / π‘₯))
8280, 81breq12d 5161 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦) ↔ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / π‘₯)))
8371adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦))
84 1re 11216 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
85 elicopnf 13424 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)))
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯))
8758, 59, 86sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (1[,)+∞))
8882, 83, 87rspcdva 3613 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / π‘₯))
8978, 88eqbrtrd 5170 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ≀ (𝐸 / π‘₯))
9045abscld 15385 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ ℝ)
9136adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
92 lemuldiv2 12097 . . . . . . 7 (((absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ≀ (𝐸 / π‘₯)))
9390, 91, 57, 92syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ≀ (𝐸 / π‘₯)))
9489, 93mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸)
9544, 94eqbrtrd 5170 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸)
9631, 25, 32, 36, 95elo1d 15482 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ∈ 𝑂(1))
971, 25, 30, 96o1mul2 15571 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1))
98 fzfid 13940 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ Fin)
9920rpsqrtcld 15360 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
10099rpcnd 13020 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
10199rpne0d 13023 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)
10217, 100, 101divcld 11992 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
103102adantr 481 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
104 elfznn 13532 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
105104adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
106105nnrpd 13016 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
107106rpsqrtcld 15360 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) ∈ ℝ+)
108107rpcnd 13020 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
109107rpne0d 13023 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0)
110103, 108, 109divcld 11992 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
11198, 110fsumcl 15681 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
1124, 111fsumcl 15681 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
113 mulcl 11196 . . . 4 ((2 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ∈ β„‚)
11427, 25, 113sylancr 587 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ∈ β„‚)
115 2re 12288 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
116 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
117 2z 12596 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„€
118 rpexpcl 14048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
119116, 117, 118sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
120 rpdivcl 13001 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯↑2) ∈ ℝ+ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+)
121119, 19, 120syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+)
122121rpsqrtcld 15360 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ+)
123122rpred 13018 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ)
124 remulcl 11197 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ ℝ)
125115, 123, 124sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ ℝ)
126125recnd 11244 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ β„‚)
127102, 126mulcld 11236 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) ∈ β„‚)
1284, 111, 127fsumsub 15736 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
129107rpcnne0d 13027 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0))
130 reccl 11881 . . . . . . . . . . 11 (((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
13298, 131fsumcl 15681 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
133102, 132, 126subdid 11672 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
134 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (βŒŠβ€˜π‘¦) = (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))
135134oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))
136135sumeq1d 15649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)))
137 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))
138137oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)) = (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))
139136, 138oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
140 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))
141 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))) ∈ V
142139, 140, 141fvmpt3i 7003 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+ β†’ (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
143121, 142syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
144143oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
145103, 108, 109divrecd 11995 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
146145sumeq2dv 15651 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
14798, 102, 131fsummulc2 15732 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
148146, 147eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
149148oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
150133, 144, 1493eqtr4d 2782 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
151150sumeq2dv 15651 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
152 mulcl 11196 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
15327, 3, 152sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
1544, 153, 23fsummulc2 15732 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
1551, 3, 24mulassd 11239 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
156153adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
157156, 102, 100, 101div12d 12028 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š))))
15899rpcnne0d 13027 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0))
159 divdiv1 11927 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0) ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š))))
16017, 158, 158, 159syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š))))
16120rprege0d 13025 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š))
162 remsqsqrt 15205 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š)) = π‘š)
163161, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š)) = π‘š)
164163oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
165160, 164eqtr2d 2773 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
166165oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = ((2 Β· π‘₯) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))))
167119adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
168167rprege0d 13025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯↑2)))
169 sqrtdiv 15214 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯↑2)) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
170168, 20, 169syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
17138ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
172 sqrtsq 15218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) = π‘₯)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) = π‘₯)
174173oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š)))
175170, 174eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š)))
176175oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (2 Β· (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
177 2cnd 12292 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 2 ∈ β„‚)
1783adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
179 divass 11892 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)) β†’ ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (2 Β· (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
180177, 178, 158, 179syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (2 Β· (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
181176, 180eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š)))
182181oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š))))
183157, 166, 1823eqtr4d 2782 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
184183sumeq2dv 15651 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
185154, 155, 1843eqtr3d 2780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
186185oveq2d 7427 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
187128, 151, 1863eqtr4d 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))))
188187mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))))
189 dchrisum0lem1.f . . . . 5 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
190 dchrisum0.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
191 dchrisum0.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
192 dchrisum0.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
193 dchrisum0lem2.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‡π‘Ÿ π‘ˆ)
1946, 8, 66, 5, 7, 67, 9, 11, 189, 190, 191, 192, 140, 193dchrisum0lem2a 27027 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1))
195188, 194eqeltrrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))) ∈ 𝑂(1))
196112, 114, 195o1dif 15576 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1)))
19797, 196mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11247   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  [,)cico 13328  ...cfz 13486  βŒŠcfl 13757  seqcseq 13968  β†‘cexp 14029  βˆšcsqrt 15182  abscabs 15183   ⇝ cli 15430   β‡π‘Ÿ crli 15431  π‘‚(1)co1 15432  Ξ£csu 15634  Basecbs 17146  0gc0g 17387  β„€RHomczrh 21055  β„€/nβ„€czn 21058  DChrcdchr 26742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-o1 15436  df-lo1 15437  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-qus 17457  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-nsg 19006  df-eqg 19007  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-od 19398  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-lidl 20793  df-rsp 20794  df-2idl 20863  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-zn 21062  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073  df-dchr 26743
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