MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem2 25501
Description: Lemma for dchrisum0 25503. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
dchrisum0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
dchrisum0lem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
dchrisum0lem2.u (𝜑𝐻𝑟 𝑈)
dchrisum0lem2.k 𝐾 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrisum0lem2.e (𝜑𝐸 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0lem2.t (𝜑 → seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
dchrisum0lem2.3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝐸,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐾,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑇,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑆,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑥   𝑥,𝑊   𝑚,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑆(𝑎)   𝑇(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑎,𝑑)   1 (𝑎,𝑑)   𝐸(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem2
StepHypRef Expression
1 2cnd 11352 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
2 rpcn 12043 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
32adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
4 fzfid 12983 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
5 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
8 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
9 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
10 ssrab2 3849 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
119, 10eqsstri 3797 . . . . . . . . . 10 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
12 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑊)
1311, 12sseldi 3761 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
1413eldifad 3746 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
1514ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
16 elfzelz 12552 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1716adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℤ)
185, 6, 7, 8, 15, 17dchrzrhcl 25264 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
19 elfznn 12580 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℕ)
2019nnrpd 12071 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
2120adantl 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
2221rpcnd 12075 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℂ)
2321rpne0d 12078 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ≠ 0)
2418, 22, 23divcld 11057 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
254, 24fsumcl 14752 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
263, 25mulcld 10316 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
27 rpssre 12038 . . . . 5 + ⊆ ℝ
28 2cn 11349 . . . . 5 2 ∈ ℂ
29 o1const 14638 . . . . 5 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
3027, 28, 29mp2an 683 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
3130a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
3227a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
33 1red 10296 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
34 dchrisum0lem2.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (0[,)+∞))
35 elrege0 12485 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸))
3635simplbi 491 . . . . 5 (𝐸 ∈ (0[,)+∞) → 𝐸 ∈ ℝ)
3734, 36syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
383, 25absmuld 14481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) = ((abs‘𝑥) · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
39 rprege0 12048 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
4039adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
41 absid 14324 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
4342oveq1d 6859 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑥) · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) = (𝑥 · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
4438, 43eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) = (𝑥 · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
4544adantrr 708 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) = (𝑥 · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
4625adantrr 708 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
4746subid1d 10637 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) − 0) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
4819adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℕ)
49 2fveq3 6382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
50 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
5149, 50oveq12d 6862 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
52 dchrisum0lem2.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
53 ovex 6876 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) ∈ V
5451, 52, 53fvmpt3i 6478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐾𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
5548, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐾𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
5655adantlrr 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐾𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
57 rpregt0 12047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
5857ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
5958simpld 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
60 simprr 789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
61 flge1nn 12833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
6259, 60, 61syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
63 nnuz 11926 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
6462, 63syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1))
6524adantlrr 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
6656, 64, 65fsumser 14749 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)))
67 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
68 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0g𝐺)
69 eldifsni 4478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋1 )
7013, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋1 )
71 dchrisum0lem2.t . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
72 dchrisum0lem2.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 / 𝑦))
736, 8, 67, 5, 7, 68, 14, 70, 52, 34, 71, 72, 9dchrvmaeq0 25487 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋𝑊𝑇 = 0))
7412, 73mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 = 0)
7574adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑇 = 0)
7675eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 = 𝑇)
7766, 76oveq12d 6862 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) − 0) = ((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑇))
7847, 77eqtr3d 2801 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑇))
7978fveq2d 6381 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑇)))
80 2fveq3 6382 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)))
8180fvoveq1d 6866 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) = (abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑇)))
82 oveq2 6852 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐸 / 𝑦) = (𝐸 / 𝑥))
8381, 82breq12d 4824 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 / 𝑦) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 / 𝑥)))
8472adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 / 𝑦))
85 1re 10295 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
86 elicopnf 12475 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
8785, 86ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
8859, 60, 87sylanbrc 578 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
8983, 84, 88rspcdva 3468 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 / 𝑥))
9079, 89eqbrtrd 4833 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ≤ (𝐸 / 𝑥))
9146abscld 14463 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℝ)
9237adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝐸 ∈ ℝ)
93 lemuldiv2 11160 . . . . . . 7 (((abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → ((𝑥 · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ≤ (𝐸 / 𝑥)))
9491, 92, 58, 93syl3anc 1490 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑥 · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ≤ (𝐸 / 𝑥)))
9590, 94mpbird 248 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ≤ 𝐸)
9645, 95eqbrtrd 4833 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ≤ 𝐸)
9732, 26, 33, 37, 96elo1d 14555 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ∈ 𝑂(1))
981, 26, 31, 97o1mul2 14643 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1))
99 fzfid 12983 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ Fin)
10021rpsqrtcld 14438 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
101100rpcnd 12075 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
102100rpne0d 12078 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ≠ 0)
10318, 101, 102divcld 11057 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
104103adantr 472 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
105 elfznn 12580 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) → 𝑑 ∈ ℕ)
106105adantl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → 𝑑 ∈ ℕ)
107106nnrpd 12071 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
108107rpsqrtcld 14438 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘𝑑) ∈ ℝ+)
109108rpcnd 12075 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘𝑑) ∈ ℂ)
110108rpne0d 12078 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘𝑑) ≠ 0)
111104, 109, 110divcld 11057 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
11299, 111fsumcl 14752 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
1134, 112fsumcl 14752 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
114 mulcl 10275 . . . 4 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ∈ ℂ)
11528, 26, 114sylancr 581 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ∈ ℂ)
116 2re 11348 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
117 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
118 2z 11659 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
119 rpexpcl 13089 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
120117, 118, 119sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
121 rpdivcl 12057 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+)
122120, 20, 121syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+)
123122rpsqrtcld 14438 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ+)
124123rpred 12073 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ)
125 remulcl 10276 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ) → (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℝ)
126116, 124, 125sylancr 581 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℝ)
127126recnd 10324 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℂ)
128103, 127mulcld 10316 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ ℂ)
1294, 112, 128fsumsub 14807 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
130108rpcnne0d 12082 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0))
131 reccl 10948 . . . . . . . . . . 11 (((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0) → (1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
13399, 132fsumcl 14752 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
134103, 133, 127subdid 10742 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))) = ((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
135 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝑥↑2) / 𝑚) → (⌊‘𝑦) = (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))
136135oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝑥↑2) / 𝑚) → (1...(⌊‘𝑦)) = (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))))
137136sumeq1d 14719 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((𝑥↑2) / 𝑚) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)))
138 fveq2 6377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝑥↑2) / 𝑚) → (√‘𝑦) = (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))
139138oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((𝑥↑2) / 𝑚) → (2 · (√‘𝑦)) = (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))
140137, 139oveq12d 6862 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((𝑥↑2) / 𝑚) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))
141 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
142 ovex 6876 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))) ∈ V
143140, 141, 142fvmpt3i 6478 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+ → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))
144122, 143syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))
145144oveq2d 6860 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
146104, 109, 110divrecd 11060 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (1 / (√‘𝑑))))
147146sumeq2dv 14721 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (1 / (√‘𝑑))))
14899, 103, 132fsummulc2 14803 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (1 / (√‘𝑑))))
149147, 148eqtr4d 2802 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑))))
150149oveq1d 6859 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))) = ((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
151134, 145, 1503eqtr4d 2809 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
152151sumeq2dv 14721 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
153 mulcl 10275 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
15428, 3, 153sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
1554, 154, 24fsummulc2 14803 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑥) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((2 · 𝑥) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
1561, 3, 25mulassd 10319 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑥) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
157154adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
158157, 103, 101, 102div12d 11093 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝑥) · (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((2 · 𝑥) / (√‘𝑚))))
159100rpcnne0d 12082 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0))
160 divdiv1 10992 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0)) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑚)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / ((√‘𝑚) · (√‘𝑚))))
16118, 159, 159, 160syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑚)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / ((√‘𝑚) · (√‘𝑚))))
16221rprege0d 12080 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚))
163 remsqsqrt 14285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚) → ((√‘𝑚) · (√‘𝑚)) = 𝑚)
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) · (√‘𝑚)) = 𝑚)
165164oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / ((√‘𝑚) · (√‘𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
166161, 165eqtr2d 2800 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑚)))
167166oveq2d 6860 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝑥) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = ((2 · 𝑥) · (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑚))))
168120adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
169168rprege0d 12080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥↑2)))
170 sqrtdiv 14294 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥↑2)) ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)))
171169, 21, 170syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)))
17239ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
173 sqrtsq 14298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘(𝑥↑2)) = 𝑥)
174172, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘(𝑥↑2)) = 𝑥)
175174oveq1d 6859 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)) = (𝑥 / (√‘𝑚)))
176171, 175eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = (𝑥 / (√‘𝑚)))
177176oveq2d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = (2 · (𝑥 / (√‘𝑚))))
178 2cnd 11352 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
1793adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
180 divass 10959 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0)) → ((2 · 𝑥) / (√‘𝑚)) = (2 · (𝑥 / (√‘𝑚))))
181178, 179, 159, 180syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝑥) / (√‘𝑚)) = (2 · (𝑥 / (√‘𝑚))))
182177, 181eqtr4d 2802 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = ((2 · 𝑥) / (√‘𝑚)))
183182oveq2d 6860 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((2 · 𝑥) / (√‘𝑚))))
184158, 167, 1833eqtr4d 2809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝑥) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))
185184sumeq2dv 14721 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((2 · 𝑥) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))
186155, 156, 1853eqtr3d 2807 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))
187186oveq2d 6860 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
188129, 152, 1873eqtr4d 2809 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))))
189188mpteq2dva 4905 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))))
190 dchrisum0lem1.f . . . . 5 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
191 dchrisum0.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
192 dchrisum0.s . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
193 dchrisum0.1 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
194 dchrisum0lem2.u . . . . 5 (𝜑𝐻𝑟 𝑈)
1956, 8, 67, 5, 7, 68, 9, 12, 190, 191, 192, 193, 141, 194dchrisum0lem2a 25500 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1))
196189, 195eqeltrrd 2845 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))) ∈ 𝑂(1))
197113, 115, 196o1dif 14648 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1)))
19898, 197mpbird 248 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  {crab 3059  cdif 3731  wss 3734  {csn 4336   class class class wbr 4811  cmpt 4890  cfv 6070  (class class class)co 6844  cc 10189  cr 10190  0cc0 10191  1c1 10192   + caddc 10194   · cmul 10196  +∞cpnf 10327   < clt 10330  cle 10331  cmin 10522   / cdiv 10940  cn 11276  2c2 11329  cz 11626  cuz 11889  +crp 12031  [,)cico 12382  ...cfz 12536  cfl 12802  seqcseq 13011  cexp 13070  csqrt 14261  abscabs 14262  cli 14503  𝑟 crli 14504  𝑂(1)co1 14505  Σcsu 14704  Basecbs 16133  0gc0g 16369  ℤRHomczrh 20124  ℤ/nczn 20127  DChrcdchr 25251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-inf2 8755  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-1cn 10249  ax-icn 10250  ax-addcl 10251  ax-addrcl 10252  ax-mulcl 10253  ax-mulrcl 10254  ax-mulcom 10255  ax-addass 10256  ax-mulass 10257  ax-distr 10258  ax-i2m1 10259  ax-1ne0 10260  ax-1rid 10261  ax-rnegex 10262  ax-rrecex 10263  ax-cnre 10264  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266  ax-pre-ltadd 10267  ax-pre-mulgt0 10268  ax-pre-sup 10269  ax-addf 10270  ax-mulf 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-disj 4780  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-of 7097  df-om 7266  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-supp 7500  df-tpos 7557  df-wrecs 7612  df-recs 7674  df-rdg 7712  df-1o 7766  df-2o 7767  df-oadd 7770  df-omul 7771  df-er 7949  df-ec 7951  df-qs 7955  df-map 8064  df-pm 8065  df-ixp 8116  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166  df-fsupp 8485  df-fi 8526  df-sup 8557  df-inf 8558  df-oi 8624  df-card 9018  df-acn 9021  df-cda 9245  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-sub 10524  df-neg 10525  df-div 10941  df-nn 11277  df-2 11337  df-3 11338  df-4 11339  df-5 11340  df-6 11341  df-7 11342  df-8 11343  df-9 11344  df-n0 11541  df-z 11627  df-dec 11744  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12032  df-xneg 12149  df-xadd 12150  df-xmul 12151  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12537  df-fzo 12677  df-fl 12804  df-mod 12880  df-seq 13012  df-exp 13071  df-fac 13268  df-bc 13297  df-hash 13325  df-shft 14095  df-cj 14127  df-re 14128  df-im 14129  df-sqrt 14263  df-abs 14264  df-limsup 14490  df-clim 14507  df-rlim 14508  df-o1 14509  df-lo1 14510  df-sum 14705  df-ef 15083  df-sin 15085  df-cos 15086  df-pi 15088  df-dvds 15269  df-struct 16135  df-ndx 16136  df-slot 16137  df-base 16139  df-sets 16140  df-ress 16141  df-plusg 16230  df-mulr 16231  df-starv 16232  df-sca 16233  df-vsca 16234  df-ip 16235  df-tset 16236  df-ple 16237  df-ds 16239  df-unif 16240  df-hom 16241  df-cco 16242  df-rest 16352  df-topn 16353  df-0g 16371  df-gsum 16372  df-topgen 16373  df-pt 16374  df-prds 16377  df-xrs 16431  df-qtop 16436  df-imas 16437  df-qus 16438  df-xps 16439  df-mre 16515  df-mrc 16516  df-acs 16518  df-mgm 17511  df-sgrp 17553  df-mnd 17564  df-mhm 17604  df-submnd 17605  df-grp 17695  df-minusg 17696  df-sbg 17697  df-mulg 17811  df-subg 17858  df-nsg 17859  df-eqg 17860  df-ghm 17925  df-cntz 18016  df-od 18215  df-cmn 18464  df-abl 18465  df-mgp 18760  df-ur 18772  df-ring 18819  df-cring 18820  df-oppr 18893  df-dvdsr 18911  df-unit 18912  df-invr 18942  df-dvr 18953  df-rnghom 18987  df-drng 19021  df-subrg 19050  df-lmod 19137  df-lss 19205  df-lsp 19247  df-sra 19449  df-rgmod 19450  df-lidl 19451  df-rsp 19452  df-2idl 19509  df-psmet 20014  df-xmet 20015  df-met 20016  df-bl 20017  df-mopn 20018  df-fbas 20019  df-fg 20020  df-cnfld 20023  df-zring 20095  df-zrh 20128  df-zn 20131  df-top 20981  df-topon 20998  df-topsp 21020  df-bases 21033  df-cld 21106  df-ntr 21107  df-cls 21108  df-nei 21185  df-lp 21223  df-perf 21224  df-cn 21314  df-cnp 21315  df-haus 21402  df-cmp 21473  df-tx 21648  df-hmeo 21841  df-fil 21932  df-fm 22024  df-flim 22025  df-flf 22026  df-xms 22407  df-ms 22408  df-tms 22409  df-cncf 22963  df-limc 23924  df-dv 23925  df-log 24597  df-cxp 24598  df-dchr 25252
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  25502
  Copyright terms: Public domain W3C validator