MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0lem2 27562
Description: Lemma for dchrisum0 27564. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b (𝜑𝑋𝑊)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
dchrisum0.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
dchrisum0lem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
dchrisum0lem2.u (𝜑𝐻𝑟 𝑈)
dchrisum0lem2.k 𝐾 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
dchrisum0lem2.e (𝜑𝐸 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0lem2.t (𝜑 → seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
dchrisum0lem2.3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦, 1   𝑚,𝑑,𝑥,𝑦,𝐶   𝐹,𝑑,𝑥,𝑦   𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝐸,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐾,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑑,𝑚,𝑥   𝑇,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑆,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑥   𝑥,𝑊   𝑚,𝑍,𝑥,𝑦   𝐷,𝑚,𝑥,𝑦   𝐿,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑑,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎,𝑑)   𝑆(𝑎)   𝑇(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑎,𝑑)   1 (𝑎,𝑑)   𝐸(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑎,𝑑)   𝑁(𝑎,𝑑)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑎,𝑑)   𝑍(𝑎,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem2
StepHypRef Expression
1 2cnd 12344 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
2 rpcn 13045 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
32adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
4 fzfid 14014 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
5 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
6 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
7 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
8 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
9 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
109ssrab3 4082 . . . . . . . . . 10 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑊)
1210, 11sselid 3981 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
1312eldifad 3963 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝐷)
1413ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑋𝐷)
15 elfzelz 13564 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℤ)
1615adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℤ)
175, 6, 7, 8, 14, 16dchrzrhcl 27289 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ)
18 elfznn 13593 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1918nnrpd 13075 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ+)
2019adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
2120rpcnd 13079 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℂ)
2220rpne0d 13082 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ≠ 0)
2317, 21, 22divcld 12043 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
244, 23fsumcl 15769 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
253, 24mulcld 11281 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
26 rpssre 13042 . . . . 5 + ⊆ ℝ
27 2cn 12341 . . . . 5 2 ∈ ℂ
28 o1const 15656 . . . . 5 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
2926, 27, 28mp2an 692 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
3029a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
3126a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
32 1red 11262 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
33 dchrisum0lem2.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (0[,)+∞))
34 elrege0 13494 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸))
3534simplbi 497 . . . . 5 (𝐸 ∈ (0[,)+∞) → 𝐸 ∈ ℝ)
3633, 35syl 17 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
373, 24absmuld 15493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) = ((abs‘𝑥) · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
38 rprege0 13050 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
3938adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
40 absid 15335 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
4241oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((abs‘𝑥) · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) = (𝑥 · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
4337, 42eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (abs‘(𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) = (𝑥 · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
4443adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) = (𝑥 · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
4524adantrr 717 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
4645subid1d 11609 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) − 0) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
4718adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑚 ∈ ℕ)
48 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑚)))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚)
5048, 49oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
51 dchrisum0lem2.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
52 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt3i 7021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → (𝐾𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
5447, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐾𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
5554adantlrr 721 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐾𝑚) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
56 rpregt0 13049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
5756ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
5857simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
59 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
60 flge1nn 13861 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
6158, 59, 60syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
62 nnuz 12921 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
6361, 62eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1))
6423adantlrr 721 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
6555, 63, 64fsumser 15766 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)))
66 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
67 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0g𝐺)
68 eldifsni 4790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋1 )
6912, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋1 )
70 dchrisum0lem2.t . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
71 dchrisum0lem2.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 / 𝑦))
726, 8, 66, 5, 7, 67, 13, 69, 51, 33, 70, 71, 9dchrvmaeq0 27548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋𝑊𝑇 = 0))
7311, 72mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 = 0)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑇 = 0)
7574eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 = 𝑇)
7665, 75oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) − 0) = ((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑇))
7746, 76eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑇))
7877fveq2d 6910 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑇)))
79 2fveq3 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)))
8079fvoveq1d 7453 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) = (abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑇)))
81 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐸 / 𝑦) = (𝐸 / 𝑥))
8280, 81breq12d 5156 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 / 𝑦) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 / 𝑥)))
8371adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 / 𝑦))
84 1re 11261 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
85 elicopnf 13485 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
8758, 59, 86sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
8882, 83, 87rspcdva 3623 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘((seq1( + , 𝐾)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑇)) ≤ (𝐸 / 𝑥))
8978, 88eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ≤ (𝐸 / 𝑥))
9045abscld 15475 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℝ)
9136adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝐸 ∈ ℝ)
92 lemuldiv2 12149 . . . . . . 7 (((abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → ((𝑥 · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ≤ (𝐸 / 𝑥)))
9390, 91, 57, 92syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((𝑥 · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ≤ 𝐸 ↔ (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ≤ (𝐸 / 𝑥)))
9489, 93mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (𝑥 · (abs‘Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ≤ 𝐸)
9544, 94eqbrtrd 5165 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ≤ 𝐸)
9631, 25, 32, 36, 95elo1d 15572 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ∈ 𝑂(1))
971, 25, 30, 96o1mul2 15661 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1))
98 fzfid 14014 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ Fin)
9920rpsqrtcld 15450 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ∈ ℝ+)
10099rpcnd 13079 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ∈ ℂ)
10199rpne0d 13082 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘𝑚) ≠ 0)
10217, 100, 101divcld 12043 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
103102adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) ∈ ℂ)
104 elfznn 13593 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))) → 𝑑 ∈ ℕ)
105104adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → 𝑑 ∈ ℕ)
106105nnrpd 13075 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
107106rpsqrtcld 15450 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘𝑑) ∈ ℝ+)
108107rpcnd 13079 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘𝑑) ∈ ℂ)
109107rpne0d 13082 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (√‘𝑑) ≠ 0)
110103, 108, 109divcld 12043 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
11198, 110fsumcl 15769 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
1124, 111fsumcl 15769 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
113 mulcl 11239 . . . 4 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ∈ ℂ)
11427, 25, 113sylancr 587 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) ∈ ℂ)
115 2re 12340 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
116 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
117 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
118 rpexpcl 14121 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
119116, 117, 118sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
120 rpdivcl 13060 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥↑2) ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ+) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+)
121119, 19, 120syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+)
122121rpsqrtcld 15450 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ+)
123122rpred 13077 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ)
124 remulcl 11240 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) ∈ ℝ) → (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℝ)
125115, 123, 124sylancr 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℝ)
126125recnd 11289 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) ∈ ℂ)
127102, 126mulcld 11281 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ ℂ)
1284, 111, 127fsumsub 15824 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
129107rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → ((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0))
130 reccl 11929 . . . . . . . . . . 11 (((√‘𝑑) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑑) ≠ 0) → (1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
13298, 131fsumcl 15769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)) ∈ ℂ)
133102, 132, 126subdid 11719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))) = ((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
134 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((𝑥↑2) / 𝑚) → (⌊‘𝑦) = (⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))
135134oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝑥↑2) / 𝑚) → (1...(⌊‘𝑦)) = (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚))))
136135sumeq1d 15736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((𝑥↑2) / 𝑚) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)))
137 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((𝑥↑2) / 𝑚) → (√‘𝑦) = (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))
138137oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((𝑥↑2) / 𝑚) → (2 · (√‘𝑦)) = (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))
139136, 138oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((𝑥↑2) / 𝑚) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))
140 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))))
141 ovex 7464 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ (1...(⌊‘𝑦))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘𝑦))) ∈ V
142139, 140, 141fvmpt3i 7021 . . . . . . . . . 10 (((𝑥↑2) / 𝑚) ∈ ℝ+ → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))
143121, 142syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))
144143oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑)) − (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
145103, 108, 109divrecd 12046 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (1 / (√‘𝑑))))
146145sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (1 / (√‘𝑑))))
14798, 102, 131fsummulc2 15820 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑))) = Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (1 / (√‘𝑑))))
148146, 147eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑))))
149148oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))) = ((((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(1 / (√‘𝑑))) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
150133, 144, 1493eqtr4d 2787 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
151150sumeq2dv 15738 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
152 mulcl 11239 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
15327, 3, 152sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
1544, 153, 23fsummulc2 15820 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑥) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((2 · 𝑥) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))
1551, 3, 24mulassd 11284 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑥) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))
156153adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
157156, 102, 100, 101div12d 12079 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝑥) · (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑚))) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((2 · 𝑥) / (√‘𝑚))))
15899rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0))
159 divdiv1 11978 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋‘(𝐿𝑚)) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0) ∧ ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0)) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑚)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / ((√‘𝑚) · (√‘𝑚))))
16017, 158, 158, 159syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑚)) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / ((√‘𝑚) · (√‘𝑚))))
16120rprege0d 13084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚))
162 remsqsqrt 15295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑚) → ((√‘𝑚) · (√‘𝑚)) = 𝑚)
163161, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘𝑚) · (√‘𝑚)) = 𝑚)
164163oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / ((√‘𝑚) · (√‘𝑚))) = ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))
165160, 164eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑚)))
166165oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝑥) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = ((2 · 𝑥) · (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑚))))
167119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
168167rprege0d 13084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥↑2)))
169 sqrtdiv 15304 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥↑2)) ∧ 𝑚 ∈ ℝ+) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)))
170168, 20, 169syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)))
17138ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
172 sqrtsq 15308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘(𝑥↑2)) = 𝑥)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘(𝑥↑2)) = 𝑥)
174173oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((√‘(𝑥↑2)) / (√‘𝑚)) = (𝑥 / (√‘𝑚)))
175170, 174eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)) = (𝑥 / (√‘𝑚)))
176175oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = (2 · (𝑥 / (√‘𝑚))))
177 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
1783adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
179 divass 11940 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑚) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑚) ≠ 0)) → ((2 · 𝑥) / (√‘𝑚)) = (2 · (𝑥 / (√‘𝑚))))
180177, 178, 158, 179syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝑥) / (√‘𝑚)) = (2 · (𝑥 / (√‘𝑚))))
181176, 180eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = ((2 · 𝑥) / (√‘𝑚)))
182181oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · ((2 · 𝑥) / (√‘𝑚))))
183157, 166, 1823eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝑥) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = (((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))
184183sumeq2dv 15738 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((2 · 𝑥) · ((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))
185154, 155, 1843eqtr3d 2785 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚)))))
186185oveq2d 7447 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (2 · (√‘((𝑥↑2) / 𝑚))))))
187128, 151, 1863eqtr4d 2787 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))))
188187mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))))
189 dchrisum0lem1.f . . . . 5 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / (√‘𝑎)))
190 dchrisum0.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
191 dchrisum0.s . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
192 dchrisum0.1 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑆)) ≤ (𝐶 / (√‘𝑦)))
193 dchrisum0lem2.u . . . . 5 (𝜑𝐻𝑟 𝑈)
1946, 8, 66, 5, 7, 67, 9, 11, 189, 190, 191, 192, 140, 193dchrisum0lem2a 27561 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) · (𝐻‘((𝑥↑2) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1))
195188, 194eqeltrrd 2842 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑)) − (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚))))) ∈ 𝑂(1))
196112, 114, 195o1dif 15666 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (𝑥 · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑋‘(𝐿𝑚)) / 𝑚)))) ∈ 𝑂(1)))
19797, 196mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑑 ∈ (1...(⌊‘((𝑥↑2) / 𝑚)))(((𝑋‘(𝐿𝑚)) / (√‘𝑚)) / (√‘𝑑))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  cdif 3948  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  [,)cico 13389  ...cfz 13547  cfl 13830  seqcseq 14042  cexp 14102  csqrt 15272  abscabs 15273  cli 15520  𝑟 crli 15521  𝑂(1)co1 15522  Σcsu 15722  Basecbs 17247  0gc0g 17484  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513  DChrcdchr 27276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-o1 15526  df-lo1 15527  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-qus 17554  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-od 19546  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599  df-dchr 27277
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  27563
  Copyright terms: Public domain W3C validator