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Theorem dchrisum0lem2 27438
Description: Lemma for dchrisum0 27440. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
rpvmasum2.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
dchrisum0.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
dchrisum0.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
dchrisum0lem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))
dchrisum0lem2.u (πœ‘ β†’ 𝐻 β‡π‘Ÿ π‘ˆ)
dchrisum0lem2.k 𝐾 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
dchrisum0lem2.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0lem2.t (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
dchrisum0lem2.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦, 1   π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐢   𝐹,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐸,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐾,𝑦   π‘š,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑇,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘š,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘š,𝑍,π‘₯,𝑦   𝐷,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž,𝑑)   𝑆(π‘Ž)   𝑇(π‘Ž)   π‘ˆ(𝑦,π‘Ž,𝑑)   1 (π‘Ž,𝑑)   𝐸(π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝐾(π‘₯,π‘Ž,𝑑)   𝑁(π‘Ž,𝑑)   π‘Š(𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝑍(π‘Ž,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem2
StepHypRef Expression
1 2cnd 12312 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
2 rpcn 13008 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
32adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4 fzfid 13962 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
5 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
6 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
7 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
8 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
9 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
109ssrab3 4076 . . . . . . . . . 10 π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 })
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
1210, 11sselid 3976 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }))
1312eldifad 3956 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1413ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
15 elfzelz 13525 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ β„€)
1615adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„€)
175, 6, 7, 8, 14, 16dchrzrhcl 27165 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
18 elfznn 13554 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ β„•)
1918nnrpd 13038 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
2019adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
2120rpcnd 13042 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
2220rpne0d 13045 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š β‰  0)
2317, 21, 22divcld 12012 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
244, 23fsumcl 15703 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
253, 24mulcld 11256 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
26 rpssre 13005 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
27 2cn 12309 . . . . 5 2 ∈ β„‚
28 o1const 15588 . . . . 5 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
2926, 27, 28mp2an 691 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
3029a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
3126a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
32 1red 11237 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
33 dchrisum0lem2.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
34 elrege0 13455 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐸))
3534simplbi 497 . . . . 5 (𝐸 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
3633, 35syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
373, 24absmuld 15425 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
38 rprege0 13013 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
3938adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
40 absid 15267 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
4241oveq1d 7429 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
4337, 42eqtrd 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
4443adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
4524adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
4645subid1d 11582 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) βˆ’ 0) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
4718adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„•)
48 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘š β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘š β†’ π‘Ž = π‘š)
5048, 49oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = π‘š β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
51 dchrisum0lem2.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
52 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt3i 7004 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
5447, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
5554adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
56 rpregt0 13012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
5756ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
5857simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
59 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
60 flge1nn 13810 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
6158, 59, 60syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
62 nnuz 12887 . . . . . . . . . . . 12 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
6361, 62eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
6423adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
6555, 63, 64fsumser 15700 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
66 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
67 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0gβ€˜πΊ)
68 eldifsni 4789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) β†’ 𝑋 β‰  1 )
6912, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
70 dchrisum0lem2.t . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
71 dchrisum0lem2.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦))
726, 8, 66, 5, 7, 67, 13, 69, 51, 33, 70, 71, 9dchrvmaeq0 27424 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ 𝑇 = 0))
7311, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 = 0)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑇 = 0)
7574eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 0 = 𝑇)
7665, 75oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) βˆ’ 0) = ((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇))
7746, 76eqtr3d 2769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = ((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇))
7877fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)))
79 2fveq3 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
8079fvoveq1d 7436 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)))
81 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐸 / 𝑦) = (𝐸 / π‘₯))
8280, 81breq12d 5155 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦) ↔ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / π‘₯)))
8371adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦))
84 1re 11236 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
85 elicopnf 13446 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)))
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯))
8758, 59, 86sylanbrc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (1[,)+∞))
8882, 83, 87rspcdva 3608 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / π‘₯))
8978, 88eqbrtrd 5164 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ≀ (𝐸 / π‘₯))
9045abscld 15407 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ ℝ)
9136adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
92 lemuldiv2 12117 . . . . . . 7 (((absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ≀ (𝐸 / π‘₯)))
9390, 91, 57, 92syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ≀ (𝐸 / π‘₯)))
9489, 93mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸)
9544, 94eqbrtrd 5164 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸)
9631, 25, 32, 36, 95elo1d 15504 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ∈ 𝑂(1))
971, 25, 30, 96o1mul2 15593 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1))
98 fzfid 13962 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ Fin)
9920rpsqrtcld 15382 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
10099rpcnd 13042 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
10199rpne0d 13045 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)
10217, 100, 101divcld 12012 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
103102adantr 480 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
104 elfznn 13554 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
105104adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
106105nnrpd 13038 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
107106rpsqrtcld 15382 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) ∈ ℝ+)
108107rpcnd 13042 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
109107rpne0d 13045 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0)
110103, 108, 109divcld 12012 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
11198, 110fsumcl 15703 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
1124, 111fsumcl 15703 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
113 mulcl 11214 . . . 4 ((2 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ∈ β„‚)
11427, 25, 113sylancr 586 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ∈ β„‚)
115 2re 12308 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
116 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
117 2z 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„€
118 rpexpcl 14069 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
119116, 117, 118sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
120 rpdivcl 13023 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯↑2) ∈ ℝ+ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+)
121119, 19, 120syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+)
122121rpsqrtcld 15382 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ+)
123122rpred 13040 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ)
124 remulcl 11215 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ ℝ)
125115, 123, 124sylancr 586 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ ℝ)
126125recnd 11264 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ β„‚)
127102, 126mulcld 11256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) ∈ β„‚)
1284, 111, 127fsumsub 15758 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
129107rpcnne0d 13049 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0))
130 reccl 11901 . . . . . . . . . . 11 (((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
13298, 131fsumcl 15703 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
133102, 132, 126subdid 11692 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
134 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (βŒŠβ€˜π‘¦) = (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))
135134oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))
136135sumeq1d 15671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)))
137 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))
138137oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)) = (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))
139136, 138oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
140 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))
141 ovex 7447 . . . . . . . . . . 11 (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))) ∈ V
142139, 140, 141fvmpt3i 7004 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+ β†’ (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
143121, 142syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
144143oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
145103, 108, 109divrecd 12015 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
146145sumeq2dv 15673 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
14798, 102, 131fsummulc2 15754 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
148146, 147eqtr4d 2770 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
149148oveq1d 7429 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
150133, 144, 1493eqtr4d 2777 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
151150sumeq2dv 15673 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
152 mulcl 11214 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
15327, 3, 152sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
1544, 153, 23fsummulc2 15754 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
1551, 3, 24mulassd 11259 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
156153adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
157156, 102, 100, 101div12d 12048 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š))))
15899rpcnne0d 13049 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0))
159 divdiv1 11947 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0) ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š))))
16017, 158, 158, 159syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š))))
16120rprege0d 13047 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š))
162 remsqsqrt 15227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š)) = π‘š)
163161, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š)) = π‘š)
164163oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
165160, 164eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
166165oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = ((2 Β· π‘₯) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))))
167119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
168167rprege0d 13047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯↑2)))
169 sqrtdiv 15236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯↑2)) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
170168, 20, 169syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
17138ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
172 sqrtsq 15240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) = π‘₯)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) = π‘₯)
174173oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š)))
175170, 174eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š)))
176175oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (2 Β· (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
177 2cnd 12312 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 2 ∈ β„‚)
1783adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
179 divass 11912 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)) β†’ ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (2 Β· (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
180177, 178, 158, 179syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (2 Β· (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
181176, 180eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š)))
182181oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š))))
183157, 166, 1823eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
184183sumeq2dv 15673 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
185154, 155, 1843eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
186185oveq2d 7430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
187128, 151, 1863eqtr4d 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))))
188187mpteq2dva 5242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))))
189 dchrisum0lem1.f . . . . 5 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
190 dchrisum0.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
191 dchrisum0.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
192 dchrisum0.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
193 dchrisum0lem2.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‡π‘Ÿ π‘ˆ)
1946, 8, 66, 5, 7, 67, 9, 11, 189, 190, 191, 192, 140, 193dchrisum0lem2a 27437 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1))
195188, 194eqeltrrd 2829 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))) ∈ 𝑂(1))
196112, 114, 195o1dif 15598 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1)))
19797, 196mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  {crab 3427   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  +∞cpnf 11267   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  2c2 12289  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  β„+crp 12998  [,)cico 13350  ...cfz 13508  βŒŠcfl 13779  seqcseq 13990  β†‘cexp 14050  βˆšcsqrt 15204  abscabs 15205   ⇝ cli 15452   β‡π‘Ÿ crli 15453  π‘‚(1)co1 15454  Ξ£csu 15656  Basecbs 17171  0gc0g 17412  β„€RHomczrh 21412  β„€/nβ„€czn 21415  DChrcdchr 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-o1 15458  df-lo1 15459  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-qus 17482  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-od 19474  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zn 21419  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-cxp 26478  df-dchr 27153
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  27439
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