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Theorem dchrisum0lem2 26882
Description: Lemma for dchrisum0 26884. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
rpvmasum2.w π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
dchrisum0.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
dchrisum0lem1.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
dchrisum0.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0.s (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
dchrisum0.1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
dchrisum0lem2.h 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))
dchrisum0lem2.u (πœ‘ β†’ 𝐻 β‡π‘Ÿ π‘ˆ)
dchrisum0lem2.k 𝐾 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
dchrisum0lem2.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
dchrisum0lem2.t (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
dchrisum0lem2.3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦))
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘š,𝑦, 1   π‘š,𝑑,π‘₯,𝑦,𝐢   𝐹,𝑑,π‘₯,𝑦   π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐸,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐾,𝑦   π‘š,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑑,π‘š,π‘₯   𝑇,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘ˆ,π‘š,π‘₯   π‘₯,π‘Š   π‘š,𝑍,π‘₯,𝑦   𝐷,π‘š,π‘₯,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑑,π‘š,π‘₯,𝑦   π‘š,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐢(π‘Ž)   𝐷(π‘Ž,𝑑)   𝑆(π‘Ž)   𝑇(π‘Ž)   π‘ˆ(𝑦,π‘Ž,𝑑)   1 (π‘Ž,𝑑)   𝐸(π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝐾(π‘₯,π‘Ž,𝑑)   𝑁(π‘Ž,𝑑)   π‘Š(𝑦,π‘š,π‘Ž,𝑑)   𝑍(π‘Ž,𝑑)

Proof of Theorem dchrisum0lem2
StepHypRef Expression
1 2cnd 12238 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
2 rpcn 12932 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
32adantl 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
4 fzfid 13885 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
5 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
6 rpvmasum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
7 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
8 rpvmasum.l . . . . . . 7 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
9 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11 π‘Š = {𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) ∣ Ξ£π‘š ∈ β„• ((π‘¦β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = 0}
109ssrab3 4045 . . . . . . . . . 10 π‘Š βŠ† (𝐷 βˆ– { 1 })
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘Š)
1210, 11sselid 3947 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }))
1312eldifad 3927 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
1413ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
15 elfzelz 13448 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ β„€)
1615adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„€)
175, 6, 7, 8, 14, 16dchrzrhcl 26609 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
18 elfznn 13477 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ β„•)
1918nnrpd 12962 . . . . . . . 8 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
2019adantl 483 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
2120rpcnd 12966 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
2220rpne0d 12969 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š β‰  0)
2317, 21, 22divcld 11938 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
244, 23fsumcl 15625 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
253, 24mulcld 11182 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚)
26 rpssre 12929 . . . . 5 ℝ+ βŠ† ℝ
27 2cn 12235 . . . . 5 2 ∈ β„‚
28 o1const 15509 . . . . 5 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 2 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
2926, 27, 28mp2an 691 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1)
3029a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 2) ∈ 𝑂(1))
3126a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
32 1red 11163 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
33 dchrisum0lem2.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (0[,)+∞))
34 elrege0 13378 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐸))
3534simplbi 499 . . . . 5 (𝐸 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
3633, 35syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
373, 24absmuld 15346 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
38 rprege0 12937 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
3938adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
40 absid 15188 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜π‘₯) = π‘₯)
4241oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜π‘₯) Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
4337, 42eqtrd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
4443adantrr 716 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
4524adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
4645subid1d 11508 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) βˆ’ 0) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
4718adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘š ∈ β„•)
48 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘š β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘š β†’ π‘Ž = π‘š)
5048, 49oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = π‘š β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
51 dchrisum0lem2.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
52 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt3i 6958 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ (πΎβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
5447, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
5554adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (πΎβ€˜π‘š) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
56 rpregt0 12936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
5756ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
5857simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
59 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
60 flge1nn 13733 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
6158, 59, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
62 nnuz 12813 . . . . . . . . . . . 12 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
6361, 62eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
6423adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) ∈ β„‚)
6555, 63, 64fsumser 15622 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
66 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
67 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0gβ€˜πΊ)
68 eldifsni 4755 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 ∈ (𝐷 βˆ– { 1 }) β†’ 𝑋 β‰  1 )
6912, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
70 dchrisum0lem2.t . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐾) ⇝ 𝑇)
71 dchrisum0lem2.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦))
726, 8, 66, 5, 7, 67, 13, 69, 51, 33, 70, 71, 9dchrvmaeq0 26868 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘Š ↔ 𝑇 = 0))
7311, 72mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 = 0)
7473adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑇 = 0)
7574eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 0 = 𝑇)
7665, 75oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) βˆ’ 0) = ((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇))
7746, 76eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = ((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇))
7877fveq2d 6851 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)))
79 2fveq3 6852 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
8079fvoveq1d 7384 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)))
81 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝐸 / 𝑦) = (𝐸 / π‘₯))
8280, 81breq12d 5123 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦) ↔ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / π‘₯)))
8371adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / 𝑦))
84 1re 11162 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
85 elicopnf 13369 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)))
8684, 85ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯))
8758, 59, 86sylanbrc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (1[,)+∞))
8882, 83, 87rspcdva 3585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐾)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑇)) ≀ (𝐸 / π‘₯))
8978, 88eqbrtrd 5132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ≀ (𝐸 / π‘₯))
9045abscld 15328 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ ℝ)
9136adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
92 lemuldiv2 12043 . . . . . . 7 (((absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ≀ (𝐸 / π‘₯)))
9390, 91, 57, 92syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ ((π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸 ↔ (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ≀ (𝐸 / π‘₯)))
9489, 93mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸)
9544, 94eqbrtrd 5132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ≀ 𝐸)
9631, 25, 32, 36, 95elo1d 15425 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ∈ 𝑂(1))
971, 25, 30, 96o1mul2 15514 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1))
98 fzfid 13885 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ Fin)
9920rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ ℝ+)
10099rpcnd 12966 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
10199rpne0d 12969 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)
10217, 100, 101divcld 11938 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
103102adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
104 elfznn 13477 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
105104adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ 𝑑 ∈ β„•)
106105nnrpd 12962 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
107106rpsqrtcld 15303 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) ∈ ℝ+)
108107rpcnd 12966 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
109107rpne0d 12969 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0)
110103, 108, 109divcld 11938 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
11198, 110fsumcl 15625 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
1124, 111fsumcl 15625 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
113 mulcl 11142 . . . 4 ((2 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) ∈ β„‚) β†’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ∈ β„‚)
11427, 25, 113sylancr 588 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) ∈ β„‚)
115 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
116 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
117 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ β„€
118 rpexpcl 13993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ β„€) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
119116, 117, 118sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
120 rpdivcl 12947 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯↑2) ∈ ℝ+ ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+)
121119, 19, 120syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+)
122121rpsqrtcld 15303 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ+)
123122rpred 12964 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ)
124 remulcl 11143 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ ℝ)
125115, 123, 124sylancr 588 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ ℝ)
126125recnd 11190 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) ∈ β„‚)
127102, 126mulcld 11182 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) ∈ β„‚)
1284, 111, 127fsumsub 15680 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
129107rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0))
130 reccl 11827 . . . . . . . . . . 11 (((βˆšβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘‘) β‰  0) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
13298, 131fsumcl 15625 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
133102, 132, 126subdid 11618 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
134 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (βŒŠβ€˜π‘¦) = (βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))
135134oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))
136135sumeq1d 15593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)))
137 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))
138137oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦)) = (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))
139136, 138oveq12d 7380 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = ((π‘₯↑2) / π‘š) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
140 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑦 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))))
141 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘¦))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘¦))) ∈ V
142139, 140, 141fvmpt3i 6958 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯↑2) / π‘š) ∈ ℝ+ β†’ (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
143121, 142syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
144143oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
145103, 108, 109divrecd 11941 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
146145sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
14798, 102, 131fsummulc2 15676 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))) = Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
148146, 147eqtr4d 2780 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))))
149148oveq1d 7377 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))) = ((((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(1 / (βˆšβ€˜π‘‘))) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
150133, 144, 1493eqtr4d 2787 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
151150sumeq2dv 15595 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
152 mulcl 11142 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
15327, 3, 152sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
1544, 153, 23fsummulc2 15676 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))
1551, 3, 24mulassd 11185 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))
156153adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
157156, 102, 100, 101div12d 11974 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š))))
15899rpcnne0d 12973 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0))
159 divdiv1 11873 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0) ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š))))
16017, 158, 158, 159syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š))))
16120rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š))
162 remsqsqrt 15148 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘š) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š)) = π‘š)
163161, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š)) = π‘š)
164163oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / ((βˆšβ€˜π‘š) Β· (βˆšβ€˜π‘š))) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))
165160, 164eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
166165oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = ((2 Β· π‘₯) Β· (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š))))
167119adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯↑2) ∈ ℝ+)
168167rprege0d 12971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯↑2)))
169 sqrtdiv 15157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘₯↑2)) ∧ π‘š ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
170168, 20, 169syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)))
17138ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
172 sqrtsq 15161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) = π‘₯)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) = π‘₯)
174173oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((βˆšβ€˜(π‘₯↑2)) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š)))
175170, 174eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)) = (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š)))
176175oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (2 Β· (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
177 2cnd 12238 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 2 ∈ β„‚)
1783adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
179 divass 11838 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘š) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘š) β‰  0)) β†’ ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (2 Β· (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
180177, 178, 158, 179syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š)) = (2 Β· (π‘₯ / (βˆšβ€˜π‘š))))
181176, 180eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š)))
182181oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· ((2 Β· π‘₯) / (βˆšβ€˜π‘š))))
183157, 166, 1823eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = (((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
184183sumeq2dv 15595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((2 Β· π‘₯) Β· ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
185154, 155, 1843eqtr3d 2785 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))))
186185oveq2d 7378 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (2 Β· (βˆšβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š))))))
187128, 151, 1863eqtr4d 2787 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š))) = (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))))
188187mpteq2dva 5210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))))
189 dchrisum0lem1.f . . . . 5 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / (βˆšβ€˜π‘Ž)))
190 dchrisum0.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
191 dchrisum0.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑆)
192 dchrisum0.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑆)) ≀ (𝐢 / (βˆšβ€˜π‘¦)))
193 dchrisum0lem2.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 β‡π‘Ÿ π‘ˆ)
1946, 8, 66, 5, 7, 67, 9, 11, 189, 190, 191, 192, 140, 193dchrisum0lem2a 26881 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) Β· (π»β€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1))
195188, 194eqeltrrd 2839 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘)) βˆ’ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š))))) ∈ 𝑂(1))
196112, 114, 195o1dif 15519 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (π‘₯ Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / π‘š)))) ∈ 𝑂(1)))
19797, 196mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑑 ∈ (1...(βŒŠβ€˜((π‘₯↑2) / π‘š)))(((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘š)) / (βˆšβ€˜π‘‘))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„€cz 12506  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  [,)cico 13273  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974  βˆšcsqrt 15125  abscabs 15126   ⇝ cli 15373   β‡π‘Ÿ crli 15374  π‘‚(1)co1 15375  Ξ£csu 15577  Basecbs 17090  0gc0g 17328  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  DChrcdchr 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-od 19317  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  26883
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