Theorem divgt1b 43143

Description: The ratio of a real number to a positive real number is greater than 1 iff the divisor (the positive real number) is less than the dividend (the real number). (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divgt1b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))

Proof of Theorem divgt1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12124	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	mulid2d 10375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2831	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
5	4	breq1d 4883	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (1 · 𝐴) < 𝐵))
6		1red 10357	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
7		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		rpregt0 12128	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
9	8	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10		ltmuldiv 11226	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
12	5, 11	bitrd 271	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   · cmul 10257   < clt 10391   / cdiv 11009  ℝ⁺crp 12112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-rp 12113

This theorem is referenced by:  pw2m1lepw2m1  43150