Theorem divgt1b 45854

Description: The ratio of a real number to a positive real number is greater than 1 iff the divisor (the positive real number) is less than the dividend (the real number). (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divgt1b	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))

Proof of Theorem divgt1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcn 12740	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	mulid2d 10993	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
4	3	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
5	4	breq1d 5084	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (1 · 𝐴) < 𝐵))
6		1red 10976	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
7		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8		rpregt0 12744	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10		ltmuldiv 11848	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
11	6, 7, 9, 10	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
12	5, 11	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   / cdiv 11632  ℝ⁺crp 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-rp 12731

This theorem is referenced by:  pw2m1lepw2m1  45861