Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divgt1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divgt1b 44553
Description: The ratio of a real number to a positive real number is greater than 1 iff the divisor (the positive real number) is less than the dividend (the real number). (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
divgt1b ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))

Proof of Theorem divgt1b
StepHypRef Expression
1 rpcn 12391 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
21adantr 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
32mulid2d 10651 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
43eqcomd 2825 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
54breq1d 5067 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (1 · 𝐴) < 𝐵))
6 1red 10634 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
7 simpr 487 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 rpregt0 12395 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
98adantr 483 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10 ltmuldiv 11505 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
116, 7, 9, 10syl3anc 1365 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → ((1 · 𝐴) < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
125, 11bitrd 281 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 / 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wcel 2107   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   < clt 10667   / cdiv 11289  +crp 12381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-rp 12382
This theorem is referenced by:  pw2m1lepw2m1  44560
  Copyright terms: Public domain W3C validator