MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmadivsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmadivsum 27222
Description: The sum of the von Mangoldt function over ๐‘› is asymptotic to log๐‘ฅ + ๐‘‚(1). Equation 9.2.13 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmadivsum (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘›

Proof of Theorem vmadivsum
StepHypRef Expression
1 reex 11205 . . . . . . 7 โ„ โˆˆ V
2 rpssre 12986 . . . . . . 7 โ„+ โŠ† โ„
31, 2ssexi 5322 . . . . . 6 โ„+ โˆˆ V
43a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ โ„+ โˆˆ V)
5 ovexd 7447 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ V)
6 ovexd 7447 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ V)
7 eqidd 2732 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))))
8 eqidd 2732 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))))
94, 5, 6, 7, 8offval2 7694 . . . 4 (โŠค โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))))
109mptru 1547 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))))
11 fzfid 13943 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ Fin)
12 elfznn 13535 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1312adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
14 vmacl 26859 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
1615, 13nndivred 12271 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
1711, 16fsumrecl 15685 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
1817recnd 11247 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
19 relogcl 26321 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2019recnd 11247 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
21 rprege0 12994 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
22 flge0nn0 13790 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
23 faccl 14248 . . . . . . . . . 10 ((โŒŠโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
2524nnrpd 13019 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
2625relogcld 26368 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
27 rerpdivcl 13009 . . . . . . 7 (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2826, 27mpancom 685 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2928recnd 11247 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3018, 20, 29nnncan2d 11611 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)))
3130mpteq2ia 5251 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)))
3210, 31eqtri 2759 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)))
33 1red 11220 . . . . 5 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
34 chpo1ub 27220 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1)
3534a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1))
36 rpre 12987 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
37 chpcl 26865 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
39 rerpdivcl 13009 . . . . . . . 8 (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4038, 39mpancom 685 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4140recnd 11247 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4241adantl 481 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4318, 29subcld 11576 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
4443adantl 481 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
4536adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
4616, 45remulcld 11249 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
47 nndivre 12258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
4836, 12, 47syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
49 reflcl 13766 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
5115, 50remulcld 11249 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
5246, 51resubcld 11647 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
5348, 50resubcld 11647 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
54 1red 11220 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
55 vmage0 26862 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
5613, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
57 fracle1 13773 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โ‰ค 1)
5848, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โ‰ค 1)
5953, 54, 15, 56, 58lemul2ad 12159 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท 1))
6015recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6148recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6250recnd 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
6360, 61, 62subdid 11675 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
64 rpcn 12989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6613nnrpd 13019 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
67 rpcnne0 12997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0))
69 div23 11896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘›) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ))
70 divass 11895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘›) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)))
7169, 70eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)))
7260, 65, 68, 71syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)))
7372oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
7463, 73eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
7560mulridd 11236 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท 1) = (ฮ›โ€˜๐‘›))
7659, 74, 753brtr3d 5179 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
7711, 52, 15, 76fsumle 15750 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(ฮ›โ€˜๐‘›))
7816recnd 11247 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
7911, 64, 78fsummulc1 15736 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ))
80 logfac2 26957 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
8121, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
8279, 81oveq12d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
8346recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
8451recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
8511, 83, 84fsumsub 15739 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
8682, 85eqtr4d 2774 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
87 chpval 26863 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(ฮ›โ€˜๐‘›))
8836, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(ฮ›โ€˜๐‘›))
8977, 86, 883brtr4d 5180 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ))
9017, 36remulcld 11249 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
9190, 26resubcld 11647 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„)
92 rpregt0 12993 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ))
93 lediv1 12084 . . . . . . . . 9 ((((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โˆง (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โ†” (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
9491, 38, 92, 93syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โ†” (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
9589, 94mpbid 231 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
9690recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
9726recnd 11247 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
98 rpcnne0 12997 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
99 divsubdir 11913 . . . . . . . . . . 11 (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
10096, 97, 98, 99syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
101 rpne0 12995 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
10218, 64, 101divcan4d 12001 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›))
103102oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
104100, 103eqtr2d 2772 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
105104fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (absโ€˜(((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ)))
106 rerpdivcl 13009 . . . . . . . . . 10 ((((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
10791, 106mpancom 685 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
108 flle 13769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›))
10948, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›))
11048, 50subge0d 11809 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›)))
111109, 110mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
11215, 53, 56, 111mulge0d 11796 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
113112, 74breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
11411, 52, 113fsumge0 15746 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
115114, 86breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))))
116 divge0 12088 . . . . . . . . . 10 (((((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
11791, 115, 92, 116syl21anc 835 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
118107, 117absidd 15374 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ)) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
119105, 118eqtrd 2771 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
120 chpge0 26867 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ))
12136, 120syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ))
122 divge0 12088 . . . . . . . . 9 ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
12338, 121, 92, 122syl21anc 835 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
12440, 123absidd 15374 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) = ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
12595, 119, 1243brtr4d 5180 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‰ค (absโ€˜((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
126125ad2antrl 725 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‰ค (absโ€˜((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
12733, 35, 42, 44, 126o1le 15604 . . . 4 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
128127mptru 1547 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
129 logfacrlim 26964 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 1
130 rlimo1 15566 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
131129, 130ax-mp 5 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
132 o1sub 15565 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1))
133128, 131, 132mp2an 689 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1)
13432, 133eqeltrri 2829 1 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540  โŠคwtru 1541   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   โˆ˜f cof 7672  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   ยท cmul 11119   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  โ„•0cn0 12477  โ„+crp 12979  ...cfz 13489  โŒŠcfl 13760  !cfa 14238  abscabs 15186   โ‡๐‘Ÿ crli 15434  ๐‘‚(1)co1 15435  ฮฃcsu 15637  logclog 26300  ฮ›cvma 26833  ฯˆcchp 26834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-o1 15439  df-lo1 15440  df-sum 15638  df-ef 16016  df-e 16017  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-pc 16775  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cxp 26303  df-cht 26838  df-vma 26839  df-chp 26840  df-ppi 26841
This theorem is referenced by:  vmadivsumb  27223  rpvmasumlem  27227  vmalogdivsum2  27278  vmalogdivsum  27279  2vmadivsumlem  27280  selberg3lem1  27297  selberg4lem1  27300  pntrsumo1  27305  selbergr  27308
  Copyright terms: Public domain W3C validator