MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmadivsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmadivsum 26985
Description: The sum of the von Mangoldt function over ๐‘› is asymptotic to log๐‘ฅ + ๐‘‚(1). Equation 9.2.13 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmadivsum (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘›

Proof of Theorem vmadivsum
StepHypRef Expression
1 reex 11201 . . . . . . 7 โ„ โˆˆ V
2 rpssre 12981 . . . . . . 7 โ„+ โŠ† โ„
31, 2ssexi 5323 . . . . . 6 โ„+ โˆˆ V
43a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ โ„+ โˆˆ V)
5 ovexd 7444 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ V)
6 ovexd 7444 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ V)
7 eqidd 2734 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))))
8 eqidd 2734 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))))
94, 5, 6, 7, 8offval2 7690 . . . 4 (โŠค โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))))
109mptru 1549 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))))
11 fzfid 13938 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ Fin)
12 elfznn 13530 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1312adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
14 vmacl 26622 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
1615, 13nndivred 12266 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
1711, 16fsumrecl 15680 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
1817recnd 11242 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
19 relogcl 26084 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2019recnd 11242 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
21 rprege0 12989 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
22 flge0nn0 13785 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
23 faccl 14243 . . . . . . . . . 10 ((โŒŠโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
2524nnrpd 13014 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
2625relogcld 26131 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
27 rerpdivcl 13004 . . . . . . 7 (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2826, 27mpancom 687 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2928recnd 11242 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3018, 20, 29nnncan2d 11606 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)))
3130mpteq2ia 5252 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)))
3210, 31eqtri 2761 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)))
33 1red 11215 . . . . 5 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
34 chpo1ub 26983 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1)
3534a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1))
36 rpre 12982 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
37 chpcl 26628 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
39 rerpdivcl 13004 . . . . . . . 8 (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4038, 39mpancom 687 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4140recnd 11242 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4241adantl 483 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4318, 29subcld 11571 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
4443adantl 483 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
4536adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
4616, 45remulcld 11244 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
47 nndivre 12253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
4836, 12, 47syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
49 reflcl 13761 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
5115, 50remulcld 11244 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
5246, 51resubcld 11642 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
5348, 50resubcld 11642 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
54 1red 11215 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
55 vmage0 26625 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
5613, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
57 fracle1 13768 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โ‰ค 1)
5848, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โ‰ค 1)
5953, 54, 15, 56, 58lemul2ad 12154 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท 1))
6015recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6148recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6250recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
6360, 61, 62subdid 11670 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
64 rpcn 12984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6613nnrpd 13014 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
67 rpcnne0 12992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0))
69 div23 11891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘›) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ))
70 divass 11890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘›) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)))
7169, 70eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)))
7260, 65, 68, 71syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)))
7372oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
7463, 73eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
7560mulridd 11231 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท 1) = (ฮ›โ€˜๐‘›))
7659, 74, 753brtr3d 5180 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
7711, 52, 15, 76fsumle 15745 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(ฮ›โ€˜๐‘›))
7816recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
7911, 64, 78fsummulc1 15731 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ))
80 logfac2 26720 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
8121, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
8279, 81oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
8346recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
8451recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
8511, 83, 84fsumsub 15734 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
8682, 85eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
87 chpval 26626 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(ฮ›โ€˜๐‘›))
8836, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(ฮ›โ€˜๐‘›))
8977, 86, 883brtr4d 5181 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ))
9017, 36remulcld 11244 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
9190, 26resubcld 11642 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„)
92 rpregt0 12988 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ))
93 lediv1 12079 . . . . . . . . 9 ((((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โˆง (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โ†” (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
9491, 38, 92, 93syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โ†” (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
9589, 94mpbid 231 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
9690recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
9726recnd 11242 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
98 rpcnne0 12992 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
99 divsubdir 11908 . . . . . . . . . . 11 (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
10096, 97, 98, 99syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
101 rpne0 12990 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
10218, 64, 101divcan4d 11996 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›))
103102oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
104100, 103eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
105104fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (absโ€˜(((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ)))
106 rerpdivcl 13004 . . . . . . . . . 10 ((((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
10791, 106mpancom 687 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
108 flle 13764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›))
10948, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›))
11048, 50subge0d 11804 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›)))
111109, 110mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
11215, 53, 56, 111mulge0d 11791 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
113112, 74breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
11411, 52, 113fsumge0 15741 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
115114, 86breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))))
116 divge0 12083 . . . . . . . . . 10 (((((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
11791, 115, 92, 116syl21anc 837 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
118107, 117absidd 15369 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ)) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
119105, 118eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
120 chpge0 26630 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ))
12136, 120syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ))
122 divge0 12083 . . . . . . . . 9 ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
12338, 121, 92, 122syl21anc 837 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
12440, 123absidd 15369 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) = ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
12595, 119, 1243brtr4d 5181 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‰ค (absโ€˜((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
126125ad2antrl 727 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‰ค (absโ€˜((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
12733, 35, 42, 44, 126o1le 15599 . . . 4 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
128127mptru 1549 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
129 logfacrlim 26727 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 1
130 rlimo1 15561 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
131129, 130ax-mp 5 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
132 o1sub 15560 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1))
133128, 131, 132mp2an 691 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1)
13432, 133eqeltrri 2831 1 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542  โŠคwtru 1543   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  Vcvv 3475   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆ˜f cof 7668  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„+crp 12974  ...cfz 13484  โŒŠcfl 13755  !cfa 14233  abscabs 15181   โ‡๐‘Ÿ crli 15429  ๐‘‚(1)co1 15430  ฮฃcsu 15632  logclog 26063  ฮ›cvma 26596  ฯˆcchp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-o1 15434  df-lo1 15435  df-sum 15633  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-cht 26601  df-vma 26602  df-chp 26603  df-ppi 26604
This theorem is referenced by:  vmadivsumb  26986  rpvmasumlem  26990  vmalogdivsum2  27041  vmalogdivsum  27042  2vmadivsumlem  27043  selberg3lem1  27060  selberg4lem1  27063  pntrsumo1  27068  selbergr  27071
  Copyright terms: Public domain W3C validator