MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmadivsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vmadivsum 27221
Description: The sum of the von Mangoldt function over ๐‘› is asymptotic to log๐‘ฅ + ๐‘‚(1). Equation 9.2.13 of [Shapiro], p. 331. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmadivsum (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘›

Proof of Theorem vmadivsum
StepHypRef Expression
1 reex 11203 . . . . . . 7 โ„ โˆˆ V
2 rpssre 12985 . . . . . . 7 โ„+ โІ โ„
31, 2ssexi 5321 . . . . . 6 โ„+ โˆˆ V
43a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ โ„+ โˆˆ V)
5 ovexd 7446 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ V)
6 ovexd 7446 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ V)
7 eqidd 2731 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))))
8 eqidd 2731 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))))
94, 5, 6, 7, 8offval2 7692 . . . 4 (โŠค โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))))
109mptru 1546 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))))
11 fzfid 13942 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ Fin)
12 elfznn 13534 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
1312adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
14 vmacl 26858 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
1615, 13nndivred 12270 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
1711, 16fsumrecl 15684 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„)
1817recnd 11246 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
19 relogcl 26320 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2019recnd 11246 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
21 rprege0 12993 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ))
22 flge0nn0 13789 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
23 faccl 14247 . . . . . . . . . 10 ((โŒŠโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
2421, 22, 233syl 18 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
2524nnrpd 13018 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„+)
2625relogcld 26367 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„)
27 rerpdivcl 13008 . . . . . . 7 (((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2826, 27mpancom 684 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
2928recnd 11246 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3018, 20, 29nnncan2d 11610 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)))
3130mpteq2ia 5250 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆ’ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)))
3210, 31eqtri 2758 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ)))
33 1red 11219 . . . . 5 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
34 chpo1ub 27219 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1)
3534a1i 11 . . . . 5 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1))
36 rpre 12986 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
37 chpcl 26864 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
39 rerpdivcl 13008 . . . . . . . 8 (((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4038, 39mpancom 684 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
4140recnd 11246 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4241adantl 480 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
4318, 29subcld 11575 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
4443adantl 480 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
4536adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
4616, 45remulcld 11248 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
47 nndivre 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
4836, 12, 47syl2an 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„)
49 reflcl 13765 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
5115, 50remulcld 11248 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
5246, 51resubcld 11646 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โˆˆ โ„)
5348, 50resubcld 11646 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
54 1red 11219 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
55 vmage0 26861 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
5613, 55syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
57 fracle1 13772 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โ‰ค 1)
5848, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โ‰ค 1)
5953, 54, 15, 56, 58lemul2ad 12158 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท 1))
6015recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6148recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6250recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆˆ โ„‚)
6360, 61, 62subdid 11674 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
64 rpcn 12988 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6564adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6613nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
67 rpcnne0 12996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0))
69 div23 11895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘›) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ))
70 divass 11894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘›) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)))
7169, 70eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ฮ›โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘› โ‰  0)) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)))
7260, 65, 68, 71syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) = ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)))
7372oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = (((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (๐‘ฅ / ๐‘›)) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
7463, 73eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
7560mulridd 11235 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท 1) = (ฮ›โ€˜๐‘›))
7659, 74, 753brtr3d 5178 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค (ฮ›โ€˜๐‘›))
7711, 52, 15, 76fsumle 15749 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(ฮ›โ€˜๐‘›))
7816recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
7911, 64, 78fsummulc1 15735 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ))
80 logfac2 26956 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ) โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
8121, 80syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
8279, 81oveq12d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
8346recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
8451recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โˆˆ โ„‚)
8511, 83, 84fsumsub 15738 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
8682, 85eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
87 chpval 26862 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(ฮ›โ€˜๐‘›))
8836, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))(ฮ›โ€˜๐‘›))
8977, 86, 883brtr4d 5179 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ))
9017, 36remulcld 11248 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
9190, 26resubcld 11646 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„)
92 rpregt0 12992 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ))
93 lediv1 12083 . . . . . . . . 9 ((((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โˆง (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โ†” (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
9491, 38, 92, 93syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โ†” (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
9589, 94mpbid 231 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
9690recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
9726recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
98 rpcnne0 12996 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0))
99 divsubdir 11912 . . . . . . . . . . 11 (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚ โˆง (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โ‰  0)) โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
10096, 97, 98, 99syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
101 rpne0 12994 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘ฅ โ‰  0)
10218, 64, 101divcan4d 12000 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›))
103102oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) / ๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))
104100, 103eqtr2d 2771 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
105104fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (absโ€˜(((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ)))
106 rerpdivcl 13008 . . . . . . . . . 10 ((((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„+) โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
10791, 106mpancom 684 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ) โˆˆ โ„)
108 flle 13768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆˆ โ„ โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›))
10948, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›))
11048, 50subge0d 11808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ (0 โ‰ค ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))) โ†” (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)) โ‰ค (๐‘ฅ / ๐‘›)))
111109, 110mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›))))
11215, 53, 56, 111mulge0d 11795 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท ((๐‘ฅ / ๐‘›) โˆ’ (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
113112, 74breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โ†’ 0 โ‰ค ((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
11411, 52, 113fsumge0 15745 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ ((ฮ›โ€˜๐‘›) ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ฅ / ๐‘›)))))
115114, 86breqtrrd 5175 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))))
116 divge0 12087 . . . . . . . . . 10 (((((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))))) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
11791, 115, 92, 116syl21anc 834 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
118107, 117absidd 15373 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ)) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
119105, 118eqtrd 2770 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) = (((ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) ยท ๐‘ฅ) โˆ’ (logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ)))) / ๐‘ฅ))
120 chpge0 26866 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ))
12136, 120syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ))
122 divge0 12087 . . . . . . . . 9 ((((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (ฯˆโ€˜๐‘ฅ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ฅ)) โ†’ 0 โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
12338, 121, 92, 122syl21anc 834 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โ‰ค ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
12440, 123absidd 15373 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)) = ((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ))
12595, 119, 1243brtr4d 5179 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‰ค (absโ€˜((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
126125ad2antrl 724 . . . . 5 ((โŠค โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โˆง 1 โ‰ค ๐‘ฅ)) โ†’ (absโ€˜(ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‰ค (absโ€˜((ฯˆโ€˜๐‘ฅ) / ๐‘ฅ)))
12733, 35, 42, 44, 126o1le 15603 . . . 4 (โŠค โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
128127mptru 1546 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
129 logfacrlim 26963 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 1
130 rlimo1 15565 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โ‡๐‘Ÿ 1 โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1))
131129, 130ax-mp 5 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
132 o1sub 15564 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1))
133128, 131, 132mp2an 688 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ))) โˆ˜f โˆ’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ ((logโ€˜๐‘ฅ) โˆ’ ((logโ€˜(!โ€˜(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) / ๐‘ฅ)))) โˆˆ ๐‘‚(1)
13432, 133eqeltrri 2828 1 (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))((ฮ›โ€˜๐‘›) / ๐‘›) โˆ’ (logโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539  โŠคwtru 1540   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  Vcvv 3472   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โˆ˜f cof 7670  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  โ„+crp 12978  ...cfz 13488  โŒŠcfl 13759  !cfa 14237  abscabs 15185   โ‡๐‘Ÿ crli 15433  ๐‘‚(1)co1 15434  ฮฃcsu 15636  logclog 26299  ฮ›cvma 26832  ฯˆcchp 26833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-o1 15438  df-lo1 15439  df-sum 15637  df-ef 16015  df-e 16016  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302  df-cht 26837  df-vma 26838  df-chp 26839  df-ppi 26840
This theorem is referenced by:  vmadivsumb  27222  rpvmasumlem  27226  vmalogdivsum2  27277  vmalogdivsum  27278  2vmadivsumlem  27279  selberg3lem1  27296  selberg4lem1  27299  pntrsumo1  27304  selbergr  27307
  Copyright terms: Public domain W3C validator