MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusumlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmusumlema 27413
Description: Lemma for dchrmusum 27444 and dchrisumn0 27441. Apply dchrisum 27412 for the function 1 / 𝑦. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrisumn0.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlema (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑑,𝑦   π‘Ž,𝑐,𝑑,𝑦   𝑁,𝑐,𝑑,𝑦   πœ‘,𝑐,𝑑   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑑,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑐,𝑑,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑐,𝑑,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   1 (π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(𝑦,𝑑,π‘Ž,𝑐)   𝑁(π‘Ž)   𝑍(𝑑,π‘Ž,𝑐)

Proof of Theorem dchrmusumlema
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
3 rpvmasum.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
6 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
7 dchrisum.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
8 dchrisum.n1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
9 oveq2 7422 . . 3 (𝑛 = π‘₯ β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘₯))
10 1nn 12245 . . . 4 1 ∈ β„•
1110a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
12 rpreccl 13024 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1312adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1413rpred 13040 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
15 simp3r 1200 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ π‘₯)
16 rpregt0 13012 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
17 rpregt0 13012 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
18 lerec 12119 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ (1 / π‘₯) ≀ (1 / 𝑛)))
1916, 17, 18syl2an 595 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ (1 / π‘₯) ≀ (1 / 𝑛)))
20193ad2ant2 1132 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ (1 / π‘₯) ≀ (1 / 𝑛)))
2115, 20mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (1 / π‘₯) ≀ (1 / 𝑛))
22 ax-1cn 11188 . . . 4 1 ∈ β„‚
23 divrcnv 15822 . . . 4 (1 ∈ β„‚ β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) β‡π‘Ÿ 0)
2422, 23mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) β‡π‘Ÿ 0)
25 2fveq3 6896 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑛 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
26 oveq2 7422 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑛 β†’ (1 / π‘Ž) = (1 / 𝑛))
2725, 26oveq12d 7432 . . . 4 (π‘Ž = 𝑛 β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (1 / 𝑛)))
2827cbvmptv 5255 . . 3 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (1 / 𝑛)))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 21, 24, 28dchrisum 27412 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯))))
307adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
31 nnz 12601 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
334, 1, 5, 2, 30, 32dchrzrhcl 27165 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
34 nncn 12242 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
36 nnne0 12268 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 β‰  0)
3833, 35, 37divrecd 12015 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (1 / 𝑛)))
3938mpteq2dva 5242 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (1 / 𝑛))))
40 dchrisumn0.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
41 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑛 β†’ π‘Ž = 𝑛)
4225, 41oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑛 β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛))
4342cbvmptv 5255 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛))
4440, 43eqtri 2755 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛))
4539, 44, 283eqtr4g 2792 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))
4645adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))
4746seqeq3d 13998 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))))
4847breq1d 5152 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ↔ seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑))
49 2fveq3 6896 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
5049fvoveq1d 7436 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)))
51 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑐 / 𝑦) = (𝑐 / π‘₯))
5250, 51breq12d 5155 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦) ↔ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / π‘₯)))
5352cbvralvw 3229 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / π‘₯))
5445seqeq3d 13998 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))))
5554fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) = (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
5655fvoveq1d 7436 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) = (absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)))
5756ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) = (absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)))
58 elrege0 13455 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑐))
5958simplbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
6059recnd 11264 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
6160ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
62 1re 11236 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
63 elicopnf 13446 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)))
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯))
6564simplbi 497 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6665adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6766recnd 11264 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
68 0red 11239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 ∈ ℝ)
69 1red 11237 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
70 0lt1 11758 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 < 1)
7264simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) β†’ 1 ≀ π‘₯)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
7468, 69, 66, 71, 73ltletrd 11396 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 < π‘₯)
7574gt0ne0d 11800 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ π‘₯ β‰  0)
7661, 67, 75divrecd 12015 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑐 / π‘₯) = (𝑐 Β· (1 / π‘₯)))
7757, 76breq12d 5155 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / π‘₯) ↔ (absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯))))
7877ralbidva 3170 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯))))
7953, 78bitrid 283 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯))))
8048, 79anbi12d 630 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) ↔ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯)))))
8180rexbidva 3171 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯)))))
8281exbidv 1917 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯)))))
8329, 82mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  +∞cpnf 11267   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  β„€cz 12580  β„+crp 12998  [,)cico 13350  βŒŠcfl 13779  seqcseq 13990  abscabs 15205   ⇝ cli 15452   β‡π‘Ÿ crli 15453  Basecbs 17171  0gc0g 17412  β„€RHomczrh 21412  β„€/nβ„€czn 21415  DChrcdchr 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-phi 16726  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-0g 17414  df-imas 17481  df-qus 17482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zn 21419  df-dchr 27153
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27432  dchrisum0re  27433  dchrisum0lem3  27439  dchrmusum  27444  dchrvmasum  27445
  Copyright terms: Public domain W3C validator