Theorem dchrmusumlema 27802

Description: Lemma for dchrmusum 27833 and dchrisumn0 27830. Apply dchrisum 27801 for the function 1 / 𝑦. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisumn0.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
dchrmusumlema	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑡   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦, 𝑡, 𝑎, 𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑡, 𝑎, 𝑐)

Proof of Theorem dchrmusumlema

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		rpvmasum.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
7		dchrisum.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
8		dchrisum.n1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
9		oveq2 7420	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑥))
10		1nn 12327	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
12		rpreccl 13129	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
13	12	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
14	13	rpred 13145	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
15		simp3r 1221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ≤ 𝑥)
16		rpregt0 13116	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
17		rpregt0 13116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
18		lerec 12181	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
19	16, 17, 18	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
20	19	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
21	15, 20	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛))
22		ax-1cn 11239	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		divrcnv 16001	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
24	22, 23	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
25		2fveq3 6882	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
26		oveq2 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (1 / 𝑎) = (1 / 𝑛))
27	25, 26	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / 𝑛)))
28	27	cbvmptv 5209	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / 𝑛)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 21, 24, 28	dchrisum 27801	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
30	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
31		nnz 12695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
33	4, 1, 5, 2, 30, 32	dchrzrhcl 27554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
34		nncn 12324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
36		nnne0 12353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
37	36	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
38	33, 35, 37	divrecd 12077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / 𝑛)))
39	38	mpteq2dva 5198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / 𝑛))))
40		dchrisumn0.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
41		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → 𝑎 = 𝑛)
42	25, 41	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))
43	42	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))
44	40, 43	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))
45	39, 44, 28	3eqtr4g 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))
46	45	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))
47	46	seqeq3d 14132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))))
48	47	breq1d 5113	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡))
49		2fveq3 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
50	49	fvoveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
51		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 / 𝑦) = (𝑐 / 𝑥))
52	50, 51	breq12d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥)))
53	52	cbvralvw 3241	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥))
54	45	seqeq3d 14132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))))
55	54	fveq1d 6879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)))
56	55	fvoveq1d 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
57	56	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
58		elrege0 13566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐))
59	58	simplbi 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℝ)
60	59	recnd 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℂ)
61	60	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℂ)
62		1re 11289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
63		elicopnf 13557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
65	64	simplbi 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
66	65	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
67	66	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
68		0red 11292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
69		1red 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
70		0lt1 11819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 1)
72	64	simprbi 503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
73	72	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
74	68, 69, 66, 71, 73	ltletrd 11451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
75	74	gt0ne0d 11861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
76	61, 67, 75	divrecd 12077	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑐 / 𝑥) = (𝑐 · (1 / 𝑥)))
77	57, 76	breq12d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥) ↔ (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
78	77	ralbidva 3184	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
79	53, 78	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
80	48, 79	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
81	80	rexbidva 3185	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
82	81	exbidv 1954	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
83	29, 82	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186  +∞cpnf 11321   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522   / cdiv 11954  ℕcn 12316  ℤcz 12674  ℝ⁺crp 13101  [,)cico 13459  ⌊cfl 13910  seqcseq 14124  abscabs 15381   ⇝ cli 15631   ⇝_𝑟 crli 15632  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  ℤRHomczrh 21785  ℤ/nℤczn 21788  DChrcdchr 27541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-oadd 8464  df-er 8701  df-ec 8703  df-qs 8707  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-ico 13463  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-phi 16923  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-0g 17592  df-imas 17660  df-qus 17661  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-nsg 19314  df-eqg 19315  df-ghm 19408  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-rhm 20682  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-lidl 21466  df-rsp 21467  df-2idl 21523  df-cnfld 21659  df-zring 21733  df-zrh 21789  df-zn 21792  df-dchr 27542

This theorem is used by:  rpvmasum2  27821  dchrisum0re  27822  dchrisum0lem3  27828  dchrmusum  27833  dchrvmasum  27834