MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusumlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmusumlema 26993
Description: Lemma for dchrmusum 27024 and dchrisumn0 27021. Apply dchrisum 26992 for the function 1 / 𝑦. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum.b (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
dchrisumn0.f 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlema (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑑,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑑,𝑦   π‘Ž,𝑐,𝑑,𝑦   𝑁,𝑐,𝑑,𝑦   πœ‘,𝑐,𝑑   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑑,𝑦   𝐿,π‘Ž,𝑐,𝑑,𝑦   𝑋,π‘Ž,𝑐,𝑑,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,π‘Ž)   𝐷(π‘Ž)   1 (π‘Ž)   𝐹(π‘Ž)   𝐺(𝑦,𝑑,π‘Ž,𝑐)   𝑁(π‘Ž)   𝑍(𝑑,π‘Ž,𝑐)

Proof of Theorem dchrmusumlema
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
3 rpvmasum.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
4 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
5 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
6 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0gβ€˜πΊ)
7 dchrisum.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
8 dchrisum.n1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  1 )
9 oveq2 7416 . . 3 (𝑛 = π‘₯ β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘₯))
10 1nn 12222 . . . 4 1 ∈ β„•
1110a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
12 rpreccl 12999 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1312adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1413rpred 13015 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
15 simp3r 1202 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ π‘₯)
16 rpregt0 12987 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
17 rpregt0 12987 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯))
18 lerec 12096 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘₯)) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ (1 / π‘₯) ≀ (1 / 𝑛)))
1916, 17, 18syl2an 596 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ (1 / π‘₯) ≀ (1 / 𝑛)))
20193ad2ant2 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (𝑛 ≀ π‘₯ ↔ (1 / π‘₯) ≀ (1 / 𝑛)))
2115, 20mpbid 231 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ (1 ≀ 𝑛 ∧ 𝑛 ≀ π‘₯)) β†’ (1 / π‘₯) ≀ (1 / 𝑛))
22 ax-1cn 11167 . . . 4 1 ∈ β„‚
23 divrcnv 15797 . . . 4 (1 ∈ β„‚ β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) β‡π‘Ÿ 0)
2422, 23mp1i 13 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) β‡π‘Ÿ 0)
25 2fveq3 6896 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑛 β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) = (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)))
26 oveq2 7416 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑛 β†’ (1 / π‘Ž) = (1 / 𝑛))
2725, 26oveq12d 7426 . . . 4 (π‘Ž = 𝑛 β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (1 / 𝑛)))
2827cbvmptv 5261 . . 3 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (1 / 𝑛)))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 21, 24, 28dchrisum 26992 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯))))
307adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
31 nnz 12578 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
334, 1, 5, 2, 30, 32dchrzrhcl 26745 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) ∈ β„‚)
34 nncn 12219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
36 nnne0 12245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 β‰  0)
3833, 35, 37divrecd 11992 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (1 / 𝑛)))
3938mpteq2dva 5248 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) Β· (1 / 𝑛))))
40 dchrisumn0.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž))
41 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑛 β†’ π‘Ž = 𝑛)
4225, 41oveq12d 7426 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑛 β†’ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž) = ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛))
4342cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) / π‘Ž)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛))
4440, 43eqtri 2760 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘›)) / 𝑛))
4539, 44, 283eqtr4g 2797 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))
4645adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ 𝐹 = (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))
4746seqeq3d 13973 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))))
4847breq1d 5158 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ↔ seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑))
49 2fveq3 6896 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) = (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
5049fvoveq1d 7430 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) = (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)))
51 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑐 / 𝑦) = (𝑐 / π‘₯))
5250, 51breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦) ↔ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / π‘₯)))
5352cbvralvw 3234 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / π‘₯))
5445seqeq3d 13973 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))))
5554fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) = (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)))
5655fvoveq1d 7430 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) = (absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)))
5756ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ (absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) = (absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)))
58 elrege0 13430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑐))
5958simplbi 498 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝑐 ∈ ℝ)
6059recnd 11241 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
6160ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
62 1re 11213 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
63 elicopnf 13421 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯)))
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯))
6564simplbi 498 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6665adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
6766recnd 11241 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
68 0red 11216 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 ∈ ℝ)
69 1red 11214 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 1 ∈ ℝ)
70 0lt1 11735 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 < 1)
7264simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (1[,)+∞) β†’ 1 ≀ π‘₯)
7372adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 1 ≀ π‘₯)
7468, 69, 66, 71, 73ltletrd 11373 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ 0 < π‘₯)
7574gt0ne0d 11777 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ π‘₯ β‰  0)
7661, 67, 75divrecd 11992 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ (𝑐 / π‘₯) = (𝑐 Β· (1 / π‘₯)))
7757, 76breq12d 5161 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ π‘₯ ∈ (1[,)+∞)) β†’ ((absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / π‘₯) ↔ (absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯))))
7877ralbidva 3175 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯))))
7953, 78bitrid 282 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯))))
8048, 79anbi12d 631 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) ↔ (seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯)))))
8180rexbidva 3176 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯)))))
8281exbidv 1924 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)) ↔ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž)))) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , (π‘Ž ∈ β„• ↦ ((π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘Ž)) Β· (1 / π‘Ž))))β€˜(βŒŠβ€˜π‘₯)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 Β· (1 / π‘₯)))))
8329, 82mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘βˆƒπ‘ ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑑 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1[,)+∞)(absβ€˜((seq1( + , 𝐹)β€˜(βŒŠβ€˜π‘¦)) βˆ’ 𝑑)) ≀ (𝑐 / 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  +∞cpnf 11244   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  β„•cn 12211  β„€cz 12557  β„+crp 12973  [,)cico 13325  βŒŠcfl 13754  seqcseq 13965  abscabs 15180   ⇝ cli 15427   β‡π‘Ÿ crli 15428  Basecbs 17143  0gc0g 17384  β„€RHomczrh 21048  β„€/nβ„€czn 21051  DChrcdchr 26732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-phi 16698  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-imas 17453  df-qus 17454  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19089  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-lidl 20786  df-rsp 20787  df-2idl 20856  df-cnfld 20944  df-zring 21017  df-zrh 21052  df-zn 21055  df-dchr 26733
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27012  dchrisum0re  27013  dchrisum0lem3  27019  dchrmusum  27024  dchrvmasum  27025
  Copyright terms: Public domain W3C validator