Theorem dchrmusumlema 27429

Description: Lemma for dchrmusum 27460 and dchrisumn0 27457. Apply dchrisum 27428 for the function 1 / 𝑦. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisumn0.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
dchrmusumlema	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑡   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrmusumlema

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		rpvmasum.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
7		dchrisum.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
8		dchrisum.n1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
9		oveq2 7354	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑥))
10		1nn 12133	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
12		rpreccl 12915	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
14	13	rpred 12931	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
15		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ≤ 𝑥)
16		rpregt0 12902	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
17		rpregt0 12902	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
18		lerec 12002	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
19	16, 17, 18	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
20	19	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
21	15, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛))
22		ax-1cn 11061	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		divrcnv 15756	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
24	22, 23	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
25		2fveq3 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
26		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (1 / 𝑎) = (1 / 𝑛))
27	25, 26	oveq12d 7364	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / 𝑛)))
28	27	cbvmptv 5195	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / 𝑛)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 21, 24, 28	dchrisum 27428	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
30	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
31		nnz 12486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
33	4, 1, 5, 2, 30, 32	dchrzrhcl 27181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
34		nncn 12130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
36		nnne0 12156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
38	33, 35, 37	divrecd 11897	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / 𝑛)))
39	38	mpteq2dva 5184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / 𝑛))))
40		dchrisumn0.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
41		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → 𝑎 = 𝑛)
42	25, 41	oveq12d 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))
43	42	cbvmptv 5195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))
44	40, 43	eqtri 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))
45	39, 44, 28	3eqtr4g 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))
47	46	seqeq3d 13913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))))
48	47	breq1d 5101	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡))
49		2fveq3 6827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
50	49	fvoveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
51		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 / 𝑦) = (𝑐 / 𝑥))
52	50, 51	breq12d 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥)))
53	52	cbvralvw 3210	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥))
54	45	seqeq3d 13913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))))
55	54	fveq1d 6824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)))
56	55	fvoveq1d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
57	56	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
58		elrege0 13351	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐))
59	58	simplbi 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℝ)
60	59	recnd 11137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℂ)
61	60	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℂ)
62		1re 11109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
63		elicopnf 13342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
65	64	simplbi 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
67	66	recnd 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
68		0red 11112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
69		1red 11110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
70		0lt1 11636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 1)
72	64	simprbi 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
74	68, 69, 66, 71, 73	ltletrd 11270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
75	74	gt0ne0d 11678	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
76	61, 67, 75	divrecd 11897	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑐 / 𝑥) = (𝑐 · (1 / 𝑥)))
77	57, 76	breq12d 5104	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥) ↔ (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
78	77	ralbidva 3153	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
79	53, 78	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
80	48, 79	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
81	80	rexbidva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
82	81	exbidv 1922	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
83	29, 82	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003  1c1 11004   + caddc 11006   · cmul 11008  +∞cpnf 11140   < clt 11143   ≤ cle 11144   − cmin 11341   / cdiv 11771  ℕcn 12122  ℤcz 12465  ℝ⁺crp 12887  [,)cico 13244  ⌊cfl 13691  seqcseq 13905  abscabs 15138   ⇝ cli 15388   ⇝_𝑟 crli 15389  Basecbs 17117  0_gc0g 17340  ℤRHomczrh 21434  ℤ/nℤczn 21437  DChrcdchr 27168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082  ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-rp 12888  df-ico 13248  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-limsup 15375  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-dvds 16161  df-gcd 16403  df-phi 16674  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-0g 17342  df-imas 17409  df-qus 17410  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-nsg 19034  df-eqg 19035  df-ghm 19123  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-rhm 20388  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-lmod 20793  df-lss 20863  df-lsp 20903  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-lidl 21143  df-rsp 21144  df-2idl 21185  df-cnfld 21290  df-zring 21382  df-zrh 21438  df-zn 21441  df-dchr 27169

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27448  dchrisum0re  27449  dchrisum0lem3  27455  dchrmusum  27460  dchrvmasum  27461