MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmusumlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrmusumlema 27339
Description: Lemma for dchrmusum 27370 and dchrisumn0 27367. Apply dchrisum 27338 for the function 1 / 𝑦. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum.b (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum.n1 (𝜑𝑋1 )
dchrisumn0.f 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlema (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑡   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrmusumlema
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 rpvmasum.g . . 3 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5 rpvmasum.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐺)
6 rpvmasum.1 . . 3 1 = (0g𝐺)
7 dchrisum.b . . 3 (𝜑𝑋𝐷)
8 dchrisum.n1 . . 3 (𝜑𝑋1 )
9 oveq2 7420 . . 3 (𝑛 = 𝑥 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑥))
10 1nn 12230 . . . 4 1 ∈ ℕ
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
12 rpreccl 13007 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1312adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1413rpred 13023 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
15 simp3r 1201 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → 𝑛𝑥)
16 rpregt0 12995 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
17 rpregt0 12995 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
18 lerec 12104 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
1916, 17, 18syl2an 595 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
20193ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (𝑛𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
2115, 20mpbid 231 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛𝑛𝑥)) → (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛))
22 ax-1cn 11174 . . . 4 1 ∈ ℂ
23 divrcnv 15805 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
2422, 23mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
25 2fveq3 6896 . . . . 5 (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿𝑎)) = (𝑋‘(𝐿𝑛)))
26 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑎 = 𝑛 → (1 / 𝑎) = (1 / 𝑛))
2725, 26oveq12d 7430 . . . 4 (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (1 / 𝑛)))
2827cbvmptv 5261 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (1 / 𝑛)))
291, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 21, 24, 28dchrisum 27338 . 2 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
307adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋𝐷)
31 nnz 12586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
334, 1, 5, 2, 30, 32dchrzrhcl 27091 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
34 nncn 12227 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
3534adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
36 nnne0 12253 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
3833, 35, 37divrecd 12000 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (1 / 𝑛)))
3938mpteq2dva 5248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) · (1 / 𝑛))))
40 dchrisumn0.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
41 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑛𝑎 = 𝑛)
4225, 41oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))
4342cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))
4440, 43eqtri 2759 . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))
4539, 44, 283eqtr4g 2796 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))
4645adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))
4746seqeq3d 13981 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))))
4847breq1d 5158 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡))
49 2fveq3 6896 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
5049fvoveq1d 7434 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
51 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 / 𝑦) = (𝑐 / 𝑥))
5250, 51breq12d 5161 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥)))
5352cbvralvw 3233 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥))
5445seqeq3d 13981 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))))
5554fveq1d 6893 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)))
5655fvoveq1d 7434 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
5756ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
58 elrege0 13438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐))
5958simplbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℝ)
6059recnd 11249 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℂ)
6160ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℂ)
62 1re 11221 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
63 elicopnf 13429 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
6564simplbi 497 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
6665adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
6766recnd 11249 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
68 0red 11224 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
69 1red 11222 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
70 0lt1 11743 . . . . . . . . . . . 12 0 < 1
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 1)
7264simprbi 496 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
7468, 69, 66, 71, 73ltletrd 11381 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
7574gt0ne0d 11785 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
7661, 67, 75divrecd 12000 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑐 / 𝑥) = (𝑐 · (1 / 𝑥)))
7757, 76breq12d 5161 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥) ↔ (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
7877ralbidva 3174 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
7953, 78bitrid 283 . . . . 5 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
8048, 79anbi12d 630 . . . 4 ((𝜑𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
8180rexbidva 3175 . . 3 (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
8281exbidv 1923 . 2 (𝜑 → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
8329, 82mpbird 257 1 (𝜑 → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  +∞cpnf 11252   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451   / cdiv 11878  cn 12219  cz 12565  +crp 12981  [,)cico 13333  cfl 13762  seqcseq 13973  abscabs 15188  cli 15435  𝑟 crli 15436  Basecbs 17151  0gc0g 17392  ℤRHomczrh 21359  ℤ/nczn 21362  DChrcdchr 27078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ico 13337  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-phi 16706  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-nsg 19047  df-eqg 19048  df-ghm 19135  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-lidl 21021  df-rsp 21022  df-2idl 21095  df-cnfld 21234  df-zring 21307  df-zrh 21363  df-zn 21366  df-dchr 27079
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27358  dchrisum0re  27359  dchrisum0lem3  27365  dchrmusum  27370  dchrvmasum  27371
  Copyright terms: Public domain W3C validator