Theorem dchrmusumlema 27481

Description: Lemma for dchrmusum 27512 and dchrisumn0 27509. Apply dchrisum 27480 for the function 1 / 𝑦. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum.n1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
dchrisumn0.f	⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
dchrmusumlema	⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑐,𝑦, 1   𝐹,𝑐,𝑡,𝑦   𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑁,𝑐,𝑡,𝑦   𝜑,𝑐,𝑡   𝑦,𝑍   𝐷,𝑐,𝑡,𝑦   𝐿,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦   𝑋,𝑎,𝑐,𝑡,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑎)   𝐷(𝑎)   1 (𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑎,𝑐)   𝑁(𝑎)   𝑍(𝑡,𝑎,𝑐)

Proof of Theorem dchrmusumlema

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		rpvmasum.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3		rpvmasum.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		rpvmasum.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
5		rpvmasum.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
6		rpvmasum.1	. . 3 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
7		dchrisum.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
8		dchrisum.n1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
9		oveq2 7371	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑥 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑥))
10		1nn 12183	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
12		rpreccl 12968	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
13	12	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
14	13	rpred 12984	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
15		simp3r 1209	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → 𝑛 ≤ 𝑥)
16		rpregt0 12955	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛))
17		rpregt0 12955	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
18		lerec 12037	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
19	16, 17, 18	syl2an 602	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
20	19	3ad2ant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (𝑛 ≤ 𝑥 ↔ (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛)))
21	15, 20	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (1 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 ≤ 𝑥)) → (1 / 𝑥) ≤ (1 / 𝑛))
22		ax-1cn 11094	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
23		divrcnv 15815	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
24	22, 23	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℝ+ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝𝑟 0)
25		2fveq3 6839	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑛)))
26		oveq2 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (1 / 𝑎) = (1 / 𝑛))
27	25, 26	oveq12d 7381	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / 𝑛)))
28	27	cbvmptv 5183	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / 𝑛)))
29	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 21, 24, 28	dchrisum 27480	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
30	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ 𝐷)
31		nnz 12543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
33	4, 1, 5, 2, 30, 32	dchrzrhcl 27233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) ∈ ℂ)
34		nncn 12180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
36		nnne0 12209	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
38	33, 35, 37	divrecd 11932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / 𝑛)))
39	38	mpteq2dva 5172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) · (1 / 𝑛))))
40		dchrisumn0.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
41		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → 𝑎 = 𝑛)
42	25, 41	oveq12d 7381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))
43	42	cbvmptv 5183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))
44	40, 43	eqtri 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))
45	39, 44, 28	3eqtr4g 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))
46	45	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐹 = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))
47	46	seqeq3d 13969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))))
48	47	breq1d 5089	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ↔ seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡))
49		2fveq3 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) = (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)))
50	49	fvoveq1d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
51		oveq2 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑐 / 𝑦) = (𝑐 / 𝑥))
52	50, 51	breq12d 5092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥)))
53	52	cbvralvw 3218	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥))
54	45	seqeq3d 13969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) = seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))))
55	54	fveq1d 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)))
56	55	fvoveq1d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
57	56	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) = (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)))
58		elrege0 13405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑐))
59	58	simplbi 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℝ)
60	59	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) → 𝑐 ∈ ℂ)
61	60	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑐 ∈ ℂ)
62		1re 11142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
63		elicopnf 13396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)))
64	62, 63	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥))
65	64	simplbi 497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
66	65	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
67	66	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
68		0red 11145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ∈ ℝ)
69		1red 11143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
70		0lt1 11670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < 1
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 1)
72	64	simprbi 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
74	68, 69, 66, 71, 73	ltletrd 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 0 < 𝑥)
75	74	gt0ne0d 11712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ≠ 0)
76	61, 67, 75	divrecd 11932	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑐 / 𝑥) = (𝑐 · (1 / 𝑥)))
77	57, 76	breq12d 5092	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → ((abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥) ↔ (abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
78	77	ralbidva 3161	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
79	53, 78	bitrid 284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → (∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥))))
80	48, 79	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (0[,)+∞)) → ((seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
81	80	rexbidva 3162	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ ∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
82	81	exbidv 1928	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) ↔ ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎)))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑥 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) · (1 / 𝑎))))‘(⌊‘𝑥)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 · (1 / 𝑥)))))
83	29, 82	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , 𝐹)‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041  +∞cpnf 11174   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375   / cdiv 11805  ℕcn 12172  ℤcz 12522  ℝ⁺crp 12940  [,)cico 13298  ⌊cfl 13747  seqcseq 13961  abscabs 15194   ⇝ cli 15444   ⇝_𝑟 crli 15445  Basecbs 17177  0_gc0g 17400  ℤRHomczrh 21481  ℤ/nℤczn 21484  DChrcdchr 27220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-ec 8642  df-qs 8646  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-rp 12941  df-ico 13302  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-phi 16734  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-0g 17402  df-imas 17470  df-qus 17471  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-nsg 19098  df-eqg 19099  df-ghm 19186  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-lidl 21208  df-rsp 21209  df-2idl 21250  df-cnfld 21355  df-zring 21429  df-zrh 21485  df-zn 21488  df-dchr 27221

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  27500  dchrisum0re  27501  dchrisum0lem3  27507  dchrmusum  27512  dchrvmasum  27513