MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm6 16597
Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 16596. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isprm6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ƒ

Proof of Theorem isprm6
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 16579 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2 euclemma 16596 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)))
323expb 1121 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)))
43biimpd 228 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)))
54ralrimivva 3198 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)))
61, 5jca 513 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))))
7 simpl 484 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
8 eluz2nn 12816 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
98adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
109nnzd 12533 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
11 iddvds 16159 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ƒ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ƒ)
13 nncn 12168 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
149, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
15 nncn 12168 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
1615ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
17 nnne0 12194 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
1817ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
1914, 16, 18divcan1d 11939 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง) = ๐‘ƒ)
2012, 19breqtrrd 5138 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง))
2120adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง))
22 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)
23 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
24 nndivdvds 16152 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„•))
259, 23, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„•))
2622, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12533 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
28 nnz 12527 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
2928ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3027, 29jca 513 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค))
31 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ))
3231breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ)))
33 breq2 5114 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
3433orbi1d 916 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)))
3532, 34imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))))
36 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง))
3736breq2d 5122 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง)))
38 breq2 5114 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง))
3938orbi2d 915 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง)))
4037, 39imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง))))
4135, 40rspc2va 3594 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง)))
4230, 41sylan 581 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง)))
4321, 42mpd 15 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง))
44 dvdsle 16199 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
4510, 26, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
4614div1d 11930 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ / 1) = ๐‘ƒ)
4746breq1d 5120 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ / 1) โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†” ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
4845, 47sylibrd 259 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ (๐‘ƒ / 1) โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
49 nnrp 12933 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„+)
5049rpregt0d 12970 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ง))
5150ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ง))
52 1rp 12926 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„+
53 rpregt0 12936 . . . . . . . . . . . . 13 (1 โˆˆ โ„+ โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1))
5452, 53mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1))
55 nnrp 12933 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
569, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
5756rpregt0d 12970 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ƒ))
58 lediv2 12052 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ง) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โ‰ค 1 โ†” (๐‘ƒ / 1) โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
5951, 54, 57, 58syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โ‰ค 1 โ†” (๐‘ƒ / 1) โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
6048, 59sylibrd 259 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง โ‰ค 1))
61 nnle1eq1 12190 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง โ‰ค 1 โ†” ๐‘ง = 1))
6261ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โ‰ค 1 โ†” ๐‘ง = 1))
6360, 62sylibd 238 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง = 1))
64 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
6564ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
6665adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
67 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
689, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
6968adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
70 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)
71 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง)
72 dvdseq 16203 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ)
7366, 69, 70, 71, 72syl22anc 838 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ)
7473ex 414 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ))
7563, 74orim12d 964 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ)))
7675imp 408 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ))
7743, 76syldan 592 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ))
7877an32s 651 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ))
7978expr 458 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ)))
8079ralrimiva 3144 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ)))
81 isprm2 16565 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ))))
827, 80, 81sylanbrc 584 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
836, 82impbii 208 1 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922   โˆฅ cdvds 16143  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555
This theorem is referenced by:  domnchr  20951
  Copyright terms: Public domain W3C validator