Theorem isprm6 16590

Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 16589. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isprm6	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem isprm6

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16572	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
2		euclemma 16589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
3	2	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
4	3	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
5	4	ralrimivva 3197	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
6	1, 5	jca 512	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))
7		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
8		eluz2nn 12809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
11		iddvds 16152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∥ 𝑃)
13		nncn 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
15		nncn 12161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
17		nnne0 12187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
18	17	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcan1d 11932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) = 𝑃)
20	12, 19	breqtrrd 5133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
21	20	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
22		simprr 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∥ 𝑃)
23		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
24		nndivdvds 16145	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
25	9, 23, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
26	22, 25	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12526	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
28		nnz 12520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
29	28	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
30	27, 29	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
31		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦))
32	31	breq2d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦)))
33		breq2 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ 𝑥 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧)))
34	33	orbi1d 915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
35	32, 34	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))
36		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
37	36	breq2d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧)))
38		breq2 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ 𝑦 ↔ 𝑃 ∥ 𝑧))
39	38	orbi2d 914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
40	37, 39	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧))))
41	35, 40	rspc2va 3591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
42	30, 41	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
43	21, 42	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧))
44		dvdsle 16192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
45	10, 26, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
46	14	div1d 11923	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 1) = 𝑃)
47	46	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
48	45, 47	sylibrd 258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
49		nnrp 12926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ+)
50	49	rpregt0d 12963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
51	50	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
52		1rp 12919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
53		rpregt0 12929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
54	52, 53	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
55		nnrp 12926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
56	9, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
57	56	rpregt0d 12963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃))
58		lediv2 12045	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
59	51, 54, 57, 58	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
60	48, 59	sylibrd 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 ≤ 1))
61		nnle1eq1 12183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
62	61	ad2antrl 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
63	60, 62	sylibd 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 = 1))
64		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
65	64	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ0)
67		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
68	9, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
69	68	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑃 ∈ ℕ0)
70		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 ∥ 𝑃)
71		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑃 ∥ 𝑧)
72		dvdseq 16196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑧)) → 𝑧 = 𝑃)
73	66, 69, 70, 71, 72	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 = 𝑃)
74	73	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ 𝑧 → 𝑧 = 𝑃))
75	63, 74	orim12d 963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
76	75	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
77	43, 76	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
78	77	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
79	78	expr 457	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
80	79	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
81		isprm2 16558	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
82	7, 80, 81	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∈ ℙ)
83	6, 82	impbii 208	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915   ∥ cdvds 16136  ℙcprime 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548

This theorem is referenced by:  domnchr  20935