Theorem isprm6 16761

Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 16760. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isprm6	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem isprm6

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16743	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
2		euclemma 16760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
3	2	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
4	3	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
5	4	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
6	1, 5	jca 511	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))
7		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
8		eluz2nn 12949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
11		iddvds 16318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∥ 𝑃)
13		nncn 12301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
15		nncn 12301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
17		nnne0 12327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
18	17	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcan1d 12071	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) = 𝑃)
20	12, 19	breqtrrd 5194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
21	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
22		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∥ 𝑃)
23		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
24		nndivdvds 16311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
25	9, 23, 24	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
26	22, 25	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
28		nnz 12660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
29	28	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
30	27, 29	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
31		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦))
32	31	breq2d 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦)))
33		breq2 5170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ 𝑥 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧)))
34	33	orbi1d 915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
35	32, 34	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))
36		oveq2 7456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
37	36	breq2d 5178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧)))
38		breq2 5170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ 𝑦 ↔ 𝑃 ∥ 𝑧))
39	38	orbi2d 914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
40	37, 39	imbi12d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧))))
41	35, 40	rspc2va 3647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
42	30, 41	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
43	21, 42	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧))
44		dvdsle 16358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
45	10, 26, 44	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
46	14	div1d 12062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 1) = 𝑃)
47	46	breq1d 5176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
48	45, 47	sylibrd 259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
49		nnrp 13068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ+)
50	49	rpregt0d 13105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
51	50	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
52		1rp 13061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
53		rpregt0 13071	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
54	52, 53	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
55		nnrp 13068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
56	9, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
57	56	rpregt0d 13105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃))
58		lediv2 12185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
59	51, 54, 57, 58	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
60	48, 59	sylibrd 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 ≤ 1))
61		nnle1eq1 12323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
62	61	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
63	60, 62	sylibd 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 = 1))
64		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
65	64	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ0)
67		nnnn0 12560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
68	9, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑃 ∈ ℕ0)
70		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 ∥ 𝑃)
71		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑃 ∥ 𝑧)
72		dvdseq 16362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑧)) → 𝑧 = 𝑃)
73	66, 69, 70, 71, 72	syl22anc 838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 = 𝑃)
74	73	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ 𝑧 → 𝑧 = 𝑃))
75	63, 74	orim12d 965	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
76	75	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
77	43, 76	syldan 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
78	77	an32s 651	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
79	78	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
80	79	ralrimiva 3152	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
81		isprm2 16729	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
82	7, 80, 81	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∈ ℙ)
83	6, 82	impbii 209	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ℝ⁺crp 13057   ∥ cdvds 16302  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  domnchr  21570