MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm6 15705
Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 15704. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isprm6 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem isprm6
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 15688 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2 euclemma 15704 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
323expb 1149 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
43biimpd 220 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
54ralrimivva 3118 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦)))
61, 5jca 507 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))))
7 simpl 474 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2nn 11926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
98adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
109nnzd 11728 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
11 iddvds 15280 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃𝑃)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃𝑃)
13 nncn 11283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
149, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
15 nncn 11283 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
1615ad2antrl 719 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
17 nnne0 11310 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
1817ad2antrl 719 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ≠ 0)
1914, 16, 18divcan1d 11056 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) = 𝑃)
2012, 19breqtrrd 4837 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
2120adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
22 simprr 789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧𝑃)
23 simprl 787 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
24 nndivdvds 15274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
259, 23, 24syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
2622, 25mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ)
2726nnzd 11728 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
28 nnz 11646 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
2928ad2antrl 719 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
3027, 29jca 507 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
31 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦))
3231breq2d 4821 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦)))
33 breq2 4813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃𝑥𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧)))
3433orbi1d 940 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃𝑥𝑃𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦)))
3532, 34imbi12d 335 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦))))
36 oveq2 6850 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
3736breq2d 4821 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧)))
38 breq2 4813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → (𝑃𝑦𝑃𝑧))
3938orbi2d 939 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)))
4037, 39imbi12d 335 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧))))
4135, 40rspc2va 3475 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)))
4230, 41sylan 575 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)))
4321, 42mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧))
44 dvdsle 15317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
4510, 26, 44syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
4614div1d 11047 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 / 1) = 𝑃)
4746breq1d 4819 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
4845, 47sylibrd 250 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
49 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ+)
5049rpregt0d 12076 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
5150ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
52 1rp 12032 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ+
53 rpregt0 12044 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
5452, 53mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
55 nnrp 12041 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
569, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
5756rpregt0d 12076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃))
58 lediv2 11167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
5951, 54, 57, 58syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
6048, 59sylibrd 250 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 ≤ 1))
61 nnle1eq1 11305 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
6261ad2antrl 719 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
6360, 62sylibd 230 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 = 1))
64 nnnn0 11546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
6564ad2antrl 719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
6665adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ0)
67 nnnn0 11546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
689, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
6968adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑃 ∈ ℕ0)
70 simplrr 796 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑧𝑃)
71 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑃𝑧)
72 dvdseq 15321 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑧𝑃𝑃𝑧)) → 𝑧 = 𝑃)
7366, 69, 70, 71, 72syl22anc 867 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ 𝑃𝑧) → 𝑧 = 𝑃)
7473ex 401 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑃𝑧𝑧 = 𝑃))
7563, 74orim12d 987 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
7675imp 395 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃𝑧)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
7743, 76syldan 585 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
7877an32s 642 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧𝑃)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
7978expr 448 . . . 4 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
8079ralrimiva 3113 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
81 isprm2 15675 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
827, 80, 81sylanbrc 578 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))) → 𝑃 ∈ ℙ)
836, 82impbii 200 1 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃𝑥𝑃𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  +crp 12028  cdvds 15265  cprime 15665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-prm 15666
This theorem is referenced by:  domnchr  20153
  Copyright terms: Public domain W3C validator