Theorem isprm6 16774

Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 16773. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isprm6	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem isprm6

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16755	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
2		euclemma 16773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
3	2	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
4	3	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
5	4	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
6	1, 5	jca 520	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))
7		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
8		eluz2nn 12913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
11		iddvds 16328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∥ 𝑃)
13		nncn 12242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
14	9, 13	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
15		nncn 12242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
17		nnne0 12271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
18	17	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcan1d 11993	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) = 𝑃)
20	12, 19	breqtrrd 5140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
21	20	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
22		simprr 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∥ 𝑃)
23		simprl 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
24		nndivdvds 16320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
25	9, 23, 24	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
26	22, 25	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
28		nnz 12613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
29	28	ad2antrl 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
30	27, 29	jca 520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
31		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦))
32	31	breq2d 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦)))
33		breq2 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ 𝑥 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧)))
34	33	orbi1d 929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
35	32, 34	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))
36		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
37	36	breq2d 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧)))
38		breq2 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ 𝑦 ↔ 𝑃 ∥ 𝑧))
39	38	orbi2d 928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
40	37, 39	imbi12d 347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧))))
41	35, 40	rspc2va 3594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
42	30, 41	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
43	21, 42	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧))
44		dvdsle 16369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
45	10, 26, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
46	14	div1d 11984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 1) = 𝑃)
47	46	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
48	45, 47	sylibrd 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
49		nnrp 13029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ+)
50	49	rpregt0d 13067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
51	50	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
52		1rp 13021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
53		rpregt0 13032	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
54	52, 53	mp1i 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
55		nnrp 13029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
56	9, 55	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
57	56	rpregt0d 13067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃))
58		lediv2 12106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
59	51, 54, 57, 58	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
60	48, 59	sylibrd 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 ≤ 1))
61		nnle1eq1 12267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
62	61	ad2antrl 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
63	60, 62	sylibd 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 = 1))
64		nnnn0 12512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
65	64	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
66	65	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ0)
67		nnnn0 12512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
68	9, 67	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
69	68	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑃 ∈ ℕ0)
70		simplrr 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 ∥ 𝑃)
71		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑃 ∥ 𝑧)
72		dvdseq 16373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑧)) → 𝑧 = 𝑃)
73	66, 69, 70, 71, 72	syl22anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 = 𝑃)
74	73	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ 𝑧 → 𝑧 = 𝑃))
75	63, 74	orim12d 979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
76	75	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
77	43, 76	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
78	77	an32s 664	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
79	78	expr 461	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
80	79	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
81		isprm2 16741	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
82	7, 80, 81	sylanbrc 594	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∈ ℙ)
83	6, 82	impbii 212	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11872  ℕcn 12234  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ℝ⁺crp 13017   ∥ cdvds 16311  ℙcprime 16730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-prm 16731

This theorem is referenced by:  domnchr  21663