MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isprm6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isprm6 16655
Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 16654. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isprm6 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ƒ

Proof of Theorem isprm6
Dummy variable ๐‘ง is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 16637 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
2 euclemma 16654 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)))
323expb 1118 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)))
43biimpd 228 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)))
54ralrimivva 3198 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)))
61, 5jca 510 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))))
7 simpl 481 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
8 eluz2nn 12872 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
98adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
109nnzd 12589 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
11 iddvds 16217 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ƒ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ƒ)
13 nncn 12224 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
149, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
15 nncn 12224 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
1615ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
17 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
1817ad2antrl 724 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โ‰  0)
1914, 16, 18divcan1d 11995 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง) = ๐‘ƒ)
2012, 19breqtrrd 5175 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง))
2120adantr 479 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง))
22 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)
23 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•)
24 nndivdvds 16210 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„•))
259, 23, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†” (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„•))
2622, 25mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„•)
2726nnzd 12589 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
28 nnz 12583 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
2928ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3027, 29jca 510 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค))
31 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ))
3231breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ)))
33 breq2 5151 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
3433orbi1d 913 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)))
3532, 34imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))))
36 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง))
3736breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง)))
38 breq2 5151 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง))
3938orbi2d 912 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง)))
4037, 39imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง))))
4135, 40rspc2va 3622 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„ค) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง)))
4230, 41sylan 578 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐‘ƒ / ๐‘ง) ยท ๐‘ง) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง)))
4321, 42mpd 15 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง))
44 dvdsle 16257 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
4510, 26, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
4614div1d 11986 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ / 1) = ๐‘ƒ)
4746breq1d 5157 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ / 1) โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†” ๐‘ƒ โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
4845, 47sylibrd 258 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ (๐‘ƒ / 1) โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
49 nnrp 12989 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„+)
5049rpregt0d 13026 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ง))
5150ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ง))
52 1rp 12982 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„+
53 rpregt0 12992 . . . . . . . . . . . . 13 (1 โˆˆ โ„+ โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1))
5452, 53mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1))
55 nnrp 12989 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
569, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
5756rpregt0d 13026 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ƒ))
58 lediv2 12108 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ง) โˆง (1 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โ‰ค 1 โ†” (๐‘ƒ / 1) โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
5951, 54, 57, 58syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โ‰ค 1 โ†” (๐‘ƒ / 1) โ‰ค (๐‘ƒ / ๐‘ง)))
6048, 59sylibrd 258 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง โ‰ค 1))
61 nnle1eq1 12246 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ง โ‰ค 1 โ†” ๐‘ง = 1))
6261ad2antrl 724 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง โ‰ค 1 โ†” ๐‘ง = 1))
6360, 62sylibd 238 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง = 1))
64 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
6564ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
6665adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
67 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
689, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
6968adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0)
70 simplrr 774 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)
71 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง)
72 dvdseq 16261 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ง โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง)) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ)
7366, 69, 70, 71, 72syl22anc 835 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ)
7473ex 411 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง โ†’ ๐‘ง = ๐‘ƒ))
7563, 74orim12d 961 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง) โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ)))
7675imp 405 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ƒ / ๐‘ง) โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ง)) โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ))
7743, 76syldan 589 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ))
7877an32s 648 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ))
7978expr 455 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ)))
8079ralrimiva 3144 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ)))
81 isprm2 16623 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„• (๐‘ง โˆฅ ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ง = 1 โˆจ ๐‘ง = ๐‘ƒ))))
827, 80, 81sylanbrc 581 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
836, 82impbii 208 1 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ โˆฅ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฅ โˆจ ๐‘ƒ โˆฅ ๐‘ฆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12978   โˆฅ cdvds 16201  โ„™cprime 16612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613
This theorem is referenced by:  domnchr  21303
  Copyright terms: Public domain W3C validator