Theorem isprm6 16110

Description: A number is prime iff it satisfies Euclid's lemma euclemma 16109. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isprm6	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem isprm6

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuz2 16092	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
2		euclemma 16109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
3	2	3expb 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
4	3	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
5	4	ralrimivva 3120	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
6	1, 5	jca 515	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))
7		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
8		eluz2nn 12324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
9	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
10	9	nnzd 12125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℤ)
11		iddvds 15671	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∥ 𝑃)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∥ 𝑃)
13		nncn 11682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
14	9, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℂ)
15		nncn 11682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
16	15	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℂ)
17		nnne0 11708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≠ 0)
18	17	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ≠ 0)
19	14, 16, 18	divcan1d 11455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) = 𝑃)
20	12, 19	breqtrrd 5060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
21	20	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
22		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∥ 𝑃)
23		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ)
24		nndivdvds 15664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
25	9, 23, 24	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ))
26	22, 25	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ)
27	26	nnzd 12125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ)
28		nnz 12043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
29	28	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℤ)
30	27, 29	jca 515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ))
31		oveq1 7157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑥 · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦))
32	31	breq2d 5044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦)))
33		breq2 5036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 ∥ 𝑥 ↔ 𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧)))
34	33	orbi1d 914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)))
35	32, 34	imbi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑃 / 𝑧) → ((𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))
36		oveq2 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) = ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧))
37	36	breq2d 5044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) ↔ 𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧)))
38		breq2 5036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑃 ∥ 𝑦 ↔ 𝑃 ∥ 𝑧))
39	38	orbi2d 913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦) ↔ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
40	37, 39	imbi12d 348	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑦) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧))))
41	35, 40	rspc2va 3552	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 / 𝑧) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
42	30, 41	sylan 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ ((𝑃 / 𝑧) · 𝑧) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)))
43	21, 42	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧))
44		dvdsle 15711	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑃 / 𝑧) ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
45	10, 26, 44	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
46	14	div1d 11446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 / 1) = 𝑃)
47	46	breq1d 5042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧) ↔ 𝑃 ≤ (𝑃 / 𝑧)))
48	45, 47	sylibrd 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
49		nnrp 12441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ+)
50	49	rpregt0d 12478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
51	50	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
52		1rp 12434	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ+
53		rpregt0 12444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
54	52, 53	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
55		nnrp 12441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ+)
56	9, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
57	56	rpregt0d 12478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃))
58		lediv2 11568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
59	51, 54, 57, 58	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ (𝑃 / 1) ≤ (𝑃 / 𝑧)))
60	48, 59	sylibrd 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 ≤ 1))
61		nnle1eq1 11704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
62	61	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 ≤ 1 ↔ 𝑧 = 1))
63	60, 62	sylibd 242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) → 𝑧 = 1))
64		nnnn0 11941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
65	64	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑧 ∈ ℕ0)
66	65	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 ∈ ℕ0)
67		nnnn0 11941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℕ0)
68	9, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
69	68	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑃 ∈ ℕ0)
70		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 ∥ 𝑃)
71		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑃 ∥ 𝑧)
72		dvdseq 15715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ (𝑧 ∥ 𝑃 ∧ 𝑃 ∥ 𝑧)) → 𝑧 = 𝑃)
73	66, 69, 70, 71, 72	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ 𝑃 ∥ 𝑧) → 𝑧 = 𝑃)
74	73	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑃 ∥ 𝑧 → 𝑧 = 𝑃))
75	63, 74	orim12d 962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → ((𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
76	75	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ (𝑃 ∥ (𝑃 / 𝑧) ∨ 𝑃 ∥ 𝑧)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
77	43, 76	syldan 594	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
78	77	an32s 651	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) ∧ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
79	78	expr 460	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
80	79	ralrimiva 3113	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
81		isprm2 16078	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
82	7, 80, 81	sylanbrc 586	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))) → 𝑃 ∈ ℙ)
83	6, 82	impbii 212	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦 ∈ ℤ (𝑃 ∥ (𝑥 · 𝑦) → (𝑃 ∥ 𝑥 ∨ 𝑃 ∥ 𝑦))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   · cmul 10580   < clt 10713   ≤ cle 10714   / cdiv 11335  ℕcn 11674  2c2 11729  ℕ₀cn0 11934  ℤcz 12020  ℤ_≥cuz 12282  ℝ⁺crp 12430   ∥ cdvds 15655  ℙcprime 16067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-dvds 15656  df-gcd 15894  df-prm 16068

This theorem is referenced by:  domnchr  20300