Theorem ledivge1le 13050

Description: If a number is less than or equal to another number, the number divided by a positive number greater than or equal to one is less than or equal to the other number. (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ledivge1le	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ledivge1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divle1le 13049	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
2	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
3		rerpdivcl 13009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5		1red 11220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
6		rpre 12987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		letr 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
10	9	expd 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 → (1 ≤ 𝐶 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
11	2, 10	sylbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (1 ≤ 𝐶 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
12	11	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
13	12	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
14	13	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ+ → ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))))
15	14	3imp1 1346	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)
16		simp1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
18		0lt1 11741	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
19		0red 11222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
20		1red 11220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
21		ltletr 11311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → 0 < 𝐶))
22	19, 20, 6, 21	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → 0 < 𝐶))
23	18, 22	mpani 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (1 ≤ 𝐶 → 0 < 𝐶))
24	23	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → 0 < 𝐶)
25	17, 24	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
26	25	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
27		rpregt0 12993	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
28	27	3ad2ant2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
29	16, 26, 28	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)))
31		lediv23 12111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
33	15, 32	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵)
34	33	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   < clt 11253   ≤ cle 11254   / cdiv 11876  ℝ⁺crp 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-rp 12980

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  27101