Theorem ledivge1le 13041

Description: If a number is less than or equal to another number, the number divided by a positive number greater than or equal to one is less than or equal to the other number. (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ledivge1le	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ledivge1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divle1le 13040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
2	1	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
3		rerpdivcl 13000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5		1red 11211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
6		rpre 12978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		letr 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
10	9	expd 416	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 → (1 ≤ 𝐶 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
11	2, 10	sylbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (1 ≤ 𝐶 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
12	11	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
13	12	expimpd 454	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
14	13	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ+ → ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))))
15	14	3imp1 1347	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)
16		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
18		0lt1 11732	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
19		0red 11213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
20		1red 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
21		ltletr 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → 0 < 𝐶))
22	19, 20, 6, 21	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → 0 < 𝐶))
23	18, 22	mpani 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (1 ≤ 𝐶 → 0 < 𝐶))
24	23	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → 0 < 𝐶)
25	17, 24	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
26	25	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
27		rpregt0 12984	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
28	27	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
29	16, 26, 28	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)))
30	29	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)))
31		lediv23 12102	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
33	15, 32	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵)
34	33	ex 413	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244   ≤ cle 11245   / cdiv 11867  ℝ⁺crp 12970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-rp 12971

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  26857