Theorem ledivge1le 13128

Description: If a number is less than or equal to another number, the number divided by a positive number greater than or equal to one is less than or equal to the other number. (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ledivge1le	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ledivge1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divle1le 13127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
2	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
3		rerpdivcl 13087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5		1red 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
6		rpre 13065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		letr 11384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
9	4, 5, 7, 8	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
10	9	expd 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ 1 → (1 ≤ 𝐶 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
11	2, 10	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (1 ≤ 𝐶 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
12	11	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐶 → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
13	12	expimpd 453	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)))
14	13	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℝ+ → ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))))
15	14	3imp1 1347	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶)
16		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
18		0lt1 11812	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
19		0red 11293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
20		1red 11291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
21		ltletr 11382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → 0 < 𝐶))
22	19, 20, 6, 21	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐶) → 0 < 𝐶))
23	18, 22	mpani 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (1 ≤ 𝐶 → 0 < 𝐶))
24	23	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → 0 < 𝐶)
25	17, 24	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
26	25	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
27		rpregt0 13071	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
28	27	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
29	16, 26, 28	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)))
31		lediv23 12187	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐶))
33	15, 32	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵)
34	33	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ∧ (𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 / 𝐶) ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   < clt 11324   ≤ cle 11325   / cdiv 11947  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  27427