Theorem modlt 13920

Description: The modulo operation is less than its second argument. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)

Proof of Theorem modlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11196	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		rpcnne0 13041	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3		divcan2 11886	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
4	3	3expb 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
5	1, 2, 4	syl2an 607	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
6	5	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
7		rpcn 13033	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
8	7	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
9		rerpdivcl 13054	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11243	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
11		refldivcl 13863	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11243	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
13	8, 10, 12	subdid 11676	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = ((𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
14		modval 13911	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
15	6, 13, 14	3eqtr4rd 2808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
16		fraclt1 13842	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
17	9, 16	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
18		divid 11908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
19	2, 18	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
20	19	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
21	17, 20	breqtrrd 5138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < (𝐵 / 𝐵))
22	9, 11	resubcld 11648	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℝ)
23		rpre 13031	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
24	23	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
25		rpregt0 13037	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
26	25	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
27		ltmuldiv2 12095	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) < 𝐵 ↔ ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < (𝐵 / 𝐵)))
28	22, 24, 26, 27	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) < 𝐵 ↔ ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < (𝐵 / 𝐵)))
29	21, 28	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) < 𝐵)
30	15, 29	eqbrtrd 5132	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11249   − cmin 11447   / cdiv 11877  ℝ⁺crp 13022  ⌊cfl 13830   mod cmo 13909

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fl 13832  df-mod 13910

This theorem is used by:  modelico  13921  zmodfz  13933  modid2  13938  modabs  13944  modaddmodup  13977  modsubdir  13983  digit1  14280  cshwidxmod  14847  repswcshw  14856  divalgmod  16470  bitsmod  16500  bitsinv1lem  16505  bezoutlem3  16605  eucalglt  16649  odzdvds  16861  fldivp1  16963  4sqlem6  17009  4sqlem12  17022  mndodcong  19618  oddvds  19623  gexdvds  19660  zringlpirlem3  21625  sineq0  26700  efif1olem2  26719  lgseisenlem1  27550  irrapxlem1  43577  pellfund14  43653  jm2.19  43748  sineq0ALT  45673  fourierswlem  46972  fouriersw  46973  gpg3nbgrvtx0  48869