MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modlt 13236
Description: The modulo operation is less than its second argument. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
modlt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)

Proof of Theorem modlt
StepHypRef Expression
1 recn 10615 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 rpcnne0 12395 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3 divcan2 11294 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
433expb 1112 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
51, 2, 4syl2an 595 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) = 𝐴)
65oveq1d 7160 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
7 rpcn 12387 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
87adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
9 rerpdivcl 12407 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
109recnd 10657 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
11 refldivcl 13181 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
1211recnd 10657 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℂ)
138, 10, 12subdid 11084 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = ((𝐵 · (𝐴 / 𝐵)) − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
14 modval 13227 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
156, 13, 143eqtr4rd 2864 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
16 fraclt1 13160 . . . . 5 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
179, 16syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < 1)
18 divid 11315 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
192, 18syl 17 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
2019adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝐵) = 1)
2117, 20breqtrrd 5085 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < (𝐵 / 𝐵))
229, 11resubcld 11056 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℝ)
23 rpre 12385 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
2423adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
25 rpregt0 12391 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
2625adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
27 ltmuldiv2 11502 . . . 4 ((((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) < 𝐵 ↔ ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < (𝐵 / 𝐵)))
2822, 24, 26, 27syl3anc 1363 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) < 𝐵 ↔ ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) < (𝐵 / 𝐵)))
2921, 28mpbird 258 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 · ((𝐴 / 𝐵) − (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) < 𝐵)
3015, 29eqbrtrd 5079 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) < 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cmin 10858   / cdiv 11285  +crp 12377  cfl 13148   mod cmo 13225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-mod 13226
This theorem is referenced by:  modelico  13237  zmodfz  13249  modid2  13254  modabs  13260  modaddmodup  13290  modsubdir  13296  digit1  13586  cshwidxmod  14153  repswcshw  14162  divalgmod  15745  bitsmod  15773  bitsinv1lem  15778  bezoutlem3  15877  eucalglt  15917  odzdvds  16120  fldivp1  16221  4sqlem6  16267  4sqlem12  16280  mndodcong  18599  oddvds  18604  gexdvds  18638  zringlpirlem3  20561  sineq0  25036  efif1olem2  25054  lgseisenlem1  25878  irrapxlem1  39297  pellfund14  39373  jm2.19  39468  sineq0ALT  41148  fourierswlem  42392  fouriersw  42393
  Copyright terms: Public domain W3C validator