Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  divge1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divge1b 45434
Description: The ratio of a real number to a positive real number is greater than or equal to 1 iff the divisor (the positive real number) is less than or equal to the dividend (the real number). (Contributed by AV, 26-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
divge1b ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ 1 ≤ (𝐵 / 𝐴)))

Proof of Theorem divge1b
StepHypRef Expression
1 rpcn 12494 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
21mulid2d 10749 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
32eqcomd 2745 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 = (1 · 𝐴))
43adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = (1 · 𝐴))
54breq1d 5050 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (1 · 𝐴) ≤ 𝐵))
6 1red 10732 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
7 simpr 488 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 rpregt0 12498 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
98adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10 lemuldiv 11610 . . 3 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → ((1 · 𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 1 ≤ (𝐵 / 𝐴)))
116, 7, 9, 10syl3anc 1372 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → ((1 · 𝐴) ≤ 𝐵 ↔ 1 ≤ (𝐵 / 𝐴)))
125, 11bitrd 282 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ 1 ≤ (𝐵 / 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5040  (class class class)co 7182  cr 10626  0cc0 10627  1c1 10628   · cmul 10632   < clt 10765  cle 10766   / cdiv 11387  +crp 12484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-rp 12485
This theorem is referenced by:  fldivexpfllog2  45492
  Copyright terms: Public domain W3C validator