Theorem chto1ub 27836

Description: The θ function is upper bounded by a linear term. Corollary of chtub 27572. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chto1ub	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 13158	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
3		rpre 13159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
4		chtcl 27469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
6		rerpdivcl 13182	. . . . . 6 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
7	5, 6	mpancom 701	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11367	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
9	8	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
10		3re 12453	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
12		2rp 13155	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
13		relogcl 26936	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
15		2re 12447	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	14, 15	remulcli 11355	. . . 4 ⊢ ((log‘2) · 2) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((log‘2) · 2) ∈ ℝ)
18		chtge0 27472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (θ‘𝑥))
19	3, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (θ‘𝑥))
20		rpregt0 13165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
21		divge0 12216	. . . . . . . 8 ⊢ ((((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (θ‘𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
22	5, 19, 20, 21	syl21anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
23	7, 22	absidd 15622	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
25	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
26	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · 2) ∈ ℝ)
27	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
28	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
29		remulcl 11315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
30	15, 28, 29	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
31		resubcl 11652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ)
32	30, 10, 31	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ)
33		remulcl 11315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) ∈ ℝ)
34	14, 32, 33	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) ∈ ℝ)
35		remulcl 11315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℝ) → ((log‘2) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
36	14, 30, 35	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
37	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℝ)
38	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 3 ∈ ℝ)
39		2lt3 12546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 < 3)
41		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 3 ≤ 𝑥)
42	37, 38, 28, 40, 41	ltletrd 11500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 < 𝑥)
43		chtub 27572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)))
44	28, 42, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)))
45		3rp 13156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ+
46		ltsubrp 13188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥))
47	30, 45, 46	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥))
48		1lt2 12545	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
49		rplogcl 26965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
50	15, 48, 49	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ+
51		elrp 13152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ+ ↔ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
52	50, 51	mpbi 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
54		ltmul2 12198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥))))
55	32, 30, 53, 54	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥))))
56	47, 55	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
57	27, 34, 36, 44, 56	lttrd 11501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
58	14	recni 11353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (log‘2) ∈ ℂ)
60		2cnd 12451	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℂ)
61	3	recnd 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
62	61	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
63	59, 60, 62	mulassd 11362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((log‘2) · 2) · 𝑥) = ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
64	57, 63	breqtrrd 5137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥))
65	20	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
66		ltdivmul2 12224	. . . . . . . 8 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2) ↔ (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥)))
67	27, 26, 65, 66	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2) ↔ (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥)))
68	64, 67	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2))
69	25, 26, 68	ltled 11488	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘2) · 2))
70	24, 69	eqbrtrd 5131	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) ≤ ((log‘2) · 2))
71	70	adantl 487	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥)) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) ≤ ((log‘2) · 2))
72	2, 9, 11, 17, 71	elo1d 15735	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
73	72	mptru 1577	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   · cmul 11235   < clt 11373   ≤ cle 11374   − cmin 11571   / cdiv 12003  2c2 12427  3c3 12428  ℝ⁺crp 13150  abscabs 15433  𝑂(1)co1 15685  logclog 26915  θccht 27451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ioc 13511  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-mod 14040  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-o1 15689  df-lo1 15690  df-sum 15886  df-ef 16265  df-sin 16267  df-cos 16268  df-pi 16270  df-dvds 16455  df-gcd 16697  df-prm 16879  df-pc 17047  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-lp 23487  df-perf 23488  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-limc 26219  df-dv 26220  df-log 26917  df-cht 27457

This theorem is used by:  chebbnd2  27837  chpo1ub  27840