Theorem chto1ub 27535

Description: The θ function is upper bounded by a linear term. Corollary of chtub 27271. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chto1ub	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 13040	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
3		rpre 13041	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
4		chtcl 27167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
6		rerpdivcl 13063	. . . . . 6 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
7	5, 6	mpancom 688	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11287	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
10		3re 12344	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
12		2rp 13037	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
13		relogcl 26632	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
15		2re 12338	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	14, 15	remulcli 11275	. . . 4 ⊢ ((log‘2) · 2) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((log‘2) · 2) ∈ ℝ)
18		chtge0 27170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (θ‘𝑥))
19	3, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (θ‘𝑥))
20		rpregt0 13047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
21		divge0 12135	. . . . . . . 8 ⊢ ((((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (θ‘𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
22	5, 19, 20, 21	syl21anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
23	7, 22	absidd 15458	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
24	23	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
25	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
26	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · 2) ∈ ℝ)
27	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
28	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
29		remulcl 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
30	15, 28, 29	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
31		resubcl 11571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ)
32	30, 10, 31	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ)
33		remulcl 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) ∈ ℝ)
34	14, 32, 33	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) ∈ ℝ)
35		remulcl 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℝ) → ((log‘2) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
36	14, 30, 35	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
37	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℝ)
38	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 3 ∈ ℝ)
39		2lt3 12436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 < 3)
41		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 3 ≤ 𝑥)
42	37, 38, 28, 40, 41	ltletrd 11419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 < 𝑥)
43		chtub 27271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)))
44	28, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)))
45		3rp 13038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ+
46		ltsubrp 13069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥))
47	30, 45, 46	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥))
48		1lt2 12435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
49		rplogcl 26661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
50	15, 48, 49	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ+
51		elrp 13034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ+ ↔ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
52	50, 51	mpbi 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
54		ltmul2 12116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥))))
55	32, 30, 53, 54	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥))))
56	47, 55	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
57	27, 34, 36, 44, 56	lttrd 11420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
58	14	recni 11273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (log‘2) ∈ ℂ)
60		2cnd 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℂ)
61	3	recnd 11287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
62	61	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
63	59, 60, 62	mulassd 11282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((log‘2) · 2) · 𝑥) = ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
64	57, 63	breqtrrd 5176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥))
65	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
66		ltdivmul2 12143	. . . . . . . 8 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2) ↔ (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥)))
67	27, 26, 65, 66	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2) ↔ (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥)))
68	64, 67	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2))
69	25, 26, 68	ltled 11407	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘2) · 2))
70	24, 69	eqbrtrd 5170	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) ≤ ((log‘2) · 2))
71	70	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥)) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) ≤ ((log‘2) · 2))
72	2, 9, 11, 17, 71	elo1d 15569	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
73	72	mptru 1544	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  ℝ⁺crp 13032  abscabs 15270  𝑂(1)co1 15519  logclog 26611  θccht 27149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-o1 15523  df-lo1 15524  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-pc 16871  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cht 27155

This theorem is referenced by:  chebbnd2  27536  chpo1ub  27539