Theorem chto1ub 27203

Description: The θ function is upper bounded by a linear term. Corollary of chtub 26939. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chto1ub	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Proof of Theorem chto1ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 12985	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℝ+ ⊆ ℝ)
3		rpre 12986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
4		chtcl 26837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
6		rerpdivcl 13008	. . . . . 6 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
7	5, 6	mpancom 686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11246	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
9	8	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℂ)
10		3re 12296	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℝ
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 3 ∈ ℝ)
12		2rp 12983	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
13		relogcl 26308	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
15		2re 12290	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	14, 15	remulcli 11234	. . . 4 ⊢ ((log‘2) · 2) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((log‘2) · 2) ∈ ℝ)
18		chtge0 26840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (θ‘𝑥))
19	3, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (θ‘𝑥))
20		rpregt0 12992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
21		divge0 12087	. . . . . . . 8 ⊢ ((((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (θ‘𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → 0 ≤ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
22	5, 19, 20, 21	syl21anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 0 ≤ ((θ‘𝑥) / 𝑥))
23	7, 22	absidd 15373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
24	23	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) = ((θ‘𝑥) / 𝑥))
25	7	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ∈ ℝ)
26	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · 2) ∈ ℝ)
27	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) ∈ ℝ)
28	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
29		remulcl 11197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
30	15, 28, 29	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (2 · 𝑥) ∈ ℝ)
31		resubcl 11528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ)
32	30, 10, 31	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ)
33		remulcl 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) ∈ ℝ)
34	14, 32, 33	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) ∈ ℝ)
35		remulcl 11197	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘2) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℝ) → ((log‘2) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
36	14, 30, 35	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
37	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℝ)
38	10	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 3 ∈ ℝ)
39		2lt3 12388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 3
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 < 3)
41		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 3 ≤ 𝑥)
42	37, 38, 28, 40, 41	ltletrd 11378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 < 𝑥)
43		chtub 26939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)))
44	28, 42, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)))
45		3rp 12984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ+
46		ltsubrp 13014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥))
47	30, 45, 46	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥))
48		1lt2 12387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
49		rplogcl 26336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
50	15, 48, 49	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ+
51		elrp 12980	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ+ ↔ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
52	50, 51	mpbi 229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
54		ltmul2 12069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑥) − 3) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥))))
55	32, 30, 53, 54	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((2 · 𝑥) − 3) < (2 · 𝑥) ↔ ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥))))
56	47, 55	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((log‘2) · ((2 · 𝑥) − 3)) < ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
57	27, 34, 36, 44, 56	lttrd 11379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
58	14	recni 11232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log‘2) ∈ ℂ
59	58	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (log‘2) ∈ ℂ)
60		2cnd 12294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 2 ∈ ℂ)
61	3	recnd 11246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℂ)
62	61	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℂ)
63	59, 60, 62	mulassd 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((log‘2) · 2) · 𝑥) = ((log‘2) · (2 · 𝑥)))
64	57, 63	breqtrrd 5176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥))
65	20	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
66		ltdivmul2 12095	. . . . . . . 8 ⊢ (((θ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘2) · 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2) ↔ (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥)))
67	27, 26, 65, 66	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2) ↔ (θ‘𝑥) < (((log‘2) · 2) · 𝑥)))
68	64, 67	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) < ((log‘2) · 2))
69	25, 26, 68	ltled 11366	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → ((θ‘𝑥) / 𝑥) ≤ ((log‘2) · 2))
70	24, 69	eqbrtrd 5170	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) ≤ ((log‘2) · 2))
71	70	adantl 482	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 3 ≤ 𝑥)) → (abs‘((θ‘𝑥) / 𝑥)) ≤ ((log‘2) · 2))
72	2, 9, 11, 17, 71	elo1d 15484	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1))
73	72	mptru 1548	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((θ‘𝑥) / 𝑥)) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   < clt 11252   ≤ cle 11253   − cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  3c3 12272  ℝ⁺crp 12978  abscabs 15185  𝑂(1)co1 15434  logclog 26287  θccht 26819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-o1 15438  df-lo1 15439  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25607  df-dv 25608  df-log 26289  df-cht 26825

This theorem is referenced by:  chebbnd2  27204  chpo1ub  27207