MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gexexlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gexexlem 19821
Description: Lemma for gexex 19822. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexex.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
gexex.2 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
gexex.3 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
gexexlem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
gexexlem.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„•)
gexexlem.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
gexexlem.4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘‚โ€˜๐ด))
Assertion
Ref Expression
gexexlem (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) = ๐ธ)
Distinct variable groups:   ๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฆ,๐ธ   ๐‘ฆ,๐บ   ๐‘ฆ,๐‘‚   ๐œ‘,๐‘ฆ   ๐‘ฆ,๐‘‹

Proof of Theorem gexexlem
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexexlem.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
2 gexex.1 . . . 4 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
3 gexex.3 . . . 4 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
42, 3odcl 19505 . . 3 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
51, 4syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
6 gexexlem.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„•)
76nnnn0d 12572 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„•0)
8 gexexlem.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
9 ablgrp 19754 . . . 4 (๐บ โˆˆ Abel โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
108, 9syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
11 gexex.2 . . . 4 ๐ธ = (gExโ€˜๐บ)
122, 11, 3gexod 19555 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐ธ)
1310, 1, 12syl2anc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐ธ)
148ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐บ โˆˆ Abel)
1510ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
16 prmnn 16654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1716adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
18 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
196ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„•)
201ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
212, 11, 3gexnnod 19557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ธ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
2215, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
2318, 22pccld 16828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
2417, 23nnexpcld 14249 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•)
2524nnzd 12625 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค)
26 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (.gโ€˜๐บ) = (.gโ€˜๐บ)
272, 26mulgcl 19060 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) โˆˆ ๐‘‹)
2815, 25, 20, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) โˆˆ ๐‘‹)
29 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹)
302, 11, 3gexnnod 19557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ธ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
3115, 19, 29, 30syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•)
32 pcdvds 16842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))
3318, 31, 32syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))
3418, 31pccld 16828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•0)
3517, 34nnexpcld 14249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„•)
36 nndivdvds 16249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„•))
3731, 35, 36syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„•))
3833, 37mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„•)
3938nnzd 12625 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ค)
402, 26mulgcl 19060 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘‹)
4115, 39, 29, 40syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘‹)
422, 3, 26odmulg 19525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) = (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) gcd (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท (๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด))))
4315, 20, 25, 42syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) = (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) gcd (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท (๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด))))
44 pcdvds 16842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด))
4518, 22, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด))
46 gcdeq 16538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) gcd (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†” (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด)))
4724, 22, 46syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) gcd (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†” (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด)))
4845, 47mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) gcd (๐‘‚โ€˜๐ด)) = (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))
4948oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) gcd (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท (๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด))) = ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด))))
5043, 49eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) = ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด))))
5150oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) = (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด))) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))))
522, 11, 3gexnnod 19557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ธ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)) โˆˆ โ„•)
5315, 19, 28, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)) โˆˆ โ„•)
5453nncnd 12268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5524nncnd 12268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
5624nnne0d 12302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ‰  0)
5754, 55, 56divcan3d 12035 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) ยท (๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด))) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) = (๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)))
5851, 57eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)) = ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))))
592, 11, 3gexnnod 19557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ธ โˆˆ โ„• โˆง (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
6015, 19, 41, 59syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•)
6160nncnd 12268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
6235nncnd 12268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„‚)
6338nncnd 12268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„‚)
6438nnne0d 12302 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โ‰  0)
6531nncnd 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
6635nnne0d 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โ‰  0)
6765, 62, 66divcan1d 12031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) = (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))
682, 3, 26odmulg 19525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆง ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = ((((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) gcd (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
6915, 29, 39, 68syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) = ((((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) gcd (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
7035nnzd 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค)
71 dvdsmul1 16264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))))
7239, 70, 71syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆฅ (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))))
7372, 67breqtrd 5178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))
74 gcdeq 16538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) gcd (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))
7538, 31, 74syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) gcd (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))
7673, 75mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) gcd (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) = ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))))
7776oveq1d 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) gcd (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) ยท (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))) = (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) ยท (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
7867, 69, 773eqtrrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) ยท (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))) = (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))))
7961, 62, 63, 64, 78mulcanad 11889 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) = (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))
8058, 79oveq12d 7444 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)) gcd (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))) = (((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) gcd (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))))
81 nndivdvds 16249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„•))
8222, 24, 81syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„•))
8345, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„•)
8483nnzd 12625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„ค)
8584, 70gcdcomd 16498 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) gcd (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) = ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) gcd ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))))
86 pcndvds2 16846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))))
8718, 22, 86syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ยฌ ๐‘ โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))))
88 coprm 16691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โ†” (๐‘ gcd ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))) = 1))
8918, 84, 88syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (ยฌ ๐‘ โˆฅ ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โ†” (๐‘ gcd ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))) = 1))
9087, 89mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ gcd ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))) = 1)
91 prmz 16655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
9291adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
93 rpexp1i 16704 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ gcd ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) gcd ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))) = 1))
9492, 84, 34, 93syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ gcd ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))) = 1 โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) gcd ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))) = 1))
9590, 94mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) gcd ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))) = 1)
9680, 85, 953eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)) gcd (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))) = 1)
97 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
983, 2, 97odadd 19819 . . . . . . . . . . . 12 (((๐บ โˆˆ Abel โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) โˆˆ ๐‘‹ โˆง (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘‹) โˆง ((๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)) gcd (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))) = 1) โ†’ (๐‘‚โ€˜(((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))) = ((๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)) ยท (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
9914, 28, 41, 96, 98syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜(((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))) = ((๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)) ยท (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
10058, 79oveq12d 7444 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)) ยท (๐‘‚โ€˜(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))) = (((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))))
10199, 100eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜(((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))) = (((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))))
102 fveq2 6902 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ = (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘‚โ€˜(((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))))
103102breq1d 5162 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” (๐‘‚โ€˜(((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘‚โ€˜๐ด)))
104 gexexlem.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘‚โ€˜๐ด))
105104ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘‚โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘‚โ€˜๐ด))
106105ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘‚โ€˜๐‘ฆ) โ‰ค (๐‘‚โ€˜๐ด))
1072, 97grpcl 18912 . . . . . . . . . . . 12 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด) โˆˆ ๐‘‹ โˆง (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‹)
10815, 28, 41, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‹)
109103, 106, 108rspcdva 3612 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜(((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))(.gโ€˜๐บ)๐ด)(+gโ€˜๐บ)(((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))(.gโ€˜๐บ)๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘‚โ€˜๐ด))
110101, 109eqbrtrrd 5176 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (๐‘‚โ€˜๐ด))
11183nnred 12267 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
11222nnred 12267 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
11335nnrpd 13056 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„+)
114111, 112, 113lemuldivd 13107 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) ยท (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โ‰ค ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))))
115110, 114mpbid 231 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โ‰ค ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))))
116 nnrp 13027 . . . . . . . . . 10 ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„+)
117 nnrp 13027 . . . . . . . . . 10 ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+)
118 nnrp 13027 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
119 rpregt0 13030 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))))
120 rpregt0 13030 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))))
121 rpregt0 13030 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+ โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘‚โ€˜๐ด)))
122 lediv2 12144 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)))) โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โ‰ค ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))))
123119, 120, 121, 122syl3an 1157 . . . . . . . . . 10 (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„+ โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โ‰ค ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))))
124116, 117, 118, 123syl3an 1157 . . . . . . . . 9 (((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โ‰ค ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))))
12535, 24, 22, 124syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))) โ‰ค ((๐‘‚โ€˜๐ด) / (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))))))
126115, 125mpbird 256 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))
12717nnred 12267 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
12834nn0zd 12624 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค)
12923nn0zd 12624 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ค)
130 prmuz2 16676 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
131130adantl 480 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
132 eluz2gt1 12944 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ 1 < ๐‘)
133131, 132syl 17 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 1 < ๐‘)
134127, 128, 129, 133leexp2d 14256 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ((๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)) โ†” (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค (๐‘โ†‘(๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))))
135126, 134mpbird 256 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))
136135ralrimiva 3143 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด)))
1372, 3odcl 19505 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
138137adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•0)
139138nn0zd 12624 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
1405nn0zd 12624 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
141140adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค)
142 pc2dvds 16857 . . . . . 6 (((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))
143139, 141, 142syl2anc 582 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (๐‘ pCnt (๐‘‚โ€˜๐ด))))
144136, 143mpbird 256 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด))
145144ralrimiva 3143 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด))
1462, 11, 3gexdvds2 19554 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ธ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด)))
14710, 140, 146syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘‚โ€˜๐‘ฅ) โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด)))
148145, 147mpbird 256 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด))
149 dvdseq 16300 . 2 ((((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ธ โˆˆ โ„•0) โˆง ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐ธ โˆง ๐ธ โˆฅ (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) = ๐ธ)
1505, 7, 13, 148, 149syl22anc 837 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) = ๐ธ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058   class class class wbr 5152  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„cr 11147  0cc0 11148  1c1 11149   ยท cmul 11153   < clt 11288   โ‰ค cle 11289   / cdiv 11911  โ„•cn 12252  2c2 12307  โ„•0cn0 12512  โ„คcz 12598  โ„คโ‰ฅcuz 12862  โ„+crp 13016  โ†‘cexp 14068   โˆฅ cdvds 16240   gcd cgcd 16478  โ„™cprime 16651   pCnt cpc 16814  Basecbs 17189  +gcplusg 17242  Grpcgrp 18904  .gcmg 19037  odcod 19493  gExcgex 19494  Abelcabl 19750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-dvds 16241  df-gcd 16479  df-prm 16652  df-pc 16815  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-od 19497  df-gex 19498  df-cmn 19751  df-abl 19752
This theorem is referenced by:  gexex  19822
  Copyright terms: Public domain W3C validator