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Theorem gexexlem 18461
Description: Lemma for gexex 18462. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gexex.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexex.2 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexex.3 𝑂 = (od‘𝐺)
gexexlem.1 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
gexexlem.2 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
gexexlem.3 (𝜑𝐴𝑋)
gexexlem.4 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝐴))
Assertion
Ref Expression
gexexlem (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑂   𝜑,𝑦   𝑦,𝑋

Proof of Theorem gexexlem
Dummy variables 𝑥 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gexexlem.3 . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
2 gexex.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 gexex.3 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
42, 3odcl 18161 . . 3 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
51, 4syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
6 gexexlem.2 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ ℕ)
76nnnn0d 11552 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
8 gexexlem.1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
9 ablgrp 18404 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
11 gexex.2 . . . 4 𝐸 = (gEx‘𝐺)
122, 11, 3gexod 18207 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∥ 𝐸)
1310, 1, 12syl2anc 565 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∥ 𝐸)
148ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Abel)
1510ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐺 ∈ Grp)
16 prmnn 15594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
1716adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℕ)
18 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
196ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐸 ∈ ℕ)
201ad2antrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴𝑋)
212, 11, 3gexnnod 18209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
2215, 19, 20, 21syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
2318, 22pccld 15761 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
2417, 23nnexpcld 13236 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℕ)
2524nnzd 11682 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℤ)
26 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (.g𝐺) = (.g𝐺)
272, 26mulgcl 17766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋)
2815, 25, 20, 27syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋)
29 simplr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑥𝑋)
302, 11, 3gexnnod 18209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝑋) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ)
3115, 19, 29, 30syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ)
32 pcdvds 15774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑂𝑥) ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∥ (𝑂𝑥))
3318, 31, 32syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∥ (𝑂𝑥))
3418, 31pccld 15761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ∈ ℕ0)
3517, 34nnexpcld 13236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℕ)
36 nndivdvds 15197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑂𝑥) ∈ ℕ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℕ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∥ (𝑂𝑥) ↔ ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℕ))
3731, 35, 36syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∥ (𝑂𝑥) ↔ ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℕ))
3833, 37mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℕ)
3938nnzd 11682 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℤ)
402, 26mulgcl 17766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℤ ∧ 𝑥𝑋) → (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
4115, 39, 29, 40syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋)
422, 3, 26odmulg 18179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))))
4315, 20, 25, 42syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝐴) = (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))))
44 pcdvds 15774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∥ (𝑂𝐴))
4518, 22, 44syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∥ (𝑂𝐴))
46 gcdeq 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℕ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) gcd (𝑂𝐴)) = (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∥ (𝑂𝐴)))
4724, 22, 46syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) gcd (𝑂𝐴)) = (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∥ (𝑂𝐴)))
4845, 47mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) gcd (𝑂𝐴)) = (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))
4948oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))) = ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))))
5043, 49eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝐴) = ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))))
5150oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) = (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))))
522, 11, 3gexnnod 18209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) ∈ ℕ)
5315, 19, 28, 52syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) ∈ ℕ)
5453nncnd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) ∈ ℂ)
5524nncnd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℂ)
5624nnne0d 11266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ≠ 0)
5754, 55, 56divcan3d 11007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) · (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴))) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) = (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)))
5851, 57eqtr2d 2805 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) = ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))))
592, 11, 3gexnnod 18209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋) → (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) ∈ ℕ)
6015, 19, 41, 59syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) ∈ ℕ)
6160nncnd 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) ∈ ℂ)
6235nncnd 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℂ)
6338nncnd 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℂ)
6438nnne0d 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ≠ 0)
6531nncnd 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝑥) ∈ ℂ)
6635nnne0d 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≠ 0)
6765, 62, 66divcan1d 11003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) = (𝑂𝑥))
682, 3, 26odmulg 18179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋 ∧ ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℤ) → (𝑂𝑥) = ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) gcd (𝑂𝑥)) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))))
6915, 29, 39, 68syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝑥) = ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) gcd (𝑂𝑥)) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))))
7035nnzd 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℤ)
71 dvdsmul1 15211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℤ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∥ (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
7239, 70, 71syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∥ (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
7372, 67breqtrd 4810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∥ (𝑂𝑥))
74 gcdeq 15479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∈ ℕ ∧ (𝑂𝑥) ∈ ℕ) → ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) gcd (𝑂𝑥)) = ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ↔ ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∥ (𝑂𝑥)))
7538, 31, 74syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) gcd (𝑂𝑥)) = ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ↔ ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∥ (𝑂𝑥)))
7673, 75mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) gcd (𝑂𝑥)) = ((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
7776oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) gcd (𝑂𝑥)) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))))
7867, 69, 773eqtrrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
7961, 62, 63, 64, 78mulcanad 10863 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) = (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))
8058, 79oveq12d 6810 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) gcd (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = (((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
81 nndivdvds 15197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℕ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℕ))
8222, 24, 81syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℕ))
8345, 82mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℕ)
8483nnzd 11682 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℤ)
85 gcdcom 15442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℤ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℤ) → (((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) = ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))))
8684, 70, 85syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) gcd (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) = ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))))
87 pcndvds2 15778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ¬ 𝑝 ∥ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))))
8818, 22, 87syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))))
89 coprm 15629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℤ) → (¬ 𝑝 ∥ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ↔ (𝑝 gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1))
9018, 84, 89syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (¬ 𝑝 ∥ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ↔ (𝑝 gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1))
9188, 90mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1)
92 prmz 15595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
9392adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
94 rpexp1i 15639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℤ ∧ (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ∈ ℕ0) → ((𝑝 gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1 → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1))
9593, 84, 34, 94syl3anc 1475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1 → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1))
9691, 95mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) gcd ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))) = 1)
9780, 86, 963eqtrd 2808 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) gcd (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = 1)
98 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐺) = (+g𝐺)
993, 2, 98odadd 18459 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋) ∧ ((𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) gcd (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = 1) → (𝑂‘(((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = ((𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))))
10014, 28, 41, 97, 99syl31anc 1478 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘(((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = ((𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))))
10158, 79oveq12d 6810 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂‘((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)) · (𝑂‘(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = (((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
102100, 101eqtrd 2804 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘(((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) = (((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
103 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) → (𝑂𝑦) = (𝑂‘(((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))))
104103breq1d 4794 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) → ((𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝐴) ↔ (𝑂‘(((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) ≤ (𝑂𝐴)))
105 gexexlem.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝐴))
106105ralrimiva 3114 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑦𝑋 (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝐴))
107106ad2antrr 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ∀𝑦𝑋 (𝑂𝑦) ≤ (𝑂𝐴))
1082, 98grpcl 17637 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥) ∈ 𝑋) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) ∈ 𝑋)
10915, 28, 41, 108syl3anc 1475 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥)) ∈ 𝑋)
110104, 107, 109rspcdva 3464 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂‘(((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))(.g𝐺)𝐴)(+g𝐺)(((𝑂𝑥) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))(.g𝐺)𝑥))) ≤ (𝑂𝐴))
111102, 110eqbrtrrd 4808 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ≤ (𝑂𝐴))
11283nnred 11236 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∈ ℝ)
11322nnred 11236 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
11435nnrpd 12072 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℝ+)
115112, 113, 114lemuldivd 12123 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) · (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ≤ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ≤ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))))
116111, 115mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ≤ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
117 nnrp 12044 . . . . . . . . . 10 ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℕ → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℝ+)
118 nnrp 12044 . . . . . . . . . 10 ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℕ → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℝ+)
119 nnrp 12044 . . . . . . . . . 10 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
120 rpregt0 12048 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℝ+ → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))))
121 rpregt0 12048 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℝ+ → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))))
122 rpregt0 12048 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐴) ∈ ℝ+ → ((𝑂𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑂𝐴)))
123 lediv2 11114 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥)))) ∧ ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ∧ ((𝑂𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑂𝐴))) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ≤ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))))
124120, 121, 122, 123syl3an 1162 . . . . . . . . . 10 (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℝ+ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℝ+ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ≤ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))))
125117, 118, 119, 124syl3an 1162 . . . . . . . . 9 (((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ∈ ℕ ∧ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ∈ ℕ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ≤ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))))
12635, 24, 22, 125syl3anc 1475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))) ≤ ((𝑂𝐴) / (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))))))
127116, 126mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))
12817nnred 11236 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
12934nn0zd 11681 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ∈ ℤ)
13023nn0zd 11681 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
131 prmuz2 15614 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
132131adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ (ℤ‘2))
133 eluz2b2 11963 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑝 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑝))
134133simprbi 478 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑝)
135132, 134syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 1 < 𝑝)
136128, 129, 130, 135leexp2d 13245 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑂𝐴)) ↔ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝑥))) ≤ (𝑝↑(𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))))
137127, 136mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))
138137ralrimiva 3114 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑂𝐴)))
1392, 3odcl 18161 . . . . . . . 8 (𝑥𝑋 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
140139adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
141140nn0zd 11681 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑂𝑥) ∈ ℤ)
1425nn0zd 11681 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
143142adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
144 pc2dvds 15789 . . . . . 6 (((𝑂𝑥) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))
145141, 143, 144syl2anc 565 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑂𝑥) ∥ (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt (𝑂𝑥)) ≤ (𝑝 pCnt (𝑂𝐴))))
146138, 145mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑂𝑥) ∥ (𝑂𝐴))
147146ralrimiva 3114 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∥ (𝑂𝐴))
1482, 11, 3gexdvds2 18206 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (𝐸 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∥ (𝑂𝐴)))
14910, 142, 148syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → (𝐸 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∥ (𝑂𝐴)))
150147, 149mpbird 247 . 2 (𝜑𝐸 ∥ (𝑂𝐴))
151 dvdseq 15244 . 2 ((((𝑂𝐴) ∈ ℕ0𝐸 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑂𝐴) ∥ 𝐸𝐸 ∥ (𝑂𝐴))) → (𝑂𝐴) = 𝐸)
1525, 7, 13, 150, 151syl22anc 1476 1 (𝜑 → (𝑂𝐴) = 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276   / cdiv 10885  cn 11221  2c2 11271  0cn0 11493  cz 11578  cuz 11887  +crp 12034  cexp 13066  cdvds 15188   gcd cgcd 15423  cprime 15591   pCnt cpc 15747  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  Grpcgrp 17629  .gcmg 17747  odcod 18150  gExcgex 18151  Abelcabl 18400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-pc 15748  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-od 18154  df-gex 18155  df-cmn 18401  df-abl 18402
This theorem is referenced by:  gexex  18462
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