Theorem nnledivrp 12771

Description: Division of a positive integer by a positive number is less than or equal to the integer iff the number is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnledivrp	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))

Proof of Theorem nnledivrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10906	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0lt1 11427	. . . 4 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
4		rpregt0 12673	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
6		nnre 11910	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nngt0 11934	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
8	6, 7	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10		lediv2 11795	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 1)))
11	3, 5, 9, 10	mp3an2i 1464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 1)))
12		nncn 11911	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	div1d 11673	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
15	14	breq2d 5082	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 1) ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
16	11, 15	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℕcn 11903  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  nn0ledivnn  12772  aks4d1p1p7  40010  aks4d1p8  40023