Theorem nnledivrp 13147

Description: Division of a positive integer by a positive number is less than or equal to the integer iff the number is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnledivrp	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))

Proof of Theorem nnledivrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11261	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0lt1 11785	. . . 4 ⊢ 0 < 1
3	1, 2	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
4		rpregt0 13049	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
6		nnre 12273	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nngt0 12297	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
8	6, 7	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10		lediv2 12158	. . 3 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 1)))
11	3, 5, 9, 10	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 1)))
12		nncn 12274	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	div1d 12035	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
15	14	breq2d 5155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 1) ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
16	11, 15	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℝ⁺crp 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-rp 13035

This theorem is referenced by:  nn0ledivnn  13148  aks4d1p1p7  42075  aks4d1p8  42088