MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnledivrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnledivrp 12839
Description: Division of a positive integer by a positive number is less than or equal to the integer iff the number is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnledivrp ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))

Proof of Theorem nnledivrp
StepHypRef Expression
1 1re 10974 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 0lt1 11495 . . . 4 0 < 1
31, 2pm3.2i 471 . . 3 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
4 rpregt0 12741 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
54adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
6 nnre 11978 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
7 nngt0 12002 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
86, 7jca 512 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
98adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10 lediv2 11863 . . 3 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 1)))
113, 5, 9, 10mp3an2i 1465 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 1)))
12 nncn 11979 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
1312div1d 11741 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
1413adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
1514breq2d 5091 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 1) ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
1611, 15bitrd 278 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  (class class class)co 7269  cr 10869  0cc0 10870  1c1 10871   < clt 11008  cle 11009   / cdiv 11630  cn 11971  +crp 12727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-rp 12728
This theorem is referenced by:  nn0ledivnn  12840  aks4d1p1p7  40077  aks4d1p8  40090
  Copyright terms: Public domain W3C validator