Theorem aaliou2b 24496

Description: Liouville's approximation theorem extended to complex 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
aaliou2b	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑝,𝑞

Proof of Theorem aaliou2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4024	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
2		aaliou2 24495	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
3	1, 2	sylbir 227	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4		1nn 11364	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℕ)
6		aacn 24472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	7	imcld 14313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10386	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
10		reim0b 14237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
11	6, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
12	11	necon3bbid 3037	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) ≠ 0))
13	12	biimpa 470	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
14	9, 13	absrpcld 14565	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
15	14	rphalfcld 12169	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
16	15	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
17		1nn0 11637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
18		nnexpcl 13168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑞↑1) ∈ ℕ)
19	17, 18	mpan2 684	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞↑1) ∈ ℕ)
20	19	ad2antll 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑1) ∈ ℕ)
21	20	nnrpd 12155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑1) ∈ ℝ+)
22	16, 21	rpdivcld 12174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ∈ ℝ+)
23	22	rpred 12157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ∈ ℝ)
24	16	rpred 12157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
25	7	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
26		znq 12076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
27	26	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
28		qre 12077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
30	29	recnd 10386	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
31	25, 30	subcld 10714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
32	31	abscld 14553	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
33	20	nnge1d 11400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑞↑1))
34		1rp 12117	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
35		rpregt0 12129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
36	34, 35	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
37	21	rpregt0d 12163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑞↑1)))
38	16	rpregt0d 12163	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2)))
39		lediv2 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑞↑1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑞↑1)) ∧ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2))) → (1 ≤ (𝑞↑1) ↔ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ≤ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / 1)))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 ≤ (𝑞↑1) ↔ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ≤ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / 1)))
41	33, 40	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ≤ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / 1))
42	16	rpcnd 12159	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
43	42	div1d 11120	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / 1) = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2))
44	41, 43	breqtrd 4900	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ≤ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2))
45	14	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
46	45	rpred 12157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
47		rphalflt 12144	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(ℑ‘𝐴)))
48	45, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(ℑ‘𝐴)))
49	25, 30	imsubd 14335	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘(𝑝 / 𝑞))))
50	29	reim0d 14343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (ℑ‘(𝑝 / 𝑞)) = 0)
51	50	oveq2d 6922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘(𝑝 / 𝑞))) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
52	9	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
53	52	subid1d 10703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
54	49, 51, 53	3eqtrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) = (ℑ‘𝐴))
55	54	fveq2d 6438	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
56		absimle 14427	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
57	31, 56	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
58	55, 57	eqbrtrrd 4898	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
59	24, 46, 32, 48, 58	ltletrd 10517	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
60	23, 24, 32, 44, 59	lelttrd 10515	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
61	60	olcd 907	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
62	61	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
63		oveq2 6914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑞↑𝑘) = (𝑞↑1))
64	63	oveq2d 6922	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) = (𝑥 / (𝑞↑1)))
65	64	breq1d 4884	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
66	65	orbi2d 946	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
67	66	2ralbidv 3199	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
68		oveq1 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (𝑥 / (𝑞↑1)) = (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)))
69	68	breq1d 4884	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → ((𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
70	69	orbi2d 946	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
71	70	2ralbidv 3199	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
72	67, 71	rspc2ev 3542	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
73	5, 15, 62, 72	syl3anc 1496	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
74	3, 73	pm2.61dan 849	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 880   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ∀wral 3118  ∃wrex 3119   ∩ cin 3798   class class class wbr 4874  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  ℝcr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   < clt 10392   ≤ cle 10393   − cmin 10586   / cdiv 11010  ℕcn 11351  2c2 11407  ℕ₀cn0 11619  ℤcz 11705  ℚcq 12072  ℝ⁺crp 12113  ↑cexp 13155  ℑcim 14216  abscabs 14352  𝔸caa 24469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-xnn0 11692  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-ico 12470  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-rest 16437  df-topn 16438  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-topgen 16458  df-pt 16459  df-prds 16462  df-xrs 16516  df-qtop 16521  df-imas 16522  df-xps 16524  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-mulg 17896  df-subg 17943  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-cring 18905  df-subrg 19135  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-fbas 20104  df-fg 20105  df-cnfld 20108  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-cld 21195  df-ntr 21196  df-cls 21197  df-nei 21274  df-lp 21312  df-perf 21313  df-cn 21403  df-cnp 21404  df-haus 21491  df-cmp 21562  df-tx 21737  df-hmeo 21930  df-fil 22021  df-fm 22113  df-flim 22114  df-flf 22115  df-xms 22496  df-ms 22497  df-tms 22498  df-cncf 23052  df-0p 23837  df-limc 24030  df-dv 24031  df-dvn 24032  df-cpn 24033  df-ply 24344  df-idp 24345  df-coe 24346  df-dgr 24347  df-quot 24446  df-aa 24470

This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  24505