Theorem aaliou2b 26383

Description: Liouville's approximation theorem extended to complex 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
aaliou2b	⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑝,𝑞

Proof of Theorem aaliou2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3967	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
2		aaliou2 26382	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
3	1, 2	sylbir 235	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4		1nn 12277	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
5		aacn 26359	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	imcld 15234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8	7	recnd 11289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
9		reim0b 15158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
10	5, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
11	10	necon3bbid 2978	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) ≠ 0))
12	11	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
13	8, 12	absrpcld 15487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
14	13	rphalfcld 13089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
16		1nn0 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
17		nnexpcl 14115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑞 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑞↑1) ∈ ℕ)
18	16, 17	mpan2 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞↑1) ∈ ℕ)
19	18	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑1) ∈ ℕ)
20	19	nnrpd 13075	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑1) ∈ ℝ+)
21	15, 20	rpdivcld 13094	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ∈ ℝ+)
22	21	rpred 13077	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ∈ ℝ)
23	15	rpred 13077	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
24	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25		znq 12994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
27		qre 12995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
30	24, 29	subcld 11620	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
31	30	abscld 15475	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
32	19	nnge1d 12314	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑞↑1))
33		1rp 13038	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ+
34		rpregt0 13049	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
35	33, 34	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
36	20	rpregt0d 13083	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑞↑1)))
37	15	rpregt0d 13083	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2)))
38		lediv2 12158	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑞↑1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑞↑1)) ∧ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2))) → (1 ≤ (𝑞↑1) ↔ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ≤ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / 1)))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 ≤ (𝑞↑1) ↔ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ≤ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / 1)))
40	32, 39	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ≤ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / 1))
41	15	rpcnd 13079	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
42	41	div1d 12035	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / 1) = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2))
43	40, 42	breqtrd 5169	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ≤ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2))
44	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
45	44	rpred 13077	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
46		rphalflt 13064	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(ℑ‘𝐴)))
47	44, 46	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(ℑ‘𝐴)))
48	24, 29	imsubd 15256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘(𝑝 / 𝑞))))
49	28	reim0d 15264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (ℑ‘(𝑝 / 𝑞)) = 0)
50	49	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘(𝑝 / 𝑞))) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
51	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
52	51	subid1d 11609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
53	48, 50, 52	3eqtrd 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) = (ℑ‘𝐴))
54	53	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
55		absimle 15348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
56	30, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
57	54, 56	eqbrtrrd 5167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
58	23, 45, 31, 47, 57	ltletrd 11421	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
59	22, 23, 31, 43, 58	lelttrd 11419	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
60	59	olcd 875	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
61	60	ralrimivva 3202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
62		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑞↑𝑘) = (𝑞↑1))
63	62	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) = (𝑥 / (𝑞↑1)))
64	63	breq1d 5153	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
65	64	orbi2d 916	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
66	65	2ralbidv 3221	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
67		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (𝑥 / (𝑞↑1)) = (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)))
68	67	breq1d 5153	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → ((𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
69	68	orbi2d 916	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
70	69	2ralbidv 3221	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
71	66, 70	rspc2ev 3635	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
72	4, 14, 61, 71	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
73	3, 72	pm2.61dan 813	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∩ cin 3950   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℚcq 12990  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14102  ℑcim 15137  abscabs 15273  𝔸caa 26356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-0p 25705  df-limc 25901  df-dv 25902  df-dvn 25903  df-cpn 25904  df-ply 26227  df-idp 26228  df-coe 26229  df-dgr 26230  df-quot 26333  df-aa 26357

This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  26392