MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aaliou2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaliou2b 25717
Description: Liouville's approximation theorem extended to complex 𝐴. (Contributed by Stefan O'Rear, 20-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaliou2b (𝐴 ∈ 𝔸 → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑝,𝑞

Proof of Theorem aaliou2b
StepHypRef Expression
1 elin 3931 . . 3 (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) ↔ (𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ))
2 aaliou2 25716 . . 3 (𝐴 ∈ (𝔸 ∩ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
31, 2sylbir 234 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4 1nn 12171 . . 3 1 ∈ ℕ
5 aacn 25693 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝔸 → 𝐴 ∈ ℂ)
65adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
76imcld 15087 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
87recnd 11190 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
9 reim0b 15011 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
105, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
1110necon3bbid 2982 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝔸 → (¬ 𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) ≠ 0))
1211biimpa 478 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
138, 12absrpcld 15340 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
1413rphalfcld 12976 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
1514adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+)
16 1nn0 12436 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
17 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑞↑1) ∈ ℕ)
1816, 17mpan2 690 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞↑1) ∈ ℕ)
1918ad2antll 728 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑1) ∈ ℕ)
2019nnrpd 12962 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞↑1) ∈ ℝ+)
2115, 20rpdivcld 12981 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ∈ ℝ+)
2221rpred 12964 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ∈ ℝ)
2315rpred 12964 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ)
246adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25 znq 12884 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
2625adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
27 qre 12885 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
2928recnd 11190 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℂ)
3024, 29subcld 11519 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
3130abscld 15328 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
3219nnge1d 12208 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑞↑1))
33 1rp 12926 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
34 rpregt0 12936 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
3533, 34mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
3620rpregt0d 12970 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑞↑1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑞↑1)))
3715rpregt0d 12970 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2)))
38 lediv2 12052 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑞↑1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑞↑1)) ∧ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2))) → (1 ≤ (𝑞↑1) ↔ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ≤ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / 1)))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (1 ≤ (𝑞↑1) ↔ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ≤ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / 1)))
4032, 39mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ≤ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / 1))
4115rpcnd 12966 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
4241div1d 11930 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / 1) = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2))
4340, 42breqtrd 5136 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) ≤ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2))
4413adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+)
4544rpred 12964 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
46 rphalflt 12951 . . . . . . . 8 ((abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ+ → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(ℑ‘𝐴)))
4744, 46syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(ℑ‘𝐴)))
4824, 29imsubd 15109 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘(𝑝 / 𝑞))))
4928reim0d 15117 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (ℑ‘(𝑝 / 𝑞)) = 0)
5049oveq2d 7378 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘(𝑝 / 𝑞))) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
518adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
5251subid1d 11508 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
5348, 50, 523eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) = (ℑ‘𝐴))
5453fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
55 absimle 15201 . . . . . . . . 9 ((𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
5630, 55syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
5754, 56eqbrtrrd 5134 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
5823, 45, 31, 47, 57ltletrd 11322 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
5922, 23, 31, 43, 58lelttrd 11320 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
6059olcd 873 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
6160ralrimivva 3198 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
62 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (𝑘 = 1 → (𝑞𝑘) = (𝑞↑1))
6362oveq2d 7378 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑥 / (𝑞𝑘)) = (𝑥 / (𝑞↑1)))
6463breq1d 5120 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
6564orbi2d 915 . . . . 5 (𝑘 = 1 → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
66652ralbidv 3213 . . . 4 (𝑘 = 1 → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
67 oveq1 7369 . . . . . . 7 (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (𝑥 / (𝑞↑1)) = (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)))
6867breq1d 5120 . . . . . 6 (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → ((𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
6968orbi2d 915 . . . . 5 (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
70692ralbidv 3213 . . . 4 (𝑥 = ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7166, 70rspc2ev 3595 . . 3 ((1 ∈ ℕ ∧ ((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (((abs‘(ℑ‘𝐴)) / 2) / (𝑞↑1)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
724, 14, 61, 71mp3an2i 1467 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ) → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
733, 72pm2.61dan 812 1 (𝐴 ∈ 𝔸 → ∃𝑘 ∈ ℕ ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑘)) < (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wrex 3074  cin 3914   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392   / cdiv 11819  cn 12160  2c2 12215  0cn0 12420  cz 12506  cq 12880  +crp 12922  cexp 13974  cim 14990  abscabs 15126  𝔸caa 25690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-dvn 25248  df-cpn 25249  df-ply 25565  df-idp 25566  df-coe 25567  df-dgr 25568  df-quot 25667  df-aa 25691
This theorem is referenced by:  aaliou3lem9  25726
  Copyright terms: Public domain W3C validator