Theorem rpne0 13137

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 13135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11781	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ℝcr 11199  0cc0 11200   < clt 11343  ℝ⁺crp 13120

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-addrcl 11261  ax-rnegex 11271  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-rp 13121

This theorem is used by:  rprene0  13138  rpcnne0  13139  rpne0d  13169  divge1  13190  xlemul1  13420  ltdifltdiv  13974  mulmod0  14017  negmod0  14018  moddiffl  14022  modid0  14037  modmuladd  14056  modmuladdnn0  14058  2txmodxeq0  14074  rpexpcl  14223  expnlbnd  14377  rennim  15406  sqrtdiv  15432  o1fsum  15980  divrcnv  16021  rpmsubg  21737  itg2const2  26062  reeff1o  26774  logne0  26907  advlog  26982  advlogexp  26983  logcxp  26997  cxprec  27014  cxpmul  27016  abscxp  27020  cxple2  27025  dvcxp1  27068  dvcxp2  27069  dvsqrt  27070  relogbreexp  27103  relogbzexp  27104  relogbmul  27105  relogbdiv  27107  relogbexp  27108  relogbcxp  27113  relogbcxpb  27115  relogbf  27119  logbgt0b  27121  rlimcnp  27293  efrlim  27297  cxplim  27299  cxp2limlem  27303  cxploglim  27305  logdifbnd  27321  logdiflbnd  27322  logfacrlim2  27553  bposlem8  27618  vmadivsum  27809  mudivsum  27857  mulogsumlem  27858  logdivsum  27860  log2sumbnd  27871  selberg2lem  27877  selberg2  27878  pntrmax  27891  selbergr  27895  pntrlog2bndlem4  27907  pntrlog2bndlem5  27908  pntlem3  27936  padicabvcxp  27959  blocnilem  31406  nmcexi  32628  probfinmeasb  35060  probfinmeasbALTV  35061  signsplypnf  35179  logdivsqrle  35279  poimirlem29  38568  areacirclem1  38627  areacirclem4  38630  areacirc  38632  heiborlem6  38751  heiborlem7  38752  dvrelog2  43115  dvrelog3  43116  aks4d1p1p6  43124  xralrple2  46366  recnnltrp  46388  rpgtrecnn  46391  ioodvbdlimc1lem2  46942  ioodvbdlimc2lem  46944  fldivmod  48414  ceildivmod  48415  relogbmulbexp  49673  relogbdivb  49674  blenre  49686