Theorem rpne0 12946

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12944	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11621	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ℝcr 11045  0cc0 11046   < clt 11186  ℝ⁺crp 12929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-addrcl 11107  ax-rnegex 11117  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-ltxr 11191  df-rp 12930

This theorem is referenced by:  rprene0  12947  rpcnne0  12948  rpne0d  12978  divge1  12999  xlemul1  13228  ltdifltdiv  13774  mulmod0  13817  negmod0  13818  moddiffl  13822  modid0  13837  modmuladd  13856  modmuladdnn0  13858  2txmodxeq0  13874  rpexpcl  14023  expnlbnd  14176  rennim  15182  sqrtdiv  15208  o1fsum  15756  divrcnv  15795  rpmsubg  21374  itg2const2  25676  reeff1o  26391  logne0  26522  advlog  26597  advlogexp  26598  logcxp  26612  cxprec  26629  cxpmul  26631  abscxp  26635  cxple2  26640  dvcxp1  26683  dvcxp2  26684  dvsqrt  26685  relogbreexp  26719  relogbzexp  26720  relogbmul  26721  relogbdiv  26723  relogbexp  26724  relogbcxp  26729  relogbcxpb  26731  relogbf  26735  logbgt0b  26737  rlimcnp  26909  efrlim  26913  efrlimOLD  26914  cxplim  26916  cxp2limlem  26920  cxploglim  26922  logdifbnd  26938  logdiflbnd  26939  logfacrlim2  27171  bposlem8  27236  vmadivsum  27427  mudivsum  27475  mulogsumlem  27476  logdivsum  27478  log2sumbnd  27489  selberg2lem  27495  selberg2  27496  pntrmax  27509  selbergr  27513  pntrlog2bndlem4  27525  pntrlog2bndlem5  27526  pntlem3  27554  padicabvcxp  27577  blocnilem  30784  nmcexi  32006  probfinmeasb  34413  probfinmeasbALTV  34414  signsplypnf  34535  logdivsqrle  34635  poimirlem29  37637  areacirclem1  37696  areacirclem4  37699  areacirc  37701  heiborlem6  37804  heiborlem7  37805  dvrelog2  42046  dvrelog3  42047  aks4d1p1p6  42055  xralrple2  45344  recnnltrp  45367  rpgtrecnn  45370  ioodvbdlimc1lem2  45924  ioodvbdlimc2lem  45926  fldivmod  47333  ceildivmod  47334  relogbmulbexp  48544  relogbdivb  48545  blenre  48557