Theorem rpne0 12910

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12908	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ℝcr 11008  0cc0 11009   < clt 11149  ℝ⁺crp 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-addrcl 11070  ax-rnegex 11080  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-rp 12894

This theorem is referenced by:  rprene0  12911  rpcnne0  12912  rpne0d  12942  divge1  12963  xlemul1  13192  ltdifltdiv  13738  mulmod0  13781  negmod0  13782  moddiffl  13786  modid0  13801  modmuladd  13820  modmuladdnn0  13822  2txmodxeq0  13838  rpexpcl  13987  expnlbnd  14140  rennim  15146  sqrtdiv  15172  o1fsum  15720  divrcnv  15759  rpmsubg  21338  itg2const2  25640  reeff1o  26355  logne0  26486  advlog  26561  advlogexp  26562  logcxp  26576  cxprec  26593  cxpmul  26595  abscxp  26599  cxple2  26604  dvcxp1  26647  dvcxp2  26648  dvsqrt  26649  relogbreexp  26683  relogbzexp  26684  relogbmul  26685  relogbdiv  26687  relogbexp  26688  relogbcxp  26693  relogbcxpb  26695  relogbf  26699  logbgt0b  26701  rlimcnp  26873  efrlim  26877  efrlimOLD  26878  cxplim  26880  cxp2limlem  26884  cxploglim  26886  logdifbnd  26902  logdiflbnd  26903  logfacrlim2  27135  bposlem8  27200  vmadivsum  27391  mudivsum  27439  mulogsumlem  27440  logdivsum  27442  log2sumbnd  27453  selberg2lem  27459  selberg2  27460  pntrmax  27473  selbergr  27477  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem5  27490  pntlem3  27518  padicabvcxp  27541  blocnilem  30752  nmcexi  31974  probfinmeasb  34412  probfinmeasbALTV  34413  signsplypnf  34534  logdivsqrle  34634  poimirlem29  37649  areacirclem1  37708  areacirclem4  37711  areacirc  37713  heiborlem6  37816  heiborlem7  37817  dvrelog2  42057  dvrelog3  42058  aks4d1p1p6  42066  xralrple2  45354  recnnltrp  45376  rpgtrecnn  45379  ioodvbdlimc1lem2  45933  ioodvbdlimc2lem  45935  fldivmod  47342  ceildivmod  47343  relogbmulbexp  48566  relogbdivb  48567  blenre  48579