Theorem rpne0 12746

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12744	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11440	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ℝcr 10870  0cc0 10871   < clt 11009  ℝ⁺crp 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-addrcl 10932  ax-rnegex 10942  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-rp 12731

This theorem is referenced by:  rprene0  12747  rpcnne0  12748  rpne0d  12777  divge1  12798  xlemul1  13024  ltdifltdiv  13554  mulmod0  13597  negmod0  13598  moddiffl  13602  modid0  13617  modmuladd  13633  modmuladdnn0  13635  2txmodxeq0  13651  rpexpcl  13801  expnlbnd  13948  rennim  14950  sqrtdiv  14977  o1fsum  15525  divrcnv  15564  rpmsubg  20662  itg2const2  24906  reeff1o  25606  logne0  25735  advlog  25809  advlogexp  25810  logcxp  25824  cxprec  25841  cxpmul  25843  abscxp  25847  cxple2  25852  dvcxp1  25893  dvcxp2  25894  dvsqrt  25895  relogbreexp  25925  relogbzexp  25926  relogbmul  25927  relogbdiv  25929  relogbexp  25930  relogbcxp  25935  relogbcxpb  25937  relogbf  25941  logbgt0b  25943  rlimcnp  26115  efrlim  26119  cxplim  26121  cxp2limlem  26125  cxploglim  26127  logdifbnd  26143  logdiflbnd  26144  logfacrlim2  26374  bposlem8  26439  vmadivsum  26630  mudivsum  26678  mulogsumlem  26679  logdivsum  26681  log2sumbnd  26692  selberg2lem  26698  selberg2  26699  pntrmax  26712  selbergr  26716  pntrlog2bndlem4  26728  pntrlog2bndlem5  26729  pntlem3  26757  padicabvcxp  26780  blocnilem  29166  nmcexi  30388  probfinmeasb  32395  probfinmeasbALTV  32396  signsplypnf  32529  logdivsqrle  32630  poimirlem29  35806  areacirclem1  35865  areacirclem4  35868  areacirc  35870  heiborlem6  35974  heiborlem7  35975  dvrelog2  40072  dvrelog3  40073  aks4d1p1p6  40081  xralrple2  42893  recnnltrp  42916  rpgtrecnn  42919  ioodvbdlimc1lem2  43473  ioodvbdlimc2lem  43475  fldivmod  45864  relogbmulbexp  45907  relogbdivb  45908  blenre  45920