MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpne0 12380
Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpne0 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0
StepHypRef Expression
1 rpregt0 12378 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2 gt0ne0 11079 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
31, 2syl 17 1 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2114  wne 3006   class class class wbr 5038  cr 10510  0cc0 10511   < clt 10649  +crp 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-addrcl 10572  ax-rnegex 10582  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-ltxr 10654  df-rp 12365
This theorem is referenced by:  rprene0  12381  rpcnne0  12382  rpne0d  12411  divge1  12432  xlemul1  12658  ltdifltdiv  13184  mulmod0  13225  negmod0  13226  moddiffl  13230  modid0  13245  modmuladd  13261  modmuladdnn0  13263  2txmodxeq0  13279  rpexpcl  13429  expnlbnd  13575  rennim  14574  sqrtdiv  14601  o1fsum  15144  divrcnv  15183  rpmsubg  20581  itg2const2  24320  reeff1o  25017  logne0  25146  advlog  25220  advlogexp  25221  logcxp  25235  cxprec  25252  cxpmul  25254  abscxp  25258  cxple2  25263  dvcxp1  25304  dvcxp2  25305  dvsqrt  25306  relogbreexp  25336  relogbzexp  25337  relogbmul  25338  relogbdiv  25340  relogbexp  25341  relogbcxp  25346  relogbcxpb  25348  relogbf  25352  logbgt0b  25354  rlimcnp  25526  efrlim  25530  cxplim  25532  cxp2limlem  25536  cxploglim  25538  logdifbnd  25554  logdiflbnd  25555  logfacrlim2  25785  bposlem8  25850  vmadivsum  26041  mudivsum  26089  mulogsumlem  26090  logdivsum  26092  log2sumbnd  26103  selberg2lem  26109  selberg2  26110  pntrmax  26123  selbergr  26127  pntrlog2bndlem4  26139  pntrlog2bndlem5  26140  pntlem3  26168  padicabvcxp  26191  blocnilem  28562  nmcexi  29784  probfinmeasb  31690  probfinmeasbALTV  31691  signsplypnf  31824  logdivsqrle  31925  poimirlem29  34958  areacirclem1  35017  areacirclem4  35020  areacirc  35022  heiborlem6  35126  heiborlem7  35127  xralrple2  41772  recnnltrp  41795  rpgtrecnn  41799  ioodvbdlimc1lem2  42361  ioodvbdlimc2lem  42363  fldivmod  44719  relogbmulbexp  44762  relogbdivb  44763  blenre  44775
  Copyright terms: Public domain W3C validator