Theorem rpne0 12940

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12938	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11629	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   class class class wbr 5110  ℝcr 11059  0cc0 11060   < clt 11198  ℝ⁺crp 12924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-addrcl 11121  ax-rnegex 11131  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-ltxr 11203  df-rp 12925

This theorem is referenced by:  rprene0  12941  rpcnne0  12942  rpne0d  12971  divge1  12992  xlemul1  13219  ltdifltdiv  13749  mulmod0  13792  negmod0  13793  moddiffl  13797  modid0  13812  modmuladd  13828  modmuladdnn0  13830  2txmodxeq0  13846  rpexpcl  13996  expnlbnd  14146  rennim  15136  sqrtdiv  15162  o1fsum  15709  divrcnv  15748  rpmsubg  20898  itg2const2  25143  reeff1o  25843  logne0  25972  advlog  26046  advlogexp  26047  logcxp  26061  cxprec  26078  cxpmul  26080  abscxp  26084  cxple2  26089  dvcxp1  26130  dvcxp2  26131  dvsqrt  26132  relogbreexp  26162  relogbzexp  26163  relogbmul  26164  relogbdiv  26166  relogbexp  26167  relogbcxp  26172  relogbcxpb  26174  relogbf  26178  logbgt0b  26180  rlimcnp  26352  efrlim  26356  cxplim  26358  cxp2limlem  26362  cxploglim  26364  logdifbnd  26380  logdiflbnd  26381  logfacrlim2  26611  bposlem8  26676  vmadivsum  26867  mudivsum  26915  mulogsumlem  26916  logdivsum  26918  log2sumbnd  26929  selberg2lem  26935  selberg2  26936  pntrmax  26949  selbergr  26953  pntrlog2bndlem4  26965  pntrlog2bndlem5  26966  pntlem3  26994  padicabvcxp  27017  blocnilem  29809  nmcexi  31031  probfinmeasb  33117  probfinmeasbALTV  33118  signsplypnf  33251  logdivsqrle  33352  poimirlem29  36180  areacirclem1  36239  areacirclem4  36242  areacirc  36244  heiborlem6  36348  heiborlem7  36349  dvrelog2  40594  dvrelog3  40595  aks4d1p1p6  40603  xralrple2  43709  recnnltrp  43732  rpgtrecnn  43735  ioodvbdlimc1lem2  44293  ioodvbdlimc2lem  44295  fldivmod  46724  relogbmulbexp  46767  relogbdivb  46768  blenre  46780