Theorem rpne0 13030

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 13028	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11707	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   class class class wbr 5124  ℝcr 11133  0cc0 11134   < clt 11274  ℝ⁺crp 13013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-addrcl 11195  ax-rnegex 11205  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-rp 13014

This theorem is referenced by:  rprene0  13031  rpcnne0  13032  rpne0d  13061  divge1  13082  xlemul1  13311  ltdifltdiv  13856  mulmod0  13899  negmod0  13900  moddiffl  13904  modid0  13919  modmuladd  13936  modmuladdnn0  13938  2txmodxeq0  13954  rpexpcl  14103  expnlbnd  14256  rennim  15263  sqrtdiv  15289  o1fsum  15834  divrcnv  15873  rpmsubg  21404  itg2const2  25699  reeff1o  26414  logne0  26545  advlog  26620  advlogexp  26621  logcxp  26635  cxprec  26652  cxpmul  26654  abscxp  26658  cxple2  26663  dvcxp1  26706  dvcxp2  26707  dvsqrt  26708  relogbreexp  26742  relogbzexp  26743  relogbmul  26744  relogbdiv  26746  relogbexp  26747  relogbcxp  26752  relogbcxpb  26754  relogbf  26758  logbgt0b  26760  rlimcnp  26932  efrlim  26936  efrlimOLD  26937  cxplim  26939  cxp2limlem  26943  cxploglim  26945  logdifbnd  26961  logdiflbnd  26962  logfacrlim2  27194  bposlem8  27259  vmadivsum  27450  mudivsum  27498  mulogsumlem  27499  logdivsum  27501  log2sumbnd  27512  selberg2lem  27518  selberg2  27519  pntrmax  27532  selbergr  27536  pntrlog2bndlem4  27548  pntrlog2bndlem5  27549  pntlem3  27577  padicabvcxp  27600  blocnilem  30790  nmcexi  32012  probfinmeasb  34465  probfinmeasbALTV  34466  signsplypnf  34587  logdivsqrle  34687  poimirlem29  37678  areacirclem1  37737  areacirclem4  37740  areacirc  37742  heiborlem6  37845  heiborlem7  37846  dvrelog2  42082  dvrelog3  42083  aks4d1p1p6  42091  xralrple2  45361  recnnltrp  45384  rpgtrecnn  45387  ioodvbdlimc1lem2  45941  ioodvbdlimc2lem  45943  fldivmod  47347  ceildivmod  47348  relogbmulbexp  48521  relogbdivb  48522  blenre  48534