Theorem rpne0 12393

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12391	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11094	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ℝcr 10525  0cc0 10526   < clt 10664  ℝ⁺crp 12377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-addrcl 10587  ax-rnegex 10597  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-rp 12378

This theorem is referenced by:  rprene0  12394  rpcnne0  12395  rpne0d  12424  divge1  12445  xlemul1  12671  ltdifltdiv  13199  mulmod0  13240  negmod0  13241  moddiffl  13245  modid0  13260  modmuladd  13276  modmuladdnn0  13278  2txmodxeq0  13294  rpexpcl  13444  expnlbnd  13590  rennim  14590  sqrtdiv  14617  o1fsum  15160  divrcnv  15199  rpmsubg  20155  itg2const2  24345  reeff1o  25042  logne0  25171  advlog  25245  advlogexp  25246  logcxp  25260  cxprec  25277  cxpmul  25279  abscxp  25283  cxple2  25288  dvcxp1  25329  dvcxp2  25330  dvsqrt  25331  relogbreexp  25361  relogbzexp  25362  relogbmul  25363  relogbdiv  25365  relogbexp  25366  relogbcxp  25371  relogbcxpb  25373  relogbf  25377  logbgt0b  25379  rlimcnp  25551  efrlim  25555  cxplim  25557  cxp2limlem  25561  cxploglim  25563  logdifbnd  25579  logdiflbnd  25580  logfacrlim2  25810  bposlem8  25875  vmadivsum  26066  mudivsum  26114  mulogsumlem  26115  logdivsum  26117  log2sumbnd  26128  selberg2lem  26134  selberg2  26135  pntrmax  26148  selbergr  26152  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  pntlem3  26193  padicabvcxp  26216  blocnilem  28587  nmcexi  29809  probfinmeasb  31796  probfinmeasbALTV  31797  signsplypnf  31930  logdivsqrle  32031  poimirlem29  35086  areacirclem1  35145  areacirclem4  35148  areacirc  35150  heiborlem6  35254  heiborlem7  35255  xralrple2  41986  recnnltrp  42009  rpgtrecnn  42013  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  fldivmod  44932  relogbmulbexp  44975  relogbdivb  44976  blenre  44988