Theorem rpne0 13092

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 13090	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11736	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ℝcr 11156  0cc0 11157   < clt 11300  ℝ⁺crp 13075

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-addrcl 11218  ax-rnegex 11228  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-po 5556  df-so 5557  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-ltxr 11305  df-rp 13076

This theorem is used by:  rprene0  13093  rpcnne0  13094  rpne0d  13124  divge1  13145  xlemul1  13375  ltdifltdiv  13928  mulmod0  13971  negmod0  13972  moddiffl  13976  modid0  13991  modmuladd  14010  modmuladdnn0  14012  2txmodxeq0  14028  rpexpcl  14177  expnlbnd  14330  rennim  15359  sqrtdiv  15385  o1fsum  15933  divrcnv  15974  rpmsubg  21684  itg2const2  26009  reeff1o  26723  logne0  26856  advlog  26931  advlogexp  26932  logcxp  26946  cxprec  26963  cxpmul  26965  abscxp  26969  cxple2  26974  dvcxp1  27017  dvcxp2  27018  dvsqrt  27019  relogbreexp  27052  relogbzexp  27053  relogbmul  27054  relogbdiv  27056  relogbexp  27057  relogbcxp  27062  relogbcxpb  27064  relogbf  27068  logbgt0b  27070  rlimcnp  27242  efrlim  27246  cxplim  27248  cxp2limlem  27252  cxploglim  27254  logdifbnd  27270  logdiflbnd  27271  logfacrlim2  27502  bposlem8  27567  vmadivsum  27758  mudivsum  27806  mulogsumlem  27807  logdivsum  27809  log2sumbnd  27820  selberg2lem  27826  selberg2  27827  pntrmax  27840  selbergr  27844  pntrlog2bndlem4  27856  pntrlog2bndlem5  27857  pntlem3  27885  padicabvcxp  27908  blocnilem  31325  nmcexi  32547  probfinmeasb  34980  probfinmeasbALTV  34981  signsplypnf  35099  logdivsqrle  35199  poimirlem29  38481  areacirclem1  38540  areacirclem4  38543  areacirc  38545  heiborlem6  38664  heiborlem7  38665  dvrelog2  43028  dvrelog3  43029  aks4d1p1p6  43037  xralrple2  46282  recnnltrp  46304  rpgtrecnn  46307  ioodvbdlimc1lem2  46858  ioodvbdlimc2lem  46860  fldivmod  48330  ceildivmod  48331  relogbmulbexp  49589  relogbdivb  49590  blenre  49602