Theorem rpne0 13052

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 13050	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11729	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   class class class wbr 5142  ℝcr 11155  0cc0 11156   < clt 11296  ℝ⁺crp 13035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-addrcl 11217  ax-rnegex 11227  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-rp 13036

This theorem is referenced by:  rprene0  13053  rpcnne0  13054  rpne0d  13083  divge1  13104  xlemul1  13333  ltdifltdiv  13875  mulmod0  13918  negmod0  13919  moddiffl  13923  modid0  13938  modmuladd  13955  modmuladdnn0  13957  2txmodxeq0  13973  rpexpcl  14122  expnlbnd  14273  rennim  15279  sqrtdiv  15305  o1fsum  15850  divrcnv  15889  rpmsubg  21450  itg2const2  25777  reeff1o  26492  logne0  26622  advlog  26697  advlogexp  26698  logcxp  26712  cxprec  26729  cxpmul  26731  abscxp  26735  cxple2  26740  dvcxp1  26783  dvcxp2  26784  dvsqrt  26785  relogbreexp  26819  relogbzexp  26820  relogbmul  26821  relogbdiv  26823  relogbexp  26824  relogbcxp  26829  relogbcxpb  26831  relogbf  26835  logbgt0b  26837  rlimcnp  27009  efrlim  27013  efrlimOLD  27014  cxplim  27016  cxp2limlem  27020  cxploglim  27022  logdifbnd  27038  logdiflbnd  27039  logfacrlim2  27271  bposlem8  27336  vmadivsum  27527  mudivsum  27575  mulogsumlem  27576  logdivsum  27578  log2sumbnd  27589  selberg2lem  27595  selberg2  27596  pntrmax  27609  selbergr  27613  pntrlog2bndlem4  27625  pntrlog2bndlem5  27626  pntlem3  27654  padicabvcxp  27677  blocnilem  30824  nmcexi  32046  probfinmeasb  34431  probfinmeasbALTV  34432  signsplypnf  34566  logdivsqrle  34666  poimirlem29  37657  areacirclem1  37716  areacirclem4  37719  areacirc  37721  heiborlem6  37824  heiborlem7  37825  dvrelog2  42066  dvrelog3  42067  aks4d1p1p6  42075  xralrple2  45370  recnnltrp  45393  rpgtrecnn  45396  ioodvbdlimc1lem2  45952  ioodvbdlimc2lem  45954  fldivmod  47345  ceildivmod  47346  relogbmulbexp  48487  relogbdivb  48488  blenre  48500