Theorem rpne0 13033

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 13031	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11679	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5111  ℝcr 11099  0cc0 11100   < clt 11243  ℝ⁺crp 13016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-addrcl 11161  ax-rnegex 11171  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-ltxr 11248  df-rp 13017

This theorem is referenced by:  rprene0  13034  rpcnne0  13035  rpne0d  13065  divge1  13086  xlemul1  13316  ltdifltdiv  13867  mulmod0  13910  negmod0  13911  moddiffl  13915  modid0  13930  modmuladd  13949  modmuladdnn0  13951  2txmodxeq0  13967  rpexpcl  14116  expnlbnd  14269  rennim  15290  sqrtdiv  15316  o1fsum  15865  divrcnv  15906  rpmsubg  21550  itg2const2  25869  reeff1o  26576  logne0  26710  advlog  26785  advlogexp  26786  logcxp  26800  cxprec  26817  cxpmul  26819  abscxp  26823  cxple2  26828  dvcxp1  26871  dvcxp2  26872  dvsqrt  26873  relogbreexp  26906  relogbzexp  26907  relogbmul  26908  relogbdiv  26910  relogbexp  26911  relogbcxp  26916  relogbcxpb  26918  relogbf  26922  logbgt0b  26924  rlimcnp  27096  efrlim  27100  cxplim  27102  cxp2limlem  27106  cxploglim  27108  logdifbnd  27124  logdiflbnd  27125  logfacrlim2  27356  bposlem8  27421  vmadivsum  27612  mudivsum  27660  mulogsumlem  27661  logdivsum  27663  log2sumbnd  27674  selberg2lem  27680  selberg2  27681  pntrmax  27694  selbergr  27698  pntrlog2bndlem4  27710  pntrlog2bndlem5  27711  pntlem3  27739  padicabvcxp  27762  blocnilem  31097  nmcexi  32319  probfinmeasb  34763  probfinmeasbALTV  34764  signsplypnf  34882  logdivsqrle  34982  poimirlem29  38223  areacirclem1  38282  areacirclem4  38285  areacirc  38287  heiborlem6  38390  heiborlem7  38391  dvrelog2  42756  dvrelog3  42757  aks4d1p1p6  42765  xralrple2  45997  recnnltrp  46019  rpgtrecnn  46022  ioodvbdlimc1lem2  46573  ioodvbdlimc2lem  46575  fldivmod  48005  ceildivmod  48006  relogbmulbexp  49261  relogbdivb  49262  blenre  49274