Theorem rpne0 12959

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12957	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11615	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179  ℝ⁺crp 12942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-rp 12943

This theorem is referenced by:  rprene0  12960  rpcnne0  12961  rpne0d  12991  divge1  13012  xlemul1  13242  ltdifltdiv  13793  mulmod0  13836  negmod0  13837  moddiffl  13841  modid0  13856  modmuladd  13875  modmuladdnn0  13877  2txmodxeq0  13893  rpexpcl  14042  expnlbnd  14195  rennim  15201  sqrtdiv  15227  o1fsum  15776  divrcnv  15817  rpmsubg  21411  itg2const2  25708  reeff1o  26412  logne0  26543  advlog  26618  advlogexp  26619  logcxp  26633  cxprec  26650  cxpmul  26652  abscxp  26656  cxple2  26661  dvcxp1  26704  dvcxp2  26705  dvsqrt  26706  relogbreexp  26739  relogbzexp  26740  relogbmul  26741  relogbdiv  26743  relogbexp  26744  relogbcxp  26749  relogbcxpb  26751  relogbf  26755  logbgt0b  26757  rlimcnp  26929  efrlim  26933  cxplim  26935  cxp2limlem  26939  cxploglim  26941  logdifbnd  26957  logdiflbnd  26958  logfacrlim2  27189  bposlem8  27254  vmadivsum  27445  mudivsum  27493  mulogsumlem  27494  logdivsum  27496  log2sumbnd  27507  selberg2lem  27513  selberg2  27514  pntrmax  27527  selbergr  27531  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntlem3  27572  padicabvcxp  27595  blocnilem  30875  nmcexi  32097  probfinmeasb  34572  probfinmeasbALTV  34573  signsplypnf  34694  logdivsqrle  34794  poimirlem29  37970  areacirclem1  38029  areacirclem4  38032  areacirc  38034  heiborlem6  38137  heiborlem7  38138  dvrelog2  42503  dvrelog3  42504  aks4d1p1p6  42512  xralrple2  45784  recnnltrp  45806  rpgtrecnn  45809  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  fldivmod  47792  ceildivmod  47793  relogbmulbexp  49037  relogbdivb  49038  blenre  49050