Theorem rpne0 12926

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12924	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11606	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  ℝcr 11029  0cc0 11030   < clt 11170  ℝ⁺crp 12909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-addrcl 11091  ax-rnegex 11101  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-rp 12910

This theorem is referenced by:  rprene0  12927  rpcnne0  12928  rpne0d  12958  divge1  12979  xlemul1  13209  ltdifltdiv  13758  mulmod0  13801  negmod0  13802  moddiffl  13806  modid0  13821  modmuladd  13840  modmuladdnn0  13842  2txmodxeq0  13858  rpexpcl  14007  expnlbnd  14160  rennim  15166  sqrtdiv  15192  o1fsum  15740  divrcnv  15779  rpmsubg  21390  itg2const2  25702  reeff1o  26417  logne0  26548  advlog  26623  advlogexp  26624  logcxp  26638  cxprec  26655  cxpmul  26657  abscxp  26661  cxple2  26666  dvcxp1  26709  dvcxp2  26710  dvsqrt  26711  relogbreexp  26745  relogbzexp  26746  relogbmul  26747  relogbdiv  26749  relogbexp  26750  relogbcxp  26755  relogbcxpb  26757  relogbf  26761  logbgt0b  26763  rlimcnp  26935  efrlim  26939  efrlimOLD  26940  cxplim  26942  cxp2limlem  26946  cxploglim  26948  logdifbnd  26964  logdiflbnd  26965  logfacrlim2  27197  bposlem8  27262  vmadivsum  27453  mudivsum  27501  mulogsumlem  27502  logdivsum  27504  log2sumbnd  27515  selberg2lem  27521  selberg2  27522  pntrmax  27535  selbergr  27539  pntrlog2bndlem4  27551  pntrlog2bndlem5  27552  pntlem3  27580  padicabvcxp  27603  blocnilem  30883  nmcexi  32105  probfinmeasb  34587  probfinmeasbALTV  34588  signsplypnf  34709  logdivsqrle  34809  poimirlem29  37852  areacirclem1  37911  areacirclem4  37914  areacirc  37916  heiborlem6  38019  heiborlem7  38020  dvrelog2  42386  dvrelog3  42387  aks4d1p1p6  42395  xralrple2  45666  recnnltrp  45688  rpgtrecnn  45691  ioodvbdlimc1lem2  46243  ioodvbdlimc2lem  46245  fldivmod  47651  ceildivmod  47652  relogbmulbexp  48874  relogbdivb  48875  blenre  48887