Theorem rpne0 13073

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 13071	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11755	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-addrcl 11245  ax-rnegex 11255  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  rprene0  13074  rpcnne0  13075  rpne0d  13104  divge1  13125  xlemul1  13352  ltdifltdiv  13885  mulmod0  13928  negmod0  13929  moddiffl  13933  modid0  13948  modmuladd  13964  modmuladdnn0  13966  2txmodxeq0  13982  rpexpcl  14131  expnlbnd  14282  rennim  15288  sqrtdiv  15314  o1fsum  15861  divrcnv  15900  rpmsubg  21472  itg2const2  25796  reeff1o  26509  logne0  26639  advlog  26714  advlogexp  26715  logcxp  26729  cxprec  26746  cxpmul  26748  abscxp  26752  cxple2  26757  dvcxp1  26800  dvcxp2  26801  dvsqrt  26802  relogbreexp  26836  relogbzexp  26837  relogbmul  26838  relogbdiv  26840  relogbexp  26841  relogbcxp  26846  relogbcxpb  26848  relogbf  26852  logbgt0b  26854  rlimcnp  27026  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  cxplim  27033  cxp2limlem  27037  cxploglim  27039  logdifbnd  27055  logdiflbnd  27056  logfacrlim2  27288  bposlem8  27353  vmadivsum  27544  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  logdivsum  27595  log2sumbnd  27606  selberg2lem  27612  selberg2  27613  pntrmax  27626  selbergr  27630  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntlem3  27671  padicabvcxp  27694  blocnilem  30836  nmcexi  32058  probfinmeasb  34393  probfinmeasbALTV  34394  signsplypnf  34527  logdivsqrle  34627  poimirlem29  37609  areacirclem1  37668  areacirclem4  37671  areacirc  37673  heiborlem6  37776  heiborlem7  37777  dvrelog2  42021  dvrelog3  42022  aks4d1p1p6  42030  xralrple2  45269  recnnltrp  45292  rpgtrecnn  45295  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  fldivmod  48252  relogbmulbexp  48295  relogbdivb  48296  blenre  48308