Theorem rpne0 12675

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12673	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11370	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ℝcr 10801  0cc0 10802   < clt 10940  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-addrcl 10863  ax-rnegex 10873  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  rprene0  12676  rpcnne0  12677  rpne0d  12706  divge1  12727  xlemul1  12953  ltdifltdiv  13482  mulmod0  13525  negmod0  13526  moddiffl  13530  modid0  13545  modmuladd  13561  modmuladdnn0  13563  2txmodxeq0  13579  rpexpcl  13729  expnlbnd  13876  rennim  14878  sqrtdiv  14905  o1fsum  15453  divrcnv  15492  rpmsubg  20574  itg2const2  24811  reeff1o  25511  logne0  25640  advlog  25714  advlogexp  25715  logcxp  25729  cxprec  25746  cxpmul  25748  abscxp  25752  cxple2  25757  dvcxp1  25798  dvcxp2  25799  dvsqrt  25800  relogbreexp  25830  relogbzexp  25831  relogbmul  25832  relogbdiv  25834  relogbexp  25835  relogbcxp  25840  relogbcxpb  25842  relogbf  25846  logbgt0b  25848  rlimcnp  26020  efrlim  26024  cxplim  26026  cxp2limlem  26030  cxploglim  26032  logdifbnd  26048  logdiflbnd  26049  logfacrlim2  26279  bposlem8  26344  vmadivsum  26535  mudivsum  26583  mulogsumlem  26584  logdivsum  26586  log2sumbnd  26597  selberg2lem  26603  selberg2  26604  pntrmax  26617  selbergr  26621  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntlem3  26662  padicabvcxp  26685  blocnilem  29067  nmcexi  30289  probfinmeasb  32295  probfinmeasbALTV  32296  signsplypnf  32429  logdivsqrle  32530  poimirlem29  35733  areacirclem1  35792  areacirclem4  35795  areacirc  35797  heiborlem6  35901  heiborlem7  35902  dvrelog2  40000  dvrelog3  40001  aks4d1p1p6  40009  xralrple2  42783  recnnltrp  42806  rpgtrecnn  42809  ioodvbdlimc1lem2  43363  ioodvbdlimc2lem  43365  fldivmod  45752  relogbmulbexp  45795  relogbdivb  45796  blenre  45808