Theorem rpne0 12968

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12966	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11643	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ℝcr 11067  0cc0 11068   < clt 11208  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  rprene0  12969  rpcnne0  12970  rpne0d  13000  divge1  13021  xlemul1  13250  ltdifltdiv  13796  mulmod0  13839  negmod0  13840  moddiffl  13844  modid0  13859  modmuladd  13878  modmuladdnn0  13880  2txmodxeq0  13896  rpexpcl  14045  expnlbnd  14198  rennim  15205  sqrtdiv  15231  o1fsum  15779  divrcnv  15818  rpmsubg  21348  itg2const2  25642  reeff1o  26357  logne0  26488  advlog  26563  advlogexp  26564  logcxp  26578  cxprec  26595  cxpmul  26597  abscxp  26601  cxple2  26606  dvcxp1  26649  dvcxp2  26650  dvsqrt  26651  relogbreexp  26685  relogbzexp  26686  relogbmul  26687  relogbdiv  26689  relogbexp  26690  relogbcxp  26695  relogbcxpb  26697  relogbf  26701  logbgt0b  26703  rlimcnp  26875  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  cxplim  26882  cxp2limlem  26886  cxploglim  26888  logdifbnd  26904  logdiflbnd  26905  logfacrlim2  27137  bposlem8  27202  vmadivsum  27393  mudivsum  27441  mulogsumlem  27442  logdivsum  27444  log2sumbnd  27455  selberg2lem  27461  selberg2  27462  pntrmax  27475  selbergr  27479  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntlem3  27520  padicabvcxp  27543  blocnilem  30733  nmcexi  31955  probfinmeasb  34419  probfinmeasbALTV  34420  signsplypnf  34541  logdivsqrle  34641  poimirlem29  37643  areacirclem1  37702  areacirclem4  37705  areacirc  37707  heiborlem6  37810  heiborlem7  37811  dvrelog2  42052  dvrelog3  42053  aks4d1p1p6  42061  xralrple2  45350  recnnltrp  45373  rpgtrecnn  45376  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  fldivmod  47339  ceildivmod  47340  relogbmulbexp  48550  relogbdivb  48551  blenre  48563