Theorem rpne0 12944

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12942	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11619	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ℝcr 11043  0cc0 11044   < clt 11184  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-addrcl 11105  ax-rnegex 11115  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  rprene0  12945  rpcnne0  12946  rpne0d  12976  divge1  12997  xlemul1  13226  ltdifltdiv  13772  mulmod0  13815  negmod0  13816  moddiffl  13820  modid0  13835  modmuladd  13854  modmuladdnn0  13856  2txmodxeq0  13872  rpexpcl  14021  expnlbnd  14174  rennim  15181  sqrtdiv  15207  o1fsum  15755  divrcnv  15794  rpmsubg  21373  itg2const2  25675  reeff1o  26390  logne0  26521  advlog  26596  advlogexp  26597  logcxp  26611  cxprec  26628  cxpmul  26630  abscxp  26634  cxple2  26639  dvcxp1  26682  dvcxp2  26683  dvsqrt  26684  relogbreexp  26718  relogbzexp  26719  relogbmul  26720  relogbdiv  26722  relogbexp  26723  relogbcxp  26728  relogbcxpb  26730  relogbf  26734  logbgt0b  26736  rlimcnp  26908  efrlim  26912  efrlimOLD  26913  cxplim  26915  cxp2limlem  26919  cxploglim  26921  logdifbnd  26937  logdiflbnd  26938  logfacrlim2  27170  bposlem8  27235  vmadivsum  27426  mudivsum  27474  mulogsumlem  27475  logdivsum  27477  log2sumbnd  27488  selberg2lem  27494  selberg2  27495  pntrmax  27508  selbergr  27512  pntrlog2bndlem4  27524  pntrlog2bndlem5  27525  pntlem3  27553  padicabvcxp  27576  blocnilem  30783  nmcexi  32005  probfinmeasb  34412  probfinmeasbALTV  34413  signsplypnf  34534  logdivsqrle  34634  poimirlem29  37636  areacirclem1  37695  areacirclem4  37698  areacirc  37700  heiborlem6  37803  heiborlem7  37804  dvrelog2  42045  dvrelog3  42046  aks4d1p1p6  42054  xralrple2  45343  recnnltrp  45366  rpgtrecnn  45369  ioodvbdlimc1lem2  45923  ioodvbdlimc2lem  45925  fldivmod  47332  ceildivmod  47333  relogbmulbexp  48543  relogbdivb  48544  blenre  48556