Theorem rpne0 13061

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 13059	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11706	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ℝcr 11126  0cc0 11127   < clt 11270  ℝ⁺crp 13044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-addrcl 11188  ax-rnegex 11198  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-ltxr 11275  df-rp 13045

This theorem is used by:  rprene0  13062  rpcnne0  13063  rpne0d  13093  divge1  13114  xlemul1  13344  ltdifltdiv  13897  mulmod0  13940  negmod0  13941  moddiffl  13945  modid0  13960  modmuladd  13979  modmuladdnn0  13981  2txmodxeq0  13997  rpexpcl  14146  expnlbnd  14299  rennim  15328  sqrtdiv  15354  o1fsum  15902  divrcnv  15943  rpmsubg  21645  itg2const2  25970  reeff1o  26680  logne0  26814  advlog  26889  advlogexp  26890  logcxp  26904  cxprec  26921  cxpmul  26923  abscxp  26927  cxple2  26932  dvcxp1  26975  dvcxp2  26976  dvsqrt  26977  relogbreexp  27010  relogbzexp  27011  relogbmul  27012  relogbdiv  27014  relogbexp  27015  relogbcxp  27020  relogbcxpb  27022  relogbf  27026  logbgt0b  27028  rlimcnp  27200  efrlim  27204  cxplim  27206  cxp2limlem  27210  cxploglim  27212  logdifbnd  27228  logdiflbnd  27229  logfacrlim2  27460  bposlem8  27525  vmadivsum  27716  mudivsum  27764  mulogsumlem  27765  logdivsum  27767  log2sumbnd  27778  selberg2lem  27784  selberg2  27785  pntrmax  27798  selbergr  27802  pntrlog2bndlem4  27814  pntrlog2bndlem5  27815  pntlem3  27843  padicabvcxp  27866  blocnilem  31271  nmcexi  32493  probfinmeasb  34926  probfinmeasbALTV  34927  signsplypnf  35045  logdivsqrle  35145  poimirlem29  38385  areacirclem1  38444  areacirclem4  38447  areacirc  38449  heiborlem6  38553  heiborlem7  38554  dvrelog2  42917  dvrelog3  42918  aks4d1p1p6  42926  xralrple2  46171  recnnltrp  46193  rpgtrecnn  46196  ioodvbdlimc1lem2  46747  ioodvbdlimc2lem  46749  fldivmod  48219  ceildivmod  48220  relogbmulbexp  49478  relogbdivb  49479  blenre  49491