Theorem rpne0 12990

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12988	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11679	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ℝcr 11109  0cc0 11110   < clt 11248  ℝ⁺crp 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-addrcl 11171  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-rp 12975

This theorem is referenced by:  rprene0  12991  rpcnne0  12992  rpne0d  13021  divge1  13042  xlemul1  13269  ltdifltdiv  13799  mulmod0  13842  negmod0  13843  moddiffl  13847  modid0  13862  modmuladd  13878  modmuladdnn0  13880  2txmodxeq0  13896  rpexpcl  14046  expnlbnd  14196  rennim  15186  sqrtdiv  15212  o1fsum  15759  divrcnv  15798  rpmsubg  21009  itg2const2  25259  reeff1o  25959  logne0  26088  advlog  26162  advlogexp  26163  logcxp  26177  cxprec  26194  cxpmul  26196  abscxp  26200  cxple2  26205  dvcxp1  26248  dvcxp2  26249  dvsqrt  26250  relogbreexp  26280  relogbzexp  26281  relogbmul  26282  relogbdiv  26284  relogbexp  26285  relogbcxp  26290  relogbcxpb  26292  relogbf  26296  logbgt0b  26298  rlimcnp  26470  efrlim  26474  cxplim  26476  cxp2limlem  26480  cxploglim  26482  logdifbnd  26498  logdiflbnd  26499  logfacrlim2  26729  bposlem8  26794  vmadivsum  26985  mudivsum  27033  mulogsumlem  27034  logdivsum  27036  log2sumbnd  27047  selberg2lem  27053  selberg2  27054  pntrmax  27067  selbergr  27071  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  pntlem3  27112  padicabvcxp  27135  blocnilem  30057  nmcexi  31279  probfinmeasb  33427  probfinmeasbALTV  33428  signsplypnf  33561  logdivsqrle  33662  poimirlem29  36517  areacirclem1  36576  areacirclem4  36579  areacirc  36581  heiborlem6  36684  heiborlem7  36685  dvrelog2  40929  dvrelog3  40930  aks4d1p1p6  40938  xralrple2  44064  recnnltrp  44087  rpgtrecnn  44090  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  fldivmod  47204  relogbmulbexp  47247  relogbdivb  47248  blenre  47260