Theorem rpne0 12954

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12952	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11610	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ℝcr 11032  0cc0 11033   < clt 11174  ℝ⁺crp 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-addrcl 11094  ax-rnegex 11104  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-rp 12938

This theorem is referenced by:  rprene0  12955  rpcnne0  12956  rpne0d  12986  divge1  13007  xlemul1  13237  ltdifltdiv  13788  mulmod0  13831  negmod0  13832  moddiffl  13836  modid0  13851  modmuladd  13870  modmuladdnn0  13872  2txmodxeq0  13888  rpexpcl  14037  expnlbnd  14190  rennim  15196  sqrtdiv  15222  o1fsum  15771  divrcnv  15812  rpmsubg  21425  itg2const2  25722  reeff1o  26429  logne0  26560  advlog  26635  advlogexp  26636  logcxp  26650  cxprec  26667  cxpmul  26669  abscxp  26673  cxple2  26678  dvcxp1  26721  dvcxp2  26722  dvsqrt  26723  relogbreexp  26756  relogbzexp  26757  relogbmul  26758  relogbdiv  26760  relogbexp  26761  relogbcxp  26766  relogbcxpb  26768  relogbf  26772  logbgt0b  26774  rlimcnp  26946  efrlim  26950  efrlimOLD  26951  cxplim  26953  cxp2limlem  26957  cxploglim  26959  logdifbnd  26975  logdiflbnd  26976  logfacrlim2  27207  bposlem8  27272  vmadivsum  27463  mudivsum  27511  mulogsumlem  27512  logdivsum  27514  log2sumbnd  27525  selberg2lem  27531  selberg2  27532  pntrmax  27545  selbergr  27549  pntrlog2bndlem4  27561  pntrlog2bndlem5  27562  pntlem3  27590  padicabvcxp  27613  blocnilem  30894  nmcexi  32116  probfinmeasb  34592  probfinmeasbALTV  34593  signsplypnf  34714  logdivsqrle  34814  poimirlem29  37990  areacirclem1  38049  areacirclem4  38052  areacirc  38054  heiborlem6  38157  heiborlem7  38158  dvrelog2  42523  dvrelog3  42524  aks4d1p1p6  42532  xralrple2  45808  recnnltrp  45830  rpgtrecnn  45833  ioodvbdlimc1lem2  46384  ioodvbdlimc2lem  46386  fldivmod  47810  ceildivmod  47811  relogbmulbexp  49055  relogbdivb  49056  blenre  49068