Theorem rpne0 13049

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 13047	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11726	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293  ℝ⁺crp 13032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-rp 13033

This theorem is referenced by:  rprene0  13050  rpcnne0  13051  rpne0d  13080  divge1  13101  xlemul1  13329  ltdifltdiv  13871  mulmod0  13914  negmod0  13915  moddiffl  13919  modid0  13934  modmuladd  13951  modmuladdnn0  13953  2txmodxeq0  13969  rpexpcl  14118  expnlbnd  14269  rennim  15275  sqrtdiv  15301  o1fsum  15846  divrcnv  15885  rpmsubg  21467  itg2const2  25791  reeff1o  26506  logne0  26636  advlog  26711  advlogexp  26712  logcxp  26726  cxprec  26743  cxpmul  26745  abscxp  26749  cxple2  26754  dvcxp1  26797  dvcxp2  26798  dvsqrt  26799  relogbreexp  26833  relogbzexp  26834  relogbmul  26835  relogbdiv  26837  relogbexp  26838  relogbcxp  26843  relogbcxpb  26845  relogbf  26849  logbgt0b  26851  rlimcnp  27023  efrlim  27027  efrlimOLD  27028  cxplim  27030  cxp2limlem  27034  cxploglim  27036  logdifbnd  27052  logdiflbnd  27053  logfacrlim2  27285  bposlem8  27350  vmadivsum  27541  mudivsum  27589  mulogsumlem  27590  logdivsum  27592  log2sumbnd  27603  selberg2lem  27609  selberg2  27610  pntrmax  27623  selbergr  27627  pntrlog2bndlem4  27639  pntrlog2bndlem5  27640  pntlem3  27668  padicabvcxp  27691  blocnilem  30833  nmcexi  32055  probfinmeasb  34410  probfinmeasbALTV  34411  signsplypnf  34544  logdivsqrle  34644  poimirlem29  37636  areacirclem1  37695  areacirclem4  37698  areacirc  37700  heiborlem6  37803  heiborlem7  37804  dvrelog2  42046  dvrelog3  42047  aks4d1p1p6  42055  xralrple2  45304  recnnltrp  45327  rpgtrecnn  45330  ioodvbdlimc1lem2  45888  ioodvbdlimc2lem  45890  fldivmod  47278  ceildivmod  47279  relogbmulbexp  48411  relogbdivb  48412  blenre  48424