Theorem modid 13916

Description: Identity law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modid	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem modid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modval 13891	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
2	1	adantr 484	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
3		rerpdivcl 13035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
6		addlid 11377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (0 + (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
7	6	fveq2d 6871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
9		rpregt0 13018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
10		divge0 12071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
11	9, 10	sylan2 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
12	11	an32s 662	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
13	12	adantrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
14		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
15		rpcn 13014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	mulridd 11210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
17	16	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
18	14, 17	breqtrrd 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < (𝐵 · 1))
19	18	ad2ant2l 756	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵 · 1))
20		simpll 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	9	ad2antlr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
22		1re 11192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		ltdivmul 12077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
24	22, 23	mp3an2 1471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
25	20, 21, 24	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
26	19, 25	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) < 1)
27		0z 12589	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
28		flbi2 13837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
29	27, 4, 28	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
30	13, 26, 29	mpbir2and 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0)
31	8, 30	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0)
32	31	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = (𝐵 · 0))
33	15	mul01d 11393	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 · 0) = 0)
34	33	ad2antlr 737	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · 0) = 0)
35	32, 34	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = 0)
36	35	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = (𝐴 − 0))
37		recn 11174	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	subid1d 11542	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
39	38	ad2antrr 736	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
40	36, 39	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 𝐴)
41	2, 40	eqtrd 2798	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5101  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11082  ℝcr 11083  0cc0 11084  1c1 11085   + caddc 11087   · cmul 11089   < clt 11227   ≤ cle 11228   − cmin 11425   / cdiv 11855  ℤcz 12578  ℝ⁺crp 13003  ⌊cfl 13810   mod cmo 13889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7718  ax-cnex 11140  ax-resscn 11141  ax-1cn 11142  ax-icn 11143  ax-addcl 11144  ax-addrcl 11145  ax-mulcl 11146  ax-mulrcl 11147  ax-mulcom 11148  ax-addass 11149  ax-mulass 11150  ax-distr 11151  ax-i2m1 11152  ax-1ne0 11153  ax-1rid 11154  ax-rnegex 11155  ax-rrecex 11156  ax-cnre 11157  ax-pre-lttri 11158  ax-pre-lttrn 11159  ax-pre-ltadd 11160  ax-pre-mulgt0 11161  ax-pre-sup 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11427  df-neg 11428  df-div 11856  df-nn 12221  df-n0 12492  df-z 12579  df-uz 12850  df-rp 13004  df-fl 13812  df-mod 13890

This theorem is referenced by:  modid2  13918  0mod  13922  1mod  13923  modabs  13924  muladdmodid  13933  m1modnnsub1  13940  modltm1p1mod  13946  2submod  13955  modifeq2int  13956  modaddmodlo  13958  modsubdir  13963  modsumfzodifsn  13967  digit1  14260  cshwidxm1  14830  bitsinv1  16486  sadaddlem  16510  sadasslem  16514  sadeq  16516  crth  16823  eulerthlem2  16827  prmdiveq  16831  modprm0  16851  4sqlem12  17002  dfod2  19614  znf1o  21610  wilthlem1  27139  ppiub  27275  lgslem1  27368  lgsdir2lem1  27396  lgsdirprm  27402  lgsqrlem2  27418  lgseisenlem1  27446  lgseisenlem2  27447  lgseisen  27450  m1lgs  27459  2lgslem1a1  27460  2lgslem4  27477  2sqlem11  27500  2sqreultlem  27518  2sqreunnltlem  27521  cshw1s2  33144  sqwvfoura  46793  sqwvfourb  46794  fourierswlem  46795  fouriersw  46796  addmodne  47935  submodlt  47941  m1modmmod  47949  2exp340mod341  48346  8exp8mod9  48349  fpprel2  48354  nfermltl8rev  48355  gpgedgvtx0  48674  gpgedgvtx1  48675  pgnbgreunbgrlem2lem1  48727  pgnbgreunbgrlem2lem2  48728  pgnbgreunbgrlem2lem3  48729  nnpw2pmod  49196