MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modid 13807
Description: Identity law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
modid (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = ๐ด)

Proof of Theorem modid
StepHypRef Expression
1 modval 13782 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
21adantr 482 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
3 rerpdivcl 12950 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
43adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
54recnd 11188 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 addid2 11343 . . . . . . . . 9 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))
76fveq2d 6847 . . . . . . . 8 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
9 rpregt0 12934 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต))
10 divge0 12029 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
119, 10sylan2 594 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1211an32s 651 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1312adantrr 716 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
14 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต)
15 rpcn 12930 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1615mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
1814, 17breqtrrd 5134 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < (๐ต ยท 1))
1918ad2ant2l 745 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด < (๐ต ยท 1))
20 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
219ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต))
22 1re 11160 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„
23 ltdivmul 12035 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < 1 โ†” ๐ด < (๐ต ยท 1)))
2422, 23mp3an2 1450 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < 1 โ†” ๐ด < (๐ต ยท 1)))
2520, 21, 24syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < 1 โ†” ๐ด < (๐ต ยท 1)))
2619, 25mpbird 257 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) < 1)
27 0z 12515 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„ค
28 flbi2 13728 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) < 1)))
2927, 4, 28sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) < 1)))
3013, 26, 29mpbir2and 712 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = 0)
318, 30eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = 0)
3231oveq2d 7374 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) = (๐ต ยท 0))
3315mul01d 11359 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
3433ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
3532, 34eqtrd 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) = 0)
3635oveq2d 7374 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) = (๐ด โˆ’ 0))
37 recn 11146 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3837subid1d 11506 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
3938ad2antrr 725 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
4036, 39eqtrd 2773 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) = ๐ด)
412, 40eqtrd 2773 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„คcz 12504  โ„+crp 12920  โŒŠcfl 13701   mod cmo 13780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781
This theorem is referenced by:  modid2  13809  0mod  13813  1mod  13814  modabs  13815  muladdmodid  13822  m1modnnsub1  13828  modltm1p1mod  13834  2submod  13843  modifeq2int  13844  modaddmodlo  13846  modsubdir  13851  modsumfzodifsn  13855  digit1  14146  cshwidxm1  14701  bitsinv1  16327  sadaddlem  16351  sadasslem  16355  sadeq  16357  crth  16655  eulerthlem2  16659  prmdiveq  16663  modprm0  16682  4sqlem12  16833  dfod2  19351  znf1o  20974  wilthlem1  26433  ppiub  26568  lgslem1  26661  lgsdir2lem1  26689  lgsdirprm  26695  lgsqrlem2  26711  lgseisenlem1  26739  lgseisenlem2  26740  lgseisen  26743  m1lgs  26752  2lgslem1a1  26753  2lgslem4  26770  2sqlem11  26793  2sqreultlem  26811  2sqreunnltlem  26814  cshw1s2  31863  sqwvfoura  44555  sqwvfourb  44556  fourierswlem  44557  fouriersw  44558  2exp340mod341  46011  8exp8mod9  46014  fpprel2  46019  nfermltl8rev  46020  m1modmmod  46693  nnpw2pmod  46755
  Copyright terms: Public domain W3C validator