Theorem modid 13865

Description: Identity law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
modid	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem modid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modval 13840	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
3		rerpdivcl 12990	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
6		addlid 11364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (0 + (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
7	6	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
9		rpregt0 12973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
10		divge0 12059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
11	9, 10	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
12	11	an32s 652	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
13	12	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
14		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
15		rpcn 12969	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	mulridd 11198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
18	14, 17	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < (𝐵 · 1))
19	18	ad2ant2l 746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 < (𝐵 · 1))
20		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	9	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
22		1re 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		ltdivmul 12065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
24	22, 23	mp3an2 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
25	20, 21, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < (𝐵 · 1)))
26	19, 25	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) < 1)
27		0z 12547	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
28		flbi2 13786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
29	27, 4, 28	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
30	13, 26, 29	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0)
31	8, 30	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0)
32	31	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = (𝐵 · 0))
33	15	mul01d 11380	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 · 0) = 0)
34	33	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · 0) = 0)
35	32, 34	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵))) = 0)
36	35	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = (𝐴 − 0))
37		recn 11165	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	subid1d 11529	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
39	38	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
40	36, 39	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))) = 𝐴)
41	2, 40	eqtrd 2765	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℤcz 12536  ℝ⁺crp 12958  ⌊cfl 13759   mod cmo 13838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fl 13761  df-mod 13839

This theorem is referenced by:  modid2  13867  0mod  13871  1mod  13872  modabs  13873  muladdmodid  13882  m1modnnsub1  13889  modltm1p1mod  13895  2submod  13904  modifeq2int  13905  modaddmodlo  13907  modsubdir  13912  modsumfzodifsn  13916  digit1  14209  cshwidxm1  14779  bitsinv1  16419  sadaddlem  16443  sadasslem  16447  sadeq  16449  crth  16755  eulerthlem2  16759  prmdiveq  16763  modprm0  16783  4sqlem12  16934  dfod2  19501  znf1o  21468  wilthlem1  26985  ppiub  27122  lgslem1  27215  lgsdir2lem1  27243  lgsdirprm  27249  lgsqrlem2  27265  lgseisenlem1  27293  lgseisenlem2  27294  lgseisen  27297  m1lgs  27306  2lgslem1a1  27307  2lgslem4  27324  2sqlem11  27347  2sqreultlem  27365  2sqreunnltlem  27368  cshw1s2  32889  sqwvfoura  46233  sqwvfourb  46234  fourierswlem  46235  fouriersw  46236  addmodne  47349  submodlt  47355  m1modmmod  47363  2exp340mod341  47738  8exp8mod9  47741  fpprel2  47746  nfermltl8rev  47747  gpgedgvtx0  48056  gpgedgvtx1  48057  pgnbgreunbgrlem2lem1  48108  pgnbgreunbgrlem2lem2  48109  pgnbgreunbgrlem2lem3  48110  nnpw2pmod  48576