MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modid 13857
Description: Identity law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
modid (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = ๐ด)

Proof of Theorem modid
StepHypRef Expression
1 modval 13832 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
21adantr 481 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
3 rerpdivcl 13000 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
43adantr 481 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
54recnd 11238 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 addlid 11393 . . . . . . . . 9 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))
76fveq2d 6892 . . . . . . . 8 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
9 rpregt0 12984 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต))
10 divge0 12079 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
119, 10sylan2 593 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1211an32s 650 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1312adantrr 715 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
14 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต)
15 rpcn 12980 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1615mulridd 11227 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
1716adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
1814, 17breqtrrd 5175 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < (๐ต ยท 1))
1918ad2ant2l 744 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด < (๐ต ยท 1))
20 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
219ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต))
22 1re 11210 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„
23 ltdivmul 12085 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < 1 โ†” ๐ด < (๐ต ยท 1)))
2422, 23mp3an2 1449 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < 1 โ†” ๐ด < (๐ต ยท 1)))
2520, 21, 24syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < 1 โ†” ๐ด < (๐ต ยท 1)))
2619, 25mpbird 256 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) < 1)
27 0z 12565 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„ค
28 flbi2 13778 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) < 1)))
2927, 4, 28sylancr 587 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) < 1)))
3013, 26, 29mpbir2and 711 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = 0)
318, 30eqtr3d 2774 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = 0)
3231oveq2d 7421 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) = (๐ต ยท 0))
3315mul01d 11409 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
3433ad2antlr 725 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
3532, 34eqtrd 2772 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) = 0)
3635oveq2d 7421 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) = (๐ด โˆ’ 0))
37 recn 11196 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3837subid1d 11556 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
3938ad2antrr 724 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
4036, 39eqtrd 2772 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) = ๐ด)
412, 40eqtrd 2772 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„คcz 12554  โ„+crp 12970  โŒŠcfl 13751   mod cmo 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831
This theorem is referenced by:  modid2  13859  0mod  13863  1mod  13864  modabs  13865  muladdmodid  13872  m1modnnsub1  13878  modltm1p1mod  13884  2submod  13893  modifeq2int  13894  modaddmodlo  13896  modsubdir  13901  modsumfzodifsn  13905  digit1  14196  cshwidxm1  14753  bitsinv1  16379  sadaddlem  16403  sadasslem  16407  sadeq  16409  crth  16707  eulerthlem2  16711  prmdiveq  16715  modprm0  16734  4sqlem12  16885  dfod2  19426  znf1o  21098  wilthlem1  26561  ppiub  26696  lgslem1  26789  lgsdir2lem1  26817  lgsdirprm  26823  lgsqrlem2  26839  lgseisenlem1  26867  lgseisenlem2  26868  lgseisen  26871  m1lgs  26880  2lgslem1a1  26881  2lgslem4  26898  2sqlem11  26921  2sqreultlem  26939  2sqreunnltlem  26942  cshw1s2  32111  sqwvfoura  44930  sqwvfourb  44931  fourierswlem  44932  fouriersw  44933  2exp340mod341  46387  8exp8mod9  46390  fpprel2  46395  nfermltl8rev  46396  m1modmmod  47160  nnpw2pmod  47222
  Copyright terms: Public domain W3C validator