MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modid 13861
Description: Identity law for modulo. (Contributed by NM, 29-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
modid (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = ๐ด)

Proof of Theorem modid
StepHypRef Expression
1 modval 13836 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
21adantr 482 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))))
3 rerpdivcl 13004 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
43adantr 482 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„)
54recnd 11242 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6 addlid 11397 . . . . . . . . 9 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (0 + (๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ต))
76fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ (โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))
9 rpregt0 12988 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต))
10 divge0 12083 . . . . . . . . . . 11 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
119, 10sylan2 594 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1211an32s 651 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
1312adantrr 716 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
14 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต)
15 rpcn 12984 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1615mulridd 11231 . . . . . . . . . . . 12 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
1716adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
1814, 17breqtrrd 5177 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < (๐ต ยท 1))
1918ad2ant2l 745 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด < (๐ต ยท 1))
20 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
219ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต))
22 1re 11214 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„
23 ltdivmul 12089 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < 1 โ†” ๐ด < (๐ต ยท 1)))
2422, 23mp3an2 1450 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < 1 โ†” ๐ด < (๐ต ยท 1)))
2520, 21, 24syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < 1 โ†” ๐ด < (๐ต ยท 1)))
2619, 25mpbird 257 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด / ๐ต) < 1)
27 0z 12569 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„ค
28 flbi2 13782 . . . . . . . . 9 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„) โ†’ ((โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) < 1)))
2927, 4, 28sylancr 588 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = 0 โ†” (0 โ‰ค (๐ด / ๐ต) โˆง (๐ด / ๐ต) < 1)))
3013, 26, 29mpbir2and 712 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(0 + (๐ด / ๐ต))) = 0)
318, 30eqtr3d 2775 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)) = 0)
3231oveq2d 7425 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) = (๐ต ยท 0))
3315mul01d 11413 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
3433ad2antlr 726 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท 0) = 0)
3532, 34eqtrd 2773 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต))) = 0)
3635oveq2d 7425 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) = (๐ด โˆ’ 0))
37 recn 11200 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3837subid1d 11560 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
3938ad2antrr 725 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ 0) = ๐ด)
4036, 39eqtrd 2773 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ต ยท (โŒŠโ€˜(๐ด / ๐ต)))) = ๐ด)
412, 40eqtrd 2773 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  โŒŠcfl 13755   mod cmo 13834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835
This theorem is referenced by:  modid2  13863  0mod  13867  1mod  13868  modabs  13869  muladdmodid  13876  m1modnnsub1  13882  modltm1p1mod  13888  2submod  13897  modifeq2int  13898  modaddmodlo  13900  modsubdir  13905  modsumfzodifsn  13909  digit1  14200  cshwidxm1  14757  bitsinv1  16383  sadaddlem  16407  sadasslem  16411  sadeq  16413  crth  16711  eulerthlem2  16715  prmdiveq  16719  modprm0  16738  4sqlem12  16889  dfod2  19432  znf1o  21107  wilthlem1  26572  ppiub  26707  lgslem1  26800  lgsdir2lem1  26828  lgsdirprm  26834  lgsqrlem2  26850  lgseisenlem1  26878  lgseisenlem2  26879  lgseisen  26882  m1lgs  26891  2lgslem1a1  26892  2lgslem4  26909  2sqlem11  26932  2sqreultlem  26950  2sqreunnltlem  26953  cshw1s2  32124  sqwvfoura  44944  sqwvfourb  44945  fourierswlem  44946  fouriersw  44947  2exp340mod341  46401  8exp8mod9  46404  fpprel2  46409  nfermltl8rev  46410  m1modmmod  47207  nnpw2pmod  47269
  Copyright terms: Public domain W3C validator