Theorem rprmnz 34052

Description: A ring prime is nonzero. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rprmnz.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
rprmnz.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rprmnz.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
rprmnz.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
rprmnz	⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0 )

Proof of Theorem rprmnz

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }))
2		rprmnz.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		rprmnz.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
4		rprmnz.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
5	3, 4	eleqtrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (RPrime‘𝑅))
6		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
8		rprmnz.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
10		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	6, 7, 8, 9, 10	isrprm 34049	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑄 ∈ (RPrime‘𝑅) ↔ (𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑄(∥r‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑦) → (𝑄(∥r‘𝑅)𝑥 ∨ 𝑄(∥r‘𝑅)𝑦)))))
12	11	simprbda 504	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑄 ∈ (RPrime‘𝑅)) → 𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })))
13	2, 5, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })))
14	13	eldifbd 3912	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }))
15		nelun 33109	. . . 4 ⊢ (((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) → (¬ 𝑄 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) ↔ (¬ 𝑄 ∈ (Unit‘𝑅) ∧ ¬ 𝑄 ∈ { 0 })))
16	15	simplbda 505	. . 3 ⊢ ((((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) = ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 }) ∧ ¬ 𝑄 ∈ ((Unit‘𝑅) ∪ { 0 })) → ¬ 𝑄 ∈ { 0 })
17	1, 14, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 ∈ { 0 })
18		elsng 4598	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ 𝑃 → (𝑄 ∈ { 0 } ↔ 𝑄 = 0 ))
19	3, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ { 0 } ↔ 𝑄 = 0 ))
20	19	necon3bbid 2993	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑄 ∈ { 0 } ↔ 𝑄 ≠ 0 ))
21	17, 20	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0 )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610  ∥_rcdsr 20584  Unitcui 20585  RPrimecrpm 20662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-rprm 20663

This theorem is used by:  rprmasso  34057  rprmasso2  34058  rprmirred  34063  1arithidomlem1  34067  1arithufdlem3  34078  dfufd2lem  34081