Theorem dfufd2lem 33780

Description: Lemma for dfufd2 33781. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfufd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfufd2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dfufd2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dfufd2.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
dfufd2.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
dfufd2lem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
dfufd2lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
dfufd2lem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
dfufd2lem.4	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼)
dfufd2lem.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
dfufd2lem	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝑃) ≠ ∅)

Proof of Theorem dfufd2lem

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼)
2		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))
3		dfufd2lem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
4	3	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
5	2, 4	wrdfd 14552	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃)
6		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
7	5, 6	ffvelcdmd 7078	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑃)
8		inelcm 4428	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑃) → (𝐼 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
9	1, 7, 8	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → (𝐼 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
10		id 23	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
11		dfufd2lem.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼)
12		dfufd2lem.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )
13		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ∅))
14	13	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼))
15	13	neeq1d 3023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ))
16	14, 15	3anbi23d 1465	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )))
17		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ∅ → (♯‘𝑔) = (♯‘∅))
18	17	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ∅ → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘∅)))
19		fveq1 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑔‘𝑖) = (∅‘𝑖))
20	19	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ (∅‘𝑖) ∈ 𝐼))
21	18, 20	rexeqbidv 3346	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ∅ → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼))
22	16, 21	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼)))
23		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝑓))
24	23	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼))
25	23	neeq1d 3023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ))
26	24, 25	3anbi23d 1465	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )))
27		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (♯‘𝑔) = (♯‘𝑓))
28	27	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘𝑓)))
29		fveq1 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔‘𝑖) = (𝑓‘𝑖))
30	29	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼))
31	28, 30	rexeqbidv 3346	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼))
32	26, 31	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)))
33		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
34	33	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼))
35	33	neeq1d 3023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ))
36	34, 35	3anbi23d 1465	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 )))
37		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (♯‘𝑔) = (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
38	37	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
39		fveq1 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑔‘𝑖) = ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖))
40	39	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
41	38, 40	rexeqbidv 3346	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
42	36, 41	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)))
43		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝐹))
44	43	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼))
45	43	neeq1d 3023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
46	44, 45	3anbi23d 1465	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )))
47		fveq2 6879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (♯‘𝑔) = (♯‘𝐹))
48	47	oveq2d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘𝐹)))
49		fveq1 6878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑔‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
50	49	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼))
51	48, 50	rexeqbidv 3346	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼))
52	46, 51	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼)))
53		dfufd2.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
54		dfufd2.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
55		dfufd2lem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
56	55	idomringd 20808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
57		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
58	54, 57	1unit 20452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
59	56, 58	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
60	59	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
61		dfufd2.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
62	61, 57	ringidval 20261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
63	62	gsum0 18738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
64		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼)
65	63, 64	eqeltrrid 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
66	56	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
67		dfufd2lem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
68	67	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
69		prmidlidl 21436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
70	66, 68, 69	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
71	53, 54, 60, 65, 66, 70	lidlunitel 33671	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝐼 = 𝐵)
72		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
73	53, 72	prmidlnr 21431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝐵)
74	66, 68, 73	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝐼 ≠ 𝐵)
75	71, 74	pm2.21ddne 3048	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼)
76	75	3impa 1125	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼)
77		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝜑)
78		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼)
79		dfufd2.0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
80	55	idomdomd 20806	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
81	80	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
82		dfufd2.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
83	55	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
84		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
85	53, 82, 83, 84	rprmcl 33749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝐵)
86	82, 79, 83, 84	rprmnz 33751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ≠ 0 )
87	85, 86	eldifsnd 4756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
88	87	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
89	88	ssrdv 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
90		sswrd 14555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) → Word 𝑃 ⊆ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
91	89, 90	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
92	91	ad3antlr 743	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → Word 𝑃 ⊆ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
93		simpll 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
94	93	ad5ant13 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
95	92, 94	sseldd 3946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
96	53, 61, 79, 81, 95	domnprodn0 33535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
97	77, 78, 96	3jca 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ))
98		lencl 14566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
99		fzossfzop1 13768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
100	94, 98, 99	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
101		ccatws1len 14654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ Word 𝑃 → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
102	94, 101	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
103	102	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) = (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
104	100, 103	sseqtrrd 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
105	94	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
106		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓)))
107		ccats1val1 14660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) = (𝑓‘𝑖))
108	105, 106, 107	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) = (𝑓‘𝑖))
109		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)
110	108, 109	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
111	110	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) → ((𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼 → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
112	111	reximdva 3184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
113		ssrexv 4015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
114	104, 112, 113	sylsyld 62	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
115	97, 114	embantd 60	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
116	115	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
117	116	an62ds 32740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
118		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑓) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) = ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)))
119	118	eleq1d 2854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑓) → (((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)) ∈ 𝐼))
120	98	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
121		fzonn0p1 13767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑓) ∈ (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
122	120, 121	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘𝑓) ∈ (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
123	101	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
124	123	oveq2d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) = (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
125	122, 124	eleqtrrd 2872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘𝑓) ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
126		ccatws1ls 14667	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)) = 𝑝)
127	126	ad4antr 744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)) = 𝑝)
128		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑝 ∈ 𝐼)
129	127, 128	eqeltrd 2869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)) ∈ 𝐼)
130	119, 125, 129	rspcedvdw 3593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
131	130	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
132	131	an62ds 32740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
133	55	idomcringd 20807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
134	133	ad3antlr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ CRing)
135	67	ad3antlr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
136	61, 53	mgpbas 20217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
137	61	crngmgp 20319	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
138	133, 137	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
139	138	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ CMnd)
140		ovexd 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (0..^(♯‘𝑓)) ∈ V)
141		eqidd 2770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (♯‘𝑓) = (♯‘𝑓))
142		simplll 786	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
143	141, 142	wrdfd 14552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑃)
144	85	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝 ∈ 𝐵))
145	144	ssrdv 3951	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝐵)
146	145	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑃 ⊆ 𝐵)
147	143, 146	fssd 6721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝐵)
148		fvexd 6894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (1r‘𝑅) ∈ V)
149	148, 142	wrdfsupp 33194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓 finSupp (1r‘𝑅))
150	136, 62, 139, 140, 147, 149	gsumcl 19981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
151	150	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
152	145	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑃 ⊆ 𝐵)
153		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑝 ∈ 𝑃)
154	152, 153	sseldd 3946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑝 ∈ 𝐵)
155	154	ad5ant13 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑝 ∈ 𝐵)
156	138	cmnmndd 19870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
157	156	adantl 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ Mnd)
158		sswrd 14555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝐵 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
159	145, 158	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
160	159	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
161	160, 93	sseldd 3946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
162	61, 72	mgpplusg 20216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
163	136, 162	gsumccatsn 18898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝))
164	157, 161, 154, 163	syl3anc 1396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝))
165	164	ad5ant13 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝))
166		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼)
167	165, 166	eqeltrrd 2870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝) ∈ 𝐼)
168	53, 72	prmidlc 21440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝) ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∨ 𝑝 ∈ 𝐼))
169	134, 135, 151, 155, 167, 168	syl23anc 1402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∨ 𝑝 ∈ 𝐼))
170	117, 132, 169	mpjaodan 973	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
171	170	exp41 439	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 → ((𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))))
172	171	3impd 1365	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
173	172	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)))
174	22, 32, 42, 52, 76, 173	wrdind 14755	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑃 → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼))
175	174	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑃 ∧ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼)
176	3, 10, 11, 12, 175	syl13anc 1397	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼)
177	9, 176	r19.29a 3179	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝑃) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4591  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099  ℕ₀cn0 12500  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546   ++ cconcat 14603  ⟨“cs1 14629  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307  0_gc0g 17488   Σ_g cgsu 17489  Mndcmnd 18788  CMndccmn 19846  mulGrpcmgp 20212  1_rcur 20259  Ringcrg 20311  CRingccrg 20312  Unitcui 20433  RPrimecrpm 20510  Domncdomn 20773  IDomncidom 20774  LIdealclidl 21304  PrmIdealcprmidl 21427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-n0 12501  df-xnn0 12574  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-word 14547  df-lsw 14596  df-concat 14604  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-cring 20314  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-rprm 20511  df-nzr 20592  df-subrg 20651  df-domn 20776  df-idom 20777  df-lmod 20957  df-lss 21027  df-lsp 21067  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-lidl 21306  df-rsp 21307  df-prmidl 21428

This theorem is referenced by:  dfufd2  33781