Theorem dfufd2lem 33564

Description: Lemma for dfufd2 33565. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
dfufd2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfufd2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
dfufd2.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dfufd2.p	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
dfufd2.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
dfufd2lem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
dfufd2lem.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
dfufd2lem.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
dfufd2lem.4	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼)
dfufd2lem.5	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
dfufd2lem	⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝑃) ≠ ∅)

Proof of Theorem dfufd2lem

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼)
2		eqidd 2736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))
3		dfufd2lem.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
4	3	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
5	2, 4	wrdfd 14537	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃)
6		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
7	5, 6	ffvelcdmd 7075	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑃)
8		inelcm 4440	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑃) → (𝐼 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
9	1, 7, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → (𝐼 ∩ 𝑃) ≠ ∅)
10		id 22	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
11		dfufd2lem.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼)
12		dfufd2lem.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )
13		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ∅))
14	13	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼))
15	13	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ))
16	14, 15	3anbi23d 1441	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )))
17		fveq2 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ∅ → (♯‘𝑔) = (♯‘∅))
18	17	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ∅ → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘∅)))
19		fveq1 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑔‘𝑖) = (∅‘𝑖))
20	19	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ (∅‘𝑖) ∈ 𝐼))
21	18, 20	rexeqbidv 3326	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ∅ → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼))
22	16, 21	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ∅ → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼)))
23		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝑓))
24	23	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼))
25	23	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ))
26	24, 25	3anbi23d 1441	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )))
27		fveq2 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (♯‘𝑔) = (♯‘𝑓))
28	27	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘𝑓)))
29		fveq1 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔‘𝑖) = (𝑓‘𝑖))
30	29	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼))
31	28, 30	rexeqbidv 3326	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼))
32	26, 31	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)))
33		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
34	33	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼))
35	33	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ))
36	34, 35	3anbi23d 1441	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 )))
37		fveq2 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (♯‘𝑔) = (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
38	37	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
39		fveq1 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑔‘𝑖) = ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖))
40	39	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
41	38, 40	rexeqbidv 3326	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
42	36, 41	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)))
43		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝐹))
44	43	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼))
45	43	neeq1d 2991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
46	44, 45	3anbi23d 1441	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )))
47		fveq2 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (♯‘𝑔) = (♯‘𝐹))
48	47	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘𝐹)))
49		fveq1 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑔‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
50	49	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼))
51	48, 50	rexeqbidv 3326	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼))
52	46, 51	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐹 → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼)))
53		dfufd2.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
54		dfufd2.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
55		dfufd2lem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
56	55	idomringd 20688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
57		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
58	54, 57	1unit 20334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
59	56, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
60	59	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
61		dfufd2.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
62	61, 57	ringidval 20143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
63	62	gsum0 18662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (1r‘𝑅)
64		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼)
65	63, 64	eqeltrrid 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐼)
66	56	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
67		dfufd2lem.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
68	67	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
69		prmidlidl 33459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
70	66, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
71	53, 54, 60, 65, 66, 70	lidlunitel 33438	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝐼 = 𝐵)
72		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
73	53, 72	prmidlnr 33454	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝐵)
74	66, 68, 73	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝐼 ≠ 𝐵)
75	71, 74	pm2.21ddne 3016	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼)
76	75	3impa 1109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼)
77		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝜑)
78		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼)
79		dfufd2.0	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
80	55	idomdomd 20686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn)
81	80	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
82		dfufd2.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
83	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
84		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃)
85	53, 82, 83, 84	rprmcl 33533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝐵)
86	82, 79, 83, 84	rprmnz 33535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ≠ 0 )
87	85, 86	eldifsnd 4763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
88	87	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
89	88	ssrdv 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
90		sswrd 14540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) → Word 𝑃 ⊆ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
91	89, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
92	91	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → Word 𝑃 ⊆ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
93		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
94	93	ad5ant13 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
95	92, 94	sseldd 3959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
96	53, 61, 79, 81, 95	domnprodn0 33270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
97	77, 78, 96	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ))
98		lencl 14551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
99		fzossfzop1 13759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
100	94, 98, 99	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
101		ccatws1len 14638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ Word 𝑃 → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
102	94, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
103	102	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) = (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
104	100, 103	sseqtrrd 3996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
105	94	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
106		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓)))
107		ccats1val1 14644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) = (𝑓‘𝑖))
108	105, 106, 107	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) = (𝑓‘𝑖))
109		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)
110	108, 109	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
111	110	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) → ((𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼 → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
112	111	reximdva 3153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
113		ssrexv 4028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
114	104, 112, 113	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
115	97, 114	embantd 59	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
116	115	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
117	116	an62ds 32433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
118		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑓) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) = ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)))
119	118	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (♯‘𝑓) → (((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)) ∈ 𝐼))
120	98	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
121		fzonn0p1 13758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑓) ∈ (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘𝑓) ∈ (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
123	101	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
124	123	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) = (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
125	122, 124	eleqtrrd 2837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘𝑓) ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
126		ccatws1ls 14651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)) = 𝑝)
127	126	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)) = 𝑝)
128		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑝 ∈ 𝐼)
129	127, 128	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)) ∈ 𝐼)
130	119, 125, 129	rspcedvdw 3604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
132	131	an62ds 32433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
133	55	idomcringd 20687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
134	133	ad3antlr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ CRing)
135	67	ad3antlr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
136	61, 53	mgpbas 20105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
137	61	crngmgp 20201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
138	133, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
139	138	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ CMnd)
140		ovexd 7440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (0..^(♯‘𝑓)) ∈ V)
141		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (♯‘𝑓) = (♯‘𝑓))
142		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
143	141, 142	wrdfd 14537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑃)
144	85	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝 ∈ 𝐵))
145	144	ssrdv 3964	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝐵)
146	145	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑃 ⊆ 𝐵)
147	143, 146	fssd 6723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝐵)
148		fvexd 6891	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (1r‘𝑅) ∈ V)
149	148, 142	wrdfsupp 32912	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓 finSupp (1r‘𝑅))
150	136, 62, 139, 140, 147, 149	gsumcl 19896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
151	150	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
152	145	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑃 ⊆ 𝐵)
153		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑝 ∈ 𝑃)
154	152, 153	sseldd 3959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑝 ∈ 𝐵)
155	154	ad5ant13 756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑝 ∈ 𝐵)
156	138	cmnmndd 19785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
157	156	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ Mnd)
158		sswrd 14540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ⊆ 𝐵 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
159	145, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
160	159	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
161	160, 93	sseldd 3959	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
162	61, 72	mgpplusg 20104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
163	136, 162	gsumccatsn 18821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝))
164	157, 161, 154, 163	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝))
165	164	ad5ant13 756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝))
166		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼)
167	165, 166	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝) ∈ 𝐼)
168	53, 72	prmidlc 33463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝) ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∨ 𝑝 ∈ 𝐼))
169	134, 135, 151, 155, 167, 168	syl23anc 1379	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∨ 𝑝 ∈ 𝐼))
170	117, 132, 169	mpjaodan 960	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
171	170	exp41 434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 → ((𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))))
172	171	3impd 1349	. . . . . 6 ⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
173	172	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)))
174	22, 32, 42, 52, 76, 173	wrdind 14740	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑃 → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼))
175	174	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑃 ∧ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼)
176	3, 10, 11, 12, 175	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼)
177	9, 176	r19.29a 3148	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝑃) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  {csn 4601  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132  ℕ₀cn0 12501  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Word cword 14531   ++ cconcat 14588  ⟨“cs1 14613  Basecbs 17228  ._rcmulr 17272  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454  Mndcmnd 18712  CMndccmn 19761  mulGrpcmgp 20100  1_rcur 20141  Ringcrg 20193  CRingccrg 20194  Unitcui 20315  RPrimecrpm 20392  Domncdomn 20652  IDomncidom 20653  LIdealclidl 21167  PrmIdealcprmidl 33450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-oi 9524  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-seq 14020  df-hash 14349  df-word 14532  df-lsw 14581  df-concat 14589  df-s1 14614  df-substr 14659  df-pfx 14689  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-subg 19106  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-rprm 20393  df-nzr 20473  df-subrg 20530  df-domn 20655  df-idom 20656  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169  df-rsp 21170  df-prmidl 33451

This theorem is referenced by:  dfufd2  33565