| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | simpr 484 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 2 | | eqidd 2738 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹)) |
| 3 | | dfufd2lem.3 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃) |
| 4 | 3 | ad2antrr 726 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ Word 𝑃) |
| 5 | 2, 4 | wrdfd 32918 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃) |
| 6 | | simplr 769 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) |
| 7 | 5, 6 | ffvelcdmd 7105 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑃) |
| 8 | | inelcm 4465 |
. . 3
⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼 ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝑃) → (𝐼 ∩ 𝑃) ≠ ∅) |
| 9 | 1, 7, 8 | syl2anc 584 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) → (𝐼 ∩ 𝑃) ≠ ∅) |
| 10 | | id 22 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝜑) |
| 11 | | dfufd2lem.4 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼) |
| 12 | | dfufd2lem.5 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ) |
| 13 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑀 Σg
𝑔) = (𝑀 Σg
∅)) |
| 14 | 13 | eleq1d 2826 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg
𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼)) |
| 15 | 13 | neeq1d 3000 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg
𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) ≠
0
)) |
| 16 | 14, 15 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . 6
⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼 ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠
0
))) |
| 17 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = ∅ →
(♯‘𝑔) =
(♯‘∅)) |
| 18 | 17 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = ∅ →
(0..^(♯‘𝑔)) =
(0..^(♯‘∅))) |
| 19 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = ∅ → (𝑔‘𝑖) = (∅‘𝑖)) |
| 20 | 19 | eleq1d 2826 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = ∅ → ((𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ (∅‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 21 | 18, 20 | rexeqbidv 3347 |
. . . . . 6
⊢ (𝑔 = ∅ → (∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 22 | 16, 21 | imbi12d 344 |
. . . . 5
⊢ (𝑔 = ∅ → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼 ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠
0 )
→ ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼))) |
| 23 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝑓)) |
| 24 | 23 | eleq1d 2826 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼)) |
| 25 | 23 | neeq1d 3000 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )) |
| 26 | 24, 25 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . 6
⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ))) |
| 27 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = 𝑓 → (♯‘𝑔) = (♯‘𝑓)) |
| 28 | 27 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = 𝑓 → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘𝑓))) |
| 29 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = 𝑓 → (𝑔‘𝑖) = (𝑓‘𝑖)) |
| 30 | 29 | eleq1d 2826 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = 𝑓 → ((𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 31 | 28, 30 | rexeqbidv 3347 |
. . . . . 6
⊢ (𝑔 = 𝑓 → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 32 | 26, 31 | imbi12d 344 |
. . . . 5
⊢ (𝑔 = 𝑓 → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼))) |
| 33 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉) → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉))) |
| 34 | 33 | eleq1d 2826 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉) → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼)) |
| 35 | 33 | neeq1d 3000 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉) → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0
)) |
| 36 | 34, 35 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . 6
⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉) → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0
))) |
| 37 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉) → (♯‘𝑔) = (♯‘(𝑓 ++ 〈“𝑝”〉))) |
| 38 | 37 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉) →
(0..^(♯‘𝑔)) =
(0..^(♯‘(𝑓 ++
〈“𝑝”〉)))) |
| 39 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉) → (𝑔‘𝑖) = ((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖)) |
| 40 | 39 | eleq1d 2826 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉) → ((𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 41 | 38, 40 | rexeqbidv 3347 |
. . . . . 6
⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉) → (∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 42 | 36, 41 | imbi12d 344 |
. . . . 5
⊢ (𝑔 = (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉) → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘(𝑓 ++
〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼))) |
| 43 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝐹)) |
| 44 | 43 | eleq1d 2826 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼)) |
| 45 | 43 | neeq1d 3000 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )) |
| 46 | 44, 45 | 3anbi23d 1441 |
. . . . . 6
⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))) |
| 47 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = 𝐹 → (♯‘𝑔) = (♯‘𝐹)) |
| 48 | 47 | oveq2d 7447 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = 𝐹 → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘𝐹))) |
| 49 | | fveq1 6905 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑔 = 𝐹 → (𝑔‘𝑖) = (𝐹‘𝑖)) |
| 50 | 49 | eleq1d 2826 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑔 = 𝐹 → ((𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 51 | 48, 50 | rexeqbidv 3347 |
. . . . . 6
⊢ (𝑔 = 𝐹 → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 52 | 46, 51 | imbi12d 344 |
. . . . 5
⊢ (𝑔 = 𝐹 → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑔))(𝑔‘𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼))) |
| 53 | | dfufd2.b |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅) |
| 54 | | dfufd2.u |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅) |
| 55 | | dfufd2lem.1 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn) |
| 56 | 55 | idomringd 20728 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring) |
| 57 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(1r‘𝑅) = (1r‘𝑅) |
| 58 | 54, 57 | 1unit 20374 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑅 ∈ Ring →
(1r‘𝑅)
∈ 𝑈) |
| 59 | 56, 58 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈) |
| 60 | 59 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠
0 )
→ (1r‘𝑅) ∈ 𝑈) |
| 61 | | dfufd2.m |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅) |
| 62 | 61, 57 | ringidval 20180 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(1r‘𝑅) = (0g‘𝑀) |
| 63 | 62 | gsum0 18697 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 Σg
∅) = (1r‘𝑅) |
| 64 | | simplr 769 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠
0 )
→ (𝑀
Σg ∅) ∈ 𝐼) |
| 65 | 63, 64 | eqeltrrid 2846 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠
0 )
→ (1r‘𝑅) ∈ 𝐼) |
| 66 | 56 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠
0 )
→ 𝑅 ∈
Ring) |
| 67 | | dfufd2lem.2 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) |
| 68 | 67 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠
0 )
→ 𝐼 ∈
(PrmIdeal‘𝑅)) |
| 69 | | prmidlidl 33472 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅)) |
| 70 | 66, 68, 69 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠
0 )
→ 𝐼 ∈
(LIdeal‘𝑅)) |
| 71 | 53, 54, 60, 65, 66, 70 | lidlunitel 33451 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠
0 )
→ 𝐼 = 𝐵) |
| 72 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
⊢
(.r‘𝑅) = (.r‘𝑅) |
| 73 | 53, 72 | prmidlnr 33467 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ≠ 𝐵) |
| 74 | 66, 68, 73 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠
0 )
→ 𝐼 ≠ 𝐵) |
| 75 | 71, 74 | pm2.21ddne 3026 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠
0 )
→ ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 76 | 75 | 3impa 1110 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈
𝐼 ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠
0 )
→ ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 77 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
𝜑) |
| 78 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(𝑀
Σg 𝑓) ∈ 𝐼) |
| 79 | | dfufd2.0 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 =
(0g‘𝑅) |
| 80 | 55 | idomdomd 20726 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Domn) |
| 81 | 80 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
𝑅 ∈
Domn) |
| 82 | | dfufd2.p |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅) |
| 83 | 55 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn) |
| 84 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝑃) |
| 85 | 53, 82, 83, 84 | rprmcl 33546 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ 𝐵) |
| 86 | 82, 79, 83, 84 | rprmnz 33548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ≠ 0 ) |
| 87 | 85, 86 | eldifsnd 4787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝑝 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) |
| 88 | 87 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))) |
| 89 | 88 | ssrdv 3989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 })) |
| 90 | | sswrd 14560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑃 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) → Word 𝑃 ⊆ Word (𝐵 ∖ { 0 })) |
| 91 | 89, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word (𝐵 ∖ { 0 })) |
| 92 | 91 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) → Word
𝑃 ⊆ Word (𝐵 ∖ { 0 })) |
| 93 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ Word 𝑃) |
| 94 | 93 | ad5ant13 757 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
𝑓 ∈ Word 𝑃) |
| 95 | 92, 94 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 })) |
| 96 | 53, 61, 79, 81, 95 | domnprodn0 33279 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(𝑀
Σg 𝑓) ≠ 0 ) |
| 97 | 77, 78, 96 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )) |
| 98 | | lencl 14571 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑓 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝑓) ∈
ℕ0) |
| 99 | | fzossfzop1 13782 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((♯‘𝑓)
∈ ℕ0 → (0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^((♯‘𝑓) + 1))) |
| 100 | 94, 98, 99 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(0..^(♯‘𝑓))
⊆ (0..^((♯‘𝑓) + 1))) |
| 101 | | ccatws1len 14658 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑓 ∈ Word 𝑃 → (♯‘(𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) = ((♯‘𝑓) + 1)) |
| 102 | 94, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(♯‘(𝑓 ++
〈“𝑝”〉)) = ((♯‘𝑓) + 1)) |
| 103 | 102 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(0..^(♯‘(𝑓 ++
〈“𝑝”〉))) = (0..^((♯‘𝑓) + 1))) |
| 104 | 100, 103 | sseqtrrd 4021 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(0..^(♯‘𝑓))
⊆ (0..^(♯‘(𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)))) |
| 105 | 94 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑓 ∈
Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓)))
∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝑓 ∈ Word 𝑃) |
| 106 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝑓 ∈
Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓)))
∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) |
| 107 | | ccats1val1 14664 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) → ((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) = (𝑓‘𝑖)) |
| 108 | 105, 106,
107 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑓 ∈
Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓)))
∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → ((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) = (𝑓‘𝑖)) |
| 109 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝑓 ∈
Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓)))
∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 110 | 108, 109 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝑓 ∈
Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓)))
∧ (𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → ((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 111 | 110 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓)))
→ ((𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼 → ((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 112 | 111 | reximdva 3168 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 113 | | ssrexv 4053 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑓 ++ 〈“𝑝”〉))) →
(∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 114 | 104, 112,
113 | sylsyld 61 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 115 | 97, 114 | embantd 59 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 116 | 115 | imp 406 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) ∧
((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 117 | 116 | an62ds 32471 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) ∧
(𝑀
Σg 𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 118 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = (♯‘𝑓) → ((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) = ((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘(♯‘𝑓))) |
| 119 | 118 | eleq1d 2826 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 = (♯‘𝑓) → (((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘(♯‘𝑓)) ∈ 𝐼)) |
| 120 | 98 | ad5antr 734 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(♯‘𝑓) ∈
ℕ0) |
| 121 | | fzonn0p1 13781 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((♯‘𝑓)
∈ ℕ0 → (♯‘𝑓) ∈ (0..^((♯‘𝑓) + 1))) |
| 122 | 120, 121 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(♯‘𝑓) ∈
(0..^((♯‘𝑓) +
1))) |
| 123 | 101 | ad5antr 734 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(♯‘(𝑓 ++
〈“𝑝”〉)) = ((♯‘𝑓) + 1)) |
| 124 | 123 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(0..^(♯‘(𝑓 ++
〈“𝑝”〉))) = (0..^((♯‘𝑓) + 1))) |
| 125 | 122, 124 | eleqtrrd 2844 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(♯‘𝑓) ∈
(0..^(♯‘(𝑓 ++
〈“𝑝”〉)))) |
| 126 | | ccatws1ls 14671 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘(♯‘𝑓)) = 𝑝) |
| 127 | 126 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘(♯‘𝑓)) = 𝑝) |
| 128 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
𝑝 ∈ 𝐼) |
| 129 | 127, 128 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘(♯‘𝑓)) ∈ 𝐼) |
| 130 | 119, 125,
129 | rspcedvdw 3625 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘(𝑓 ++
〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 131 | 130 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) ∧
((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 132 | 131 | an62ds 32471 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 133 | 55 | idomcringd 20727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing) |
| 134 | 133 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
𝑅 ∈
CRing) |
| 135 | 67 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
𝐼 ∈
(PrmIdeal‘𝑅)) |
| 136 | 61, 53 | mgpbas 20142 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀) |
| 137 | 61 | crngmgp 20238 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd) |
| 138 | 133, 137 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd) |
| 139 | 138 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ CMnd) |
| 140 | | ovexd 7466 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (0..^(♯‘𝑓)) ∈ V) |
| 141 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (♯‘𝑓) = (♯‘𝑓)) |
| 142 | | simplll 775 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ Word 𝑃) |
| 143 | 141, 142 | wrdfd 32918 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑃) |
| 144 | 85 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑝 ∈ 𝑃 → 𝑝 ∈ 𝐵)) |
| 145 | 144 | ssrdv 3989 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝐵) |
| 146 | 145 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑃 ⊆ 𝐵) |
| 147 | 143, 146 | fssd 6753 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝐵) |
| 148 | | fvexd 6921 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (1r‘𝑅) ∈ V) |
| 149 | 148, 142 | wrdfsupp 32921 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓 finSupp (1r‘𝑅)) |
| 150 | 136, 62, 139, 140, 147, 149 | gsumcl 19933 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵) |
| 151 | 150 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(𝑀
Σg 𝑓) ∈ 𝐵) |
| 152 | 145 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑃 ⊆ 𝐵) |
| 153 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑝 ∈ 𝑃) |
| 154 | 152, 153 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑝 ∈ 𝐵) |
| 155 | 154 | ad5ant13 757 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
𝑝 ∈ 𝐵) |
| 156 | 138 | cmnmndd 19822 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd) |
| 157 | 156 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ Mnd) |
| 158 | | sswrd 14560 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑃 ⊆ 𝐵 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵) |
| 159 | 145, 158 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵) |
| 160 | 159 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵) |
| 161 | 160, 93 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ Word 𝐵) |
| 162 | 61, 72 | mgpplusg 20141 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(.r‘𝑅) = (+g‘𝑀) |
| 163 | 136, 162 | gsumccatsn 18856 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) = ((𝑀 Σg
𝑓)(.r‘𝑅)𝑝)) |
| 164 | 157, 161,
154, 163 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝜑) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) = ((𝑀 Σg
𝑓)(.r‘𝑅)𝑝)) |
| 165 | 164 | ad5ant13 757 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(𝑀
Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝)) |
| 166 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
(𝑀
Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) |
| 167 | 165, 166 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
((𝑀
Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝) ∈ 𝐼) |
| 168 | 53, 72 | prmidlc 33476 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑀 Σg 𝑓)(.r‘𝑅)𝑝) ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∨ 𝑝 ∈ 𝐼)) |
| 169 | 134, 135,
151, 155, 167, 168 | syl23anc 1379 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
((𝑀
Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∨ 𝑝 ∈ 𝐼)) |
| 170 | 117, 132,
169 | mpjaodan 961 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝑓 ∈ Word
𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘(𝑓 ++
〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 171 | 170 | exp41 434 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼 → ((𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 →
∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘(𝑓 ++
〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼)))) |
| 172 | 171 | 3impd 1349 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼)) → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘(𝑓 ++
〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 173 | 172 | ex 412 |
. . . . 5
⊢ ((𝑓 ∈ Word 𝑃 ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝑓))(𝑓‘𝑖) ∈ 𝐼) → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)) ≠ 0 ) →
∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘(𝑓 ++
〈“𝑝”〉)))((𝑓 ++ 〈“𝑝”〉)‘𝑖) ∈ 𝐼))) |
| 174 | 22, 32, 42, 52, 76, 173 | wrdind 14760 |
. . . 4
⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑃 → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼)) |
| 175 | 174 | imp 406 |
. . 3
⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑃 ∧ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )) → ∃𝑖 ∈
(0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 176 | 3, 10, 11, 12, 175 | syl13anc 1374 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ 𝐼) |
| 177 | 9, 176 | r19.29a 3162 |
1
⊢ (𝜑 → (𝐼 ∩ 𝑃) ≠ ∅) |