Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfufd2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfufd2lem 33557
Description: Lemma for dfufd2 33558. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
dfufd2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
dfufd2.0 0 = (0g𝑅)
dfufd2.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
dfufd2.p 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
dfufd2.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
dfufd2lem.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
dfufd2lem.2 (𝜑𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
dfufd2lem.3 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑃)
dfufd2lem.4 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼)
dfufd2lem.5 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )
Assertion
Ref Expression
dfufd2lem (𝜑 → (𝐼𝑃) ≠ ∅)

Proof of Theorem dfufd2lem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . 3 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹𝑖) ∈ 𝐼) → (𝐹𝑖) ∈ 𝐼)
2 eqidd 2736 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹𝑖) ∈ 𝐼) → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))
3 dfufd2lem.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑃)
43ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹𝑖) ∈ 𝐼) → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
52, 4wrdfd 32903 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹𝑖) ∈ 𝐼) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑃)
6 simplr 769 . . . 4 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹𝑖) ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
75, 6ffvelcdmd 7105 . . 3 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹𝑖) ∈ 𝐼) → (𝐹𝑖) ∈ 𝑃)
8 inelcm 4471 . . 3 (((𝐹𝑖) ∈ 𝐼 ∧ (𝐹𝑖) ∈ 𝑃) → (𝐼𝑃) ≠ ∅)
91, 7, 8syl2anc 584 . 2 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ (𝐹𝑖) ∈ 𝐼) → (𝐼𝑃) ≠ ∅)
10 id 22 . . 3 (𝜑𝜑)
11 dfufd2lem.4 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼)
12 dfufd2lem.5 . . 3 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )
13 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ∅))
1413eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼))
1513neeq1d 2998 . . . . . . 7 (𝑔 = ∅ → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ))
1614, 153anbi23d 1438 . . . . . 6 (𝑔 = ∅ → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 )))
17 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → (♯‘𝑔) = (♯‘∅))
1817oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑔 = ∅ → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘∅)))
19 fveq1 6906 . . . . . . . 8 (𝑔 = ∅ → (𝑔𝑖) = (∅‘𝑖))
2019eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑔 = ∅ → ((𝑔𝑖) ∈ 𝐼 ↔ (∅‘𝑖) ∈ 𝐼))
2118, 20rexeqbidv 3345 . . . . . 6 (𝑔 = ∅ → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼))
2216, 21imbi12d 344 . . . . 5 (𝑔 = ∅ → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼)))
23 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑓 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝑓))
2423eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼))
2523neeq1d 2998 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ))
2624, 253anbi23d 1438 . . . . . 6 (𝑔 = 𝑓 → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )))
27 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑓 → (♯‘𝑔) = (♯‘𝑓))
2827oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘𝑓)))
29 fveq1 6906 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔𝑖) = (𝑓𝑖))
3029eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → ((𝑔𝑖) ∈ 𝐼 ↔ (𝑓𝑖) ∈ 𝐼))
3128, 30rexeqbidv 3345 . . . . . 6 (𝑔 = 𝑓 → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼))
3226, 31imbi12d 344 . . . . 5 (𝑔 = 𝑓 → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)))
33 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
3433eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼))
3533neeq1d 2998 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ))
3634, 353anbi23d 1438 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 )))
37 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (♯‘𝑔) = (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))
3837oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
39 fveq1 6906 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (𝑔𝑖) = ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖))
4039eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → ((𝑔𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
4138, 40rexeqbidv 3345 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
4236, 41imbi12d 344 . . . . 5 (𝑔 = (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩) → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)))
43 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐹 → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg 𝐹))
4443eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼))
4543neeq1d 2998 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐹 → ((𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ↔ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ))
4644, 453anbi23d 1438 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐹 → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )))
47 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐹 → (♯‘𝑔) = (♯‘𝐹))
4847oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐹 → (0..^(♯‘𝑔)) = (0..^(♯‘𝐹)))
49 fveq1 6906 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐹 → (𝑔𝑖) = (𝐹𝑖))
5049eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐹 → ((𝑔𝑖) ∈ 𝐼 ↔ (𝐹𝑖) ∈ 𝐼))
5148, 50rexeqbidv 3345 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐹 → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ 𝐼))
5246, 51imbi12d 344 . . . . 5 (𝑔 = 𝐹 → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑔) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑔))(𝑔𝑖) ∈ 𝐼) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ 𝐼)))
53 dfufd2.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
54 dfufd2.u . . . . . . . 8 𝑈 = (Unit‘𝑅)
55 dfufd2lem.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
5655idomringd 20745 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
57 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (1r𝑅) = (1r𝑅)
5854, 571unit 20391 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
5956, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
6059ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
61 dfufd2.m . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
6261, 57ringidval 20201 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (0g𝑀)
6362gsum0 18710 . . . . . . . . 9 (𝑀 Σg ∅) = (1r𝑅)
64 simplr 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼)
6563, 64eqeltrrid 2844 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → (1r𝑅) ∈ 𝐼)
6656ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Ring)
67 dfufd2lem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
6867ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
69 prmidlidl 33452 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7066, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
7153, 54, 60, 65, 66, 70lidlunitel 33431 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝐼 = 𝐵)
72 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7353, 72prmidlnr 33447 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝐼𝐵)
7466, 68, 73syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → 𝐼𝐵)
7571, 74pm2.21ddne 3024 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼)
76753impa 1109 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg ∅) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg ∅) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘∅))(∅‘𝑖) ∈ 𝐼)
77 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝜑)
78 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼)
79 dfufd2.0 . . . . . . . . . . . . . 14 0 = (0g𝑅)
8055idomdomd 20743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ Domn)
8180ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ Domn)
82 dfufd2.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
8355adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
84 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝑝𝑃)
8553, 82, 83, 84rprmcl 33526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝑝𝐵)
8682, 79, 83, 84rprmnz 33528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝑝0 )
8785, 86eldifsnd 4792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑝𝑃) → 𝑝 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
8887ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑝𝑃𝑝 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
8988ssrdv 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑃 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
90 sswrd 14557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }) → Word 𝑃 ⊆ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
9291ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → Word 𝑃 ⊆ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
93 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
9493ad5ant13 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
9592, 94sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑓 ∈ Word (𝐵 ∖ { 0 }))
9653, 61, 79, 81, 95domnprodn0 33262 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 )
9777, 78, 963jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ))
98 lencl 14568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
99 fzossfzop1 13779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
10094, 98, 993syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
101 ccatws1len 14655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ Word 𝑃 → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
10294, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
103102oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) = (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
104100, 103sseqtrrd 4037 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
10594ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓𝑖) ∈ 𝐼) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
106 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓𝑖) ∈ 𝐼) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓)))
107 ccats1val1 14661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) = (𝑓𝑖))
108105, 106, 107syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓𝑖) ∈ 𝐼) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) = (𝑓𝑖))
109 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓𝑖) ∈ 𝐼) → (𝑓𝑖) ∈ 𝐼)
110108, 109eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) ∧ (𝑓𝑖) ∈ 𝐼) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
111110ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))) → ((𝑓𝑖) ∈ 𝐼 → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
112111reximdva 3166 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
113 ssrexv 4065 . . . . . . . . . . . . 13 ((0..^(♯‘𝑓)) ⊆ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
114104, 112, 113sylsyld 61 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
11597, 114embantd 59 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
116115imp 406 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
117116an62ds 32481 . . . . . . . . 9 (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
118 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (♯‘𝑓) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) = ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)))
119118eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (♯‘𝑓) → (((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)) ∈ 𝐼))
12098ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝑝𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘𝑓) ∈ ℕ0)
121 fzonn0p1 13778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑓) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑓) ∈ (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝑝𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘𝑓) ∈ (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
123101ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝑝𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((♯‘𝑓) + 1))
124123oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝑝𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))) = (0..^((♯‘𝑓) + 1)))
125122, 124eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝑝𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (♯‘𝑓) ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩))))
126 ccatws1ls 14668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)) = 𝑝)
127126ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝑝𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)) = 𝑝)
128 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝑝𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑝𝐼)
129127, 128eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝑝𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘(♯‘𝑓)) ∈ 𝐼)
130119, 125, 129rspcedvdw 3625 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝑝𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
131130adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝑝𝐼) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
132131an62ds 32481 . . . . . . . . 9 (((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) ∧ 𝑝𝐼) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
13355idomcringd 20744 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
134133ad3antlr 731 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑅 ∈ CRing)
13567ad3antlr 731 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅))
13661, 53mgpbas 20158 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝑀)
13761crngmgp 20259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
138133, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
139138adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ CMnd)
140 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (0..^(♯‘𝑓)) ∈ V)
141 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (♯‘𝑓) = (♯‘𝑓))
142 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ Word 𝑃)
143141, 142wrdfd 32903 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝑃)
14485ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑝𝑃𝑝𝐵))
145144ssrdv 4001 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃𝐵)
146145adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑃𝐵)
147143, 146fssd 6754 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓:(0..^(♯‘𝑓))⟶𝐵)
148 fvexd 6922 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (1r𝑅) ∈ V)
149148, 142wrdfsupp 32906 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → 𝑓 finSupp (1r𝑅))
150136, 62, 139, 140, 147, 149gsumcl 19948 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
151150ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
152145adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑃𝐵)
153 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑝𝑃)
154152, 153sseldd 3996 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑝𝐵)
155154ad5ant13 757 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → 𝑝𝐵)
156138cmnmndd 19837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
157156adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑀 ∈ Mnd)
158 sswrd 14557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃𝐵 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
159145, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
160159adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝜑) → Word 𝑃 ⊆ Word 𝐵)
161160, 93sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝜑) → 𝑓 ∈ Word 𝐵)
16261, 72mgpplusg 20156 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑅) = (+g𝑀)
163136, 162gsumccatsn 18869 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑓 ∈ Word 𝐵𝑝𝐵) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r𝑅)𝑝))
164157, 161, 154, 163syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ 𝜑) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r𝑅)𝑝))
165164ad5ant13 757 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝑓)(.r𝑅)𝑝))
166 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼)
167165, 166eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ((𝑀 Σg 𝑓)(.r𝑅)𝑝) ∈ 𝐼)
16853, 72prmidlc 33456 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝐼 ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐵𝑝𝐵 ∧ ((𝑀 Σg 𝑓)(.r𝑅)𝑝) ∈ 𝐼)) → ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼𝑝𝐼))
169134, 135, 151, 155, 167, 168syl23anc 1376 . . . . . . . . 9 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ((𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼𝑝𝐼))
170117, 132, 169mpjaodan 960 . . . . . . . 8 ((((((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) ∧ 𝜑) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼) ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)
171170exp41 434 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) → (𝜑 → ((𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 → ((𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))))
1721713impd 1347 . . . . . 6 (((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) ∧ ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼)) → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼))
173172ex 412 . . . . 5 ((𝑓 ∈ Word 𝑃𝑝𝑃) → (((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝑓) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑓))(𝑓𝑖) ∈ 𝐼) → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg (𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘(𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)))((𝑓 ++ ⟨“𝑝”⟩)‘𝑖) ∈ 𝐼)))
17422, 32, 42, 52, 76, 173wrdind 14757 . . . 4 (𝐹 ∈ Word 𝑃 → ((𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 ) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ 𝐼))
175174imp 406 . . 3 ((𝐹 ∈ Word 𝑃 ∧ (𝜑 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ∈ 𝐼 ∧ (𝑀 Σg 𝐹) ≠ 0 )) → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ 𝐼)
1763, 10, 11, 12, 175syl13anc 1371 . 2 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝐹𝑖) ∈ 𝐼)
1779, 176r19.29a 3160 1 (𝜑 → (𝐼𝑃) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  0cn0 12524  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  CMndccmn 19813  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  Unitcui 20372  RPrimecrpm 20449  Domncdomn 20709  IDomncidom 20710  LIdealclidl 21234  PrmIdealcprmidl 33443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-word 14550  df-lsw 14598  df-concat 14606  df-s1 14631  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-rprm 20450  df-nzr 20530  df-subrg 20587  df-domn 20712  df-idom 20713  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-prmidl 33444
This theorem is referenced by:  dfufd2  33558
  Copyright terms: Public domain W3C validator