Theorem 1arithidomlem1 33347

Description: Lemma for 1arithidom 33349. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithidom.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithidom.i	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithidom.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithidom.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
1arithidom.j	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝐹))
1arithidom.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
1arithidom.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg 𝐺))
1arithidomlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
1arithidomlem.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
1arithidomlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑃)
1arithidomlem.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐻)))
1arithidomlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
1arithidomlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑄(∥r‘𝑅)(𝐻‘𝐾))
1arithidomlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
1arithidomlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) = (𝐻‘𝐾))
1arithidomlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
1arithidomlem.10	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩))
1arithidomlem.11	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
1arithidomlem.12	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑁 · (𝑀 Σg 𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
1arithidomlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑐∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))))

Distinct variable groups:   · ,𝑐,𝑑,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤   𝐹,𝑐,𝑑,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤   𝐻,𝑐,𝑑,𝑔,𝑢,𝑤,𝑘   𝑘,𝐾,𝑢,𝑤   𝑔,𝑀,𝑢,𝑘   𝑢,𝑁,𝑤   𝑃,𝑔,𝑢,𝑘   𝑢,𝑄,𝑤   𝑅,𝑔,𝑢,𝑘   𝑆,𝑐,𝑑,𝑔,𝑢,𝑤,𝑘   𝑢,𝑇,𝑤   𝑈,𝑐,𝑑,𝑔,𝑢,𝑤,𝑘   𝑄,𝑔,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑃(𝑤,𝑐,𝑑)   𝑄(𝑐,𝑑)   𝑅(𝑤,𝑐,𝑑)   𝑇(𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐽(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐾(𝑔,𝑐,𝑑)   𝑀(𝑤,𝑐,𝑑)   𝑁(𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem 1arithidomlem1

Dummy variables 𝑙 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = (𝑁 · 𝑇) → (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) = ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
2	1	eqeq2d 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = (𝑁 · 𝑇) → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
3		1arithidom.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
4	3	idomringd 21274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		1arithidomlem.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
6		1arithidomlem.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
7		1arithidom.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8		1arithidom.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	7, 8	unitmulcl 20331	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑇 ∈ 𝑈) → (𝑁 · 𝑇) ∈ 𝑈)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ 𝑈)
11		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13		1arithidom.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
14		1arithidomlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
15	11, 13, 3, 14	rprmcl 33330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
16	13, 12, 3, 14	rprmnz 33332	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
17	15, 16	eldifsnd 32393	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
18		1arithidom.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
19	18, 11	mgpbas 20092	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
20		eqid 2725	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
21	18, 20	ringidval 20135	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
22		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ IDomn)
23	22	idomcringd 21273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
24	18	crngmgp 20193	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑀 ∈ CMnd)
26	3, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
27		ovexd 7454	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
28		eqidd 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))
29		simpl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
30		simpr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞 ∈ 𝑃)
31	11, 13, 29, 30	rprmcl 33330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑅))
32	31	ex 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑞 ∈ 𝑃 → 𝑞 ∈ (Base‘𝑅)))
33	32	ssrdv 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑃 ⊆ (Base‘𝑅))
34		sswrd 14508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ⊆ (Base‘𝑅) → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
35	3, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
36		1arithidom.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
37	35, 36	sseldd 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word (Base‘𝑅))
38	28, 37	wrdfd 32744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶(Base‘𝑅))
39		fvexd 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ V)
40	39, 36	wrdfsupp 32747	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (1r‘𝑅))
41	19, 21, 26, 27, 38, 40	gsumcl 19882	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝑅))
42	11, 7	unitcl 20326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑈 → 𝑁 ∈ (Base‘𝑅))
43	5, 42	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘𝑅))
44	11, 7	unitcl 20326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑈 → 𝑇 ∈ (Base‘𝑅))
45	6, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝑅))
46	11, 8, 4, 43, 45	ringcld 20211	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ (Base‘𝑅))
47		ovexd 7454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐻) − 1)) ∈ V)
48		1arithidomlem.9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
49		f1of 6838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
50		iswrdi 14504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
51	48, 49, 50	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
52		eqidd 2726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘𝐻))
53		1arithidomlem.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑃)
54	52, 53	wrdfd 32744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃)
55		wrdco 14818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃) → (𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃)
56	51, 54, 55	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃)
57		1arithidomlem.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
58		elfzo0 13708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝐻)))
59	58	simp2bi 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
60		nnm1nn0 12546	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℕ → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ0)
61	57, 59, 60	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ0)
62		lenco 14819	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃) → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) = (♯‘𝑆))
63	51, 54, 62	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) = (♯‘𝑆))
64		lencl 14519	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
65	51, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
66	63, 65	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) ∈ ℕ0)
67		lencl 14519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
68	53, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
69	68	nn0red 12566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
70	69	lem1d 12180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘𝐻))
71	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
72		ffn 6723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
73		hashfn 14370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 Fn (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝑆) = (♯‘(0..^(♯‘𝐻))))
74	71, 72, 73	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘(0..^(♯‘𝐻))))
75		hashfzo0 14425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐻))) = (♯‘𝐻))
76	53, 67, 75	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐻))) = (♯‘𝐻))
77	63, 74, 76	3eqtrrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))
78	70, 77	breqtrd 5175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))
79		elfz2nn0 13627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))) ↔ (((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))))
80	61, 66, 78, 79	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))))
81		pfxlen 14669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃 ∧ ((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))) → (♯‘((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) = ((♯‘𝐻) − 1))
82	56, 80, 81	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) = ((♯‘𝐻) − 1))
83	82	eqcomd 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) = (♯‘((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))
84		pfxcl 14663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ∈ Word 𝑃)
85	56, 84	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ∈ Word 𝑃)
86	35, 85	sseldd 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ∈ Word (Base‘𝑅))
87	83, 86	wrdfd 32744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)):(0..^((♯‘𝐻) − 1))⟶(Base‘𝑅))
88	22	idomringd 21274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
89	7, 20	1unit 20325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
90	3, 88, 89	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
91	90, 85	wrdfsupp 32747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) finSupp (1r‘𝑅))
92	19, 21, 26, 47, 87, 91	gsumcl 19882	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) ∈ (Base‘𝑅))
93	11, 8, 4, 46, 92	ringcld 20211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ∈ (Base‘𝑅))
94		1arithidomlem.12	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑁 · (𝑀 Σg 𝐻)))
95	18	ringmgp 20191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
96	88, 95	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑀 ∈ Mnd)
97	3, 96	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
98	18, 8	mgpplusg 20090	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘𝑀)
99	19, 98	gsumccatsn 18803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ∈ Word (Base‘𝑅) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝐹) · 𝑄))
100	97, 37, 15, 99	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝐹) · 𝑄))
101		ovexd 7454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) ∈ V)
102	35, 53	sseldd 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word (Base‘𝑅))
103	52, 102	wrdfd 32744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶(Base‘𝑅))
104	39, 53	wrdfsupp 32747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp (1r‘𝑅))
105	19, 21, 26, 101, 103, 104, 48	gsumf1o 19883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐻) = (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆)))
106	105	oveq2d 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑀 Σg 𝐻)) = (𝑁 · (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆))))
107	94, 100, 106	3eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) · 𝑄) = (𝑁 · (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆))))
108	19, 98	cmn12 19769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑇 · ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · 𝑄)) = ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝑇 · 𝑄)))
109	26, 45, 92, 15, 108	syl13anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · 𝑄)) = ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝑇 · 𝑄)))
110	11, 8, 4, 45, 92, 15	ringassd 20209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄) = (𝑇 · ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · 𝑄)))
111	103, 57	ffvelcdmd 7094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
112	19, 98	gsumccatsn 18803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ∈ Word (Base‘𝑅) ∧ (𝐻‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 Σg (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩)) = ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝐻‘𝐾)))
113	97, 86, 111, 112	syl3anc 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩)) = ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝐻‘𝐾)))
114		1arithidomlem.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩))
115	114	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆)) = (𝑀 Σg (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩)))
116		1arithidomlem.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) = (𝐻‘𝐾))
117	116	oveq2d 7435	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝑇 · 𝑄)) = ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝐻‘𝐾)))
118	113, 115, 117	3eqtr4d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆)) = ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝑇 · 𝑄)))
119	109, 110, 118	3eqtr4rd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆)) = ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄))
120	119	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆))) = (𝑁 · ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄)))
121	11, 8, 4, 43, 45, 92	ringassd 20209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) = (𝑁 · (𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
122	121	oveq1d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄) = ((𝑁 · (𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))) · 𝑄))
123	11, 8, 4, 45, 92	ringcld 20211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ∈ (Base‘𝑅))
124	11, 8, 4, 43, 123, 15	ringassd 20209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · (𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))) · 𝑄) = (𝑁 · ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄)))
125	122, 124	eqtr2d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄)) = (((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄))
126	107, 120, 125	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) · 𝑄) = (((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄))
127	11, 12, 8, 17, 41, 93, 3, 126	idomrcan 33068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
128	2, 10, 127	rspcedvdw 3609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑙 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
129		oveq1 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
130	129	eqeq2d 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
131	130	cbvrexvw 3225	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
132	128, 131	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
133		oveq2 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))
134	133	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
135	134	eqeq2d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
136	135	rexbidv 3168	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
137		eqeq1 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)) ↔ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
138	137	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → ((𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
139	138	rexbidv 3168	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
140	139	exbidv 1916	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
141	136, 140	imbi12d 343	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))))
142		1arithidomlem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
143	141, 142, 85	rspcdva 3607	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
144	132, 143	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
145		oveq1 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑢 → (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐)))
146	145	eqeq2d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑢 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐)) ↔ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))))
147	146	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑢 → ((𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))) ↔ (𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐)))))
148	147	cbvrexvw 3225	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))))
149		f1oeq1 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))))
150		coeq2 5861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝐹 ∘ 𝑐) = (𝐹 ∘ 𝑤))
151	150	oveq2d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))
152	151	eqeq2d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐)) ↔ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
153	149, 152	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → ((𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
154	153	rexbidv 3168	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
155	148, 154	bitrid 282	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
156	155	cbvexvw 2032	. 2 ⊢ (∃𝑐∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
157	144, 156	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  Vcvv 3461   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5149   ∘ ccom 5682   Fn wfn 6544  ⟶wf 6545  –1-1-onto→wf1o 6548  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7683   ↑_m cmap 8845  0cc0 11140  1c1 11141   < clt 11280   ≤ cle 11281   − cmin 11476  ℕcn 12245  ℕ₀cn0 12505  ...cfz 13519  ..^cfzo 13662  ♯chash 14325  Word cword 14500   ++ cconcat 14556  ⟨“cs1 14581   prefix cpfx 14656  Basecbs 17183  ._rcmulr 17237  0_gc0g 17424   Σ_g cgsu 17425  Mndcmnd 18697  CMndccmn 19747  mulGrpcmgp 20086  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186  ∥_rcdsr 20305  Unitcui 20306  RPrimecrpm 20383  IDomncidom 21245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-substr 14627  df-pfx 14657  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-rprm 20384  df-nzr 20464  df-domn 21248  df-idom 21249

This theorem is referenced by:  1arithidom  33349