Theorem 1arithidomlem1 33513

Description: Lemma for 1arithidom 33515. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
1arithidom.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithidom.i	⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithidom.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithidom.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
1arithidom.j	⊢ 𝐽 = (0..^(♯‘𝐹))
1arithidom.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
1arithidom.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.1	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg 𝐺))
1arithidomlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
1arithidomlem.2	⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
1arithidomlem.3	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑃)
1arithidomlem.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐻)))
1arithidomlem.5	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
1arithidomlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑄(∥r‘𝑅)(𝐻‘𝐾))
1arithidomlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
1arithidomlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) = (𝐻‘𝐾))
1arithidomlem.9	⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
1arithidomlem.10	⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩))
1arithidomlem.11	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
1arithidomlem.12	⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑁 · (𝑀 Σg 𝐻)))

Assertion

Ref	Expression
1arithidomlem1	⊢ (𝜑 → ∃𝑐∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))))

Distinct variable groups:   · ,𝑐,𝑑,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤   𝑆,𝑐,𝑑,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤   𝑢,𝑁,𝑤   𝑢,𝑇,𝑤   𝑘,𝐾,𝑢,𝑤   𝐻,𝑐,𝑑,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤   𝐹,𝑐,𝑑,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤   𝑃,𝑔,𝑘,𝑢   𝑔,𝑀,𝑘,𝑢   𝑅,𝑔,𝑘,𝑢   𝑄,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤   𝑈,𝑐,𝑑,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑃(𝑤,𝑐,𝑑)   𝑄(𝑐,𝑑)   𝑅(𝑤,𝑐,𝑑)   𝑇(𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐽(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐾(𝑔,𝑐,𝑑)   𝑀(𝑤,𝑐,𝑑)   𝑁(𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem 1arithidomlem1

Dummy variables 𝑙 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = (𝑁 · 𝑇) → (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) = ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
2	1	eqeq2d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = (𝑁 · 𝑇) → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
3		1arithidom.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ IDomn)
4	3	idomringd 20644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		1arithidomlem.11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑈)
6		1arithidomlem.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑈)
7		1arithidom.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8		1arithidom.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
9	7, 8	unitmulcl 20296	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ 𝑈 ∧ 𝑇 ∈ 𝑈) → (𝑁 · 𝑇) ∈ 𝑈)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ 𝑈)
11		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
13		1arithidom.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
14	13, 11	mgpbas 20061	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
15		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
16	13, 15	ringidval 20099	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
17		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ IDomn)
18	17	idomcringd 20643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
19	13	crngmgp 20157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑀 ∈ CMnd)
21	3, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ CMnd)
22		ovexd 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
23		eqidd 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))
24		1arithidom.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
25		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞 ∈ 𝑃)
27	11, 24, 25, 26	rprmcl 33496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑅))
28	27	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → (𝑞 ∈ 𝑃 → 𝑞 ∈ (Base‘𝑅)))
29	28	ssrdv 3955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑃 ⊆ (Base‘𝑅))
30		sswrd 14494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ⊆ (Base‘𝑅) → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
31	3, 29, 30	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
32		1arithidom.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝑃)
33	31, 32	sseldd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word (Base‘𝑅))
34	23, 33	wrdfd 14491	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶(Base‘𝑅))
35		fvexd 6876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ V)
36	35, 32	wrdfsupp 32865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp (1r‘𝑅))
37	14, 16, 21, 22, 34, 36	gsumcl 19852	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝑅))
38	11, 7	unitcl 20291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑈 → 𝑁 ∈ (Base‘𝑅))
39	5, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (Base‘𝑅))
40	11, 7	unitcl 20291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ 𝑈 → 𝑇 ∈ (Base‘𝑅))
41	6, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (Base‘𝑅))
42	11, 8, 4, 39, 41	ringcld 20176	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ (Base‘𝑅))
43		ovexd 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0..^((♯‘𝐻) − 1)) ∈ V)
44		1arithidomlem.9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
45		f1of 6803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
46		iswrdi 14489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
47	44, 45, 46	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
48		eqidd 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘𝐻))
49		1arithidomlem.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word 𝑃)
50	48, 49	wrdfd 14491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃)
51		wrdco 14804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃) → (𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃)
52	47, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃)
53		1arithidomlem.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
54		elfzo0 13668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝐻)))
55	54	simp2bi 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
56		nnm1nn0 12490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℕ → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ0)
57	53, 55, 56	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ0)
58		lenco 14805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃) → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) = (♯‘𝑆))
59	47, 50, 58	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) = (♯‘𝑆))
60		lencl 14505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
61	47, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
62	59, 61	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) ∈ ℕ0)
63		lencl 14505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
64	49, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
65	64	nn0red 12511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
66	65	lem1d 12123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘𝐻))
67	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
68		ffn 6691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
69		hashfn 14347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 Fn (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝑆) = (♯‘(0..^(♯‘𝐻))))
70	67, 68, 69	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘(0..^(♯‘𝐻))))
71		hashfzo0 14402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝐻) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐻))) = (♯‘𝐻))
72	49, 63, 71	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐻))) = (♯‘𝐻))
73	59, 70, 72	3eqtrrd 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))
74	66, 73	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))
75		elfz2nn0 13586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))) ↔ (((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))))
76	57, 62, 74, 75	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆))))
77		pfxlen 14655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃 ∧ ((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻 ∘ 𝑆)))) → (♯‘((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) = ((♯‘𝐻) − 1))
78	52, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) = ((♯‘𝐻) − 1))
79	78	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) = (♯‘((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))
80		pfxcl 14649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∘ 𝑆) ∈ Word 𝑃 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ∈ Word 𝑃)
81	52, 80	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ∈ Word 𝑃)
82	31, 81	sseldd 3950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ∈ Word (Base‘𝑅))
83	79, 82	wrdfd 14491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)):(0..^((♯‘𝐻) − 1))⟶(Base‘𝑅))
84	17	idomringd 20644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
85	7, 15	1unit 20290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
86	3, 84, 85	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝑈)
87	86, 81	wrdfsupp 32865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) finSupp (1r‘𝑅))
88	14, 16, 21, 43, 83, 87	gsumcl 19852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) ∈ (Base‘𝑅))
89	11, 8, 4, 42, 88	ringcld 20176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ∈ (Base‘𝑅))
90		1arithidomlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑃)
91	11, 24, 3, 90	rprmcl 33496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
92	24, 12, 3, 90	rprmnz 33498	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ (0g‘𝑅))
93	91, 92	eldifsnd 4754	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
94		1arithidomlem.12	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑁 · (𝑀 Σg 𝐻)))
95	13	ringmgp 20155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
96	84, 95	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ IDomn → 𝑀 ∈ Mnd)
97	3, 96	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
98	13, 8	mgpplusg 20060	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (+g‘𝑀)
99	14, 98	gsumccatsn 18777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ∈ Word (Base‘𝑅) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝐹) · 𝑄))
100	97, 33, 91, 99	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝐹) · 𝑄))
101		ovexd 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) ∈ V)
102	31, 49	sseldd 3950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Word (Base‘𝑅))
103	48, 102	wrdfd 14491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶(Base‘𝑅))
104	35, 49	wrdfsupp 32865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 finSupp (1r‘𝑅))
105	14, 16, 21, 101, 103, 104, 44	gsumf1o 19853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐻) = (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆)))
106	105	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑀 Σg 𝐻)) = (𝑁 · (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆))))
107	94, 100, 106	3eqtr3d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) · 𝑄) = (𝑁 · (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆))))
108	14, 98	cmn12 19739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑇 · ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · 𝑄)) = ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝑇 · 𝑄)))
109	21, 41, 88, 91, 108	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · 𝑄)) = ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝑇 · 𝑄)))
110	11, 8, 4, 41, 88, 91	ringassd 20173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄) = (𝑇 · ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · 𝑄)))
111	103, 53	ffvelcdmd 7060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
112	14, 98	gsumccatsn 18777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ∈ Word (Base‘𝑅) ∧ (𝐻‘𝐾) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 Σg (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩)) = ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝐻‘𝐾)))
113	97, 82, 111, 112	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩)) = ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝐻‘𝐾)))
114		1arithidomlem.10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∘ 𝑆) = (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩))
115	114	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆)) = (𝑀 Σg (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻‘𝐾)”⟩)))
116		1arithidomlem.8	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) = (𝐻‘𝐾))
117	116	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝑇 · 𝑄)) = ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝐻‘𝐾)))
118	113, 115, 117	3eqtr4d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆)) = ((𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝑇 · 𝑄)))
119	109, 110, 118	3eqtr4rd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆)) = ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄))
120	119	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝑀 Σg (𝐻 ∘ 𝑆))) = (𝑁 · ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄)))
121	11, 8, 4, 39, 41, 88	ringassd 20173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) = (𝑁 · (𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
122	121	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄) = ((𝑁 · (𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))) · 𝑄))
123	11, 8, 4, 41, 88	ringcld 20176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ∈ (Base‘𝑅))
124	11, 8, 4, 39, 123, 91	ringassd 20173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · (𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))) · 𝑄) = (𝑁 · ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄)))
125	122, 124	eqtr2d 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄)) = (((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄))
126	107, 120, 125	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) · 𝑄) = (((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄))
127	11, 12, 8, 37, 89, 93, 3, 126	idomrcan 33236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
128	2, 10, 127	rspcedvdw 3594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑙 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
129		oveq1 7397	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
130	129	eqeq2d 2741	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑙 → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
131	130	cbvrexvw 3217	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ↔ ∃𝑙 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
132	128, 131	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
133		oveq2 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))
134	133	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
135	134	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
136	135	rexbidv 3158	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
137		eqeq1 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)) ↔ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
138	137	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → ((𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
139	138	rexbidv 3158	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
140	139	exbidv 1921	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
141	136, 140	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑔 = ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → ((∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))) ↔ (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))))
142		1arithidomlem.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
143	141, 142, 81	rspcdva 3592	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
144	132, 143	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
145		oveq1 7397	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝑢 → (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐)))
146	145	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝑢 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐)) ↔ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))))
147	146	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = 𝑢 → ((𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))) ↔ (𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐)))))
148	147	cbvrexvw 3217	. . . 4 ⊢ (∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))))
149		f1oeq1 6791	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))))
150		coeq2 5825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝐹 ∘ 𝑐) = (𝐹 ∘ 𝑤))
151	150	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))
152	151	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐)) ↔ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
153	149, 152	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → ((𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
154	153	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
155	148, 154	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤)))))
156	155	cbvexvw 2037	. 2 ⊢ (∃𝑐∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))) ↔ ∃𝑤∃𝑢 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑤))))
157	144, 156	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐∃𝑑 ∈ (𝑈 ↑m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻 ∘ 𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑 ∘f · (𝐹 ∘ 𝑐))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110   ∘ ccom 5645   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654   ↑_m cmap 8802  0cc0 11075  1c1 11076   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   ++ cconcat 14542  ⟨“cs1 14567   prefix cpfx 14642  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  Mndcmnd 18668  CMndccmn 19717  mulGrpcmgp 20056  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  ∥_rcdsr 20270  Unitcui 20271  RPrimecrpm 20348  IDomncidom 20609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-substr 14613  df-pfx 14643  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-rprm 20349  df-nzr 20429  df-domn 20611  df-idom 20612

This theorem is referenced by:  1arithidom  33515