Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1arithidomlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arithidomlem1 33542
Description: Lemma for 1arithidom 33544. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
1arithidom.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1arithidom.i 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
1arithidom.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1arithidom.t · = (.r𝑅)
1arithidom.j 𝐽 = (0..^(♯‘𝐹))
1arithidom.r (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
1arithidom.f (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.g (𝜑𝐺 ∈ Word 𝑃)
1arithidom.1 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑀 Σg 𝐺))
1arithidomlem.1 (𝜑𝑄𝑃)
1arithidomlem.2 (𝜑 → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢f · (𝐹𝑤)))))
1arithidomlem.3 (𝜑𝐻 ∈ Word 𝑃)
1arithidomlem.4 (𝜑 → ∃𝑘𝑈 (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝐻)))
1arithidomlem.5 (𝜑𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
1arithidomlem.6 (𝜑𝑄(∥r𝑅)(𝐻𝐾))
1arithidomlem.7 (𝜑𝑇𝑈)
1arithidomlem.8 (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) = (𝐻𝐾))
1arithidomlem.9 (𝜑𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
1arithidomlem.10 (𝜑 → (𝐻𝑆) = (((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻𝐾)”⟩))
1arithidomlem.11 (𝜑𝑁𝑈)
1arithidomlem.12 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑁 · (𝑀 Σg 𝐻)))
Assertion
Ref Expression
1arithidomlem1 (𝜑 → ∃𝑐𝑑 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑f · (𝐹𝑐))))
Distinct variable groups:   · ,𝑐,𝑑,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤   𝐹,𝑐,𝑑,𝑔,𝑘,𝑢,𝑤   𝐻,𝑐,𝑑,𝑔,𝑢,𝑤,𝑘   𝑘,𝐾,𝑢,𝑤   𝑔,𝑀,𝑢,𝑘   𝑢,𝑁,𝑤   𝑃,𝑔,𝑢,𝑘   𝑅,𝑔,𝑢,𝑘   𝑆,𝑐,𝑑,𝑔,𝑢,𝑤,𝑘   𝑢,𝑇,𝑤   𝑈,𝑐,𝑑,𝑔,𝑢,𝑤,𝑘   𝑄,𝑔,𝑢,𝑤,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)   𝑃(𝑤,𝑐,𝑑)   𝑄(𝑐,𝑑)   𝑅(𝑤,𝑐,𝑑)   𝑇(𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐺(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐽(𝑤,𝑢,𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)   𝐾(𝑔,𝑐,𝑑)   𝑀(𝑤,𝑐,𝑑)   𝑁(𝑔,𝑘,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem 1arithidomlem1
Dummy variables 𝑙 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑙 = (𝑁 · 𝑇) → (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) = ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
21eqeq2d 2745 . . . . 5 (𝑙 = (𝑁 · 𝑇) → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
3 1arithidom.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
43idomringd 20744 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
5 1arithidomlem.11 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝑈)
6 1arithidomlem.7 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝑈)
7 1arithidom.u . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑅)
8 1arithidom.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
97, 8unitmulcl 20396 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁𝑈𝑇𝑈) → (𝑁 · 𝑇) ∈ 𝑈)
104, 5, 6, 9syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ 𝑈)
11 eqid 2734 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
12 eqid 2734 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
13 1arithidom.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1413, 11mgpbas 20157 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
15 eqid 2734 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1613, 15ringidval 20200 . . . . . . 7 (1r𝑅) = (0g𝑀)
17 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ IDomn)
1817idomcringd 20743 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
1913crngmgp 20258 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑀 ∈ CMnd)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑀 ∈ CMnd)
213, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ CMnd)
22 ovexd 7465 . . . . . . 7 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐹)) ∈ V)
23 eqidd 2735 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐹) = (♯‘𝐹))
24 1arithidom.i . . . . . . . . . . . . 13 𝑃 = (RPrime‘𝑅)
25 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑞𝑃) → 𝑅 ∈ IDomn)
26 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑞𝑃) → 𝑞𝑃)
2711, 24, 25, 26rprmcl 33525 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑞𝑃) → 𝑞 ∈ (Base‘𝑅))
2827ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ IDomn → (𝑞𝑃𝑞 ∈ (Base‘𝑅)))
2928ssrdv 4000 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑃 ⊆ (Base‘𝑅))
30 sswrd 14556 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ⊆ (Base‘𝑅) → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
313, 29, 303syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Word 𝑃 ⊆ Word (Base‘𝑅))
32 1arithidom.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ Word 𝑃)
3331, 32sseldd 3995 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ Word (Base‘𝑅))
3423, 33wrdfd 32902 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶(Base‘𝑅))
35 fvexd 6921 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ V)
3635, 32wrdfsupp 32905 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 finSupp (1r𝑅))
3714, 16, 21, 22, 34, 36gsumcl 19947 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝑅))
3811, 7unitcl 20391 . . . . . . . . 9 (𝑁𝑈𝑁 ∈ (Base‘𝑅))
395, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (Base‘𝑅))
4011, 7unitcl 20391 . . . . . . . . 9 (𝑇𝑈𝑇 ∈ (Base‘𝑅))
416, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (Base‘𝑅))
4211, 8, 4, 39, 41ringcld 20276 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ (Base‘𝑅))
43 ovexd 7465 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0..^((♯‘𝐻) − 1)) ∈ V)
44 1arithidomlem.9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)))
45 f1of 6848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
46 iswrdi 14552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
4744, 45, 463syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)))
48 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘𝐻))
49 1arithidomlem.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐻 ∈ Word 𝑃)
5048, 49wrdfd 32902 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃)
51 wrdco 14866 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃) → (𝐻𝑆) ∈ Word 𝑃)
5247, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻𝑆) ∈ Word 𝑃)
53 1arithidomlem.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)))
54 elfzo0 13736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (♯‘𝐻)))
5554simp2bi 1145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
56 nnm1nn0 12564 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐻) ∈ ℕ → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ0)
5753, 55, 563syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ0)
58 lenco 14867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶𝑃) → (♯‘(𝐻𝑆)) = (♯‘𝑆))
5947, 50, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝐻𝑆)) = (♯‘𝑆))
60 lencl 14567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ Word (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6147, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6259, 61eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘(𝐻𝑆)) ∈ ℕ0)
63 lencl 14567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ Word 𝑃 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
6449, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
6564nn0red 12585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
6665lem1d 12198 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘𝐻))
6744, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)))
68 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆:(0..^(♯‘𝐻))⟶(0..^(♯‘𝐻)) → 𝑆 Fn (0..^(♯‘𝐻)))
69 hashfn 14410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 Fn (0..^(♯‘𝐻)) → (♯‘𝑆) = (♯‘(0..^(♯‘𝐻))))
7067, 68, 693syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘(0..^(♯‘𝐻))))
71 hashfzo0 14465 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐻) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^(♯‘𝐻))) = (♯‘𝐻))
7249, 63, 713syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘(0..^(♯‘𝐻))) = (♯‘𝐻))
7359, 70, 723eqtrrd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘(𝐻𝑆)))
7466, 73breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘(𝐻𝑆)))
75 elfz2nn0 13654 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻𝑆))) ↔ (((♯‘𝐻) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘(𝐻𝑆)) ∈ ℕ0 ∧ ((♯‘𝐻) − 1) ≤ (♯‘(𝐻𝑆))))
7657, 62, 74, 75syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻𝑆))))
77 pfxlen 14717 . . . . . . . . . . 11 (((𝐻𝑆) ∈ Word 𝑃 ∧ ((♯‘𝐻) − 1) ∈ (0...(♯‘(𝐻𝑆)))) → (♯‘((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) = ((♯‘𝐻) − 1))
7852, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) = ((♯‘𝐻) − 1))
7978eqcomd 2740 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐻) − 1) = (♯‘((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))
80 pfxcl 14711 . . . . . . . . . . 11 ((𝐻𝑆) ∈ Word 𝑃 → ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ∈ Word 𝑃)
8152, 80syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ∈ Word 𝑃)
8231, 81sseldd 3995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ∈ Word (Base‘𝑅))
8379, 82wrdfd 32902 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)):(0..^((♯‘𝐻) − 1))⟶(Base‘𝑅))
8417idomringd 20744 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Ring)
857, 151unit 20390 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
863, 84, 853syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝑈)
8786, 81wrdfsupp 32905 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) finSupp (1r𝑅))
8814, 16, 21, 43, 83, 87gsumcl 19947 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) ∈ (Base‘𝑅))
8911, 8, 4, 42, 88ringcld 20276 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ∈ (Base‘𝑅))
90 1arithidomlem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄𝑃)
9111, 24, 3, 90rprmcl 33525 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (Base‘𝑅))
9224, 12, 3, 90rprmnz 33527 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ≠ (0g𝑅))
9391, 92eldifsnd 4791 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
94 1arithidomlem.12 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = (𝑁 · (𝑀 Σg 𝐻)))
9513ringmgp 20256 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
9684, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑀 ∈ Mnd)
973, 96syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
9813, 8mgpplusg 20155 . . . . . . . . . 10 · = (+g𝑀)
9914, 98gsumccatsn 18868 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝐹 ∈ Word (Base‘𝑅) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝐹) · 𝑄))
10097, 33, 91, 99syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐹 ++ ⟨“𝑄”⟩)) = ((𝑀 Σg 𝐹) · 𝑄))
101 ovexd 7465 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) ∈ V)
10231, 49sseldd 3995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ Word (Base‘𝑅))
10348, 102wrdfd 32902 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶(Base‘𝑅))
10435, 49wrdfsupp 32905 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 finSupp (1r𝑅))
10514, 16, 21, 101, 103, 104, 44gsumf1o 19948 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐻) = (𝑀 Σg (𝐻𝑆)))
106105oveq2d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 · (𝑀 Σg 𝐻)) = (𝑁 · (𝑀 Σg (𝐻𝑆))))
10794, 100, 1063eqtr3d 2782 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) · 𝑄) = (𝑁 · (𝑀 Σg (𝐻𝑆))))
10814, 98cmn12 19834 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ CMnd ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑇 · ((𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · 𝑄)) = ((𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝑇 · 𝑄)))
10921, 41, 88, 91, 108syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 · ((𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · 𝑄)) = ((𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝑇 · 𝑄)))
11011, 8, 4, 41, 88, 91ringassd 20274 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄) = (𝑇 · ((𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · 𝑄)))
111103, 53ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻𝐾) ∈ (Base‘𝑅))
11214, 98gsumccatsn 18868 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ∈ Word (Base‘𝑅) ∧ (𝐻𝐾) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑀 Σg (((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻𝐾)”⟩)) = ((𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝐻𝐾)))
11397, 82, 111, 112syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 Σg (((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻𝐾)”⟩)) = ((𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝐻𝐾)))
114 1arithidomlem.10 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐻𝑆) = (((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻𝐾)”⟩))
115114oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐻𝑆)) = (𝑀 Σg (((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) ++ ⟨“(𝐻𝐾)”⟩)))
116 1arithidomlem.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 · 𝑄) = (𝐻𝐾))
117116oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝑇 · 𝑄)) = ((𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝐻𝐾)))
118113, 115, 1173eqtr4d 2784 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐻𝑆)) = ((𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))) · (𝑇 · 𝑄)))
119109, 110, 1183eqtr4rd 2785 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 Σg (𝐻𝑆)) = ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄))
120119oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 · (𝑀 Σg (𝐻𝑆))) = (𝑁 · ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄)))
12111, 8, 4, 39, 41, 88ringassd 20274 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) = (𝑁 · (𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
122121oveq1d 7445 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄) = ((𝑁 · (𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))) · 𝑄))
12311, 8, 4, 41, 88ringcld 20276 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ∈ (Base‘𝑅))
12411, 8, 4, 39, 123, 91ringassd 20274 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 · (𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))) · 𝑄) = (𝑁 · ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄)))
125122, 124eqtr2d 2775 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 · ((𝑇 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄)) = (((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄))
126107, 120, 1253eqtrd 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀 Σg 𝐹) · 𝑄) = (((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) · 𝑄))
12711, 12, 8, 37, 89, 93, 3, 126idomrcan 33262 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 Σg 𝐹) = ((𝑁 · 𝑇) · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
1282, 10, 127rspcedvdw 3624 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑙𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
129 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
130129eqeq2d 2745 . . . . 5 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
131130cbvrexvw 3235 . . . 4 (∃𝑘𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) ↔ ∃𝑙𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑙 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
132128, 131sylibr 234 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
133 oveq2 7438 . . . . . . . 8 (𝑔 = ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (𝑀 Σg 𝑔) = (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))
134133oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑔 = ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))))
135134eqeq2d 2745 . . . . . 6 (𝑔 = ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → ((𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
136135rexbidv 3176 . . . . 5 (𝑔 = ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (∃𝑘𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) ↔ ∃𝑘𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1))))))
137 eqeq1 2738 . . . . . . . 8 (𝑔 = ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (𝑔 = (𝑢f · (𝐹𝑤)) ↔ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑤))))
138137anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑔 = ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → ((𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢f · (𝐹𝑤))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑤)))))
139138rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝑔 = ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (∃𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢f · (𝐹𝑤))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑤)))))
140139exbidv 1918 . . . . 5 (𝑔 = ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → (∃𝑤𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢f · (𝐹𝑤))) ↔ ∃𝑤𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑤)))))
141136, 140imbi12d 344 . . . 4 (𝑔 = ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) → ((∃𝑘𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢f · (𝐹𝑤)))) ↔ (∃𝑘𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) → ∃𝑤𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑤))))))
142 1arithidomlem.2 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑔 ∈ Word 𝑃(∃𝑘𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg 𝑔)) → ∃𝑤𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑔 = (𝑢f · (𝐹𝑤)))))
143141, 142, 81rspcdva 3622 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘𝑈 (𝑀 Σg 𝐹) = (𝑘 · (𝑀 Σg ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)))) → ∃𝑤𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑤)))))
144132, 143mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑤𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑤))))
145 oveq1 7437 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑢 → (𝑑f · (𝐹𝑐)) = (𝑢f · (𝐹𝑐)))
146145eqeq2d 2745 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑢 → (((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑f · (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑐))))
147146anbi2d 630 . . . . 5 (𝑑 = 𝑢 → ((𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑f · (𝐹𝑐))) ↔ (𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑐)))))
148147cbvrexvw 3235 . . . 4 (∃𝑑 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑f · (𝐹𝑐))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑐))))
149 f1oeq1 6836 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑤 → (𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ↔ 𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹))))
150 coeq2 5871 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑤 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝑤))
151150oveq2d 7446 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑤 → (𝑢f · (𝐹𝑐)) = (𝑢f · (𝐹𝑤)))
152151eqeq2d 2745 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑤 → (((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑤))))
153149, 152anbi12d 632 . . . . 5 (𝑐 = 𝑤 → ((𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑐))) ↔ (𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑤)))))
154153rexbidv 3176 . . . 4 (𝑐 = 𝑤 → (∃𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑐))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑤)))))
155148, 154bitrid 283 . . 3 (𝑐 = 𝑤 → (∃𝑑 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑f · (𝐹𝑐))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑤)))))
156155cbvexvw 2033 . 2 (∃𝑐𝑑 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑f · (𝐹𝑐))) ↔ ∃𝑤𝑢 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑤:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑢f · (𝐹𝑤))))
157144, 156sylibr 234 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑑 ∈ (𝑈m (0..^(♯‘𝐹)))(𝑐:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→(0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((𝐻𝑆) prefix ((♯‘𝐻) − 1)) = (𝑑f · (𝐹𝑐))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  wss 3962   class class class wbr 5147  ccom 5692   Fn wfn 6557  wf 6558  1-1-ontowf1o 6561  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  m cmap 8864  0cc0 11152  1c1 11153   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  cn 12263  0cn0 12523  ...cfz 13543  ..^cfzo 13690  chash 14365  Word cword 14548   ++ cconcat 14604  ⟨“cs1 14629   prefix cpfx 14704  Basecbs 17244  .rcmulr 17298  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18759  CMndccmn 19812  mulGrpcmgp 20151  1rcur 20198  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  rcdsr 20370  Unitcui 20371  RPrimecrpm 20448  IDomncidom 20709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-substr 14675  df-pfx 14705  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-rprm 20449  df-nzr 20529  df-domn 20711  df-idom 20712
This theorem is referenced by:  1arithidom  33544
  Copyright terms: Public domain W3C validator